3) Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che è una distanza su X la funzione

Transcript

1 Anlisi Rele Esercizi 3 ottobre 2008 ) Tutte le distnze introdotte lezione sono invrinti per trslzioni; ovvero d(x y) = d(x + z y + z) per ogni x y e z. Definire su X = R un metric non invrinte per trslzioni. Ad esempio d(x y) = x 3 y 3 (si ved il prossimo esercizio per l dimostrzione che d è un distnz). Si h d( 0) = m d( ) = d(2 ) = 7. 2) Si (X d) uno spzio metrico e si ϕ : X X un funzione. Che ipotesi deve soddisfre ϕ ffinché d (x y) = d(ϕ(x) ϕ(y)) si un distnz su X? E ffinché lo si d (x y) = ϕ(d(x y)) se ϕ : R R? Se d (x y) = d(ϕ(x) ϕ(y)) chirmente d (x y) 0 per ogni x ed y in X. Si h poi che d (x y) = 0 implic ϕ(x) = ϕ(y) e quindi x = y ptto che ϕ si iniettiv. L simmetri di d è evidente dll simmetri di d mentre l disuguglinz tringolre discende direttmente dll disuguglinz tringolre per d. Se d (x y) = ϕ(d(x y)) si h d (x y) 0 se e solo se ϕ(s) 0 per ogni s in R + ; ffinché d (x y) = 0 implichi x = y deve essere ϕ(0) = 0. L simmetri di d è evidente dll simmetri di d mentre l disguglinz tringolre vle se si h ϕ(d(x y)) ϕ(d(x z)) + ϕ(d(z y)). Essendo s = d(x y) t = d(x z) e u = d(z y) tre numeri reli qulsisi che soddisfno l relzione s t+u d è un distnz se ϕ è monoton crescente e sublinere (ovvero se ϕ(t + u) ϕ(t) + ϕ(u) per ogni t e u in R + ). Inftti ϕ(s) (ϕ crescente) ϕ(t + u) (ϕ sublinere) ϕ(t) + ϕ(u). 3) Si (X d) uno spzio metrico. Dimostrre che è un distnz su X l funzione d d(x y) (x y) = + d(x y). Si trtt di dimostrre che l funzione ϕ(s) = s soddisf le ipotesi +s dell esercizio precedente. Chirmente ϕ è positiv sui positivi null nell origine e monoton crescente per s 0 (dto che l su derivt è ). Rimne d dimostrre che è sublinere ovvero che (+s) 2 s + t + s + t s + s + t + t per ogni s e t in R +. Si h chirmente s + t + s + t = s + s + t + t + s + t s + s + t + t che è quello che si volv dimostrre.

2 2 4) Si X = C ([ b] R). Definimo d(f g) = 2 n d (f (n) g (n) ) + d (f (n) g (n) ) f (n) = dn f dx n. Mostrre che d è un distnz su X (suggerimento: si usi l esercizio precedente) e determinre B 4 (0). Notimo innnzitutto che l distnz è ben definit per ogni f e g in X. Inftti essendo () 0 d (f (n) g (n) ) + d (f (n) g (n) ) per ogni n in N e per ogni f e g in X l serie è convergente essendo ( termini positivi e) mggiort dll serie di termine generico. 2 n Positività e simmetri di d sono evidenti; se d(f g) = 0 si h che tutti gli ddendi sono nulli ed in prticolre il primo: quindi d (f g) = 0 d cui segue che f = g. Dl momento che ogni ddendo soddisf l disuguglinz tringolre (per l esercizio precedente) si h che nche d l soddisf. Infine cus dell mggiorzione () si h d(f 0) = per ogni f in X e quindi B 4 (0) = X. d (f (n) + 0) 2 n + d (f (n) 0) 2 n = 2 5) Studire l convergenz in l p p + dell successione {x (n) } definit d x (n) = n+ per ogni in N. Come primo pssggio osservimo che l successione pprtiene d l p se e solo se p > 2 cosicché sicurmente non c è convergenz in l p per ogni p 2. Dl momento che x (n) tende zero (qundo n tende d infinito) per ogni il cndidto ite è l successione identicmente null. Si h llor = (n + ) p 2 = =n+ Essendo p > 2 l ultim è l serie resto di un serie convergente e tende quindi zero qundo n tende d infinito. Pertnto x (n) tende zero in l p per ogni p > 2. Se p = + si h N = n + p 2.

3 6) Si {x (n) } definit d x (n) = 3 per ogni n e zero ltrimenti. Studire l convergenz di x (n) in l p p +. Come nel cso precedente x (n) è in l p se e solo se p > 3 cosicché l convergenz v considert solo in questi spzi. Ancor un volt il ite puntule di x (n) è l successione null cosicché che è nuovmente l serie resto di un serie convergente (se p > 3); pertnto x (n) tende zero in l p se p > 3. In l si h N =n p 3 = n 7) Si {x (n) } definit d x (n) = 3 n se n 2n e zero ltrimenti. Studire l convergenz di x (n) in l p p +. L successione x (n) pprtiene d l p per ogni p e quindi non ci sono vlori d scrtre. Ancor un volt il ite puntule è l successione null cosicché 2n =n n p 3 = n + n p 3 che tende zero (qundo n tende d infinito) se e solo se p 3 quindi se e solo se p > 3. Se p = + si h N = 3 n = = 3 > e 8) Un successione {x (n) } in l p (p > ) si dice debolmente convergente x in l p se si h ) x (n) y = x y y l q p + q =. Mostrre che se {x (n) } converge debolmente x in l p llor {x (n) h } converge x h per ogni h in N. Mostrre che ogni successione che converge in (l p d p ) (p > ) converge debolmente (llo stesso ite). Sceglimo come elemento y di l q l successione y (h) = ( )

4 4 in cui l si trov ll h-simo posto. Si h ) x(n) h = x (n) y (h) = = = = x y (h) = x h come volevsi dimostrre. Si or x (n) convergente x in l p ovvero tle che ( + ) p x p = 0. Ricordndo l disuguglinz di Hölder si h x (n) y x y x y = = = ) ( p + x p = = y q ) q cosicché il primo termine tende zero essendo infinitesimo l ultimo termine (ricordimo che y è un elemento fisso di l q ). Si noti che il risultto non si inverte: l successione dell esercizio precedente converge debolmente zero in l 3 (dimostrrlo!) m non converge zero in (l 3 d 3 ) (dto che l su distnz d zero tende d ). 9) Si consideri X = C ([ b] R) con l distnz d(f g) = d (f g )+ f() g(). Mostrre che (X d) è completo. Mostrre che non è completo (X d ). Se f n è un successione di Cuchy in (X d) ottenimo subito che f n e f n () sono due successioni di Cuchy in (C 0 ([ b] R) d ) e in (R ). Essendo entrmbi gli spzi completi esistono un funzione continu g ed un numero rele c tli che d (f n g) = 0 f n() = c. Ricordimo desso che per il teorem fondmentle del clcolo integrle si h f n (x) = f n () + f n(t) dt x [ b]. Dl momento che f n converge uniformemente g è possibile pssre l ite sotto il segno di integrle ottenendo f n() + f n(t) dt = c + g(t) dt x [ b]. Definendo f(x) il secondo membro dell relzione precedente bbimo che f n converge puntulmente d f. Inoltre essendo g continu il.

5 teorem fondmentle del clcolo integrle implic che f è in X. A questo punto è fcile vedere che f n converge f in (X d) che è dunque completo. Per vedere che X non è completo con l sol distnz d considerimo (se [ b] = [ ]) l successione f n (x) = x 2 + n. L successione è in X converge uniformemente (dimostrrlo!) m il suo ite è l funzione f(x) = x che non è in X. Qul è il completmento di X rispetto ll distnz d? 0) Si X = {intervlli perti e itti di R}. Se I = ( b) X definimo l(i) = b l lunghezz di I. Dimostrre che è un distnz l funzione d(i J) = l(i \ J) + l(j \ I) = l(i) + l(j) 2l(I J). L positività di d è evidente così come l simmetri. Se d(i J) = 0 si h che l(i \ J) = l(j \ I) = 0. Essendo l(i) = 0 se e solo se I = bbimo che I \ J = J \ I = cos che è possibile se e solo se I = J. Non rimne (eufemismo!) che dimostrre l disuguglinz tringolre. Sino llor I = ( b ) J = ( 2 b 2 ) e K = ( 3 b 3 ) tre intervlli di R. Chirmente l distnz di I d J di I d K e d J d K dipende dlle (numerose!) possibili posizioni reciproche di i e b i. Studimo qui solo un cso lscindo l volenteroso lettore l improbo compito di completre l esercizio. Supponimo d esempio che si bbi < 3 < b < 2 < b 3 < b 2 cosicché I e J sono disgiunti mentre K è cvllo tr I e J. Si h llor I \ J = I J \ I = J e quindi d(i J) = (b ) + (b 2 2 ). Inoltre I \ K = ( 3 ] K \ I = [b b 3 ) e quindi d(i K) = ( 3 ) + (b 3 b ). Infine K \ J = ( 3 2 ] J \ K = [b 3 b 2 ) e quindi d(k J) = ( 2 3 ) + (b 2 b 3 ). Si h llor d(i K) + d(k J) = ( 3 ) + (b 3 b ) + ( 2 3 ) + (b 2 b 3 ) e semplificndo d(i K) + d(k J) = 2 + b 2 b. Confrontndo con d(i J) bbimo che d(i J) d(i K) + d(k J) se e solo se b 2 2 b che è evidentemente ver essendo 2 > b per ipotesi. 5