Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi su spazi di funzioni, convergenza uniforme

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Ernesto Bianchini
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1 Corso di Metodi Mtemtici per l Ingegneri A.A. 2016/2017 Esercizi su spzi di funzioni, convergenz uniforme Mrco Brmnti Politecnico di Milno October 7, 2016 A. Esercizi su spzi vettorili, spzi vettorili normti, spzi metrici, completezz Esercizio 1 Dire quli dei seguenti insiemi di funzioni è uno spzio vettorile: () C 0 (, b) (b) C 0 [, b] (c) { f C 0 [0, 2] : f (1) = 1 } (d) { f C 1 [0, 2] : f (0) = 0, f (2) = 0 } (e) { f C 2 (R) : e f () + (sin ) f () 5f () = 0 } (f) { f C 2 (R) : e f () f () + 5f () = 0 } { (g) f C 0 (R) : f () = f (0) + } 0 ( t)3 f (t) dt Esercizio 2 Dire chi sono i punti interni, esterni, di frontier per E; dire se E è o non è perto, chiuso, limitto, nei seguenti esempi. Dire nche qul è l interno, l esterno, l frontier di E. E = { (, y) R 2 : 2 + y 2 < 1 } in X = R 2 ; E = { (, y) R 2 : 0 < 2 + y 2 1 } in X = R 2 ; E = { (, y) R 2 : y 0 } in X = R 2 ; E = Q [0, 1] in X = R; E = { = 1n } : n = 1, 2, 3,... {0} in X = R. Esercizio 3 Verificre che lo C (, b) è uno spzio vettorile m non risult uno spzio normto, con l norm C 0. 1

2 Esercizio 4 Verificre che lo spzio P (R) delle funzioni definite su tutto R, continue e periodiche non è uno spzio vettorile. [Suggerimento: cercre due funzioni di periodi diversi l cui somm non è periodic]. Tuttvi, se si pone d (f, g) = m f () g () R questo risult uno spzio metrico: verificre che f, g P (R) risult d (f, g) <. Esercizio 5 Dimostrre che in R l funzione d (, y) = y p con p numero fissto, 0 < p < 1 è un distnz, mentre per p > 1 non lo è. Trcci: 1. Studire l funzione f (t) = (1+t)p 1+t e trccirne il grfico per t 0, p trttndo seprtmente i due csi p > 1 e 0 < p < Dedurre dllo studio precedente che (1 + t) p 1 + t p per ogni t > 0 se 0 < p 1. Che disuguglinz si può scrivere invece se p > 1? 3. Dedurre dl punto precedente che se 0 < p < 1 si h ( + b) p p + b p per ogni, b 0 (suggerimento: rccogliendo o b ci si riconduce l cso precedente). 4. Utilizzndo il punto 3 dimostrre che d è un distnz se 0 < p < Se p > 1, provre con un contresempio che d non è un distnz. Esercizio 6 Nello spzio C 0 [, b] si definisc: d (f, g) = f () g () p d per qulche p (0, 1) fissto. Provre che d è un distnz. (Utilizzre l esercizio 5). Provre poi che, se si tentsse di definire un norm ponendo: ( f p = f () p d ) 1/p (sempre per p (0, 1)) quest verificherebbe i primi due ssiomi dell norm m non l disuguglinz tringolre, ossi esibire due funzioni f, g per cui risult f + g p > f p + g p. Suggerimento: bst scegliere f, g opportune funzioni grdino che vlgono 1 su un certo intervllo e 0 ltrove. (Quindi bbimo uno spzio di funzioni che è si spzio vettorile che spzio metrico, in cui l distnz però non proviene d un norm). 2

3 Esercizio 7 Di ciscun delle seguenti funzioni in R, stbilire se soddisf gli ssiomi di distnz: d 1 (, y) = ( y) 2 d 2 (, y) = y d 3 (, y) = 2 y 2 d 4 (, y) = 2y d 5 (, y) = y 1 + y [Suggerimento per d 5. Provre prte che l funzione f (t) = l disuguglinz f ( + b) f () + f (b) per, b > 0.] t 1+t soddisf Esercizio 8 Di ciscun delle seguenti funzioni in R 2 provre che è un norm. Disegnre poi l sfer di centro l origine e rggio 1 rispetto quest norm. (, y) 0 = m (, y ) (, y) 1 = + y (, y) 3 = ( 3 + y 3) 1/3 Esercizio 9 Fre un esempio, in R 2, di:. insieme chiuso con interno vuoto; b. un insieme con interno vuoto l cui chiusur è R 2. Esercizio 10 Si (X, d) uno spzio metrico; definimo d (, y) = d (, y) 1 + d (, y). Provre che nche d è un distnz, e che (X, d ) è limitto nche se (X, d) non lo è. Esercizio 11 Dire in quli dei seguenti spzi di funzioni continue è ben definit l norm dell estremo superiore, cioè f C 0 (I) = sup f (). I () C 0 (R) (b) C 0 (0, 1) (c) C 0 [0, 1] (d) { f C 0 (R) : lim ± f () = 0 } (e) { f C 0 (R) : K > 0 (K dipendente d f) tle che f () = 0 per K }. 3

4 Esercizio 12 Si f L1 (,b) = f () d. Dire se L1 (,b) risult un norm: () sullo spzio C 0 [, b]; (b) sullo spzio delle funzioni limitte e Riemnn integrbili in [, b]. Esercizio 13 Si f P = f () d. Dire se P risult un norm: () sullo spzio C 1 [, b]; (b) sullo spzio X = { f C 1 [, b] : f () = 0 }. Esercizio 14 Si P = {polinomi p () in [0, 1]}. Si dic se P è un sottospzio vettorile di C 0 [0, 1] e in cso ffermtivo se è un sottospzio chiuso, rispetto ll norm dell estremo superiore. Esercizio 15 Costruire, per un intero n 1 fissto, un esempio di funzione C n (R) \ C n+1 (R). Esercizio 16 Si X lo spzio vettorile delle successioni convergenti di numeri reli, con l norm: = sup k dove = { k } k=1. k Provre che (X, ) è uno spzio vettorile normto, completo. [Suggerimento: ricordre che un successione { } in X è un successione di successioni: { k } k=1 X signific che k = ξ n (k) con ξ n (k) R.] n=1 B. Esercizi sull convergenz di successioni di funzioni. Convergenz e completezz Esercizio 17 Si f n () = n. Studire l convergenz puntule e uniforme negli intervlli (1, + ) e (2, + ). Esercizio 18 Si f n () = ne n2 2. Studire l convergenz puntule e uniforme negli intervlli (1, + ) e [0, 1]. Esercizio 19 Si f n () = n α e n2 2. Determinre per quli α l successione converge uniformemente in R. Esercizio 20 Si f n () = in [0, + ). 1+n. Studire l convergenz puntule e uniforme 4

5 n Esercizio 21 Si f n () = 1+n. Studire l convergenz puntule e uniforme in [0, + ) e in [r, + ) per r > 0. Esercizio 22 Si f n () = 1 in [0, 1]. 1+n Esercizio 23 Si f n () = 1 in [0, 1]. 1+n 2 2. Studire l convergenz puntule e uni- Esercizio 24 Si f n () = forme in [ 1, 1]. n 1+n 2 2. Studire l convergenz puntule e uni- Esercizio 25 Si f n () = forme in [ 1, 1]. n+. Studire l convergenz puntule e uniforme. Studire l convergenz puntule e uniforme Esercizio 26 Clcolre il limite puntule dell successione di funzioni f n () = (n + 1) 2 (1 + n 2 ) (1 + 2 ) in R. Stbilire poi se tle limite è uniforme, giustificndo le proprie conclusioni. Esercizio 27 Clcolre il limite puntule dell successione di funzioni f n () = n sin 1 + n 2 2 in R. Stbilire poi se tle limite è uniforme, giustificndo le proprie conclusioni. 5

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