COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

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1 COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze mtemtiche prticolrmente elevte. Tuttvi, quest ppendice è stt penst per offrirvi delle pillole mtemtiche che formernno un kit di soprvvivenz per ffrontre si l teori economic, si gli esercizi connessi. In prticolre, l obiettivo è dimostrrvi come i concetti mtemtici che probbilmente vete visto fino d or solo d un punto di vist teorico, si mettono l servizio degli studiosi per meglio spiegre l reltà economic che ci circond.. L funzione mtemtic e l su utilità in economi Per cpire l utilità ed il senso di utilizzre le funzioni mtemtiche nello studio dell economi, prtimo dl considerre lcuni semplici esempi legti ll vit di tutti i giorni. Il cro petrolio rende slte le bollette degli itlini Durnte l crisi economic, le fmiglie hnno visto diminuire i loro redditi ed infine soffrirne è stto il consumo ggregto Lo stipendio mensile di un lvortore, dto il suo slrio orrio, dipende dl numero di ore lvorte Srete tutti d ccordo che le precedenti ffermzioni posso essere reinterprette ffermndo che le bollette degli itlini sono funzione del prezzo del petrolio, che i livelli di consumo ggregto sono funzione dei redditi delle fmiglie, e che lo stipendio mensile è funzione del slrio orrio. L funzione è quindi un relzione fr due vribili, ed in prticolre ess è l relzione ttrverso cui possimo spiegre il legme esistente fr un vribile

2 che chimimo dipendente ed un vribile che chimimo indipendente. In termini economici, l vribile dipendente è l vribile di cui voglimo studire l ndmento, mentre l vribile indipendente è quell vribile ttrverso cui cerchimo di spiegre l dipendente. Studire il legme fr queste due vribili signific cercre di cpire come vri un l vrire dell ltr, in che direzione l prim cmbi in seguito d un specific vrizione dell second. Ritornndo i nostri esempi, nel cso del consumo e dei redditi delle fmiglie, diremo che il consumo è l vribile dipendente e che il reddito delle fmiglie è l vribile indipendente. In termini formli, possimo rissumere e stilizzre quest relzione con un semplice formul, scrivendo: ( ) Essere ricorsi d un formulzione mtemtic ci h permesso di trdurre in termini sintetici un relzione che fino questo punto er stt solmente figurt. L grnde importnz dell funzione mtemtic per lo studio dell economi risiede ppunto nel dre l possibilità ll economist di esprimere semplicemente e sinteticmente concetti complessi. Fccimo or un psso ulteriore per comprendere l importnz e le peculirità dell funzione mtemtic. Abbimo detto che l funzione è un relzione che leg due vribili, m chiedimoci or se l tipologi propri di quest relzione influisce sul legme fr vribili oppure no. L rispost è, come potete intuire, ffermtiv, ovvero, l tipologi di relzione esistente fr due vribili è vitle per cpire il legme fr esse. In questo senso l funzione può essere considert un mcchin di trsformzione, il cui input è l vribile indipendente e il cui output è rppresentto dll vribile dipendente. Grficmente: f f() y Figur

3 L form dell sctol è essenzile per cpire l trsformzione. Considerte d esempio l funzione rdice qudrt, y. Scomponendo l espressione, possimo dire che y è il risultto dell trsformzione di ttrverso l mcchin rdice qudrt. Ancor, considerndo l elevmento potenz, d 5 esempio y, rrivimo d esplicitre l relzione dicendo che l output, y, è il risultto dell elevmento potenz dell input,. Per input nche numericmente uguli, il risultto è sostnzilmente diverso. Abbimo insistito su questo concetto perché è importnte distinguere fr l funzione, l mcchin, e le sue componenti/risultnti. Qundo scriverete y, ricordtevi che l funzione non è l espressione nel suo complesso, m solmente il simbolo, e che il risultto cmbierà second dei vri input che inserirete nell funzione. Dopo quest breve digressione, ritornimo ll definizione cnonic di funzione mtemtic, che fferm: Dti due insiemi A e B, si definisce funzione quell prticolre relzione che ssoci d ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B Considerndo l esempio dello stipendio di un lvortore vremo: A ore lvorte B stipendio Figur Per ogni elemento contenuto in A, l funzione ssoci d esso uno ed un solo elemento contenuto in B. Questo signific che non possono verificrsi situzioni come l seguente: 3

4 A ore lvorte B stipendio Figur 3 Considerndo un gruppo omogeneo di lvortori, che occupno l stess posizione, d ogni quntittivo di ore lvorte corrisponde uno ed un solo stipendio, e non un plurlità di stipendi. L insieme A e l insieme B vengono definiti, rispettivmente, dominio e codominio dell funzione. Il dominio è l insieme di definizione dell funzione, ovvero l sctol d dove possimo estrrre le nostre vribili indipendenti, mentre il codominio è l sctol che contiene le vribili dipendenti. In prticolre, si dice che il codominio è l insieme dei vlori dell funzione, o nche che esso è l insieme delle immgini dell funzione. Avrete notto che nelle frsi precedenti l prol possimo è stt evidenzit: per qule motivo? D un punto di vist mtemtico, le funzioni non sono definite per qulsisi vlore, inftti non sempre il dominio corrisponde con l insieme dei numeri reli. D un punto di vist economico, l fccend si f ulteriormente complict. 000 Considerte d esempio l seguente funzione: y. L funzione in questione è, come vedremo fr poco, un frtt. Interpretndo economicmente l relzione, immginte che y si il prezzo unitrio l qule voglimo vendere l quntità di un bene. Il dominio mtemtico dell funzione è rppresentto d tutti i vlori di diversi d zero, quindi, ffinché l relzione bbi senso mtemtico, è sufficiente che si diverso d zero. Questo vuol nche dire che riusciremo clcolre un immgine dell funzione, un y, nche per vlori negtivi dell. D un punto di vist economico, vrebbe senso frlo? E possibile considerre quntità di bene negtive d un punto di vist economico? L rispost è 4

5 ovvimente no. Questo però ci port concludere che non sempre dominio mtemtico e dominio economico coincidono, e tle ffermzione è prticolrmente rilevnte qundo, d esempio, ndimo disegnre il grfico dell funzione: di fronte d un funzione come quell precedente, se foste di fronte d un tem di mtemtic potreste utilizzre l intero pino crtesino con tutti e quttro i suoi qudrnti; se foste invece di fronte d un tem di economi, l unico qudrnte ll interno del qule potreste disegnre l funzione è il primo. Quest ultimo ppunto sull funzione ci port d ddentrrci nell nlisi del grfico di un funzione e nello studio di cos esso rppresenti. Il grfico dell funzione mostr visivmente quli vlori ssume l vribile y l vrire dell : per questo motivo, il vlore che ssume l vribile y second di ciscun vlore dell vribile si chim immgine dell funzione, ovvero, si trtt dei vlori che ssume l funzione l vrire di. Figur 4 Il grfico precedente mostr l esempio di un funzione monoton. Un funzione si dice tle qulor si verifichi un delle seguenti condizioni: ) i) ii) f ( ) f ( ) f ( f ( ) ) Nel primo cso, l condizione di monotonicità fferm che per ogni minore o ugule, l immgine di è nch ess minore o ugule ll immgine di. Nel secondo cso, l condizione di monotonicità fferm che per ogni mggiore o ugule, l immgine di è nch ess mggiore o ugule 5

6 ll immgine di. In ltre prole, l ordinmento delle vribili è rispettto nche dlle rispettive immgini. Un esempio di funzione non monoton è il grfico seguente: Figur 5 Esistono, inftti, vlori di tle per cui per i quli l condizione f ) f ( ) non si verific. (. Principli tipi di funzione: funzioni polinomili Le funzioni più comuni, ed nche quelle che mggiormente vengono utilizzte durnte il corso, sono le funzioni polinomili. Il polinomio è l somm di più monomi non simili fr loro. I polinomi si dicono di grdo n, dove n è il grdo mssimo dei monomi che lo compongono. Avremo quindi che se i monomi componenti un determinto polinomio hnno grdo mssimo pri uno, il polinomio srà di grdo uno; se il grdo mssimo dei monomi è due, llor il polinomio vrà grdo due; e così vi per tutti i grdi mggiori di due. Esempi di polinomi di vri grdi sono le espressioni: i) y + 3 ii) iii) y 5 y Il primo polinomio è di I grdo, il secondo di II grdo, mentre il terzo di VI grdo. Le funzioni polinomili hnno come dominio l intero insieme dei numeri reli. 6

7 .. Polinomi di primo grdo. Rette In generle, i polinomi di I grdo sono funzioni che hnno equzione: ) f ( ) + b e vengono definite funzioni lineri. Le funzioni lineri sono crtterizzte d proporzionlità dirett tr l vribile y e l vribile. Due vribili si dicono direttmente proporzionli se il loro rpporto è costnte. Due vribili, invece, si dicono inversmente proporzionli se il loro prodotto c è costnte. L funzione f ( ), d esempio, è crtterizzt d proporzionlità invers. Affermre che esiste proporzionlità dirett o invers fr due vribili non implic considerzioni circ l quntificzione dell imptto dell vrizione di un vribile sull ltr. In ltre prole, dire che esiste proporzionlità dirett signific che se l vribile ument, llor nche l vribile y ument; così come dire che esiste proporzionlità invers implic che d un umento dell corrisponde un diminuzione dell y e vicevers. Non implic invece che l vrizione dell y, di qulsisi segno ess si, si proporzionle ll vrizione dell. L y vri in modo proporzionle rispetto ll qundo, d esempio, d un vrizione del 50% di corrisponde un vrizione del 50% di y. L vrizione di y è più che proporzionle rispetto ll vrizione di qundo, d esempio, se l ument del 0%, l y registr un umento del 0%. L vrizione di y è meno che proporzionle rispetto ll vrizione di qundo, d esempio, se l ument del 0%, l y registr un umento del 5%. Come potete notre, l quntificzione dell proporzionlità non h null che vedere con il segno dell proporzionlità: dire che y è vrit meno che proporzionlmente rispetto d, non implic che l vrizione dell y bbi lo stesso segno dell vrizione dell. Potremo vere inftti, che se ument del 30%, y diminuisc del 60%: in questo cso vremo un relzione di proporzionlità invers e llo stesso tempo l y vrierà più che proporzionlmente rispetto ll. 7

8 Di prticolre interesse per i nostri obiettivi è l crtterizzzione geometric dei polinomi di primo e secondo grdo. L mggior prte delle relzioni economiche che ndremo studire è, inftti, rppresentbile ttrverso questi due costrutti lgebrici. L equzione del polinomio di primo grdo rppresent geometricmente l equzione di un rett, nell su form generic: 3) y + b Il coefficiente è detto coefficiente ngolre dell rett: esso misur l pendenz dell rett e, d un punto di vist lgebrico, dice di qunto vri l vribile y seguito di un vrizione unitri dell vribile. Proprio per questo motivo l pendenz dell rett si clcol come: 4) Pendenz VARIAZIONE VARIAZIONE y ( y ( y) ) A vrizioni di possono corrispondere vrizioni positive o negtive dell y, e per questo si prl di rette inclinte positivmente o negtivmente. Se ll umentre di l y ument vi è quindi un vrizione positiv si dice che l rett è inclint positivmente, mentre se ll umentre dell l y diminuisce vrizione negtiv l rett srà inclint negtivmente. Vedimo un esempio di rett inclint negtivmente: Figur 6 8

9 Nell figur 6, qundo il vlore dell vribile ument pssndo d, l vribile y diminuisce, inftti, f ) > f ( ) e f ) f ( ) 0. Nel clcolo dell pendenz risulterà: f ( ) f ( ) 5) < 0 ( ( < Nell equzione 3, il coefficiente b rppresent l intercett dell rett con l sse delle ordinte. L intercett misur il vlore dell ordint del punto in cui l rett in questione intersec l sse delle ordinte. Per questo motivo, ess si clcol impostndo il sistem: 6) y + b 0 dove 0 è l equzione dell sse delle ordinte. Prim di concludere con le rette, un ultimo ppunto rigurdnte coefficiente ngolre e intercett. Se vrire è il coefficiente ngolre, ssistimo d un rotzione dell rett, mentre se vrire è l intercett, vremo uno spostmento prllelo dell rett verso l lto o verso il bsso... Polinomi di secondo grdo. Prbole Per qunto rigurd i polinomi di secondo grdo, dl punto di vist geometrico l loro equzione rppresent l equzione di un prbol: 7) y + b + c In prticolre, l equzione 7 rppresent un prbol il cui sse di simmetri è prllelo ll sse delle ordinte, mentre l equzione 8 8) y + by + c 9

10 rppresent un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse delle scisse. A second del segno del coefficiente, l prbol vrà concvità rivolt verso il bsso oppure verso l lto: se è positivo, l concvità srà verso l lto, mentre se ssume vlori negtivi l concvità dell prbol srà rivolt verso il bsso. Il coefficiente c rppresent l ordint del punto in cui l prbol intersec l sse delle ordinte; esso inftti si ricv risolvendo il sistem: 9) y 0 + b + c y c 0 Al contrrio, se l obiettivo è trovre l intersezione dell prbol con l sse delle scisse, si risolverà il sistem: y + b + c 0) + b + c 0 y 0 Le rdici dell equzione di secondo grdo risultnte dll soluzione del sistem rppresentno le scisse dei punti in cui l prbol intersec l sse delle scisse. Tli rdici sono rppresentte d numeri reli se il discriminnte dell equzione è mggiore di zero; se il discriminnte fosse minore di zero, l equzione non vrebbe rdici reli e quindi l prbol corrispondente non incroci mi l sse delle scisse. Infine, qulor il discriminnte si ugule zero, l prbol tnge l sse delle scisse in un unico preciso punto. Rissumendo: se b 4c > 0, b ± b 4c ) se b 4c < 0 Nessun rdice rele se b 4c 0 b 0

11 . Altri tipi di funzione Dopo ver nlizzto in dettglio le funzioni polinomili, rivolgimo or l ttenzione d ltri tipi di funzione che è necessrio conoscere per lo studio dell economi. Funzioni frtte Le funzioni frtte sono funzioni del tipo: ) f ( ) p( ) q( ) dove p() e q() sono due polinomi. Queste funzioni esistono solo per vlori dell vribile che non nnullno il denomintore, e quindi il loro dominio è determinto ponendo il polinomio l denomintore diverso d zero. Funzioni esponenzili Le espressioni: 3) f ( ) oppure f ( ) e vengono definite funzioni esponenzili. In prticolre, l prim equzione rppresent un funzione esponenzile in bse, dove è un numero rele positivo diverso d, mentre l second è un funzione esponenzile in bse e, dove e è il numero di Nepero (e,783 ). Le esponenzili hnno per dominio l intero insieme dei numeri reli. Il loro grfico è rppresentto dll curv: Figur 7

12 Il grfico delle esponenzili h per sintoto l sse delle scisse, mentre intersec l sse delle ordinte nel punto (0;). Dl grfico dell funzione si può notre che il vlore dell funzione esponenzile, y, è sempre positivo per qulsisi vlore ssunto dll vribile. Le funzioni esponenzili godono di lcune proprietà che è importnte conoscere. Volendo rissumerle in un qudro sintetico: ( ) ( b ) 0 y : y y y + y y b Funzioni logritmiche Le funzioni logritmiche hnno equzione: 4) f ( ) log Così come per le funzioni esponenzili, nche le logritmiche possono presentrsi con bsi diverse. Le logritmiche più utilizzte sono le funzioni in bse nturle e e le funzioni in bse 0, rispettivmente: 5) y loge ln ; y log0 log Le logritmiche sono definite nell intervllo dei numeri reli positivi. L sintoto è costituito dll sse delle ordinte, mentre il punto di intersezione dell curv con l sse delle scisse è (;0).

13 Il loro grfico è rppresentto dll curv: Figur 8 Esiste un strett relzione fr funzioni esponenzili e funzioni logritmiche. Inftti vle sempre l identità per l qule: 6) log ovvero, il logritmo è l esponente che deve ssumere per ottenere. Secondo l stess logic, possimo ffermre che: 7) log k k 3