5. Funzioni elementari trascendenti

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A

2 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite d: f() = con R, >0 ( è l bse dell funzione esponenzile) Not Se = 1 si ottiene l funzione costnte 1, quindi si può considerre come bse >0 e 1 Attenzione: non confondere funzioni esponenzili con funzioni potenz 2

3 Prticolre interesse riveste l funzione esponenzile f() = e dove l bse e è il numero di Nepero - Si trtt dell bse più conveniente per il clcolo - Il numero e è irrzionle ed un suo vlore pprossimto è dto d e 2, Tle numero compre in molte questioni mtemtiche

4 Funzioni esponenzili f() = con >1: sono positive e crescenti su tutto R - Come vri l vribile dipendente y qundo l vribile ument sempre più o diminuisce sempre più? [nel primo cso nche y ument sempre più, nel secondo cso, y tende verso il vlore 0] - Se 1 < 2, cos si osserv dl confronto tr i grfici di y = 1 e y = 2? 3 e 2 L funzione con bse mggiore cresce più rpidmente 4

5 L funzione f() = e È l sol funzione esponenzile che gode dell proprietà che è 1 l pendenz dell rett tngente l suo grfico nel punto di intersezione con l sse y. Questo rende l bse e conveniente per il clcolo L notzione e per indicre tle bse è dovut d Eulero (1727) e corrisponde ll prim lettere dell prol esponenzile. 5

6 Vlutzione dell rpidità di crescit dell funzione esponenzile con >1 (esempio con f() = 2 ) Un foglio di crt spesso un centesimo di millimetro viene ripiegto in due prti ugule per 50 volte Qul è lo spessore dell crt dopo questo operzione? Rispost: /100 = 2 50 /100 mm che è un vlore superiore 11 milirdi di chilometri 6

7 Funzioni esponenzili f() = con 0 <<1: sono positive e decrescenti su tutto R - Come vri l vribile dipendente y qundo l vribile ument sempre più o diminuisce sempre più? [nel primo cso y tende verso il vlore 0, nel secondo cso, y ument sempre più] - Se 1 < 2, cos si osserv dl confronto tr i grfici di y = 1 e y = 2? L funzione con bse minore decresce più rpidmente

8 Funzioni esponenzili Tutte le funzioni esponenzili f() = hnno in comune le seguenti crtteristiche: - Dominio: R - Immgine: (0, +) (per ogni, >0) - Sono iniettive (elementi distinti hnno immgini distinte) - I loro grfici pssno per il punto (0, 1) Not: in ogni funzione esponenzile, in corrispondenz del vlore =1 dell vribile indipendente si ottiene il vlore dell bse, ovvero f(1) = Un delle rgioni dell importnz delle funzioni esponenzili v cerct nelle sue tipiche proprietà (proprietà delle potenze) 8

9 Appliczioni delle funzioni esponenzili Le funzioni esponenzili sono molto spesso uste come modelli mtemtici per descrivere numerosi fenomeni di ccrescimento o di decdimento che si evolvono con continuità nel tempo come, d esempio: - crescit di un popolzione - decdimento di un dt sostnz rdiottiv

10 Crescit di un popolzione di btteri I btteri si riproducono per dupliczione, cioè ogni singolo btterio produce un copi di se stesso Usndo quest informzione è possibile costruire un modello mtemtico elementre per clcolre come vri nel tempo l numerosità di un popolzione di btteri Per semplicità ssumimo che tutte le dupliczioni dei btteri vvengno nello stesso istnte (per esempio, ogni or) 10

11 Crescit di un popolzione di btteri Si N 0 il numero inizile di btteri. Indichimo con N(k) l numerosità dell k-esim generzione di btteri, cioè dopo k ore. Qule srà l legge per esprimere N(k)? Poiché d un generzione ll ltr l numerosità si rddoppi, si vrà: N( 1) 2N0, N(2) 2N(1) 4N0, N(3) 2N(2) 8N0 ed in generle: N(k) = 2 k N 0 Per es., se N 0 = 10, N(1) = 20, N(2) = 40, N(3)=80,,N(20) = , L funzione esponenzile h bse mggiore di 1 quindi è crescente 11

12 Decdimento rdiottivo Se N è il numero di tomi di un dt sostnz rdiottiv ll istnte t, llor l legge con cui N vri l vrire di t è dt d: N(t) = N 0 e -t dove N 0 rppresent il numero di tomi presenti ll istnte inizile e è un costnte positiv, dett costnte di decdimento L funzione esponenzile h bse compres tr 0 e 1, (poiché e -t = (e - ) t = (1/e ) t ) quindi è decrescente 12

13 FUNZIONI LOGARITMICHE Tutte le funzioni esponenzili, qulunque si l bse, sono biiettive d R (0, +), quindi sono invertibili Le funzioni inverse delle funzioni esponenzili sono dette funzioni logritmiche Sono le funzioni f: (0, +) R definite d: f() = log con R, >0, 1 dove log, detto logritmo in bse di ( numero positivo), è quel numero rele y tle y = 13

14 Funzioni logritmiche Qule significto h l prol logritmo? Numero dell rgione Qundo è corrett l scrittur log? Si deve vere: >0, 1 e >0 In prticolre è sempre: log 1 =0 e log =1 poiché 0 = 1 e 1 = 14

15 Funzioni logritmiche e loro grfici >1: funzione crescente 0< <1: funzione decrescente

16 Funzioni logritmiche Quli crtteristiche comuni hnno i grfici delle logritmiche? - Dominio: (0, +) - Immgine: R - Sono iniettive - I loro grfici pssno per il punto (1,0) 16

17 e e In ogni funzione logritmic : il vlore dell bse è il punto funzione vle 1 (log =1 sse =) del dominio in cui l

18 Legmi tr funzioni esponenzili e logritmiche con stess bse Per essere funzioni esponenzili e funzioni logritmiche con l stess bse inverse un dell ltr, ne deriv che: log log per ogni rele per ogni rele positivo ogni numero rele si è può esprimere in form di logritmo e ogni numero rele positivo si può esprimere in form di potenz 18

19 SISTEMI DI LOGARITMI Sistem di logritmi neperini o nturli: è l insieme di tutti i logritmi in bse e (è l bse più ust nel clcolo differenzile ed integrle) [simboli usti: ln o log] Sistem di logritmi decimli o volgri o di Briggs: è l insieme di tutti i logritmi in bse 10 (è l bse più comune in mbito pplictivo, è legt ll rppresentzione decimle dei numeri e funzion bene con l notzione scientific) [simboli usti: Log o log 10 ] Sistem di logritmi bse 2 : è l insieme di tutti i logritmi in bse 2 (usti in mbito informtico) 19

20 PROPRIETA DELLE FUNZIONI LOGARITMICHE (tli proprietà esprimono l utilità prtic dei logritmi) Per ogni, b,, y log log log log log (l 5. ( y) ( ( ( y n ) log log log log b b log n 0 e ) log ) log 1, b 1: log y y per ogni R (cso prticolre dell 3. per è not come formul per il cmbiment o di bse) 1 n ) In prticolre:

21 D tenere presente per il clcolo log log positivi: reli, e 1 0 cso log log positivi: reli, e 1 cso 1: 0 cso 1: cso

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23 ESERCIZI 23

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25 Risolvere le seguenti disequzioni rispetto d : 25

26 Definire le funzioni inverse delle seguenti funzioni: f () 3 2 g() ln( 3) h() 1 1 e e 26

27 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

28 Definizioni delle funzioni numeriche seno e coseno Considert nel pino crtesino un circonferenz di rggio 1 e centro nell origine O=(0, 0) (circonferenz goniometric), si A=(1,0) il suo punto di intersezione con il semisse positivo delle X. Si R. Se >0, prtire dl punto A, si percorre l circonferenz in senso ntiorrio fino descrivere un rco di lunghezz (compiendo più di un giro nel cso in cui superi l misur dell circonferenz) e si P il punto di rrivo. Se < 0, prtire dl punto A, si percorre l circonferenz in senso ntiorrio fino descrivere un rco di lunghezz e si P il punto di rrivo. Se =0, P 0 =(1,0) = A.

29 L costruzione precedente ssoci d ogni numero rele uno ed un solo punto P dell circonferenz goniometric, quindi permette di definire un funzione (non numeric). A prtire dll funzione P vengono definite due nuove funzioni, quest volt numeriche, entrmbe di dominio R. funzione seno: y = sen funzione coseno: y = cos ordint di P = sen sciss di P = cos 29

30 Osservzione Ogni rco AP sottende un ngolo l centro dell circonferenz goniometric l cui misur in rdinti è l misur dell rco. Ricordimo che Gli ngoli si misurno in grdi (l unità di misur è l ngolo grdo) o in rdinti (l unità di misur è l ngolo rdinte) Un ngolo rdinte, o rdinte, è l ngolo l centro di un circonferenz che stcc sull circonferenz un rco di lunghezz ugule l rggio (tr rco e rggio, il rpporto è 1). Se il rggio dell circonferenz misur 1, un ngolo rdinte stcc sull circonferenz un rco lungo 1 30

31 Misur in rdinti di un ngolo Dto un ngolo l centro di un circonferenz, l misur in rdinti di tle ngolo è espress dl rpporto tr l misur l dell rco che sottende tle ngolo e l misur r del rggio dell circonferenz. Se il rggio dell circonferenz misur 1, l misur in rdinti dell ngolo coincide con l misur dell rco

32 Corrispondenz tr l misur in grdi e quell in rdinti degli ngoli più comuni Dto un ngolo, si h: 180 : = mis (o) : mis (rd) In prticolre, si ricv che: 1 rd = (180/) ,8 1 = ( /180) rd 0,017 rd Dll misur in grdi quell in rdinti di un ngolo e vicevers Grdi π Rdinti 0 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π

33 Grfici delle funzioni seno e coseno: sinusoide e cosinusoide funzione seno: y = sen funzione coseno: y = cos

34 Proprietà delle funzioni seno e coseno Dominio: R Immgine: [-1, 1] Il seno è funzione dispri, il coseno è funzione pri Sono entrmbe funzione periodiche di periodo 2 [per ogni, sen(+ 2 )= sen e cos(+ 2 )= cos] Non sono iniettive L funzione seno (nell intervllo [0, 2 ]): cresce in (0, /2) e in (3/2, 2 ); decresce in (/2, 3/2); punti di mssimo: = /2 +2k con kz; punti di minimo: - /2 +2k con kz L funzione coseno (nell intervllo [0, 2 ]): cresce in (, 2); decresce in (0, ); punti di mssimo: = 2k con kz; punti di minimo: +2k con kz y = sen y = cos

35 Come vri l vribile dipendente y qundo l vribile ument sempre più o diminuisce sempre più? Not: l loro ntur periodic rende queste funzioni dtte descrivere fenomeni ripetitivi, quli mree, onde sonore, moti di molle oscillnti 35

36 Funzione tngente y = tg = sen /cos = ordint di C (con C punto di intersezione dell rett tngente in A (1,0) ll circonferenz goniometric con l semirett OP ) - È funzione dispri - È periodic di periodo [per ogni, tg(+ )= tg] - Non è iniettiv - È crescente in ogni intervllo del dominio

37 Funzione cotngente y = cotg = cos/sen = 1/tg = sciss di S (con S punto di intersezione dell rett tngente in B (1,0) ll circonferenz goniometric con con l semirett OP ) - È funzione dispri - È periodic di periodo [per ogni, cotg(+ )= cotg] - Non è iniettiv - È decrescente in ogni intervllo del dominio

38 Come vri l vribile dipendente y qundo l vribile ument sempre più o diminuisce sempre più? E nell intorno dei punti in cui le funzioni non sono definite? 0 0

39 Alcune identità trigonometriche Relzione fondmentle: sen 2 + cos 2 =1 Formule di ddizione e sottrzione sen(+y) = sen cosy + cos seny sen(-y) = sen cosy cos seny cos(+y) = cos cosy sen seny cos(-y) = cos cosy sen seny Formule di dupliczione sen2 = 2 sen cos cos2 = cos 2 - sen 2

40 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

41 L invers dell funzione seno: l funzione rcoseno Per convenzione si consider invertibile l funzione seno in [-/2, /2] L funzione invers, f()=rcsen è definit in [-1,1] e l su immgine è [-/2, /2]

42 L invers dell funzione coseno: l funzione rcocoseno Per convenzione si consider invertibile l funzione coseno in [0,] L funzione invers, f()=rccos è definit in [-1,1] e l su immgine è [0,]

43 L invers dell funzione tngente: l funzione rcotngente Per convenzione si consider invertibile l funzione tngente in (- /2, /2) 0 L funzione invers, f()= rctg è definit in R e l su immgine è (-/2, /2)

44 L invers dell funzione cotngente: l funzione rcocotngente Per convenzione si consider invertibile l funzione cotngente in (0, ) 0 L funzione invers, f() = rccotg è definit in R e l su immgine è (0, ) 44