ELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M ELETTRONICA 2 M BIOFISICA APPLICATA M INFORMATICA 2

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Cesarina Castaldo
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1 ELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M ELETTRONICA 2 M BIOFISICA APPLICATA M INFORMATICA 2

2 Lezione n. 2i Derivt Integrle Numeri complessi Fsore Rppresentzione dell esponenzile complesso

3 Asse verticle Derivt di un funzione (1) Su un curv che rppresent l funzione y=f() si considerno due punti P e P definiti d (, y ) e (, y); l pendenz dell rett che pss per i due punti è: y y P P Se si ottiene l tngente nel punto P e l pendenz dell rett che tocc nel punto P l curv è l derivt dell funzione. Asse orizzontle In generle tle pendenz vri con. Per t D(f(t))=velocità istntne

4 Derivt di un funzione (3) Derivt di un costnte? C=1 Pendenz null Derivt = D(c)=

5 Derivt di un funzione (4) Derivt di un funzione linere? y=m=.5 Pendenz costnte (non vri con ) Pendenz pri m Derivt = m D(y)=D(f())=m=.5

6 Derivt di un funzione (4) Derivt di un funzione linere? y=m+c=.5+1 Pendenz pri m (non vri con ) Derivt = m D(y)=D(f())= m=.5

7 Derivt di un funzione (5) D(y) = D(f()) = 2 = Derivt di funzioni qudrtiche y = 2 =.5 2 Pendenz pri m() (vri con ) Derivt = Pendenz = m()=2 y y 2 lim lim lim 2 2 lim y y

8 Derivt di un funzione (5) Derivt di funzioni qudrtiche y = 1 + m 2 = Derivt = Pendenz = m()=2 D(y) = D(f()) = 2 =

9 Derivt di un funzione (6) Derivt di funzioni trigonometriche Y = m sin() = 2 sin() D(y) = D(f()) = 2 cos() y = m cos() = 2 cos() D(y) = D(f()) = -2 sin()

10 Derivt di un funzione (7) y = e D(y) = D(f()) = e

11 Derivte

Integrle indefinito (1) L operzione di integrre può essere prgont determinre il riempimento di un serbtoio medinte il getto d cqu di un rubinetto.

12 Integrle indefinito (1) L operzione di integrre può essere prgont determinre il riempimento di un serbtoio medinte il getto d cqu di un rubinetto. L funzione d integrre è l quntità di cqu che esce dl rubinetto nell unità di tempo (Flusso). Integrzione del flusso signific sommre tutti i contributi di cqu che escono dl rubinetto ottenendo così il volume dell'cqu rccolt nel serbtoio. Flusso [L/s] Volume [L].2 1 L 1 L 5 Tempo [s] 5 Tempo [s] Il Volume dell cqu è funzione del tempo Volume=.2 Tempo

2 Tempo+C Il Volume d cqu è descritto dll integrle indefinito il cui vlore dipende: - d C e - dl Tempo.

13 Flusso [L/s] Volume [L] Integrle indefinito (2) Se il serbtoio inizilmente contiene già C litri di cqu, il volume d cqu nel serbtoio dopo un certo tempo, srà: Volume=.2 Tempo+C Il Volume d cqu è descritto dll integrle indefinito il cui vlore dipende: - d C e - dl Tempo. Medinte l derivt dl Volume dell cqu rccolt si può riottenere il Flusso. L integrle indefinito corrisponde ll operzione di ntiderivt. F().2 Integrle C L 1 L y = f() Derivt C (1+C) L 5 Tempo [s] 5 Tempo [s]

14 Integrle indefinito (3) Considerndo un funzione y=f() definit nell intervllo [, b ]. F() è l ntiderivt di y = f(), se: F() è derivbile in [, b ] e D(F()) = f(). Esistono infinite ntiderivte ottenute ggiungendo un costnte rbitrri C. F() Antiderivt F()+C1) Antiderivt 1 F()+C2 Antiderivt 2 F()+C3 Antiderivt 3 L derivt di ognun di queste ntiderivte d l medesim funzione. D(F()) = D(F()+C1)= D(F()+C2)= D(F()+C3).= f(), Tli funzioni sono specificte con il termine Integrle indefinito: f ( ) d

15 Integrle indefinito (4) Nell Integrle indefinito gli estremi di integrzione (, ) non sono definiti. Fissndo un punto, l re totle è F() = C + A(), dove: C costnte che rppresent l dipendenz d, A() è un re funzione di. Y - ( ) C A f d F F f d C A() b X Y - ( ) C A f d F F f d C A() b X

16 Esempi di integrli indefiniti: Integrle indefinito (6) d C; m d m C; sin( ) d cos( ) C cos( ) d sin( ) C L integrle permette di vlutre ree, volumi, ecc. Per f() l integrle restituisce il vlore dell re compres tr l funzione, l sse orizzontle e i due estremi d integrzione. e d e C; Il simbolo rppresent l S di somm. Per n d e l somm Are A 1 A 2 A 3. A n =( -)/n

17 C = Integrle indefinito (7)

18 Numeri immginri e complessi (1) I numeri complessi sono un estensione dei numeri reli, definit per ottenere tutte le soluzioni delle equzioni polinomili. Ad esempio l equzione: 2 1 Non h soluzioni, in qunto tr i numeri reli non esiste nessun numero il cui qudrto si un numero negtivo. Di conseguenz si definiscono i numeri immginri l cui unità è dt d: j 1 2 j 1 Per cui, d esempio: 2 1 j j2

19 Numeri immginri e complessi (2) Un numero complesso consiste di 2 prti un prte rele e un prte immginri: Z jb Un numero complesso può essere rppresentto grficmente su un pino complesso : sse immginrio b r Z jb sse rele Tle rppresentzione è indict con il termine di fsore r b tn 2 2 sin cos = modulo b

20 sin rg.=1 Numeri immginri e complessi (2) sse immginrio b r cos Z jb r sin Z r cos j sin Formul di Eulero sse rele Z j r e Ci sono 3 modi per esprimere un numero complesso: Z jb Form crtesin Form trigonometric Form esponenzile cos Z r cos j sin Z j r e Il numero complesso è descritto d 2 grndezze: Prte rele (Re[Z]), Prte immginri (Im[Z]) Modulo Z, Fse Modulo Z, Fse Medinte i numeri complessi è possibile semplificre l nlisi dei circuiti con elementi rettivi (condenstori e induttori) e sorgenti sinuoidli.

21 C b b Funzioni trigonometriche Cerchio trigonometrico è un cerchio con rggio unitrio ed è utilizzto per definire le funzioni trigonometriche. P TRIANGOLI SIMILI b P b P b P Sen( ) rggio b Cos( ) rggio ' CP ' '' ; CP '' b ' b'' ; CP ' CP '' ' '' S in( ) Tn( ) b b ' b '' Cos( ) GRANDEZZE ADIMENSIONALI Tn=PENDENZA=m C b rggio 1; Vlore[ sen( )] ; Vlore[cos( )] b;

22 sse immginrio Z 2 j2 b Z 8 cos j sin 4 4 Z 8 j e 4 sse rele

23 sse immginrio Z 3 j1 Z 1 cos.32 j sin.32 b Z 1 e j.32 sse rele

24 sse immginrio Z 1 j3 Z 1 cos(-1.89) j sin(-1.89) Z 1 e j 1.89 sse rele b

25 sse immginrio Z 1 j2 b Z 5 cos2 j sin2 Z 5 e j 2 sse rele

26 Rppresentzione dell esponenzile complesso Equzione di Eulero e j cos jsin Esponenzile complesso Evidenzindo l vribile tempo si ottiene sin jt e cos t j t Si disegn l esponenzile complesso ssegnndo un vlore, pertnto si ottengono due grndezze dipendenti dl tempo cos(t) e sen(t) che possono essere mostrte su un grfico 3 dimensioni.

27 Rppresentzione dell esponenzile complesso L espressione per l esponenzile negtive è scritt come: sin jt e cos t j t A cui corrisponde il seguente grfico tridimensionle:

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