SIMULAZIONE DELLA II PROVA SCRITTA[ 1 ] 30 maggio 2017

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1 SIMULAZIONE DELLA II PROVA SCRITTA[ ] 0 mggio 07 Nome del cndidto _ Clsse Il cndidto risolv uno dei due problemi; il problem d correggere è il numero Problem Il direttore dello zoo di Berlino desider fr costruire uno scivolo (fig. ) d collocre l bordo dell vsc degli orsi. L prete nterior dello scivolo è un superficie pin (trtteggit in fig. ), il cui bordo superiore è l curv AC ; tle curv, in un sistem di riferimento crtesino in cui l unità su entrmbi gli ssi è y = f (fig.) dell form il metro, può essere ben modellizzt come grfico di un funzione ( ) y = f ( ) = ( + b) e con [, 8], ove, b sono numeri interi non negtivi. Durt mssim dell prov: 5 ore. È consentito l uso dell clcoltrice tscbile non progrmmbile. Non srnno consentite uscite prim delle ore :00; l verific non potrà essere consegnt prim delle.0; dopo le ore.0 gli studenti che vrnno consegnto l prov srà consentit l uscit dll istituto. /8

2 . Determin i vlori dei prmetri, b spendo che in A lo scivolo deve vere pendenz null e spendo che l ltezz mssim dello scivolo deve essere compres tr,5 e metri. Giustific i pssggi. Dopo ver trovto i vlori di, b, verific che con questo modello l distnz di C dll superficie su cui poggi l struttur è inferiore cm. Not: nel séguito è fornit psserell per i vlori di, b; pertnto è richiest prticolre precisione nell determinzione degli stessi. D or in vnti utilizzeri per f i vlori di, b trovti nell richiest e che vengono forniti titolo di verific: = 0, b = 0 d cui si h, quindi, y = f ( ) = 0 e con 8. Il direttore vuole fr dipingere l prete nteriore dell struttur che sostiene lo scivolo (ossi quell evidenzit con un trtteggio in fig. ). L prete viene suddivis in tre regioni S, S, S che verrnno dipinte con i colori dell bndier tedesc: S in nero, S in rosso e S in oro (fig. ). Il bordo che sepr S d S è descritto d un funzione dell form ( ) y g c e = = ; il vertice superiore di tle bordo è il punto A ; il bordo che sepr S d S è descritto d un funzione dell form ( ) y r c e d = = ; il vertice superiore di tle bordo è il punto E di sciss. Not: prest ttenzione l ftto che si il bordo descritto d g che quello descritto d r hnno qule punto di sciss mggiore = 8, lddove, osservndo l figur, essi prrebbero terminre in punti di sciss minore di 8, m così non è. L ditt che si occup dell pittur dell prete per effetture il lvoro richiede 50 /m cui v sommto il costo delle vernici; l vernice ross e l vernice ner hnno lo stesso costo, pri 8 /L, m divers res (quntità di vernice, qui in litri, che serve per dipingere un m ): per l vernice ner ess è pri,5 L/m lddove per l ross ess vle, L/m ; l vernice color oro h invece un costo di /L e un res pri, L/m.. Determin i vlori dei prmetri c, d ; clcol i vlori estti delle ree delle regioni S, S, S e clcol infine il costo complessivo che deve sostenere lo zoo per l vernicitur dell prete. Si P un punto del grfico di f distinto d A e si t l rett tngente l grfico di f in P e si α l ngolo cuto che tle rett form con l sse delle (figur ); tle ngolo, vribile l vrire di P, dà un misur dell inclinzione dello scivolo.. Clcol il vlore (estto) m α che viene rggiunto in corrispondenz dell mssim inclinzione e stbilisci se lo scivolo così progettto rispett o meno il vincolo di sicurezz in bse l qule si richiede che α non superi mi i 55. /8

3 Clcol, inoltre, qule distnz H d terr ci si trov nell istnte in cui si trnsit dl punto di mssim inclinzione dello scivolo. L lrghezz (o profondità) dello scivolo non è costnte, m cresce linermente dl vlore inizile dto d AB = m l vlore finle dto d CD = m, ossi le sezioni dell struttur con pini perpendicolri ll sse (e quindi prlleli l pino yz) sono rettngoli l cui dimensione h( ) prllel ll sse delle z vri linermente d m m (figure 5 e 5b).. Clcol il volume, in m, dell struttur che sorregge lo scivolo (fornisci il vlore estto e un vlore pprossimto i centesimi di m ). /8

4 Problem Consider l funzione y = f ( ) = ove è un prmetro rele positivo (si trtt quindi di un fmigli di funzioni dipendenti dl prmetro ).. Effettu lo studio completo dell funzione f (ricordndo che > 0 ) e disegn un grfico che ne fornisc l ndmento qulittivo; si suggerisce di scegliere sull sse delle (e di conseguenz nche sull sse delle y per vere un riferimento monometrico) il vlore qule unità, ricordndo in ogni cso che non è un prmetro metrico, m un numero puro. Detto M il punto di mssimo reltivo dell funzione f, determin inoltre l equzione crtesin dell curv Γ costituit d tli punti l vrire di (ossi determin l equzione del luogo Γ dei punti di mssimo reltivo delle funzioni f ), verificndo in prticolre che y = h di cui si chiede esplicitmente il dominio tle curv è il grfico di un funzione ( ) D h.. Si S l superficie contenente l origine delimitt dl grfico di f, dll sse delle e dll rett r prllel ll sse delle y e pssnte per il punto M. Si W i solido generto dll rotzione complet di S ttorno ll sse delle e si W il solido generto dll rotzione complet di S ttorno ll sse delle y. Determin per qule vlore di (ricordndo che > 0) il rpporto tr i volumi dei solidi W e =.. Consider or l funzione ( ) W vle ; titolo di verific si fornisce tle vlore: y = f = (ossi f è ottenut d f per = ) e il punto Q(,8); determin le equzioni delle rette tngenti l grfico di f condotte d Q; dopo ver consttto che tli rette tngenti sono due, clcol l re dell regione limitt R vente per bordo il grfico di f e le due rette tngenti. y = f = con 0 (ossi f è l restrizione ll intervllo indicto di f, ottenut d f per = ); spieg perché f (intes come = g y l funzione. Consider infine l funzione ( ) funzione tr I = [0,] e f ( I ) è invertibile e successivmente, dett ( ) invers di f, clcol g' riportndo nche gli opportuni riferimenti teorici. /8

5 SIMULAZIONE DELLA II PROVA SCRITTA 0 mggio 07 Nome del cndidto Clsse Il cndidto risolv cinque dei dieci quesiti; i quesiti d correggere sono i numeri: Quesiti 6 + h + se k < 0 = con h,k, l R. le se 0 ln Determin i vlori dei prmetri reli h, k, l in modo tle che f soddisfi le ipotesi del teorem di Rolle sull intervllo I = [k, ln]; utilizzndo i vlori trovti, determin il vlore c di cui il teorem grntisce l esistenz.. Consider l funzione f ( ). Lnci un ddo regolre 0 volte. ) Qunto vle l probbilità che esc esttmente per volte l fcci sei? b) Qunto vle l probbilità che esc lmeno volte l fcci sei? c) Qunto vle l probbilità che esc l mssimo volte l fcci sei? Motiv tutte le risposte. Prendimo in esme l tempertur rilevt in un ufficio in un giornt. Se non si ccende l ri condiziont, l tempertur T, misurt in C, segue l legge ( t 8) T ( t) = + 7 sin π ove T è espress in funzione del numero t di ore trscorso dopo l mezznotte (ossi, di ftto, T è espress in funzione dell orrio t ). ) Si impost il termostto del condiziontore ffinché l tempertur non superi mi i C; il costo orrio del condiziontore è di 0.0 per ogni grdo eccedente i C; qunto mmont l spes in un giornt? α. Si ( ) ( ) F = rctn t dt ; ove α > 0 è un prmetro rele. Clcol, l vrire di α, 0 L lim+ 0 ( ) = F. 5. Nello spzio è fissto un riferimento crtesino ortogonle e monometrico Oyz e sono dti i 5/8

6 punti A(,, ), B(, 0, ), C(,, ) e P( 5,, ), Q( 9,, 0). Scrivi le equzioni del pino α pssnte per A, B, C e dell rett r pssnte per P e Q e fi vedere che l rett r è prllel l pino α; trov quindi l distnz d di r d α. 6. Si consideri quest equzione differenzile: y" + y' + y =. Qule delle seguenti funzioni ne è un soluzione? Si giustifichi l rispost. y = e sen + cos + ) ( ) b) y = e + c) y = e ( sen + cos ) + ( ) d) y e = Osserv il grfico di y = f ( ) funzione continu e derivbile, definit per 0 6 e consider l = funzione integrle F ( ) ( ) 0 f t dt nch ess definit, quindi, per 0 6.Si conoscono le coordinte dei seguenti punti del grfico di f: A ( 0,), B,0 (zero N (punto di minimo per di f), (, ) f), C,0 (zero di f), D 7 6,. Sono note inoltre le ree delle tre regioni limitre S, S, S venti 9 F, F per bordo il grfico di f e l sse : A( S ) =, A( S ) =, ( ) ) Clcol i vlori di F ( 0),, ( 6) F ; 5 7 A S =. b) determin gli intervlli di monotoni e i punti estremnti reltivi (entrmbe le coordinte); c) determin gli intervlli di concvità/convessità e le scisse dei punti di flesso ; d) rppresent un grfico di F coerente con le informzioni trovte. 8. Individu il numero dei punti stzionri dell funzione y = ln m l vrire del prmetro rele m. 6/8

7 9. Un punto mterile si muove lungo un rett; fissto sull rett un sistem di riferimento, l posizione s (misurt in metri) occupt dl punto mterile in funzione del tempo t (misurto s = s t con t 0 che non viene fornit. È noto in secondi) srà espress dll legge orri: ( ) che ll istnte t = 0 si h s = 0 (ossi il corpo prte dll origine) ed è dt l legge che esprime 9 t l velocità in funzione del tempo v = v( t) = t + con t 0, dell qule viene riportto nche il grfico: ) Clcol l ccelerzione possedut dl punto mterile dopo s. b) Clcol lo spostmento s effettuto dl corpo nei primi 8 secondi e l distnz d effettivmente percors nei primi 8 secondi. y = f = 0. Scrivi l equzione dell circonferenz Γ tngente l grfico dell funzione ( ) nel suo punto di flesso E e sull qule l sse y individu un dimetro. 7/8

8 GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLA PROVA SCRITTA DI MATEMATICA CRITERI COMPRENSIONE e CONOSCENZA Comprensione dell richiest. Conoscenz dei contenuti mtemtici. ABILITA' LOGICHE e RISOLUTIVE Abilità di nlisi. Uso di linguggio pproprito. Scelt di strtegie risolutive degute. CORRETTEZZA dello SVOLGIMENTO Correttezz nei clcoli. Correttezz nell'ppliczione di Tecniche e Procedure nche grfiche. ARGOMENTAZIONE Giustificzione e Commento delle scelte effettute. Problem A (Vlore mssimo ttribuibile 75) Problem B (Vlore mssimo ttribuibile 75) Quesiti (Vlore mssimo ttribuibile 75/50 = 55) Q Q Q Q Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q0 (0-0) (0-0) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-0) (0-0) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-0) (0-0) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-5) (0-5) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) (0-) P.T. Punteggio totle Clcolo del punteggio Totle PUNTEGGIO PROBLEMA PUNTEGGIO QUESITI PUNTEGGIO TOTALE Tbell di conversione dl punteggio grezzo l voto in quindicesimi Punti Voto/ Punti Voto/ Voto ssegnto _ /5 Voto ssegnto _ /0 Il docente 8/8