Classe Il candidato risolva uno dei due problemi; il problema da correggere è il numero

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1 Ministero dell Istruzione, dell Università e dell Ricerc M557 EAME DI TATO DI ITRUZIONE ECONDARIA UPERIORE IMULAZIONE DELLA II PROVA A : Liceo Fermi, 6 mggio 07 Indirizzi: LI0 CIENTIFICO, LI0- CIENTIFICO - OPZIONE CIENZE APPLICATE Tem di: MATEMATICA Nome del cndidto Clsse Il cndidto risolv uno dei due problemi; il problem d correggere è il numero PROBLEMA Il direttore dello zoo di Berlino desider fr costruire uno scivolo (fig. ) d collocre l bordo dell vsc degli orsi. Figur L prete nteriore dello scivolo è un superficie pin (trtteggit in fig. ), il cui bordo superiore è l curv AC; tle curv, in un sistem di riferimento crtesino in cui l unità su entrmbi gli ssi è il metro, può essere ben modellizzt come grfico di un funzione y = f ( ) (fig. ) dell form = + con [,8] f ( ) ( b) e, ove, b sono numeri interi non negtivi. Figur. Determin i vlori dei prmetri, b spendo che in A lo scivolo deve vere pendenz null e spendo che l ltezz mssim dello scivolo deve essere compres tr,5 e metri. Giustific i pssggi. Dopo ver trovto i vlori di, b, verific che con questo modello l distnz di C dll superficie su cui poggi l struttur è inferiore cm. Not: nel séguito è fornit psserell per i vlori di,b; pertnto è richiest prticolre precisione nell determinzione degli stessi. Durt mssim dell prov: 5 ore. È consentito l uso dell clcoltrice tscbile non progrmmbile. Non srnno consentite uscite prim delle ore 0.0; l verific non potrà essere consegnt prim delle.5; dopo le ore.5 gli studenti che vrnno consegnto l prov srà consentit l uscit dll istituto.

2 D or in vnti utilizzeri per f i vlori di, b trovti nell richiest e che vengono forniti titolo di verific: = 0, b = 0 d cui si h, quindi, f ( ) = 0 e con 8. Il direttore vuole fr dipingere l prete nteriore dell struttur che sostiene lo scivolo (ossi quell evidenzit con un trtteggio in fig. ). L prete viene suddivis in tre regioni,, che verrnno dipinte con i colori dell bndier tedesc: in nero, in rosso e in oro (fig. ). Il bordo che sepr d è descritto d un funzione dell form y = g( ) = c e ; il vertice superiore di tle bordo è il punto A; il bordo che sepr d è descritto d un funzione dell form vertice superiore di tle bordo è il punto E di sciss. d y = r( ) = c e ; il Not: prest ttenzione l ftto che si il bordo descritto d g che quello descritto d r hnno qule punto di sciss mggiore = 8, lddove, osservndo l figur, essi prrebbero terminre in punti di sciss minore di 8, m così non è. L ditt che si occup dell pittur dell prete per effetture il lvoro richiede 50 /m cui v sommto il costo delle vernici; l vernice ross e l vernice ner hnno lo stesso costo, pri 8 /L, m divers res (quntità di vernice, qui in litri, che serve per dipingere un m ): per l vernice ner ess è pri,5 L/m lddove per l ross ess vle, L/m ; l vernice color oro h invece un costo di /L e un res pri, L/m.. Determin i vlori dei prmetri c, d ; clcol i vlori estti delle ree delle regioni,, e clcol infine il costo complessivo che deve sostenere lo zoo per l vernicitur dell prete. Figur i P un punto del grfico di f distinto d A e si t l rett tngente l grfico di f in P e si α l ngolo cuto che tle rett form con l sse delle (figur ); tle ngolo, vribile l vrire di P, dà un misur dell inclinzione dello scivolo.. Clcol il vlore (estto) α m che viene rggiunto in corrispondenz dell mssim inclinzione e stbilisci se lo scivolo così progettto rispett o meno il vincolo di sicurezz in bse l qule si richiede che α non superi mi i 55. Clcol, inoltre, qule distnz H d terr ci si trov nell istnte in cui si trnsit dl punto di mssim inclinzione dello scivolo. Figur

3 L lrghezz (o profondità) dello scivolo non è costnte, m cresce linermente dl vlore inizile dto d AB = m l vlore finle dto d CD = m, ossi le sezioni dell struttur con pini perpendicolri ll sse (e quindi prlleli l pino yz) sono rettngoli l cui dimensione h( ) prllel ll sse delle z vri linermente d m m (figure 5 e 5b). Figur 5 visione dll lto: A,B,C,D sono le proiezioni di A,B,C,D nel pino z Figur 5b. Clcol il volume, in m, dell struttur che sorregge lo scivolo (fornisci il vlore estto e un vlore pprossimto i centesimi di m ).

4 PROBLEMA : Consider l funzione y f fmigli di funzioni dipendenti dl prmetro ). = ( ) = ove è un prmetro rele positivo (si trtt quindi di un. Effettu lo studio completo dell funzione f (ricordndo che > 0) e disegn un grfico che ne fornisc l ndmento qulittivo; si suggerisce di scegliere sull sse delle (e di conseguenz nche sull sse delle y per vere un riferimento monometrico) il vlore qule unità, ricordndo in ogni cso che non è un prmetro metrico, m un numero puro. Detto M il punto di mssimo reltivo dell funzione f, determin inoltre l equzione crtesin dell curv Γ costituit d tli punti l vrire di (ossi determin l equzione del luogo Γ dei punti di mssimo reltivo delle funzioni f ), verificndo in prticolre che tle curv è il grfico di un funzione y = h( ) di cui si chiede esplicitmente il dominio D h.. i l superficie contenente l origine delimitt dl grfico di f, dll sse delle e dll rett r prllel ll sse delle y e pssnte per il punto M. i W il solido generto dll rotzione complet di ttorno ll sse delle e si W il solido generto dll rotzione complet di ttorno ll sse delle y. Determin per qule vlore di (ricordndo che > 0) il rpporto tr i volumi dei solidi W e W vle ; titolo di verific si fornisce tle vlore: =.. Consider or l funzione y = f( ) = (ossi f è ottenut d f per = ) e il punto Q (,8); determin le equzioni delle rette tngenti l grfico di f condotte d Q; dopo ver consttto che tli rette tngenti sono due, clcol l re dell regione limitt R vente per bordo il grfico di f e le due rette tngenti.. Consider infine l funzione y = f ( ) = con 0 (ossi f è l restrizione ll intervllo indicto di f, ottenut d f per = ); spieg perché f (intes come funzione tr I = [0, ] e f ( I )) è invertibile e successivmente, dett = g( y) l funzione invers di f, clcol g ', riportndo nche gli opportuni riferimenti teorici.

5 Ministero dell Istruzione, dell Università e dell Ricerc M557 EAME DI TATO DI ITRUZIONE ECONDARIA UPERIORE IMULAZIONE DELLA II PROVA A : Liceo Fermi, 6 mggio 07 Indirizzi: LI0 CIENTIFICO, LI0- CIENTIFICO - OPZIONE CIENZE APPLICATE Tem di: MATEMATICA Nome del cndidto Clsse Il cndidto risolv cinque dei dieci quesiti; i quesiti d correggere sono i numeri:. Consider l funzione 6 + h + se k < 0 f ( ) = l e se 0 ln con h, k, l R. ) Determin i vlori dei prmetri reli h, kl, in modo tle che f soddisfi le ipotesi del teorem di Rolle sull intervllo I = [ k, ln ] ; utilizzndo i vlori trovti, determin il vlore c di cui il teorem grntisce l esistenz. b) Clcol, se esistono, le coordinte dei punti P del grfico di f in cui l rett tngente t è perpendicolre ll rett r : + 6y = 0.. Lnci un ddo regolre 0 volte. ) Qunto vle l probbilità che esc esttmente per volte l fcci sei? b) Qunto vle l probbilità che esc lmeno volte l fcci sei? c) Qunto vle l probbilità che esc l mssimo volte l fcci sei? Motiv tutte le risposte.. Prendimo in esme l tempertur rilevt in un ufficio in un giornt. e non si ccende l ri π ( t 8) condiziont, l tempertur T, misurt in C, segue l legge T ( t) = + 7sin ove T è espress in funzione del numero t di ore trscorso dopo l mezznotte (ossi, di ftto, T è espress in funzione dell orrio t). ) i impost il termostto del condiziontore ffinché l tempertur non superi mi i ; il costo orrio del condiziontore è di 0.0 per ogni grdo eccedente i ; qunto mmont l spes in un giornt? b) e invece si impost il condiziontore ffinché l tempertur non superi i 5,5 C e solo tr le 8.00 e le 7.00 (orrio di pertur degli uffici), qunto mmont l spes in un giornt? ( ) rctn α. i Fα = ( t ) dt; ove 0 0 Fα ( ) α > è un prmetro rele. Clcol, l vrire di α, Lα = lim

6 5. Nello spzio è fissto un riferimento crtesino ortogonle e monometrico Oyz e sono dti i punti A(,, ), B(, 0, ), C(,, ) e P( 5,, ), Q( 9,, 0). ) crivi le equzioni del pino α pssnte per A, B, C e dell rett r pssnte per P e Q e f vedere che l rett r è prllel l pino α ; trov quindi l distnz d di r d α. b) i R un rbitrrio punto sull rett r; clcol il volume del tetredro ABCR. 6. Il robot in figur è costituito d due brcci consecutivi ciscuno di lunghezz pri m e ggnciti nel punto B. Il brccio AB è incernierto l terreno nel punto A, mentre l prte finle del secondo brccio BC termin con un pinz, post in C, che fferr gli oggetti. Il progrmm di controllo del robot f sì che l ngolo D AB = che il brccio AB form con il terreno si mnteng sempre ugule ll ngolo EBC che il secondo brccio BC form con il prolungmento del primo (e con l orientmento indicto in figur). ) Determin l espressione nlitic dell funzione y = h( ) che esprime in funzione di l ltezz h( ) dell pinz rispetto l suolo; specific il dominio dell funzione h, ossi le limitzioni che deve soddisfre. b) Clcol l mssim ltezz h m che può essere rggiunt dll pinz (è sufficiente fornire il vlore pprossimto i centimetri). 7. Osserv il grfico di y = f ( ) funzione continu e derivbile, definit per 0 6 e consider l funzione integrle F( ) = f ( t) dt nch ess 0 definit, quindi, per 0 6. i conoscono le coordinte dei seguenti punti del grfico di f : A (0;), B ;0 (zero di f ), N(; ) (punto di minimo per f ), C ;0 (zero di f ), D 7 6;. ono note, inoltre, le ree delle tre regioni limitte,, venti per bordo il grfico f e l'sse : A ( ) =, A ( ) = e A ( ) =. Clcol il mggior numero possibile di vlori estti di F, determin gli intervlli di monotoni e i punti estremnti reltivi (entrmbe le coordinte), gli intervlli di concvità/convessità e le scisse dei punti di flesso ed infine rppresent un grfico di F coerente con le informzioni trovte. 6

7 f = m l vrire del 8. Individu il numero dei punti stzionri dell funzione ( ) ln ( ) prmetro rele m; stbilisci inoltre l ntur di tli punti. 9. Un punto mterile si muove lungo un rett; fissto sull rett un sistem di riferimento, l posizione s (misurt in metri) occupt dl punto mterile in funzione del tempo t (misurto in secondi) srà espress dll legge orri: s = s( t) con t 0 che non viene fornit. È noto che ll istnte t = 0 si h s = 0 (ossi il corpo prte dll origine) ed è dt l legge che esprime l velocità in funzione del tempo 9 t v = v( t) = t + con t 0, dell qule viene riportto nche il grfico: ) Clcol l ccelerzione possedut dl punto mterile dopo s. b) Clcol lo spostmento s effettuto dl corpo nei primi 8 secondi e l distnz d effettivmente percors nei primi 8 secondi. 0. crivi l equzione dell circonferenz Γ tngente l grfico dell funzione punto di flesso E e sull qule l sse y individu un dimetro. = ( ) = nel suo y f 7