Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2

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1 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it PROBLEMA Sono dti: un circonferenz di centro O e dimetro AB e tngente t prllel l dimetro. Si prolungno i rggi OA ed OB di due segmenti uguli AP e BQ e di punti P e Q si conducono le tngenti ll semicirconferenz, che intersecno l rett t rispettivmente nei punti M ed N.. Si provi che l re S dell superficie del solido generto in un rotzione complet del trpezio PQNM ttorno ll rett PQ, è dt d: cos S sin. Si studi l funzione f S e se ne trcci il grfico nell intervllo, mettendo in evidenz l prte di grfico comptibile con i dti del problem.. Si verifichi che G ln tn è un funzione primitiv di g sin 4. Si clcoli l re dell superficie pin, delimitt dll curv, dll sse e dlle rette di equzione e RISOLUZIONE

2 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Punto Considerimo l figur sottostnte rppresentnte l geometri del problem. M N t K P A H O B Q L superficie lterle del solido ottenuto dll rotzione del trpezio isoscele PQNM ttorno ll rett PQ è dto dll somm del doppio dell superficie lterle del cono di potem MP e rggio di bse MH e del cilindro di ltezz MN e rggio di bse MH, S SL,Cono SL,Cilindro MH MP MH MN. MH MP MN MH l superficie d trovre srà S MP MN Poiché.

3 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it L trcci non ci dice qule ngolo deve vere mpiezz, per cui nostr scelt ponimo MPH ˆ con ; pplicndo il teorem dei tringoli rettngoli l tringolo MPH si h MH MP sin MP ; pplicndo lo stesso teorem l sin tringolo KPO si h KO PO sin PO. Per differenz sin cos OH PO PH, per cui sin tn sin cos MN OH. L superficie totle srà quindi: sin cos cos S MP MN sin sin. sin Punto S cos in, Studimo l funzione f sin Dominio: sin k k Z ; in prticolre nell intervllo,, l condizione k k Z divent per cui il dominio è,, ; Intersezione sse scisse: non ve ne sono in qunto l equzione cos non h soluzioni in R; Intersezione sse ordinte: non ve ne sono in qunto non pprtiene l dominio; Simmetrie: l funzione è periodic di periodo T e dispri in cos qunto cos f f ; sin sin Positività: f sin, in qunto cos R, ;

4 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Asintoti verticli: cos cos lim, lim, sin sin per cui le rette cos cos lim, lim sin sin,, sono sintoti verticli; Asintoti orizzontli: non ve ne sono in qunto l funzione è periodic e limitt; Asintoti obliqui: non ve ne sono in qunto l funzione è periodic e limitt; Crescenz e decrescenz: l derivt prim è sin cos cos cos f ' ; studimo il segno sin sin dell derivt prim: N : cos cos rccos rccos D : sin f ' rccos rccos qudro dei segni è di seguito presentto: Il cos sin rccos 4

5 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Dl qudro soprstnte deducimo che l funzione present un minimo reltivo in m rccos, 5 e un mssimo reltivo in M rccos, 5 ; Concvità e convessità: l derivt second è cos 4cos f '' per cui sin f '' sin sin, in qunto 4cos R,, e verso il bsso in. Quindi l funzione present, e non present flessi. Il grfico nell intervllo, è di seguito presentto: cos concvità verso l lto in L geometri del problem imporrebbe il grfico è, ; in questo intervllo 5

6 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Punto Sfruttndo le relzioni trigonometriche, scrivimo l funzione sin tn come sin. tn Clcolimo le primitive dell integrle indefinito F d. sin Con l sostituzione t tn rctn t d dt divent: t dt F d dt t c c t t ln ln tn ; sin t t posto c= ricvimo l primitiv G ln tn. 6

7 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Punto 4 L re richiest è: cos cos d d ln tn ln sin sin sin sin ln tn ln sin ln tn ln sin ln ln 4 6 ln ln 9 ln ln ln

8 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it PROBLEMA Si consideri l funzione: log f. Si studi tle funzione e si trcci il suo grfico su un pino riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli O.. Si scriv l equzione dell rett tngente nel punto di flesso e l equzione dell perpendicolre ll suddett tngente, che determin con ess e con l direzione positiv dell sse un tringolo vente re 4.. Si clcoli l re dell superficie pin, delimitt dll curv, dll tngente in flessionle e dll rett di equzione. 4. Dopo ver verificto che sono soddisftte le condizioni di invertibilità, si ricvi l espressione nlitic dell funzione invers g dell funzione dt. Punto RISOLUZIONE Studimo l funzione f ln Dominio: R risolvendo i quli si h: R ; R Intersezione sse scisse: ln ; posto, 8

9 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it elevndo l qudrto mbo i membri ottenimo l equzione ; Intersezione sse ordinte: f ln ; Simmetrie: l funzione non è né pri né dispri; Positività: ln f le cui soluzioni sono dte dll unione delle soluzioni dei seguenti sistemi R Asintoti verticli: non ve ne sono in qunto il dominio è R; Asintoti orizzontli: non ve ne sono in qunto lim ln ln, lim ln ln F. I lim ln ln lim ln ln ln Asintoti obliqui: non ve ne sono in qunto ln Hospitl lim lim lim lim 9

10 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Crescenz e decrescenz: l derivt prim è f ' che risult essere sempre positiv in tutto R; quindi l funzione è sempre crescente; Concvità e convessità: l derivt second è f '' per f in qunto cui '' R. Quindi l funzione present concvità verso l lto in, e verso il bsso in, e present un flesso tngente obliqu in F, con tngente in flessionle di equzione m con m f ' ; l tngente quindi h equzione. Il grfico è di seguito presentto:

11 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Punto L tngente in flessionle h equzione come dimostrto l punto. L perpendicolre suddett tngente h equzione generic q ; determinimo q in modo che l re del tringolo formto dell tngente, dll perpendicolre d ess e dll sse positivo delle scisse si pri 4. Notimo che poiché il tringolo deve essere formto con l direzione positiv delle scisse deve versi q. Considerimo l figur di seguito rppresentnte l geometri del problem. L tngente in flessionle e l perpendicolre d ess si incontrno nel q q punto,. L bse del tringolo AOB è OA q mentre l ltezz è pri q S AOB ; ll ordint di B cioè q cui corrisponde un re pri 4 S q 4 ricvimo q 4; poiché deve essere imponendo AOB 4

12 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it q l soluzione ccettbile è q 4 cui corrisponde un perpendicolre ll tngente di equzione 4. Punto L re richiest è pri S ln d. Ricordndo che l derivt prim dell funzione f ln è f ' e pplicndo l integrzione per prti l secondo integrndo si h: S ln d ln d ln 5 ln ln Punto 4 L funzione f ln è strettmente crescente in tutto R vendo derivt prim f ' sempre positiv in tutto il dominio R, quindi è invertibile. Clcolimo l invers: ln e e Posto e e è possibile elevre l qudrto mbo i membri, ottenendo:

13 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it e e e e g e e e sinh cioè l funzione invers non è ltro che il seno iperbolico. Notimo che l condizione e è in questo cso sempre verifict in qunto equivle e e e e e e e e disequzione quest ultim soddisftt R.

14 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it QUESTIONARIO Quesito Due osservtori si trovno i lti opposti di un grttcielo, livello del suolo. L cim dell edificio dist 6 metri dl primo osservtore, che l vede con un ngolo di elevzione di 5. Se il secondo individuo si trov 65 metri dll cim del grttcielo, qule è l distnz tr i due osservtori ( non tenendo conto dell ostcolo grttcielo)? Si consideri l figur seguente rppresentnte l geometri del problem. Bisogn clcolre l distnz AB; posto AB ed pplicndo il teorem di Crnot l tringolo AOB si h AB AO AB AO cos l equzione divent OÂB OB ; sostituendo i vlori 4

15 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it 6 6cos ,49 m ,47 m Poiché i due osservtori si trovno i lti opposti del grttcielo, l soluzione ccettbile è AB 46,49 m. Quesito Si clcoli il limite dell funzione ctg ( tg) qundo tende. Posto tn, se llor t, per cui il limite srà: t lim t cot n tn lim e t t 5

16 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Quesito In qunti modi persone possono disporsi su dieci sedili llineti? E ttorno d un tvolo circolre? E' un problem clssico del clcolo combintorio. Nei tnti modi in cui le persone possono sedersi cont l'ordine quindi stimo prlndo di disposizioni. Poiché devo fre gruppi ordinti di persone disponendo proprio persone stimo prlndo di permutzioni. L soluzione è dt d D! , Considerimo or il cso in cui debbno sedersi in cerchio. Per ciscuno dei modi sedersi esistono ltri nove modi del tutto equivlenti ottenuti ruotndo tutti i posti llo stesso modo. In sostnz i possibili modi possono essere rggruppti quindi i possibili modi di sedersi in cerchio sono D,! 9!

17 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Quesito 4 Si dimostri che ogni funzione f ( ) b c d dove, b, c, d sono vlori reli con, h un mssimo e un minimo reltivi oppure non h estremnti. L cubic di equzione l prbol ' b c b c d h come derivt prim. L equzione ' h per soluzioni: b b c soluzioni reli distinte, se b c ; b soluzioni reli coincidenti, se b c ; b i b c soluzioni complesse coniugte, se. Nel cso in cui le soluzioni fossero reli e distinte, l funzione srebbe: se crescente in b b c b b c,, decrescente in b b c b b c, se decrescente in b b c b b c,, crescente in b b c b b c, 7

18 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Nel cso l cubic presenterebbe quindi un mssimo reltivo ll sciss b b c e un minimo reltivo ll sciss b b c, mentre se un minimo reltivo ll sciss b b c e un mssimo reltivo ll sciss b b c. In questi csi l funzione presenterebbe, oltre i due estremnti suddetti, nche un flesso tngente obliqu ll sciss b F. Se le due soluzioni fossero reli e coincidenti o complesse coniugte, l funzione srebbe strettmente crescente in tutto il dominio R, per cui non vi srebbero estremnti in questi csi; in prticolre in presenz di soluzioni reli l funzione presenterebbe solo un flesso tngente b orizzontle ll sciss F mentre in presenz di soluzioni complesse coniugte l funzione presenterebbe solo un flesso tngente b obliqu ll sciss F. 8

19 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Quesito 5 Si clcoli il volume del solido generto d un rotzione complet A,, B 6,4, C 6,6. ttorno ll sse del tringolo di vertici Si consideri l figur sottostnte: 6 C 4 B A A - B -6 C Il volume richiesto è dto dll differenz tr i volumi dei tronchi di cono AA C C e AA B B: V h R r Rr h R' r' R' r'

20 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Quesito 6 I vertici di un tringolo sono: O,, A,, B,. Si trovi l equzione dell circonferenz inscritt nel tringolo OAB e quell dell circonferenz ' d esso circoscritt. Considerimo l figur sottostnte. L equzione generic di un circonferenz è b c o equivlentemente h k R dove k h, è il centro ed R il rggio. Trovimo l equzione dell circonferenz circoscritt l tringolo di vertici O(,), A(,), B(,) imponendo il pssggio per i tre punti, utilizzndo l equzione generic b c :

21 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it 4 c b c b c b c cui corrisponde un circonferenz circoscritt di equzione. Per qunto rigurd l circonferenz circoscritt, il rggio è pri l rpporto tr re e semiperimetro, p S R mentre il centro si troverà certmente sull rett CB essendo quest ultim bisettrice del tringolo isoscele rettngolo OAB, per cui, D. L equzione srà quindi: Quesito 7 Si verifichi che l cubic di equzione 7 è simmetric rispetto l suo punto di flesso. L cubic di equzione 8 7 h le seguenti derivte prim e second: 6 '' ' R per cui present un flesso tngente orizzontle in 8, F. Per dimostrre che ess è simmetric rispetto d 8, F, bst provre che, pplicndo l trsformzione Y X Y X F F 6, ritrovimo l curv originri. Si h X X X Y che coincide con l cubic di prtenz.

22 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Quesito 8 Si dimostri che l equzione e h un unic rdice rele e se ne clcoli un vlore pprossimto con due cifre decimli estte. L funzione f e h dominio R D ed vendo derivt prim f ' e sempre negtiv è strettmente decrescente in tutto il dominio. Inoltre poiché 4 f e, f 4 e 4, llor per il teorem degli zeri esiste lmeno un punto, in cui l funzione si nnull; l 4 strett decrescenz comport che questo punto è unico. E possibile clcolre lo zero ttrverso vri metodi. Utilizzeremo il metodo delle tngenti o di Newton-Rphson in,. 4 Ricvimo ricorsivmente il vlore pprossimto medinte l formul n n n f n n ne n ne ne n n n n n f ' n ne ne con punto inizile in qunto f ed f '' sono concordi. L tbell seguente mostr tutti i pssi dell lgoritmo: n n n n n n e ne e n n n n ne,5,56,56,567,6,567,567,5,567

23 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it Il vlore pprossimto con due cifre decimli estte e con l terz stbilizzt sul 7 è quindi, 567. Quesito 9 Un rppresentnz di cinque persone deve essere scelt cso tr dieci uomini e tre donne. Qul è l probbilità che il comitto si costituito d tre uomini e due donne? L probbilità richiest è!! 7!!!!! 5 8!5! Quesito Si dt l ellisse di equzione: b e il rombo in ess inscritto, con i vertici coincidenti con quelli dell ellisse. Si scelg cso un punto ll interno dell ellisse: si determini l probbilità che tle punto risulti esterno l rombo L probbilità richiest l si può clcolre come complementre dell probbilità che il punto scelto cso pprteng l rombo, P E P E dove E P rombo e E P rombo probbilità. L P E l si può clcolre come rpporto tr l re del rombo e quell dell ellisse, per cui PE PE A Rombo. Il rombo h le A Ellisse digonli pri rispettivmente d, d b per cui l re srà d d A Rombo b ; per il clcolo dell re dell ellisse, per

24 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it simmetri, ess è pri l qudruplo dell re S del lobo dell ellisse nel primo qudrnte, A Ellisse 4S. A tl rigurdo, l ellisse nel primo b qudrnte è definit dll equzione in form esplicit ; b l re del lobo nel primo qudrnte è pri llor S d ; pplicndo l integrzione per prti si h: b b b S d d b b d b b b d d b b d b d b b d brcsin S d b b b rcsin b b rcsin 4 b L re dell ellisse è quindi A Ellisse 4 S 4 b, per cui l 4 b probbilità richiest è P E PE 6,4%. b 4