Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1

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1 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche: volume σ re di se σ l re lterle σ t re totle h ltezz r rggio del cerchio inscritto R rggio del cerchio circoscritto Le linee nscoste srnno indicte d linee trtteggite revi Le linee usilirie disegnte per costruzione d linee trtteggite lunghe indic il termine del testo indic il termine dell soluzione di un prolem indic un not reltiv ll costruzione dell figur Teorem delle perpendicolri: dt un rett r perpendicolre d un pino in un punto e un rett s se si trcci d l perpendicolre n s l rett s risult perpendicolre l pino nr ngolo tr un rett e un pino: si trov proiettndo un punto dell rett nel pino e considerndo l ngolo formto di due punti con l intersezione tr rett e pino isur di un ngolo diedro: per misur di un ngolo diedro (regione di spzio compres tr due semipini) si intende l misur dell ngolo di un qulsisi su sezione normle. I lti di se di un prllelepipedo se rettngolre vlgono rispettivmente e. eterminre l superficie lterle σ del prllelepipedo spendo che l digonle del prllelepipedo form un ngolo con l se. Il rettngolo di se è rppresentto d un prllelogrmm. L ngolo tr l digonle e l se si ottiene proiettndo il punto sull se il che ci port ll ngolo. on riferimento ll figur si h che σ ( + ) h. h '' ' tn Inoltre: ' + e pertnto: σ ( + ) h ( + ) + tn. In un prism esgonle regolre l digonle mggiore di lunghezz d form un ngolo con lo spigolo lterle cui si riferisce. eterminre il volume del prism. Per rppresentre un esgono regolre st costruire un prllelogrmm e quindi prolungrne i lti e l digonle per ottenere gli ltri vertici. Il vertice d cui si effettuno i prolungmenti costituisce il centro dell esgono regolre. Per stilire un F confronto tr le diverse digonli st proiettrle sull se ottenendo le digonli dell esgono che risultno fcilmente confrontili. on riferimento ll figur le digonli mggiori risultno essere e tutte quelle che, proiettte sull se corrispondono d unire vertici intervllti d ltri due vertici. Il volume σ h. h d cos mentre l re σ può essere determint ttrverso d sin. F In effetti l esgono regolre è formto d 6 tringoli equilteri di lto / d/ sin e l ltezz di ciscuno vle il lto. Pertnto σ 6 d sin d sin 8 d sin. Si ottiene così: σ h 8 d sin d cos 8 d sin cos Per completezz di trttzione viene rppresentt l funzione f() con ] 0,π/[ ssumendo d come unità di misur.

2 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg.. In un pirmide regolre se qudrt lo spigolo lterle di lunghezz s form con il pino di se un ngolo. eterminre il volume dell pirmide. Il qudrto viene rppresentto come un prllelogrmm e l ltezz dell pirmide viene elevt dl punto di intersezione delle digonli (centro del qudrto) e ciò consente nche di rppresentre l ngolo tr lo spigolo e l se. L potem dell pirmide è individuto dl segmento che unisce il punto medio del lto con il vertice dell pirmide. Per determinre il volume ci occorrono l ltezz h e il lto l che sono entrmi determinili ttrverso lo spigolo e l su inclinzione. In effetti: h s sin e, tenendo conto delle proprietà del qudrto, l s cos Si ottiene pertnto: l h s cos s sin s sin cos che, tendo conto delle formule di dupliczione del seno si può nche scrivere: s sin cos 4. L superficie lterle di un pirmide regolre se qudrt vle σ e l ltezz è h. eterminre il lto l del qudrto di se. Si f riferimento ll figur dell esercizio precedente. L superficie lterle dell pirmide è pri 4 volte l re del tringolo ed ess su volt dipende dll ltezz e dl lto; inftti se indichimo con l il lto, con l potem, e con h l ltezz si h, pplicndo il teorem di Pitgor e le proprietà del qudrto: σ σ l h + (l/) l h + l 4 e d qui si rriv ll equzione iqudrtic l h l - σ 0 opo ver osservto che /4 4 h 4 + σ > 0 e che devono essere si l si l positivi e che è sempre 4h + σ - h > 0 si rriv ll unic soluzione l 4h + σ - h 5. imostrre che se tutti gli spigoli di un pirmide formno ngoli uguli con l se llor essi sono tutti uguli, l se è circoscriviile, l ltezz dell pirmide pss per il centro del cerchio circoscritto. Si indichi con il piede dell ltezz e si considerino i tringoli rettngoli,, ssi sono tutti uguli perché sono rettngoli, hnno gli ngoli in,, congruenti per ipotesi e hnno il lto in comune. Pertnto sono congruenti tutti gli spigoli,, e i cteti,,. per quest ultim rgione il poligono di se è circoscriviile (non è detto che si regolre) e il punto è il centro di tle circonferenz. Si osservi ulteriormente che l circonferenz nell proiezione prllel viene rppresentt medinte un ellisse. 6. eterminre il volume e l re lterle σ di un pirmide regolre se esgonle di cui sono noti lo spigolo l e il rggio r dell circonferenz inscritt ll se. r l - 4r σ r l - r 7. eterminre l ltezz di un tetredro regolre di dto volume.

3 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. Il tetredro srà rppresentto prtire d un tringolo qulsisi per il qule è però essenzile individure correttmente il centro (punto di incontro delle medine che conservno l divisione : nel rpporto di divisione). Si trov h 8. In un prllelepipedo l se è un prllelogrmm di lti e e ngolo cuto. Spendo che l digonle mggiore dell se è ugule ll digonle minore del prllelepipedo determinre il volume. sin () cos 9. Lo spigolo lterle di un pirmide regolre tringolre vle l e l ltezz è h. eterminre l misur dell ngolo diedro formto con l se. Per l pirmide regolre se tringolre vle l stess costruzione che si dà per il tetredro con l differenz che le fcce lterli sono quest volt dei tringoli isosceli invece che equilteri. L ngolo diedro ϕ si misur costruendo un pino ortogonle lle due fcce che costituiscono il diedro; llo scopo st proiettre il vertice dell pirmide sull se e d questo punto mndre l perpendicolre l lto; per il teorem delle perpendicolri si ottiene un pino perpendicolre l lto e cioè un sezione normle del diedro Nel cso prticolre del prolem le tre medine sono uguli e in se l teorem sul ricentro se ci riferimo l tringolo rettngolo si h ½ l - h tn ϕ h h l - h l - h e pertnto ½ 0. eterminre il volume di un pirmide regolre se qudrt conoscendo l ngolo tr lo spigolo lterle e il pino di se e l re σ dell figur determint dl pino pssnte per il vertice e per l digonle dell se. eterminre infine l ngolo ϕ formto dlle fcce lterli con l se. v σ / tn tn ϕ tn. Un pirmide regolre h come se un poligono con somm degli ngoli interni pri 540. opo ver stilito di qule poligono si trtti, disegnre l figur e determinre il volume conoscendo lo spigolo l e l su inclinzione rispetto ll se. Se l somm degli ngoli interni è 540 il poligono è un pentgono. Inftti, tenendo conto che il poligono può essere decomposto in n tringoli unendo i vertici con un punto interno e che l ngolo giro vle 60 si h sempre n + 60 n 80 e dunque n - n 80 n + 60 Nel nostro cso n Poiché dovremo rppresentre un pentgono si trtt di determinre le proprietà che si conservno nell rppresentzione. Per qunto rigurd il prllelismo osservimo che le digonli sono sempre prllele i lti. Per determinre il centro del poligono osservimo che esso è determinile dll intersezione tr le congiungenti un vertice con l intersezione di due digonli. sservimo infine che il pentgono regolre risult costituito d tringoli isosceli di 6 e 7 (l ngolo l centro vle 60/5 7 e pertnto quello ll circonferenz è di 6 ). 5 - N N Indict con k l sezione ure di un segmento (k 0.68) si h che N

4 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. 4 N N N k sservimo ncor che poiché 0.6 /5 per determinre pprossimtivmente i rpporti richiesti st dividere i segmenti secondo il rpporto / o / second dei csi ed è questo che fremo per costruire l rppresentzione dell pirmide. Supponimo di prtire disegnndo il tringolo (tringolo qulsisi nell rppresentzione tridimensionle). eterminimo or i due punti e N (rpporto ureo). Prolunghimo N sino d incontrre in l prllel per (i lti sono prlleli lle digonli). Trovimo il punto trccindo l prllel per sino d incontrre in l prllel per. Il punto si trov sull intersezione di e N. questo punto, sfruttndo l costruzione descritt, possimo trccire l ltezz d sino in e disegnre l pirmide come si è ftto nell figur lto per l qule si riportno solo gli elementi indispensili e si trccino le linee secondo le convenzioni dte in premess. Il volume dell pirmide vle σ h e per clcolre σ doimo clcolre il rggio (rggio del cerchio circoscritto). Inftti, noto σ è 5 volte l re del N tringolo isoscele con ngolo l vertice pri 5 π. Pertnto σ 5 sin 5 π l cos mentre sin π sin 7 si determin 5 osservndo che si trtt del complementre di 8 le cui funzioni sono note dll sezione ure. Inftti, poiché il lto del decgono regolre è l sezione ure del rggio del cerchio circoscritto si h in se l teorem dell cord sin e sin 7 cos 8 - ( 5 - ) Poiché h l sin e l cos si h dunque 5 6 l sin 7 cos sin. eterminre gli ngoli tr l se e lo spigolo lterle e tr l fcci lterle e l se in un pirmide pentgonle regolre le cui fcce lterli sono dei tringoli equilteri. Si f riferimento ll costruzione dell figur precedente osservndo solo che se si proiett il centro sul lto di se il punto che si ottiene è il punto medio di. sservimo ncor che occorrerà fissre un elemento linere per rgionre sull figur m che tle elemento scomprirà nei rpporti ttrverso cui si procederà ll determinzione delle crtteristiche ngolri. Indichimo con il lto di se e tenimo presente che, trttndosi di un pentgono regolre, llor ^ π 5 e pertnto sin π 5 mentre tn π 5 il tringolo delle fcce lterli è equiltero e pertnto si può determinre cos sin π 5 ll determinzione di e si trov cos tn π 5 cos poiché

5 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. 5 tn π 5. eterminre l ngolo di inclinzione tr lo spigolo lterle l e il pino di se di un pirmide regolre di n lti di volume. 4 sin π n tn π n tn n l 4. eterminre il volume di un pirmide se rettngolre di cui si conoscono l digonle l del rettngolo, l ngolo tr le digonli e quello tr gli spigoli lterli e l se. 5. Un pirmide h come se un tringolo isoscele di lti e ngolo ll se. Spendo che le tre fcce lterli hnno spigoli inclinti di rispetto ll se determinre il volume. K on rgionmento nlogo quello del prolem 5 si può ffermre che, indict con l proiezione di, risult e pertnto è il centro del cerchio circoscritto. Ne consegue che,, K sono llineti e che K è un ltezz. Per determinre il volume ci occorrono l re di se σ ½ sin e l ltezz h tn è il rggio del cerchio circoscritto che può essere determinto ttrverso il teorem dell cord: R sin π - Si h dunque / σ h 6 sin R cos / d cui R cos / cos / tn 6 sin / tn 6. L se di un prllelepipedo rettngolo è inscritt in un circonferenz di rggio R e il lto minore del rettngolo form un ngolo ll circonferenz. eterminre il volume del prllelepipedo conoscendo l superficie lterle σ l. 7. L se di un prism retto è un tringolo isoscele di se e ngolo l vertice. Spendo che l re lterle e l re di se sono uguli determinre il volume. 8. i un pirmide regolre esgonle sono noti l ngolo diedro ll se e l potem l. eterminre l superficie totle σ t.