Vettori e scalari. Grandezze scalari. Grandezze vettoriali

Transcript

1

2 Vettori e sclri Vengono definite dl loro lore numerico. Esempi: l lunghezz di un segmento, l re di un figur pin; l tempertur di un stnz Grndezze sclri Grndezze ettorili Vengono definite dl loro lore numerico (intensità o modulo) d un direzione, d un erso: Esempi: l elocità, l forz Prof. Gionni Inne 2

3 Vettori e sclri Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett L informzione sullo spostmento è complet? No, ne conosco solo l entità. Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett lungo l strd per Potenz Ho ggiunto informzione sull mi direzione. Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett lungo l strd per Potenz erso Mter Questo dto complet l informzione sul erso del mio spostmento. Prof. Gionni Inne 3

4 I ettori Un grndezz fisic è un ettore qundo per definirl completmente è necessrio fornire un modulo o intensità (= l entità), un direzione e un erso. Prof. Gionni Inne 4

5 Modulo, direzione, erso 0 Scelt un'unità di misur, d ogni segmento [AB] si può ssocire un numero rele non negtio AB, l misur dell lunghezz di [AB], che rppresent il modulo o intensità del ettore. 0 Il psso successio consiste nel definire un segmento orientto come quel segmento di estremi A e B nel qule si si ssegnto un ordine e quindi si poss distinguere un punto inizile ed uno finle. A tl fine si sceglie il simolo conenendo di considerre A come il punto inizile e B come quello finle. Grficmente ciò si esprime trmite un frecci che prte d A e giunge in B Prof. Gionni Inne 5

6 Vettori prlleli e perpendicolri 0 A questi nuoi enti si possono in modo del tutto nturle estendere i concetti di prllelismo e perpendicolrità. In prticolre risult prllelo d un rett r se lo sono le rette r e l rett AB cioè r // AB. Così i segmenti orientti e si dicono collineri (o prlleli, // ) se esiste un line rett r ll qule entrmi risultno prlleli. Prof. Gionni Inne 6

7 Vettori equipollenti 0 Prof. Gionni Inne 7

8 Nuo definizione di ettore 0 Definizione: Un ettore nel pino (o nello spzio) è definito come l'insieme di tutti i segmenti orientti equipollenti, ossi di tutti i segmenti orientti enti l medesim direzione, erso e lunghezz. Prof. Gionni Inne 8

9 Operzioni con i ettori: metodo grfico Definizione L somm di due ettori e è un ettore c = + l cui direzione e erso si ottengono nel modo seguente: si fiss il ettore e, prtire dl suo punto estremo, si trcci il ettore. Il ettore che unisce l'origine di con l'estremo di fornisce l somm c = +. L somm ettorile corrisponde mettere i ettori uno dietro l ltro (metodo punt cod) Prof. Gionni Inne 9

10 Proprietà dell somm 0 Prop. commutti: + = + 0 Prop. ssociti: ( + ) + c = + ( + c) 0 Elemento neutro: + 0 = In prticolre dll proprietà commutti discende un definizione lternti dell somm (o risultnte) di due ettori ossi l regol del prllelogrmm. Prof. Gionni Inne 10

11 Regol dell poligonle Prof. Gionni Inne 11

12 Differenz tr due ettori 0 Definizione L differenz - di due ettori è l somm del ettore con l'opposto del ettore ossi - = + (- ) Prof. Gionni Inne 12

13 I ettori nel pino B A B φ A O B modulo di = lunghezz del segmento AB l direzione di è definit dll ngolo φ ( HELP MATEMATICA, 2 ) rctn 2 componente = lunghezz di A B componente = lunghezz di A B Prof. Gionni Inne 13

14 Teoremi sui tringoli rettngoli In un tringolo rettngolo il cteto è ugule ll ipotenus per sino dell ngolo opposto, ll ipotenus per il coseno dell ngolo dicente, ll ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto oppure ll cotngente dell ngolo dicente. csin ccos ccos csin tn tn Prof. Gionni Inne 14

15 Versori 0 Prof. Gionni Inne 15

16 Rppresentzione crtesin Prof. Gionni Inne 16

17 Somm di ettori Prof. Gionni Inne 17

18 Vettori nello spzio Prof. Gionni Inne 18 k ĵ î z 2 z 2 2 L direzione di risult definit dgli ngoli θ e φ z rctn rccos θ

19 Prodotto sclre 0 cosα α cosα Prof. Gionni Inne 19

20 Prodotto sclre in componenti crtesine Tenendo conto del ftto che i ersori degli ssi crtesini sono due due perpendicolri fr loro, si h che: 1 k k 0 j k 0 i k 0 k j 1 j j 0 i j 0 k i 0 j i 1 i i Di conseguenz, esprimendo i ettori in termini delle loro componenti crtesine, si h: k ĵ î k ĵ î z z z z Cso prticolre: = 2 2 z 2 2 Prof. Gionni Inne 20

21 Prodotto ettorile c θ Prof. Gionni Inne 21

22 L regol dell mno destr Prim formulzione Si dispone il pollice lungo il primo ettore Si dispone l indice lungo il secondo ettore Il erso del medio indiidu il erso del prodotto ettorile Prof. Gionni Inne 22

23 Regol dell mno destr Second formulzione Si chiude pugno l mno destr mntenendo solleto il pollice Le dit chiuse pugno deono indicre il erso in cui il primo ettore dee ruotre per sorpporsi l secondo in modo che l ngolo θ di rotzione si minore di 180 Il erso del pollice indiidu il erso del prodotto ettori Prof. Gionni Inne 23

24 Proprietà del prodotto ettorile Il modulo del prodotto ettorile è pri ll re del prllelogrmm indiiduto di due ettori Il prodotto ettorile è nullo se i due ettori sono prlleli (θ=0) Il prodotto ettorile gode dell proprietà nticommutti: Prof. Gionni Inne 24

25 Prodotto ettorile in componenti crtesine 0 Tenendo conto che i ersori degli ssi crtesini sono due due perpendicolri fr loro, ed pplicndo l regol dell mno destr, si hnno le seguenti relzioni: Prof. Gionni Inne 25 0 k k i j k j i k i k j 0 j j k i j j k i k j i 0 i i

26 Prodotto ettorile Prof. Gionni Inne 26 0 Pertnto, esprimendo i ettori in termini delle loro componenti crtesine, si h che: ) k( ) ĵ( ) î( z z z z z z k ĵ î HELP MATEMATICA

27 Determinnte di un mtrice Il determinnte di un mtrice 2 2 è pri Regol di Srrus Regol di Lplce Il determinnte di un mtrice 3 3 è pri Prof. Gionni Inne 27

28 Esempi e ppliczioni: 0 Prof. Gionni Inne 28

29 Appliczione 0 Il modulo del prodotto ettorile è numericmente ugule ll re del prllelogrmm indiiduto di due ettori e le prllele che pssno per gli estremi. Considerimo l seguente figur che mostr due ettori che hnno l stess origine e le prllele per essi. 0 L re di questo prllelogrmmo si clcol moltiplicndo l se (B) per l ltezz (Asenθ): Are=BAsenθ Prof. Gionni Inne 29