Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.

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Floriana Moretti
7 anni fa
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1 Prof. A. Di Mro I versori Definimo or lcni vettori prticolrmente importnti detti versori. Un versore è semplicemente n vettore di modlo nitrio. Normlmente gli ssi, e z vengono ssociti i versori i ˆ, ˆj, kˆ che per comodità denoteremo i, j, k con i = j = k = 1 z Possimo or esprimere n vettore qlsisi ttrverso i versori lngo gli ssi. k Se p. es. = 3 e = 2 llor = 3 i + 2 j oppre se v = 3 e v = 4 m nelle negtive llor v = 3 i 4 j. i j j = 3 i + 2 j i v = 3 i 4 j I versori lngo gli ssi formno n se vettorile, nel senso che ogni vettore pò essere espresso come somm vettorile di versori. Il modlo di n vettore viene clcolto tilizzndo il teorem di Pitgor: v = 4 i 3 j h modlo 2 2 v oppre nello spzio tridimensionle = 3 i 2 j + k h modlo Dto n vettore, esiste il so versore â, evidentemente se è il modlo di, llor lngo il vettore ci srnno versori, divertente no! â Per ci in generle = ˆ = 7 â = 7

2 Prof. A. Di Mro Esempio: dto il vettore = 3 i 2 j + k il so versore è â = 3 i 2 j k 14 Considerndo vettori nel pino, l ngolo che n vettore form con l sse delle scisse si clcol osservndo il tringolo rettngolo che si form con le componenti, si ricv tn, qindi con l clcoltrice sndo l fnzione invers dell tngente si h 1 tn ( ). Occorre fre ttenzione l qdrnte nel qle cde il vettore, l tngente è positiv nel I e nel III qdrnte, m negtiv nel II e nel IV. Per cpire in qle qdrnte simo è sfficiente osservre il segno delle componenti del vettore, 1 nel I e nel IV qdrnte non ci sono prolemi, tn ( ), in prticolre nel IV qdrnte l ngolo verrà negtivo ( rotzione in senso orrio ). i j i j Nel II e nel III occorrerà ggingere 180 ll ngolo fornito dll clcoltrice 1 tn ( ) 180 Inftti l clcoltrice fornisce rispettivmente gli ngoli e, in entrmi i csi = ( ) e = j i i j In generle n vettore nel pino è espresso dll relzione: (cos i sen j ) dove è l ngolo, contto in verso ntiorrio, che il vettore form con l sse delle scisse.

3 Prof. A. Di Mro Operzioni tr vettori I vettori si possono sommre o sottrrre, p. es. dti i vettori = 3 i + 2 j e v = 3 i 4 j llor s = + v = 6 i 2 j oppre d = v = 6 j v d v s Grficmente i vettori si sommno lgericmente ( qindi somm e differenz ) tilizzndo l regol dell poligonle: si prte d n vettore qlsisi e si dispone, prtire dll fine di qesto, il secondo vettore; si iter il procedimento qindi si trcci il vettore risltnte dl pnto di prtenz l pnto di rrivo. Un vettore pò essere moltiplicto per n nmero, in tl cso il vettore risltnte è sempre prllelo l vettore di prtenz, ciò che cmi è il modlo ed eventlmente il segno, p. es. 3 3 Le operzioni prodotto e divisione non si possono fre, tttvi esistono de tipi di prodotto prticolri: il prodotto sclre ed il prodotto vettorile. Prodotto sclre tr vettori Il prodotto sclre tr de vettori, v è n fnzione mtemtic g che gisce nel segente modo: v g nmero g (, v ) = nmero qesto nmero è definito come v cos dove e v sono i modli dei vettori corrispondenti ed è l ngolo formto di de vettori. Il prodotto sclre si indic in diversi modi: g (, v ) = v cos oppre v = v cos o semplicemente v = v cos ( in qesto ltimo cso l operzione prodotto tr e v è divers dll operzione prodotto tr e v, qest ltim è il clssico prodotto tr de nmeri ).

4 Prof. A. Di Mro Il prodotto sclre è commttivo, v = v come è nle verificre. Ricordndo che cos 90 = 0 e cos 0 = 1, si h che de vettori perpendicolri hnno il prodotto sclre nllo, mentre de vettori prlleli hnno il prodotto sclre gle l prodotto dei loro modli. Considerndo il prodotto sclre = cos si vede che c è cto per ci cos > 0, in prticolre cos fornisce l proiezione del vettore s. c cos < 0 cos > 0 Il prodotto sclre c = c cos < 0 perché l ngolo è ottso. Il prodotto sclre = 0 perché sono perpendicolri. Se fccimo il prodotto sclre tr de versori llor ottenimo: i j = 0, j k = 0, k i = 0 i i = 1, j j = 1, k k = 1 in qnto i versori sono perpendicolri tr loro, mentre in qnto i versori sono gli e qindi prlleli Se fccimo il prodotto sclre tr de versori p.es. = 3 i 4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k ottenimo: v = 6 i i + 9 i j + 9 i k 8 j i 12 j j 12 j k + 2 k i + 3 k j + 3 k k = 3 Il prodotto sclre fornisce l proiezione di n vettore lngo n direzione: se si vole trovre l proiezione del vettore lngo l direzione del vettore, qest è MN = cos = = â ovvero il prodotto sclre tr il vettore ed il versore dell direzione. N Le proiezioni di n vettore lngo gli ssi coordinti corrispondono lle componenti del vettore stesso qindi p. es. il vettore v = 2 i + 3 j + 3 k h componenti M v = v i = 2, v = v j = 3, v z = v k = 3 il modlo di n vettore pò nche essere espresso d n prodotto sclre: v = v v l ngolo tr de vettori e è espresso dl cos =

5 Prof. A. Di Mro Dto n vettore nello spzio tridimensionle, possimo ricvre gli ngoli o meglio i coseni degli ngoli che il vettore form con gli ssi coordinti. Indichimo con,, qesti ngoli, llor il vettore i j k h: z i j k z cos ; cos ; cos Qesti coseni si chimno coseni direttori, l somm dei loro qdrti vle no z cos cos cos Esercizio: ) determin l ngolo tr i vettori = 2 i + 3 j 3 k e = i + 2 j + 4 k cos e 1 cos ( ) ) determin i coseni direttori di 2 3 z 3 cos ; cos ; cos con c ) determin n vettore nel pino z, perpendicolre di modlo 2 deve essere 0 indicto con j z k si h 2 4z 0, imponendo il modlo 2 si h: 2 0 z 2 2 z 4 che risolt fornisce z 2 4 e i vettori sono de, j k e ' j k d ) determin l proiezione di s ( 2 i 3 j 3 k ) 6 P ( ) ˆ ( i 2 j 4 k ) 22 22

6 Prof. A. Di Mro Prodotto vettorile tr vettori Dti de vettori e, il prodotto vettorile indicto con è n vettore c = con le segenti crtteristiche ( d notre che il simolo non è il prodotto sto per i nmeri, per ci l scrittr 3 2 non h senso): il so modlo c = sen dove è l ngolo compreso tr e, l s direzione è perpendicolre l pino generto d e, Il so verso è dto dll regol dell mno sinistr o regol di Fleming. Considerndo c = Il medio viene messo in corrispondenz del primo vettore del prodotto vettorile, l indice in corrispondenz del secondo vettore del prodotto vettorile come in figr, l risltnte è dt dl pollice. c Un lteriore regol forse più prtic per evitre contorsioni strme è qell dell mno destr considerndo c = il pollice dà l direzione e verso di c, le ltre dit devono essere disposte in modo d immginre n rotzione del primo vettore ( ) sl secondo vettore ( ). c = c = come si vede, inftti c = c. il prodotto vettorile non è commttivo, ensì nticommttivo. Se e sono prlleli il loro prodotto vettorile è nllo ( = 0 ). Se e sono perpendicolri il loro prodotto vettorile è mssimo ( = 90 ) di modlo.

7 Prof. A. Di Mro Vedimo or come si determin il prodotto vettorile tr de vettori scomposti in n S.C.: ci servono i prodotti vettorili fondmentli tr i versori coordinti i j = 1, j k = 1, k i = 1 j i = 1, k j = 1, i k = 1 i i = 0, j j = 0, k k = 0 in qnto i versori sono perpendicolri tr loro, mentre in qnto i versori sono gli e qindi prlleli n metodo per ricordrli è qesto, st disporre i versori in ordine ciclico i vertici di n tringolo come in figr, il prodotto vettorile tr de versori posti i vertici del tringolo è gle l versore del terzo vertice se si rot in verso ntiorrio, se invece si rot in verso orrio è sfficiente cmire segno. i Esempio: dti i vettori = 3 i 4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k si h v = 9 i j + 9 i k 8 j i 12 j k + 2 k i + 3 k j = j + k 9 k 9 j + 8 k 12 i + 2 j 3 i = 15 i 7 j + 17 k. n ltro metodo consiste nell so del determinnte, si costrisce n determinnte, nell prim rig mettimo i versori ordinti, nell second le componenti del primo vettore e nell terz le componenti del secondo vettore. Si svilpp il determinnte con l regol di Lplce lngo l prim rig: i j k i j k = ( 12 3 ) i ( 9 2 ) j + ( 9 +8 ) k = 15 i 7 j + 17 k. Il modlo del prodotto vettorile fornisce l re del prllelogrmmo di lti i de vettori: inftti = sen = h = S in prticolre l re del tringolo di lti i de vettori è h S A = 1 2 sen

8 Prof. A. Di Mro Esercizio : ) Dti i vettori = 4 j + 2 k, = 2 i + j e c = 3 j + 4 k determin il risltto dell espressione ( c c ) c c Osservimo innnzittto che c è n vettore, inftti il prodotto vettorile dà n vettore, qindi il so prodotto sclre con dà n nmero che moltiplicto per dà n vettore. Stess cos per c, mentre c dà n nmero. Clcolimo prim i prodotti vettorili c 22 i e 2 i 4 j 8 k qindi [( 2 i j )( 22 i ) ( 2 i j ) ( 3 j 4 k ) ( 4 j 2 k )( 2 i j )] ( 3 j 4 k ) ( 2 i 4 j 8 k ) ( 3 j 4 k ) [( 2 i j )( 44 ) ( 12 8 )( 2 i j )] ( 3 j 4 k ) ( 80 i 40 j ) ( 3 j 4 k ) ) determin l re del tringolo formto di vettori e c 1 1 S c 4 i 8 j 6 k 2 i 4 j 3 k Prodotto vettorile misto Aimo incontrto nell esercizio precedente il prodotto vettorile misto. Il so significto geometrico è il segente: c ccos c, qesto prodotto è detto prodotto m è il modlo del prodotto vettorile e corrisponde ll re S del prllelogrmmo, inoltre c h ccos h dove h è l ltezz del prllelepipedo di spigoli i tre vettori, per ci si h: S V c S h, il prodotto vettorile misto corrisponde l volme del prllelepipedo di spigoli i tre vettori. Se l ngolo è ottso, il volme ssme segno negtivo, per ci V c.

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