ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA (ultima modifica 02/10/2014)
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- Bernadetta Fiori
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1 ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI (ultim modific 02/10/2014) Prim di definire le grndee di bse e le costnti universli del modello elettromgnetico per poter sviluppre i vri temi dell elettromgnetismo, si intende richimre le regole fondmentli delle operioni dell lgebr e clcolo vettorile. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI
2 lcune grndee elettromgnetiche sono: sclri: criche, corrente e energi, ltre sono vettorili: come l intensità del cmpo elettrico e mgnetico. Entrmbe possono essere funioni del tempo e dell posiione spile (o punto). Per un tempo e un punto dti: un grnde sclre è completmente definit dll su mpie, espress d un numero positivo o negtivo nell unità di misur reltiv. un grnde vettorile richiede l definiione dell su mpie, direione, verso e punto di pplicione o di definiione. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 2
3 Per specificre l direione di un vettore nello spio tridimensionle sono necessri tre vlori numerici che dipendono dll scelt del sistem di coordinte : sistem di coordinte crtesine sistem di coordinte cilindriche sistem di coordinte sferiche. L scelt del sistem di coordinte è legto lle crtteristiche geometriche del problem che si st esminndo. Le espressioni generli delle leggi e teoremi rigurdnti l elettromgnetismo sono indipendenti dl sistem di coordinte dottto. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 3
4 lgebr vettorile Un grnde vettorile può essere scritt come: dove è il vettore di dimensioni unitrie vente l stess direione e verso di e è l mpie o modulo di Grficmente: M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 4
5 Somm di due vettori e : Può essere ottenut: con l regol del prllelogrmm (prllelogrm rule) con l regol del test-cod (hed-to-til rule) Per l somm vlgono: l proprietà commuttiv: e l proprietà ssoccitiv: M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 5
6 L differen di due vettori può essere definit come l somm del primo vettore più il vettore opposto del secondo: M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 6
7 Prodotto di Vettori Prodotto di un vettore per uno sclre positivo: k k L mpie di cmbi di k volte, mentre l direione e il verso rimngono invrite. Il prodotto tr due vettori può essere di due tipi: prodotto sclre o prodotto vettorile. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 7
8 Il prodotto sclre ( sclr or dot product) tr due vettori: è uno sclre pri l prodotto delle mpiee di e di per il coseno dell ngolo più piccolo tr e che risult minore di 180. θ Esso è positivo per < 90 negtivo per > 90 nullo per θ θ θ cos = 90 (vettori perpendicolri) ed è ugule l prodotto dell mpie del primo vettore per l proieione del secondo vettore nell direione del primo. cos M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 8
9 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 9 Evidentemente si h che: Per il prodotto vlgono: l proprietà commuttiv: e l proprietà distributiv: Inoltre risult non definibile il prodotto sclre: e 2
10 Il prodotto vettorile ( vector or cross product) tr due vettori: n sinθ è un vettore perpendicolre l pino contente i vettori e l cui mpie è pri sinθ numericmente ugule ll re del prllelogrmm formto di vettori e Il verso e l direione sono deducibili con l regol dell mno destr sinθ n θ M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 10
11 Per il prodotto vettorile non è vlid l proprietà commuttiv: vle l proprietà distributiv: non è vlid l proprietà ssocitiv: M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 11
12 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 12 Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori: Prodotto triplo sclre: Prodotto triplo vettorile:
13 Sistemi di coordinte Nello spio bidimensionle un punto è loclito dll interseione di due linee. Nello spio tridimensionle un punto è loclito dll interseione di tre pini. Qundo le tre superfici sono perpendicolri tr di loro il sistem è chimto sistem coordinte ortogonli e i vettori unitri nelle tre direioni delle coordinte sono chimti vettori bse. Tr i diversi sistemi di coordinte ortogonli, i più comuni sono: sistem di coordinte crtesine o rettngolri sistem di coordinte cilindriche sistem di coordinte sferiche M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 13
14 Sistem di coordinte crtesine o rettngolri Un punto P( 1, 1, 1 ) in coordinte crtesine è l interseione di tre pini specificti d: = 1, = 1 e = 1, P(,, ) I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 14
15 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 15 Un vettore in coordinte crtesine può essere scritto come: Il prodotto sclre di due vettori e è: Il prodotto vettorile di due vettori e è: ) ( ) ( ) (
16 In coordinte crtesine un lunghe differenile è espress d: dl d d un re differenile è espress d: d ds ds ds d d d d, d d e un volume differenile è espresso d: dv d d d M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 16
17 Sistem di coordinte cilindriche In coordinte cilindriche un punto P(r 1, 1, 1 ) è l interseione di un superficie cilindric r = r 1 con un semipino contenente l sse, che form un ngolo = 1 con il pino e un pino prllelo l pino per = 1. 1 r P(r 1, 1, 1 ) r 1 1 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 17
18 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 18 I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: Un vettore in coordinte cilindriche può essere scritto come In coordinte cilindriche un lunghe differenile è espress d: φ r r φ Φ r φ φ r r d d r dr l d r
19 In coordinte cilindriche un re differenile è espress d: ds ds ds φ r dφ d dr d, r dr dφ e un volume differenile è espresso d: dv r dr d d M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 19
20 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 20 Le relioni tr le componenti di un vettore in coordinte cilindriche coordinte crtesine: Le formule di conversione dlle coordinte cilindriche lle coordinte crtesine e inverse sono: r cos sin 0 sin cos tn r sin r cos r
21 Sistem di coordinte sferiche In cord. c. un punto P(R 1, 1, 1 ) è definito dll interseione di: un superficie sferic centrt nell origine di rggio R = R 1 con un cono circolre con il vertice nell origine degli ssi e l sse coincidente con l sse e un semingolo pri = 1, e un semipino contenente l sse con un semipino contenente l sse, che form con il pino un ngolo = 1. 1 R P(R 1, 1, 1 ) 1 R 1 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 21
22 M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 22 I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: Un vettore in coordinte sferiche può essere scritto come In coordinte sferiche un lunghe differenile è espress d: R R R R R d R sinθ dθ R dr l d θ R
23 In coordinte sferiche un re differenile è espress d: ds ds ds R θ R 2 dθ dφ R sinθ dr d R dr d e un volume differenile è espresso d: dv R 2 sinθ dr dθ dφ M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 23
24 Le formule di conversione dlle coordinte sferiche lle coordinte crtesine e inverse sono: R sinθ cosφ r sinθ sinφ R cosθ R φ tn θ tn M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 24
25 Integrli contenenti funioni vettorili Nell elettromgnetismo sono utiliti integrli che contengono funioni vettorili del tipo: v F dv integrle volumetrico di un vettore che si risolve scomponendo d prim l grnde vettorile nelle sue tre componenti reltive l sistem di coordinte dottto e fcendo l somm dei tre integrli sclri. V dl integrle linere di un grnde sclre c dove V è un funione sclre e dl è un incremento differenile di lunghe e è il percorso di integrione. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI 25
26 In coordinte crtesine: V dl V(,,) d d d oppure V dl V(,,) d V(,,) d V(,,) d F dl è un integrle linere di un vettore nel qule l integrndo rppresent l componente del vettore F nell direione del percorso di integrione. M. Usi ELETTROMGNETISMO PPLITO LL'INGEGNERI ELETTRI ED ENERGETI
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