ellisse parabola iperbole

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1 Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Superfici del secondo ordine e loro seioni pine. Tglindo con un pino un cono circolre (infinito) si ottengono qusi tutte le curve del secondo ordine, come mostrno le immgini che seguono, trtte d ellisse prol iperole un rett (doppi) due rette un punto Qule superficie, tr quelle che ci sono note dll scuol elementre, può vere un seione pin formt d due rette prllele? Non certo l superficie sferic: ci sono pini che l incontrno soltnto in un punto (i pini tngenti), e pini che l incontrno in circonferene. E non vi sono ltre possiilità. Inftti, dti un pino ed un sfer di rggio R, considerimo l perpendicolre condott l pino dl centro dell sfer; dett h l distn del centro dell sfer dl pino (cioè l distn tr il centro dell sfer e l su proieione ortogonle sul pino ), per ogni punto che pprtiene contempornemente l pino e ll sfer R si determin un tringolo rettngolo, con un cteto di lunghe h e l ipotenus ugule R, come illustrto dll figur: Per un suggerimento, si ved in fondo questi ppunti indicto con A nell figur

2 Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Quindi i punti comuni ll sfer e l pino hnno tutti l stess distn dll rett perpendicolre l pino, precismente l distn r per cui è R h = r. Aimo così dimostrto che i punti dell interseione tr superficie sferic e pino formno un circonferen. Come ci spettvmo, qundo è h = R l circonferen si riduce d un punto. Il vlore mssimo di r si h per h = 0: rgionevole quindi chimre cerchi mssimi di un sfer quelli che sono tgliti di pini che pssno per il suo centro. Non ostnte che l form sferic ci si oltremodo fmilire, non sempre riuscimo riconoscerne delle porioni, come nel cso delle vele del tetro dell Oper di Sdne. A forme geometriche meno fmiliri sono ispirti molti edifici, d esempio il fumiolo, fotogrfto d Elen Mrchetti, qui riprodotto dll rticolo: Elen Mrchetti e Luis Rossi Cost Mthemticl elements in Historic nd Contemporr Architecture, NEXUS NETWORK JOURNAL VOL. 8, NO., 006, pg

3 Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Come l superficie sferic è rppresentt d un equione di secondo grdo nelle coordinte crtesine, così nche l superficie del fumiolo ed ltre, di cui incontrimo esempi nell vit quotidin, hnno equioni di secondo grdo. Anlogmente qunto si f per le curve, si possono clssificre le superficie del secondo ordine (qudriche) in se certi invrinti lgerici: si dimostr che i csi possiili sono in numero finito e, scegliendo convenientemente il sistem di riferimento, si ricvno le equioni cnoniche per ciscun cso. Le qudriche di tipo generle 3 (non specilite) sono dotte di tre pini di simmetri, quindi di un centro di simmetri, e perciò sono chimte qudriche centro. Prescindendo dll ellissoide immginrio (di equione = 0) si hnno i tre tipi: c Ellissoide Iperoloide un fld (iperolico) Iperoloide due flde (ellittico) c + + = c + = c = I disegni mostrno soltnto un prte di ciscun iperoloide. Il fumiolo dell fotogrfi precedente è un peo di iperoloide iperolico. 3 Come per le coniche, l distinione in specilite e non specilite dipende dl rngo dell mtrice dei coefficienti dell equione di secondo grdo. 3

4 Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Le qudriche non specilite che non hnno un centro di simmetri si chimno proloidi; hnno soltnto due pini di simmetri e sono di due tipi: Proloide sell (iperolico) Proloide ellittico = + = Le qudriche semplicemente specilite sono, prescindendo dl cono immginrio di equione + + = 0 (soddisftt dll sol origine delle coordinte), il cono e i c cilindri: Cono Cilindro ellittico Cilindro iperolico Cilindro prolico c + = 0 + = = = p Le qudriche doppimente specilite sono costituite d coppie di pini: due pini incidenti due pini prlleli, due pini complessi coniugti = 0 = + = 0 Si noti che l equione + = 0 è soddisftt d tutti e soli i punti di un rett, l sse delle. Infine, le qudriche triplmente specilite sono coppie di pini coincidenti; in form cnonic = 0. 4

5 Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine L iperoloide d un fld, il proloide sell, il cono e i cilindri si possono ottenere come il luogo delle triettorie descritte di punti di un rett che si muove secondo un dt legge: vengono perciò chimte qudriche rigte. E fcile vederlo nel cso del cono: si sceglie un punto V fuori del pino di un conic C, si congiunge V con un punto P di C ; l muoversi di P su C, con V fisso, l rett VP descrive il cono. Se invece si impone ll rett di mntenere un direione costnte l vrire di P su C, si ottiene un cilindro. Il tipo del cilindro (ellittico, prolico, iperolico) dipende dl tipo di C (ellisse, prol, iperole). Il proloide sell e l iperoloide un fld godono inoltre dell proprietà di contenere due diverse fmiglie di rette, tli che per ogni punto dell superficie pssi un rett dell un e un dell ltr fmigli. Un modo di generre un iperoloide un fld consiste nel fissre un corrisponden iunivoc tr due coniche che giccino in pini prlleli e costruire le rette che congiungono punti corrispondenti. Usndo due volte questo metodo sono stte trccite, con il softwre Mthemtic, le figure qui sotto, in cui compiono prti delle due fmiglie di rette dell stess qudric: Per ottenere un proloide, si possono congiungere punti corrispondenti in un igeione tr due rette sgheme. Ecco un prte di un proloide sell, visto d due punti di vist diversi Osservimo che se un pino contiene un rett di un qudric rigt, llor quel pino contiene un second rett dell qudric, perché tgli l qudric in un conic, necessrimente specilit. 5