Le Coniche Introduzione storica. Apollonio di Perga Keplero Cartesio

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1 Le Coniche Introduzione storic. Le coniche sono curve studite sin dll ntichità e molti mtemtici hnno dto il loro contriuto llo studio di tli curve. Semr che per primo Menecmo ( C.), un mtemtico greco discepolo di Pltone e di Eudosso di Cnido e mestro di Alessndro Mgno, si si imttuto nelle coniche nel tenttivo di risolvere uno dei tre fmosi prolemi dell mtemtic grec (i prolemi di Delo). Apollonio di Perg (6-190.C.), conosciuto come il Grnde Geometr, consolidò ed pprofondì i precedenti risultti sulle coniche nell oper Le Coniche, esponendo l mggior prte delle proprietà tuttor note. Apollonio di Perg fu il primo dimostrre che er possiile ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecndo un cono con un pino e fcendo poi vrire l'inclinzione di tle pino. Fu nche il primo d ttriuire i nomi di ellipsis (mncnz), hyperol (lncire l di là), prol (porre ccnto o confrontre). Apollonio di Perg Tli nomi erno dttmenti di termini usti precedentemente forse di pitgorici nell soluzione di e- quzioni di secondo grdo medinte l ppliczione di ree. Successivmente le leggi di Keplero ( ) sui movimenti dei pineti diedero un notevole ppliczione delle coniche e delle loro proprietà geometriche. L prim legge di Keplero fferm che l'orit descritt d un pinet è un'ellisse, di cui il Sole occup uno dei due fuochi. Lo studio mtemtico delle coniche inizito storicmente per vi geometric è stto poi sviluppto e pprofondito d Crtesio nell su oper L Geometri (1637), con l qule il noto filosofo e mtemtico frncese introduce l Geometri Anlitic. Crtesio espone l scopert che le equzioni indeterminte in due incognite corrispondono luoghi geometrici, cioè d insiemi di punti del pino che verificno determinte proprietà. Le curve crtesine che verificno un equzione lgeric di secondo grdo sono proprio le coniche di Apollonio, e questo è il motivo per cui le coniche vengono nche dette curve del secondo ordine

2 Crtterizzzione geometric Il termine conic è un ggettivo sostntivto che sostituisce itulmente l espressione estt m più lung sezione conic; si indic così un curv ottenut secndo un cono di rotzione con un pino non pssnte per il suo vertice. Sino un rett dello spzio e r un ltr rett che incontri l prim in un punto V formndo un ngolo α minore di 90 ; si chim superficie conic indefinit l superficie genert in un rotzione complet dell rett r ttorno ll rett. Le due porzioni dell superficie conic, quell superiore e quell inferiore si chimno flde dell superficie conic, l rett si chim sse, l rett r si chim genertrice e l ngolo α pertur dell superficie conic. Chimimo π un generico pino non pssnte per il vertice del cono e chimimo β l ngolo cuto che esso form con l sse dell superficie conic. Se il pino secnte form con l sse un ngolo β mggiore dell ngolo α e diverso d 90 cioè se β > α l sezione conic è un ellisse (fig. 1). Se il pino secnte è perpendicolre ll sse dell superficie conic cioè se β = 90, l sezione è un circonferenz (fig. ). Se il pino secnte form con l sse un ngolo minore dell ngolo α cioè se β < α l sezione è un iperole (fig. 3). Se il pino secnte è prllelo ll direttrice cioè se β = α, llor tgli un sol fld dell superficie conic e l sezione si chim prol (fig. 4). fig. 1 ellisse fig. circonferenz - -

3 fig. 3 iperole fig. 4 prol Le coniche in Astronomi. In termini moderni possimo dire che ogni corpo dotto di mss determin intorno sé un zon di spzio in cui le ltre msse risentono dell su ttrzione, un cmpo grvitzionle. Un corpo che si muove in un cmpo grvitzionle, può descrivere tre diversi tipi di triettorie: ellittic, iperolic o prolic. Tli triettorie dipendono dll velocità inizile e dll direzione del corpo. Nel cso di orite ellittiche si prl di triettori chius (per es. l terr intorno l sole, l lun intorno ll terr). Nel cso di orite i- peroliche e proliche si prl di orite perte (per es. un comet intorno l sole)

4 Le Sezioni Coniche nel Disegno Geometrico ellisse prol iperole - 4 -

5 Definizione. L prol è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino che verificno tutti un stess proprietà; ess si definisce come il luogo geometrico dei punti del pino le cui distnze d un punto fisso F detto fuoco e d un rett fiss dett direttrice sono uguli. Con riferimento ll figur si h P F = P A e Q F = FB. Restringimo l nlisi lle prole con sse prllelo ll sse delle ordinte y. Si trov che l equzione generle dell prol con sse prllelo ll sse y delle ordinte è: con 0. y = + + c Prol Se > 0 l prol rivolge l concvità verso l lto (regge l cqu). Se < 0 l prol rivolge l concvità verso il sso (non regge l cqu). Asse. L prol h un sse di simmetri, consistente in un rett verticle, di equzione = Vertice. Il vertice dell prol è l intersezione dell prol stess con il suo sse. Esso h coordinte: V = ; dove = 4c, come di consueto. 4 Fuoco. Il fuoco dell prol h coordinte F = + 1 ; 4 Direttrice. L rett direttrice è un rett orizzontle ed h equzione y = 1 4 Intersezioni dell prol con l sse y. L intersezione I y dell prol con l sse y si ottiene risolvendo il sistem tr l equzione dell prol e l equzione dell sse y: y = = c Si ottiene così semplicemente: I y = ( 0;c) Intersezioni dell prol con l sse. Le eventuli intersezioni I 1 e I dell prol con l sse si ottiene risolvendo il sistem tr l equzione dell prol e l equzione dell sse : y = y = c + + c = 0 y = 0-5 -

6 Le scisse delle intersezioni si ottengono quindi risolvendo l equzione di II grdo + + c = 0. Si - vrà dunque: + I 1 ;0 I ;0. Grfico dell prol. Per trccire il grfico dell prol si disegn in primo luogo l sse, poi il vertice, si trovno ncor le intersezioni con l sse y e con l sse. Si teng presente che per ogni punto A dell prol trovto, esiste il simmetrico rispetto ll sse di simmetri, posto ll stess ltezz e u- gule distnz dll sse, m dll prte oppost rispetto questo. Infine, se i punti trovti non fossero sufficienti, si ricvno ltri punti con l tell -y e i loro simmetrici rispetto ll sse. Csi prticolri. Se = 0 l prol Se c = 0 l prol Se = c = 0 l prol y = + c h per sse l sse y, di equzione = 0. y = + pss per l origine. y = pss per l origine e h per sse l sse y. Proprietà ottiche dell prol. L prol gode di un importnte proprietà ottic, dett proprietà focle: ogni rggio pssnte per il fuoco F si riflette in un rggio prllelo ll sse dell prol e, vicevers, ogni rggio prllelo ll sse dell prol si riflette nel fuoco F. Se ponimo nel fuoco F dell prol un sorgente luminos puntiforme e l prete intern dell prol è rivestit d mterile riflettente, ogni rggio luminoso che prte dl fuoco si riflette in un rggio perpendicolre ll direttrice, cioè prllelo ll sse dell prol. I fri delle utomoili, tutti i fri in genere, le torce elettriche, vengono relizzti in se quest proprietà. È inoltre proprio per questo che il punto F viene chimto fuoco. L rett d viene chimt direttrice perché stilisce l direzione dei rggi riflessi (tutti perpendicolri d ess). Vicevers, se dei rggi prlleli ll sse di un prol vengono riflessi dll superficie dell prol stess, essi srnno tutti concentrti nel fuoco. Le en note ntenne proliche, i rdiotelescopi, i telescopi riflessione, i microfoni prolici funzionno proprio in questo modo. fig. : i rggi uscenti dl fuoco vengono riflessi dll superficie dell prol tutti prllelmente ll sse fig. : i rggi prlleli giungono sull superficie dell prol d grnde distnz e convergono nel fuoco L proprietà focle è conosciut fin dll ntichità, inftti in questo modo furono costruiti i fri ll imocco dei porti. Ricordimo l fmos leggend degli specchi ustori di Archimede di Sircus: secondo tle leggend Archimede vree inftti distrutto l flott romn durnte l ssedio di Sircus nel 13.C. concentrndo i rggi solri con ppositi specchi. Gli specchi, le ntenne proliche, i fri, ecc. sono in reltà figure tridimensionli, chimte proloidi. Un proloide si ottiene fcendo ruotre un prol ttorno l proprio sse di simmetri

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8 Circonferenz Definizione. L circonferenz è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino che verificno tutti un stess proprietà; ess si definisce come il luogo geometrico dei punti del pino le cui distnze d un punto fisso C detto centro sono tutte uguli. Con riferimento ll figur si h C P = C Q = C R = r = rggio. Utilizzndo l formul dell distnz tr due punti si ottiene l equzione generle dell circonferenz di centro C ( 0 ; y 0 ) e rggio r: ( 0 ) + ( y y0 ) = r (eq. 1) e, eseguendo qulche pssggio: + y + + y + c = 0 (eq. ) Centro. A prtire dll equzione le coordinte del centro si ricvno medinte le formule: C ( y ) = 0 ; 0 con 0 e y0 = Rggio. A prtire dll equzione e dll conoscenz del centro, l misur del rggio si ricv medinte l formul: r = 0 + y 0 c Csi prticolri. Se = 0 il centro dell circonferenz + y + + c = 0 Se = 0 il centro dell circonferenz + y + y + c = 0 Se = = 0 l circonferenz + y + c = 0 C. gice sull sse : ( 0 ; y0 ) = C ; 0 C. gice sull sse y: ( 0 ; y0 ) = C 0; h il centro nell origine: ( 0 ; y0 ) C( 0;0) Se c = 0 l circonferenz + y + + y = 0 pss per l origine. C =

9 Ellisse Definizione. L ellisse, come l prol e l iperole, è un luogo di punti, cioè un insieme di punti del pino che verificno tutti un stess proprietà; l ellisse è il luogo geometrico dei punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F detti fuochi, hnno somm costnte (=). Con riferimento ll figur si h P F + P F ' = Q F + Q F ' = R F + R F ' = costnte Si trov che l equzione dell ellisse in form cnonic è: (Nell nostr nlisi supponimo > ). + y Semissi, ssi. Il segmento A A è detto sse mggiore dell ellisse, di lunghezz ; OA e OA sono i semissi mggiori, di lunghezz. Anlogmente, il segmento B B è detto sse minore dell ellisse, di lunghezz ; OB e OB sono i semissi minori, di lunghezz. Distnz focle. Il segmento F F è detto distnz focle;i segmenti OF e OF, di lunghezz c, rppresentno l semidistnz focle (distnz dei fuochi dl centro). Tr i prmetri, e c sussiste un relzione: c = 1 = oppure c = Vertici. L ellisse h 4 vertici, di coordinte A (-; 0 ), A ( ; 0), B ( 0; -), B ( 0; ). Fuochi. I fuochi hnno coordinte F (-c; 0 ) e F (c; 0 ). Eccentricità. L eccentricità, indict con il simolo e, misur lo schiccimento dell ellisse. Ess si definisce: e per qunto detto prim risult c e = - 9 -

10 c e = = = 1. Poiché nell ellisse risult c <, l eccentricità vri d 0 d 1 ( 0 e < 1 ). Costruzioni geometriche. Le costruzioni geometriche più uste sono: ) l costruzione del girdiniere, che f uso di un cordicell inestensiile, i cui estremi sono fissti i fuochi; ) l costruzione dei due cerchi o del doppio riltmento, che si ottiene trccindo due circonferenze di rggi e. costruzione del girdiniere costruzione dei due cerchi o del doppio riltmento Equzioni esplicite. Risolvendo l equzione in form cnonic rispetto ll vriile y, si h: y = ± So osservi come le equzioni sino due, un per le y positive, nel I e II qudrnte, l ltr per le y negtive, III e IV qudrnte. Come si può osservre, l vriile indipendente non può ssumere tutti i possiili vlori, m dev essere: Anlogmente si verific per l vriile dipendente y: y Costruzione geometric ttrverso l equzione esplicit. Per trccire il grfico dell ellisse, oltre ll costruzione ttrverso il metodo delle due circonferenze, si possono seguire i seguenti pssi: 1) Si trccino sul pino crtesino i vertici A, A, B e B. ) Utilizzndo l equzione esplicit, trmite l tell -y si ricvino vri punti in successione con sciss prtire d 0 e fino l vlore

11 y Circonferenz come cso prticolre dell ellisse. Se nell equzione dell ellisse + = 1 risult y =, l equzione diviene + = 1 e, infine + y =, che rppresent un circonferenz di centro l origine e rggio. Pertnto l circonferenz è un ellisse con gli ssi congruenti. I fuochi di un circonferenz risultnti coincidenti con il centro dell circonferenz stess. L eccentricità e di un circonferenz risult pri 0. Proprietà dell ellisse. Anche l ellisse, come l prol, h interessnti proprietà ottico-custiche. Supponimo di vere uno specchio di form ellittic: se si pone un sorgente di luce in uno dei due fuochi, tutti i rggi riflessi convergono nell ltro fuoco; questo ci dà un spiegzione del nome ttriuito tli punti F, F'. Supponimo desso di essere in un miente di form ellittic. Il suono emesso in uno dei due fuochi, nche se molto deole, si sente molto distintmente nell ltro fuoco. L spiegzione di tli fenomeni deriv dl ftto che in entrmi i csi si le onde luminose che quelle sonore vengono riflesse dlle preti e, percorrendo tutte l stess distnz, giungono contempornemente (in fse) ll ltro fuoco. Riflettore ellittico G.L. Bernini S. Andre l Quirinle

12 Iperole Definizione. L iperole è il luogo geometrico dei punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F detti fuochi, hnno differenz costnte in vlore ssoluto (=). Con riferimento ll figur si h P F P F ' = Q F Q F ' = costnte Si trov che l equzione dell iperole in form cnonic è: y Semissi, ssi. Il segmento A A è detto sse trsverso dell iperole, di lunghezz ; OA e OA sono i semissi trsversi, di lunghezz. Distnz focle. Il segmento F F è detto distnz focle;i segmenti OF e OF, di lunghezz c, rppresentno l distnz dei fuochi dl centro. Tr i prmetri, e c sussiste un relzione: = 1 c = + oppure Vertici. L iperole h solo vertici, di coordinte A (-; 0 ), A ( ; 0). Fuochi. I fuochi hnno coordinte F (-c; 0 ) e F(c; 0 ). c = + Asintoti. Gli sintoti dell iperole sono due rette pssnti per l origine, centro dell iperole, di equzioni rispettive: y = e y = +. Gli sintoti sono rette tngenti ll iperole ll infinito. Si può cioè vedere che l distnz tr sintoto ed iperole tende zero vi vi che ci si llontn dll origine. c + Eccentricità. L eccentricità, indict con il simolo e, è pri e = = = 1+. Poiché nell iperole è c >, l eccentricità è sempre mggiore di 1 ( e > 1 )

13 Costruzione geometric. Esiste un costruzione del girdiniere nche per l iperole, m risult leggermente più rticolt rispetto quell dell ellisse. Occorrono un cordicell inestensiile ed un sticell rigid. L iperole può essere costruit congiungendo l estremo liero X dell sticell rigid F 1 X, dove F 1 è il fuoco, e l ltro fuoco F con l cord F PX. Mentre l sticell viene ruott intorno d F 1 nd P è tenuto teso contro l sticell stess, il punto P descrive un rmo dell iperole. Equzioni esplicite. Risolvendo l equzione in form cnonic rispetto ll vriile y, si h: y = ± Anche qui le equzioni sono due, un per le y positive, nel I e II qudrnte, l ltr per le y negtive, III e IV qudrnte. Per qunto rigurd i vlori possiili per l vriile indipendente, si h: U L vriile dipendente y può invece ssumere tutti i possiili vlori reli. Costruzione geometric ttrverso l equzione esplicit. Per trccire il grfico dell iperole si possono seguire i seguenti pssi: 1) Si trccino sul pino crtesino i vertici A e A e i punti B(0; ) e B (0; -), come se volessimo disegnre l ellisse. Successivmente si disegni il rettngolo con centro nell origine e pssnte per i 4 punti suddetti. L iperole è tutt l di fuori di questo rettngolo. ) Si trccino le digonli del rettngolo e le si prolunghino; i prolungmenti di tli digonli rppresentno i due sintoti dell iperole. 3) Utilizzndo l equzione esplicit, trmite l tell -y si ricvino 5 o 6 punti con sciss superiore l vlore. Proprietà dell iperole. L iperole, come già visto per l prol e l ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponimo di vere un riflettore di form iperolic, e ponimo un sorgente luminos in uno dei due fuochi d esempio F. Allor i rggi vengono riflessi come se provenissero dll ltro fuoco F. Le triettorie dei rggi riflessi si ottengono cioè congiungendo l ltro fuoco F con il punto di riflessione

14 Iperole equilter. L iperole equilter è un iperole prticolre in cui i semissi e sono uguli. y Imponendo nell equzione dell iperole che =, si ottiene = 1 o nche più semplicemente y = Gli sintoti dell iperole equilter sono le rette isettrici dei qudrnti: y = ±. L semidistnz focle c vle: = c = + = c L eccentricità e è ugule e = = = = 1, 414 y = Iperole equilter riferit gli sintoti. Poiché nell iperole equilter i due sintoti sono ortogonli, è possiile ssumere come ssi del riferimento crtesino proprio le due isettrici. Ciò corrisponde d effetture un rotzione di 45 grdi in senso orrio. In questo cso l equzione dell iperole equilter diviene più semplicemente y =, oppure y = k. Quest è l equzione dell proporzionlità invers. Ricordimo inftti che due grndezze sono inversmente proporzionli se il loro prodotto è costnte. y = k

15 Prolemi con le coniche Posizione di un conic e di un rett. Per determinre l posizione di un conic e di un rett occorre impostre il sistem di equzioni tr l conic e l rett: equzione dell conic y = m + q Tle sistem, risolto, fornirà le eventuli intersezioni tr l conic e l rett. Sostituendo nell equzione dell conic ll y l su espressione y = m + q si ottiene un equzione di II grdo, il cui discriminnte può essere: 1) > 0. In tl cso esistono due soluzioni reli e distinte, cioè due intersezioni diverse tr l conic e l rett; pertnto l rett srà secnte l conic; ) = 0. In tl cso esistono due soluzioni reli e coincidenti, cioè un unic intersezione tr l conic e l rett; pertnto l rett srà tngente ll conic; 3) < 0. In tl cso non esistono soluzioni reli, cioè non vi srà lcun intersezione tr l conic e l rett; pertnto l rett srà estern ll conic. > 0 = 0 < 0 Rette tngenti condotte d un punto fisso P 0 ( 0 ; y 0 ) d un conic ssegnt. Per determinre le equzioni delle rette tngenti d un un conic isogn: 1. in primo luogo determinre l equzione del fscio proprio di rette pssnti per il punto P 0 ; y y0 = m ( 0 ). impostre il sistem tr l equzione dell conic e il fscio di rette ppen trovto; equzione dell conic y = y0 + m ( 0 ) 3. sostituire ll vriile y nell 1ª equzione l espressione dell second, ottenendo così un unic e- quzione di II grdo nel prmetro m. 4. Imporre che il discriminnte di tle equzione si pri 0. Si otterrà così un equzione in m. 5. Risolvendo tle equzione, vremo i coefficienti ngolri delle rette tngenti cercte

16 QUADRO RIASSUNTIVO DELLA PARABOLA ( sse // sse y ) equzione in form cnonic equzione dell sse vertice fuoco equzione dell direttrice intersezione con l sse y intersezioni con l sse I 1 y = + + c = V F y = ;0 ; ; I y ( 0 ;c) I + ;0 QUADRO RIASSUNTIVO DELLA CIRCONFERENZA equzione centro C( y ) rggio + y + + y + c = 0 opp. ( ) + ( y y ) = 0 0 r = 0 ; 0 con 0 e y0 r = 0 + y 0 c = equzione in form cnonic semisse mggiore semisse minore QUADRO RIASSUNTIVO DELL ELLISSE + y = 1 semidistnz focle c = vertici sull sse A (-; 0 ) A ( ; 0) vertici sull sse y B ( 0; -) B ( 0; ) centro O(0;0) fuochi F (-c; 0 ) F ( c; 0) eccentricità equzione esplicit e = c = y = ± = 1 QUADRO RIASSUNTIVO DELL IPERBOLE equzione in form cnonic semisse trsverso y = 1 semidistnz focle c = + vertici A (-; 0 ) A ( ; 0) centro O(0;0) fuochi F (-c; 0 ) F ( c; 0) sintoti y = y = + eccentricità equzione esplicit c + e = = = 1+ y = ±