01 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 7 Le proprietà della retta 1

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1 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett ) Rette prllele ) Rett pssnte per un punto dto e prllel d un rett dt 3) Rette perpendicolri 4) Rett pssnte per un punto dto e perpendicolre d un rett dt 5) Asse di un segento 6) Distnz di un punto d un rett dt 7) Equzioni delle isettrici degli ngoli forti d due rette 8) Fscio proprio di rette 9) Fscio iproprio di rette ) Prolei sull rett ) Coordinte crtesine nello spzio ) Distnz tr due punti 3) Vettori nello spzio

2 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett RETTE PARALLELE Considerio due rette prllele r ed s venti rispettivente equzioni : n oppure : c c n << C.N.S. perché due rette sino prllele è che i loro coefficienti ngolri sino uguli >>. Hp { r // s Th { oppure - Diostrzione dell necessità r // s cs Ar tg C s tg Ar [] [] Dll [] deducio : k R, k, k << Se due rette sono prllele i coefficienti ngolri delle vriili oonie sono proporzionli >> In prticolre possio porre :, D n B n O ϑ A C ϑ

3 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 3 Diostrzione dell sufficienz Hp { Th { r // s tg C s tg Ar cs Ar r // s AOB [] s COD A O C O OA OC Diostrzione B O D O OB OD n i n j n n geoetric n i n n j n n n n n OSSERVAZIONE N : Le rette n ed n ( ed nche c c ) sono rette prllele. OSSERVAZIONE N : Le due equzioni lineri c ed c rppresentno l stess rett se e soltnto se : c k d cui deducio : c k, k c kc OSSERVAZIONE N 3 : In geoetri nlitic per rette prllele si intende rette venti l stess direzione ( cioè venti lo stesso punto iproprio ), sicché due rette sovrpposte rppresentno un cso prticolre di rette prllele Rett pssnte per un punto e prllel d un ltr dt Sino dti il punto P (, ) e l rett r di equzione c oppure n. L rett s pssnte per P (, ) e prllel d r h equzione : ( ) ( ) oppure ( ) Inftti un generic rett prllel d r h equzione : k ( k ) P (, ) s k ( k ), k [k ] Quindi : ( ) ( ) [ ( ) ] 3

4 4 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett << Scrivere l equzione dell rett s pssnte per il punto M(,-5) e prllel ll rett r di equzione ( ) >> 5 ( - ) - 5( 5) ; , oppure : 5 5 ( - ) ; ; RETTE PERPENDICOLARI << C.N.S. perché due rette sino perpendicolri è che risulti : oppure >> r : c, n, tg ϑ s : c, n, tg α Diostrzione dell necessità Hp { r s Th { - oppure s n r p r n π B P(k,k) O C ϑ α A O ϑ R(k,) k Q( k, k ) s α π ϑ tg α tg(π ϑ) tg α - cotg ϑ tg α.tg ϑ - cioè : 4

5 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 5 M : k R k, k e potendosi supporre k ± io :, oppure ; per cui, in prticolre, è vlid l seguente regol prtic : << scindo nell equzione di un rett r il coefficiente dell con quello dell e utndo il segno di uno di essi si ottiene l equzione di un su perpendicolre, cioè un generic perpendicolre ll rett c h equzione k oppure k >> Diostrzione geoetric Considero le rette p, r, s venti rispettivente equzioni k,,. { P } r p P(k,k) ; { Q } s p Q(k, k) { R } p R(k,). Si deduce fcilente che se l ordint di P è positiv, quell di Q è negtiv e vicevers. [ r s et p ] RP RQ OR (k)(- k) k cioè : - in qunto è : RP k ; OR k P R P RQ k R Q Q Altr r s AO BO AB diostrzione ( ) ( ) ( ) ( ) s B ; ) ( O r A( ; ) ; A ( ; ) r B( ) s ; ( ; ) r: ( ) A ; s ; ; r s B : AO BO AB ( ) 5

6 6 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett Diostrzione dell sufficienz HP { - Th { r s Ponendo ABC α io : β α-ϑ, - tg α tg ϑ - β α-ϑ tg β tg( α - β ) tg β tg α tg θ tg α tg θ tgα tgθ tg α tg θ β π r s Diostrzione vettorile i j i P - O k k ; Q - O k k r s (P - O) (Q - O ) k k Potreo scegliere : Q ( ; ) P( ; ) j Rett pssnte per un punto e perpendicolre d un ltr dt Adesso scrivio l equzione dell rett s pssnte per il punto P (, ) e perpendicolre ll rett r di equzione c ( n ). Un generic perpendicolre ll rett r h equzione : k [ Se voglio che pssi per il punto P (, ) deve versi : k [ [ k k ] cioè : k ] e quindi : [ ] k ] ( ) ( ) [ ( ) ] << Si dt l rett r pssnte per i punti A(,) e B(4,). Scrivere l equzione dell rett s pssnte per il punto C(3,-) e perpendicolre ll rett r >> r B B Pertnto l rett s h equzione : ( ) A A 4 3, s r s 3 C p C r 3( 3 ), 3 8, 3 8 6

7 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 7 Altro procediento 4 ; 3 ( rett AB ) 3( 3) ( ) ; 3 8 ( rett s ) s B r A O C Asse di un segento Per clcolre l equzione dell sse di un segento possio seguire tre diversi procedienti. ) Sino A(, ) e B(, ) gli estrei di un segento e P(, ) un generico punto del suo sse. Dll geoetri euclide sppio che PA PB e P B quindi nche PA PB distnze possio scrivere:. Applicndo l forul delle ( ) ( ) ( ) ( ) M Sviluppndo e seplificndo ottenio : O A ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 8 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett ) Si M ; il punto edio del segento AB. L sse richiesto,dovendo pssre per il punto M ed essere perpendicolre ll rett AB, h equzione : che ridott for cnonic è identic quell precedenteente clcolt. 3) Considerti i vettori (B - A) e (P - M) possio scrivere : ( P M ) ( B A) M : P M e quindi : i j ( ) ( ), B A ( ) i ( ) j equzione identic quell già clcolt. Esepio nuerico : A(,) B(4,), ( - ) ( - ) ( - 4) ( - ) , 6-8, 3-9 Distnz di un punto d un rett Per clcolre l distnz del punto P(, ) dll rett r di equzione c si procede coe segue : ) clcolio il coefficiente ngolre dell rett r : r ) clcolio il coefficiente ngolre di un rett perpendicolre d r : s 3) Scrivio l equzione dell rett s pssnte per P e perpendicolre d r : ( ) s O P, ) ( r: c H d P r ( ) 8

9 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 9 4) Clcolio le coordinte del punto H intersezione dell rett r con l rett s risolvendo il seguente siste : c c c, c ( ) c c c c ( c ) c, c H( c, c ) 5) clcolio l distnz fr i punti P ed H pplicndo l forul ( ) ( ) cioè : ( ) ( ) P H P H PH c c c ( ) ( ) c ( c) ( ) ( ) c c c ( c ) ( ) ( ) d(p,r) PH d δ c 9

10 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett Equzioni delle isettrici degli ngoli forti d due rette Considerio le rette r ed r venti rispettivente equzioni c c. Noi sppio che l isettrice di un ngolo è il luogo geoetrico dei punti dell ngolo equidistnti di due lti. Le isettrici p e p degli ngoli forti dlle rette r ed r sono due e sono fr loro perpendicolri. Detto llor P(,) il generico punto di un delle due isettrici possio scrivere : PH PK c c c d c ± d oppure d ± c e quindi io : [] c c ± cioè : c c ± ± ± p p in qunto risult A A B B - L [] è l equzione coplessiv delle due isettrici M coe fre per stilire qule delle due equzioni rppresent p e qule rppresent p. ) poiché risult p p srà p p cioè ed hnno segni discordi. Quindi nel cso dell figur è p p p d vere coefficiente ngolre positivo. ) nell equzione [] sceglio il segno dvnti l rdicle in odo che c e c sino concordi. L equzione cosi ottenut è quell dell isettrice ( nel nostro cso p ) dell ngolo che contiene l origine O degli ssi crtesini.

11 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett Altro etodo per clcolre le equzioni delle isettrici Sino n ed n rispettivente le equzioni delle rette r ed r. Si il coefficiente ngolre di un delle due isettrici. r A p r A p tgr A p tgr A p tg A p Ar tg Ar A p cioè ( ) ( ) ( ) equzione di secondo grdo in le cui rdici forniscono i coefficienti ngolri delle due isettrici. Il prodotto di tli rdici vle : c Le due isettrici sono fr loro perpendicolri. ( )( ) ± Per potere scrivere le equzioni delle due isettrici isogn clcolre le coordinte del loro punto A d intersezione. Tli coordinte si ottengono risolvendo il siste forto dlle equzioni delle rette r ed r. ESEMPIO NUMERICO r : r :, 4 ± 4 Equzione di p :, Equzione di p : 5 5 -

12 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett

13 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 3 Fscio proprio di rette Dicesi fscio proprio di rette l insiee di tutte le rette del pino pssnti per uno stesso punto P (, ) detto centro del fscio. Un fscio proprio di rette è deterinto dl suo centro P (, ) e d due sue qulsisi rette del fscio l cui intersezione ne dà il centro. Se conoscio le coordinte ( o, o ) del centro del fscio llor l su equzione è : [] ( ) o eglio : ( ) ( ) [] o L [], l vrire di, dà tutte le rette del pino pssnti per il punto P (, ) con l sol esclusione dell rett o ( ) prllel ll sse. o o L [] l vrire dei due pretri oogenei e, i conteporneente nulli, ci fornisce le equzioni di tutte le rette ( senz nessun eccezione ) del pino pssnti per P (, ). Per ottenio l rett pssnte per P (, ) e prllel ll sse delle, per ottenio l rett pssnte per P (, ) e prllel ll sse delle. Se invece non conoscio le coordinte del centro P (, ), conoscio le equzioni f(,) c g(,) c di due sue qulsisi rette s ed s, llor l equzione del fscio può essere scritt nell for : [3] oppure ( h k ) ( h k ) hc k c oogenei non conteporneente nulli. Ponendo l k h rispettivente : h ( c) k( c [4] con h e k pretri reli oppure t o h ottenio k c l( c) [5] t ( c) c [6] L uso di due pretri oogenei ( cioè definiti eno di uno stesso fttore di proporzionlità ) h e k,potendo essere nullo soltnto uno di essi, ci consente di ottenere tutte le rette del fscio senz eccezioni, coprese le rette che individuno ( generno ) il fscio. Inftti l rett s si ottiene ponendo nell equzione [3] k, entre per vere l rett s st porre h. Invece, se utilizzio coe equzione del fscio l [5] non possio ricvre l equzione dell rett s, entre se utilizzio l [6] non possio ricvre l equzione dell rett s. 3

14 4 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett Diostrio desso che l [3] rppresent l equzione di un generic rett del pino pssnte per il punto P (, ). L [3] è un equzione di prio grdo due incognite ( e quindi rppresent un rett ) in qunto i coefficienti dell e dell non si nnullno i conteporneente. Inftti, se per ssurdo questo si verificsse, dovreo vere : h k, h k cioè : k, h conteporneente i nueri h e k dovreo vere Quindi non potendo essere siultneente nulli i nueri h k e quindi, non potendo essere nulli h cioè s s contro l ipotesi. k e h k l [3] rppresent un rett. Diostrio desso che tle rett pss, counque sceglio h e k non siultneente nulli, sepre per il punto P (, ). h.f( o, o ) k.g( o, o ), h. k., in qunto P o s e quindi f( o, o ), P o s e quindi g( o, o ). Pertnto l equzione [3] o l equivlente [4] rppresent l equzione di un fscio di rette di centro P (, ). Se voglio clcolre l equzione di un prefisst rett r del fscio di equzione [3] st iporre l condizione che ci consente di individure l rett r. Quest condizione potree essere quell del pssggio dell rett r per un punto P (, ) diverso d P (, ) o quell di conoscere il coefficiente ngolre di r. Nel prio cso io : h c k c di r è : ( q ) ( q ) qc c. Nel secondo cso io : h ( ) k( ), r r h k h h k k r ( ) r ( ) q e l equzione, h k h k, r d e l equzione di r è : ( d ) ( d ) dc c r r << Scrivere l equzione del fscio di rette di centro P o (-;3) >> h - 3 ( ) oppure ponendo k( - 3) h( ) k << Scrivere l equzione del fscio individuto dlle rette - 3 5, 5-3 >> h( - 3 5) k(5-3) cioè : (h 5k) (k - 3h) 5h - 3k 4

15 Mtetic Liceo \ Unità Didttic N 7 Le proprietà dell rett 5 ( ) ( ) Clcolre le coordinte del centro del fscio di rette vente equzione t 3 t 3 5t Y 3, t t 3 5t o ( - 3 3) t( - 5) P o ( ;3 ) ALTRO PROCEDIMENTO Bst dre l pretro t due prticolri e convenienti vlori. Si ottengono due rette del fscio che ci consentono, con l loro intersezione, di individure il centro del fscio. t , t Un fscio proprio di rette è rppresentto d un equzione di prio grdo due incognite i cui coefficienti sono funzioni lineri di un pretro, oppure sono funzioni lineri di due pretri oogenei. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Tutte le rette del pino fr loro prllele costituiscono un fscio iproprio di rette o un fscio di rette centro iproprio. In questo cso st un sol rett r del fscio per individure il fscio stesso l cui equzione ssue un delle due seguenti fore : [7] t [8] t secondo che l equzione di r è del tipo n oppure del tipo c. Al vrire di t ottenio tutte le rette del pino prllele d r e per t n ( t c ) ottenio l stess rett r. 3 t è l equzione di un fscio di rette individuto dll rett t è l equzione del fscio di rette individuto dll rett - 5. t ( oppure t ) è l equzione di un fscio di rette prllele ll sse delle. t ( oppure t ) è l equzione di un fscio di rette prllele ll sse delle. Un fscio di rette prllele ( fscio iproprio di rette ) è rppresentto d un equzione di prio grdo due incognite il cui terine noto è funzione linere di un pretro. 5