Parabola Materia: Matematica Autore: Mario De Leo
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- Lia Sorrentino
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1 Prol Definizioni Prol on sse prllelo ll sse Prol on sse prllelo ll sse Prole prtiolri Rppresentzione grfi Esepi di eserizi Rett tngente d un prol Eserizi Mteri: Mteti Autore: Mrio De Leo
2 Definizioni Luogo geoetrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso F detto fuoo e d un rett fiss d dett direttrie Asse di sietri dell prol è l rett perpendiolre ll direttrie e pssnte per il fuoo. Il vertie è il punto d intersezione dell prol on l sse di sietri.
3 Prol on sse prllelo ll sse tipo: onvità rivolt verso l lto ( > ) tipo: onvità rivolt verso il sso ( < ) d F. F. d Forule: direttrie: sse di sietri: F
4 Prol on sse prllelo ll sse tipo: onvità rivolt verso destr ( > ) tipo: onvità rivolt verso sinistr ( < ) d d F F Forule: F direttrie: sse di sietri:
5 Prole prtiolri ) L equzione di un prol vente il vertie sull sse è: o vente il vertie sull sse : ) L equzione di un prol pssnte per l origine è: ) L equzione di un prol vente il vertie nell origine è:
6 Rppresentzione grfi (trttereo solo prole del tipo ) Rppresent l prol di equzione: ) Si lolno le oordinte del vertie v v ) si individuno due o tre punti ssegnndo ll vlori ggiori o inori dell siss del vertie (vedi tell lto) l sietri dell figur frà orrispondere d essi ltri tre punti. C' A B C A' B' ) Unendo i punti si otterrà un rppresentzione stnz rele (vedi figur lto)
7 Esepi di eserizi ) Trovre l equzione dell prol dti fuoo ed equzione dell direttrie: Si utilizz l definizione dell prol uguglindo l distnz di un generio punto P dl fuoo e dll direttrie. Esepio: Dti il fuoo F e l direttrie prol. trovre l equzione dell PF Pd elevio entri i eri l qudrto 9 e sondo i terini siili e ordinndo si ottiene 8 d ui 8 ) Trovre l equzione dell prol pssnte per tre punti: Si sostituisono le oordinte dei punti nell equzione noni ottenendo osì tre equzioni, nelle inognite,,, he ettereo siste i vlori ottenuti dll risoluzione del siste ndrnno sostituiti nell equzione noni.
8 ) Trovre l equzione dell prol onosendo: ) vertie e fuoo ) vertie e direttrie ) fuoo e direttrie d) vertie e un punto e) fuoo e un punto f) direttrie e due punti g) due punti e un rett d ess tngente... In tutti questi si, ed ltri, si risolverà il siste (di tre equzioni nelle tre inognite,, ) ottenuto uguglindo lle forule di direttrie, fuoo, vertie, ed ltro i vlori noti (so prtiolre è quello in ui si h l rett tngente perhé dovreo pri ottenere l equzione del = nel siste rett-prol noni). Esepio: Trovre l equzione dti il vertie e il punto. Sostituio nelle forule di i vlori e - e il punto P nell equzione noni e risolvio il siste osì ottenuto: P * *
9 sostituendo. In questo eserizio ll seond ondizione posso sostituire l ondizione di pprtenenz (il vertie pprtiene ll prol): 8 ) ( * * * e ipossiile 8
10 Rett tngente d un prol Per trovre l equzione dell rett tngente d un prol e pssnte per un punto ettio siste l equzione dell prol on l equzione del fsio delle rette pssnti per il punto svolgendo il siste otterreo un equzione di seondo grdo in ui iponendo he il si ugule si otterrnno i vlori di delle rette tngenti pssnti per il punto (se il punto pprtiene ll rett si otterrà un solo vlore di e quindi un sol tngente). ESEMPIO: Trov l equzione dell rett tngente ll prol di equzione e pssnte per il punto P 8 ) ( equzione vrà rett l
11 Eserizi ) Rppresent le prole di equzioni: ) Deterin i punti di intersezione dell prol di equzione on l rett di equzione. ) Trov l equzione dell prol pssnte per i punti: C B A ) Srivi l equzione dell prol vente fuoo e direttrie di equzione. F 8 ) Srivi l equzione dell prol vente vertie e pssnte per il punto. P ) Trov le equzioni delle rette tngenti ll prol di equzione e pssnti per il punto. P 8 7
L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i
4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013)
Fsio iproprio di rette prllele r: ipliit risult q r si h: q ; esso in for. onsiderndo he ( ;) q ( q) q e 8 q q q q 6q 6 q ± 6 q 8; q Le tngenti srnno: 8, ; L ironferenz (Polo Urni pri stesur settere ggiornento
La parabola. Fuoco. Direttrice y
L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino
Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli
Ellisse ed iperole Ellisse Definizione: si definise ellisse il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. L equzione noni dell ellisse
tan tan = angolo formato dalla normale p,q = lunghezze dei segmenti misurati a partire dall origine n = distanza della retta dall origine
G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti Forulrio i geoetri nliti G. Di Mri Rette For generle (ipliit) For riott (espliit) For norle 0 q For segentri os sin n 0 p q p,q = lunghezze ei segenti stti ll rett sugli
Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot
Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità
Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE
Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz
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Equazioni di secondo grado Capitolo
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![{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.](/thumbs/59/42788277.jpg "{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.")
Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8
Il piano cartesiano e la retta
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Ellisse. L ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi. definizione. P semidistanza focale
Elliss dfinizion L lliss è il luogo gomtrio di punti dl pino tli h l somm dll distnz d du punti fissi F1 F2 dtti fuohi è ostnt, ioè: smiss mggior smiss minor P smidistnz fol F 2 smidistnz fol F 1 F 2 smiss
L IPERBOLE. x si sviluppano i prodotti notevoli; 25 y 8 si porta un radicale al 2 membro; 25 y si elevano i due membri al quadrato;
L IPERBOLE L'IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO L iperole è il luogo geometrio dei punti P del pino rtesino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi, F ed F, detti fuohi. Il punto medio
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, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
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c β Figura F2.1 Angoli e lati in un triangolo rettangolo.
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Funzioni Consider le seguenti telle e stilisci se e sono direttmente proporzionli, inversmente proporzionli o se vi è un proporzionlità qudrtic. Scrivi l espressione nlitic delle funzioni e rppresentle
Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE
Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione
Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde
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Noe..Cognoe.clsse 4C 7 Mggio Verific di Mtetic PROBLEMA ( punti In un tringolo ABC il lto BC isur e l ngolo opposto è di. Deterinre in funzione dell piezz di ABC ˆ CH l ndento di f ( essendo CH e bisettrici
5 Geometria analitica
58 Formulrio di mtemtic 5 eometri nlitic 5.1 Punti e rett distnz di due punti d ( ) + ( y y ) 1 1 distnz tr due punti con ugule sciss d y y1 distnz tr due punti con ugule ordint d 1 punto medio di un segmento
Il problema delle scorte tomo G
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È bene attribuire lo stesso verso (orario o antiorario) a tutte le correnti fittizie. E 1 = 6V ; E 4 = 4V ; I o = 2mA. R 1 = R 5 = 2kΩ ; R 4 = 1kΩ
MTODO DLL CONT CCLCH O D MAXWLL TNSON TA DU PUNT D UNA T. LGG D OHM GNALZZATA MTODO DL POTNZAL A NOD TASFOMAZON STLLA-TANGOLO TANGOLO-STLLA prinipi di Kirhhoff onsentono di risolvere un qulunque rete linere,
TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE
uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.
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I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi.
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MATEMATICA Classe Prima
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EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI
Equzioi espoezili e riti pg 1 Adolfo Sioe 1998 EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI Fuzioe Espoezile Dto u uero rele positivo osiderio l fuzioe f : R R he d ogi eleeto R f orrispodere l'eleeto y =. Se =
Esercitazione Dicembre 2014
Esercitzione 10 17 Dicembre 2014 Esercizio 1 Un economi chius è crtterizzt di seguenti dti: A = 400 M = 250 γ = 1.5 (moltiplictore dell politic fiscle) β = 0.8 moltiplictore dell politic monetri z = 0.25
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v 0 = 2,4 m/s T = 1,8 s v = 0 =?
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