igeometria Salvatore Di Lucia 8 Luglio 2011

Transcript

1 igeometri Slvtore Di Lui 8 Luglio

2 INDICE COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO... 6 CARATTERIZZAZIONE DEL PIANO CARTESIANO... 7 PUNTI SIMMETRICI... 7 DISTANZA TRA DUE PUNTI... 8 COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO... 9 LA TRASLAZIONE DEGLI ASSI... 9 LA ROTAZIONE DEGLI ASSI... AREA DI UN TRIANGOLO PRIMO APPROCCIO... AREA DI UN TRIANGOLO SECONDO APPROCCIO... AREA DI UN TRIANGOLO TERZO APPROCCIO FORMULA DI SARRUS... LA RETTA... 6 EQUAZIONI DEGLI ASSI... 6 EQUAZIONI DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI... 6 RETTA PARALLELA ALL'ASSE DELLE X... 6 RETTA PARALLELA ALL'ASSE DELLE Y... 6 RETTA PASSANTE PER L'ORIGINE... 7 IL COEFFICIENTE ANGOLARE M... 7 RETTA IN POSIZIONE GENERICA... 8 EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA... 9 EQUAZIONE SEGMENTARIA DELLA RETTA... POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE... RETTE INCIDENTI... RISOLUZIONE GRAFICA DI UN SISTEMA DI PRIMO GRADO DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE, CONSIDERAZIONI GENERALI.... RETTE PARALLELE. CONDIZIONE DI PARALLELISMO... RETTE PERPENDICOLARI. CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ... FASCI DI RETTE... FASCIO PROPRIO DI RETTE... FASCIO IMPROPRIO DI RETTE... EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI... DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA... 6

3 AREA DI UN TRIANGOLO ALTRO APPROCCIO... 8 CIRCONFERENZA: DEFINIZIONE ANALITICA... STUDIO DELL'EQUAZIONE CANONICA... POSIZIONE RECIPROCA TRA RETTA E CIRCONFERENZA... DETERMINAZIONE DELLE TANGENTI AD UNA CIRCONFERENZA... METODO... METODO... METODO... 5 PUNTI COMUNI A DUE CIRCONFERENZE... 5 FASCI DI CIRCONFERENZE... 5 VARI TIPI DI FASCI DI CIRCONFERENZE... 7 LA PARABOLA: DEFINIZIONE ANALITICA... EQUAZIONE GENERALE PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL'ASSE Y... PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL'ASSE DELLE X... INTERSEZIONI DELLA PARABOLA CON UNA RETTA... TANGENTI ALLA PARABOLA... CONDIZIONI GENERALI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLA.... FASCI DI PARABOLE... TEOREMA DI ARCHIMEDE AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO... 5 ELLISSE: DEFINIZIONE ANALITICA... 7 SIMMETRIE NELL'ELLISSE... 8 PROPRIETÀ DELL'ELLISSE... 8 INTERSEZIONI DELL ELLISSE CON UNA RETTA... 9 TANGENTI AD UN ELLISSE... 9 CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN ELLISSE... 5 ECCENTRICITÀ DELL'ELLISSE... 5 ELLISSE COI FUOCHI SULL'ASSE Y... 5 ELLISSE TRASLATA... 5 COSTRUZIONI DELL'ELLISSE... 5 L IPERBOLE: DEFINIZIONE ANALITICA IPERBOLE CON I FUOCHI SULL'ASSE Y SIMMETRIE E PROPRIETÀ DELL'IPERBOLE... 56

4 ASINTOTI ALL'IPERBOLE ECCENTRICITÀ DELL'IPERBOLE IPERBOLE EQUILATERA IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI... 6 INTERSEZIONI DELL IPERBOLE CON UNA RETTA... 6 TANGENTI AD UNA IPERBOLE... 6 LA FUNZIONE OMOGRAFICA IPERBOLE EQUILATERA TRASLATA... 6 CONDIZIONI GENERALI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA IPERBOLE INTRODUZIONE ALLE CONICHE... 6 LE CONICHE COME RICONOSCERLE LUOGO GEOMETRICO ESERCIZI RETTA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA ESERCIZI CIRCONFERENZA... 7 PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA ESERCIZI PARABOLA... 7 RISOLUZIONE GRAFICA DELL EQUAZIONE DI GRADO... 7 EQUAZIONI DI PARTICOLARI PARABOLE PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA ESERCIZI ELLISSE PROBLEMA ESERCIZI VARI... 77

5 PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA... 8 PROBLEMA... 8

6 Coordinte rtesine nel pino L geometri nliti si s sul onetto di ssi oordinti introdotto d Crtesio e d P. Fermt nel 67. E' possiile stilire un orrispondenz iunivo fr i punti di un pino e le oppie ordinte di numeri reli. dto il punto determinre l oppi di vlori, dt l oppi di vlori determinre il punto. Trimo sul pino due rette orientte perpendiolri fr loro ssi oordinti, in generle un orizzontle e l'ltr vertile, himndole, rispettivmente, sse X o delle sisse ed sse Y o delle ordinte. Il punto O di intersezione delle due rette si die origine degli ssi. Definimo pino rtesino ortogonle O un pino sul qule sino stti fissti due ssi oordinti ed un unità di misur. P, oppure P,. Considerto un punto qulunque P del pino, sino P e P le proiezioni ortogonli di P sull'sse e sull'sse. Fisst un unità di misur u, sino e, rispettivmente, le misure dei segmenti orientti OP ed OP. I numeri osì trovti si himno oordinte rtesine del punto P. Preismente: siss del punto P, ordint di P. In questo modo imo ssoito l punto generio P del pino l oppi ordint di numeri reli,, sriveremo: Tle srittur si legge "punto P di oordinte, ", intendendo on l prol l oppi ordint di numeri reli,. Vievers, onsiderti due numeri reli ed, é possiile determinre uno ed un sol punto P pprtenente l pino, vente siss ed ordint. Inftti, determinti sugli ssi ed i punti P e P tli he i segmenti orientti OP ed OP ino misur ed, se ompletimo il rettngolo di lti OP ed OP si determin sul pino uno ed un solo punto P, qurto vertie del rettngolo OP PP vedi figur orrispondente lle oordinte,. In definitiv rest osì stilit l orrispondenz iunivo dei punti del pino on le oppie ordinte dei numeri reli, ioè: d ogni punto del pino orrisponde un oppi di numeri detti le oordinte del punto e d ogni oppi ordint di numeri reli orrisponde un punto del pino vente quei due numeri ome oordinte.

7 Crtterizzzione del pino rtesino Gli ssi ed dividono il pino in quttro ngoli retti he si diono qudrnti disposti in senso ntiorrio, ome indito in figur nell pgin preedente, detti rispettivmente primo, seondo, terzo e qurto qudrnte. I qudrnti osì definiti rtterizzno: i punti del primo qudrnte hnno siss ed ordint medue mggiori di zero; i punti del seondo qudrnte hnno siss minore di zero ed ordint mggiore di zero; i punti del terzo qudrnte hnno siss ed ordint medue minori di zero; d i punti del qurto qudrnte hnno siss mggiore di zero ed ordint minore di zero; e i punti dell'sse delle sisse hnno ordint null; f i punti dell'sse delle ordinte hnno siss null; g l'origine degli ssi rtesini è l'unio punto del pino vente siss ed ordint nulle. Punti simmetrii Qudrnte Asisse: Ordinte: Segni oordinte I Conordi II Disordi III Conordi V Disordi Due punti simmetrii rispetto ll'sse hnno l stess siss e le ordinte opposte: P, e P',. Due punti simmetrii rispetto ll'sse hnno l stess ordint e le sisse opposte: P, e P",. Due punti simmetrii rispetto ll'origine hnno entrme le oordinte opposte: P, e P"', I - III qud. hnno le sisse ed ordinte opposte e vievers P, e P", II - IV qud. Due punti simmetrii rispetto ll isettrie del I e III qudrnte hnno ome oordinte: P, e Q, Due punti simmetrii rispetto ll isettrie del II e IV qudrnte hnno ome oordinte: P, e Q,. D qunto detto possimo, dto il punto P,, risontrre i suoi simmetrii:

8 rispetto ll sse h oordinte, rispetto ll sse h oordinte, rispetto ll origine h oordinte, I - III qud. e vievers rispetto ll isettrie I - III qud. h oordinte, rispetto ll isettrie II - IV qud. h oordinte, Inoltre se il punto dto fosse stto P, il suo simmetrio rispetto ll origine sree stto, II -IV qud.. Distnz tr due punti Sino P, e P', due punti del pino riferito d un sistem di ssi rtesini ortogonli O; si vuole trovre l loro distnz d PP'. Dl teorem di Pitgor pplito l tringolo risult d Periò: l distnz fr due punti di oordinte ssegnte è dt dll rdie qudrt dell somm dei qudrti delle differenze tr le rispettive oordinte. Csi prtiolri: uno dei due punti, d esempio B, oinide on l'origine del pino rtesino. Tenuto onto he O,, vremo: d OA

9 i due punti A e B hnno ugul ordint. Allor si h : d B A i due punti A e B hnno ugul siss. Allor si h : d B A Coordinte del punto medio di un segmento Assegnti due punti di oordinte P,, Q, determinre le oordinte m, m di M, punto medio del segmento PQ. Asse Asse P M M Q P M M Q m - m m m d m m ui le formule he permettono di lolre tli oordinte sono: m m Conlusione: Le oordinte del punto medio di un segmento sono uguli ll semisomm delle oordinte omonime degli estremi. Esempio: Trovre le oordinte del punto medio del segmento he h per estremi i punti P, 5 e Q7,. Si h: M 7/ 5, M 5 / L trslzione degli ssi Dto il sistem di ssi rtesini XOY, si onsideri il sistem di ssi rtesini XO'Y, on gli ssi X e Y rispettivmente equiversi e prlleli gli ssi, ed vente l'origine nel punto O',. Se P è un punto generio on oordinte,, nel sistem O, e X,Y, nel sistem XO'Y, vlgono le seguenti trsformzioni : OP OM MP X OP ON NP Y in definitiv : trslzione X Y

10 trslzione invers X Y Formule he permettono di effetture il pssggio d un sistem dto l nuovo sistem e vievers. L rotzione degli ssi Tlvolt si present l neessità di trsformre le oordinte di un punto, qundo i nuovi ssi hnno l stess origine di quelli primitivi, m sono ruotti rispetto d essi di un ngolo di mpiezz. Gli ssi primitivi sino, ; i nuovi X e Y, e questi sino ruotti di un ngolo mpio, rispetto i primitivi. D P si onduno i segmenti perpendiolri PA, PB, PC, PD rispettivmente gli ssi,, X e Y. D C si ondu CM perpendiolre ll sse delle e CN perpendiolre l segmento PA. Si not intnto he è ÔX NPC, essendo ngoli uti on i lti perpendiolri, e he OA, OB, OC X e OD Y. Poihè è OA OM NC Per le proprietà dei tringoli rettngoli in trigonometri i singoli ddendi vrnno espressione: d ui: OM OC os X os e NC PC sin OD sin Y sin, OA OM NC X os Y sin Anlogmente : AP MC NP dove MC OC sin X sin e NP PC os OD os Y os risultndo AP MC NP X sin Y os In definitiv : X os Y sin X sin Y os Queste formule servono per pssre dl vehio l nuovo sistem ; mentre risolvendo lo stesso sistem rispetto d X ed Y, si trov

11 X os sin Y sin os Dove quest ultime servono per il pssggio inverso. Per memorizzrle è opportuno tenere mente l semplie tell: X Y os sin sin os D ess è file ottenere un inognit qulsisi, d esempio X, ddizionndo il prodotto delle ltre inognite per le funzioni goniometrihe ontenute nell rig dell inognit ert. Se 5 in senso ntiorrio llor sin os X X Y Y ottenendo : X Y Le stesse onlusioni si potevno rggiungere nhe on onsiderzioni geometrihe, notndo dll figur lto he : OS OH SH OH essendo OHS metà qudrto nhe PH S lo srà on SH H P, quindi si potrà srivere OH SH Anlogmente : OH HP X Y d ui HP HS SP OS H P OS H P OH SH H P X Y

12 Se 9 in senso ntiorrio llor l sse X si sovrppone in direzione e verso dell sse e l sse Y si sovrppone ll sse, m on verso opposto, onseguentemente oltre he on fili onsiderzioni trigonometrihe imo : Y X X Y Se 8 rotzione in senso ntiorrio llor l sse X si sovrppone ll sse, m on verso opposto, osì pure l sse Y on verso opposto. D ui le formule del puntp P nei due sistemi: X Y X Y Se 7 in definitiv rivimo : Y X X Y

13 Are di un tringolo primo pproio L re di un tringolo determinile medinte svrite formule, seond delle grndezze noi h note o rivili, osi dll lssi A s ll formul di Erone noti i lti ed il semiperimetro A s p p p p, m in questo mito sfrutteremo soltnto le oordinte dei punti dti. Considerimo il so di figur lto on il tringolo ABC on il lto AC prllelo ll sse. Sino A, ; B, ; C, i tre vertii dove ne onsegue: h CABH A s Cso risolto sfruttndo l formul generle pplindo le oordinte dei punti dti in vlore ssoluto. Nel so generle, poi, si può proedere in vri modi, o deomponendo il tringolo dto in due tringoli on l se prllel ll sse, oppure onsiderndo i trpezi AA C C CC BB AA BB Ne onsegue he l re del tringolo ABC è otteniile medinte: S ABC S AA C C S CC BB S AA BB Clolimo singolrmente le vrie ree onsiderndo le oordinte dll figur: S AA C C AA C C C A S CC BB CC BB B C S AA BB AA BB B A

14 S ABC Con fili loli lgerii ed ordinndo rispetto lle sisse si ottiene: S ABC Mentre ordinndo rispetto lle ordinte vremmo ottenuto: S ABC Quindi: l re del tringolo è dt dll metà dell somm dei prodotti delle sisse dei tre vertii ordintmente per le differenze delle ordinte; oppure dll semisomm dei prodotti delle ordinte dei tre vertii ordintmente per le differenze delle sisse degli ltri due vertii. L superfiie del tringolo può risultre positiv o negtiv, m l si riterrà sempre in vlore ssoluto. Qundo risultsse S, l formul onsidert esprime, per mezzo del seondo memro, l ondizione ffinhé tre punti sino llineti, oppure due punti oinidno, o infine qundo tutti e tre sino oinidenti. Are di un tringolo seondo pproio Per ffrontre quest ltr modlità di risoluzione, doimo riordri ome imo risolto i sistemi di primo grdo on il metodo di Krmer, dove definivmo mtrie qudrt del ordine il simolo dti quttro numeri,,, d. d Inoltre definivmo determinnte dell mtrie dt, e si indi on il simolo il numero d d, di onseguenz: d d Premesse queste definizioni, è possiile dimostre he l re del tringolo di vertii A, ; B, ; C, è dt dll relzione: S ± Dove dvnti l determinnte onsidereremo il segno positivo o negtivo, seond he il suo vlore si positivo o negtivo. Are di un tringolo terzo pproio formul di Srrus Per introdurre quest ulteriore modlità fimo riferimento l onetto di mtrie qudrt del

15 terzo ordine un qudro del tipo dti i numeri,,,,,,,,. Eene in generle è detto determinnte lo sviluppo di un mtrie qudrt di ordine n, osì ottenuto: si sopprime l rig di posto i e l olonn di posto k he si inroino nell elemento ik, ottenendo osì un mtrie di ordine n dett minore omplementre dell elemento onsiderto. Il vlore di tle minore v preso on il segno positivo o negtivo, seondo he i k è dispri o pri detto omplemento lgerio. I loli sono loriosi, di onseguenz è meglio riordre un regol prti di proedur odifit: il vlore del determinnte si ottiene moltiplindo gli elementi di qulsisi line, d esempio un rig, per i propri omplementi lgerii e sommndone i risultti. Ne onsegue he per lolre l re del tringolo di vertii A, ; B, ; C, è possiile ostruire il qudro mtriile di terzo ordine del tipo: S ± ± Ritrovndo nor l formul del prgrfo preedente. REGOLA DI SARRUS Infine esiste un ltro modo per l risoluzione rpid del determinnte del terzo ordine, detto regol di Srrus, he onsiste nel trsrivere destr dell mtrie stess le sue prime due olonne, proedendo poi ome nell esempi, dti i tre vertii del tringolo A, ; B, ; C, : A [ ]

16 L rett Fissto un sistem di ssi rtesini ortogonli O un qulsisi rett r, è un luogo geometrio, definito dll equzione linere I grdo nelle vriili ed. Si vuole determinre, quindi, l relzione lgeri he interorre tr le oordinte e di un generio punto P pprtenente d r. Allo sopo inominimo onsiderre rette in posizioni prtiolri rispetto gli ssi e determinrne le orrispondenti equzioni. Equzioni degli ssi Equzioni delle rette prllele gli ssi L'sse delle sisse è il luogo dei punti del pino venti ordint null per ui, tle sse, è rppresentto dll'equzione: he è soddisftt d tutti e soli i suoi punti P,. L'sse delle ordinte è il luogo dei punti venti siss null per ui, tle sse, è rppresentto dll equzione: he è soddisftt d tutti e soli i suoi punti Q,. Rissumendo: eq. sse eq. sse Rett prllel ll'sse delle Si r un rett prllel ll'sse ed A,k un punto d ess pprtenente. Tutti i suoi punti hnno ugule ordint k, per ui l rett è rppresentt dll equzione: k Rett prllel ll'sse delle Si t un rett prllel ll'sse e Bk', un punto d ess pprtenente. Tutti i suoi punti hnno l stess siss k', per ui l rett è rppresentt dll equzione: k'

17 Rett pssnte per l'origine le oordinte è m diverso d, ossi m L rett r pssnte per l'origine è il luogo dei punti tli he è ostnte il rpporto tr l'ordint e l'siss. Sino A, e B, due punti generii dell rett r, distinti dll'origine; sino A' e B' le loro proiezioni ortogonli sull'sse. I tringoli OAA' e OBB' sono simili e si h pertnto l seguente proporzione : AA ' BB' pssndo lle misure OA' OB' Possimo llor onludere he se m è il vlore ostnte di tle rpporto ed il generio punto dell rett h oordinte,, l relzione esistente tr L è dunque l'equzione del luogo dei punti on ordint proporzionle ll'siss, seondo un opportuno oeffiiente m detto oeffiiente ngolre dell rett. Il oeffiiente ngolre m All ostnte m si dà il nome di oeffiiente ngolre dell rett r. Tle oeffiiente ngolre dipende dll'ngolo formto dll rett r e dl semisse positivo delle qundo questo ruot in senso ntiorrio fino sovrpporsi ll rett. Quindi esso vri l vrire dell inlinzione dell rett rispetto gli ssi. Più preismente: Per m l ngolo è pitto e l rett è prllel ll sse. Per m > l funzione m q è resente; ioè, perorrendo l rett nel verso delle sisse resenti, si vedono resere le ordinte, iò equivle dire he l porzione di rett situt nel semipino del i e II qudrnte form un ngolo uto on l direzione positiv dell sse. Inoltre, è tnto più grnde qunto mggiore è m. Per m < l funzione m q è deresente; ioè perorrendo l rett nel senso delle sisse resenti, si vedono deresere le ordinte, iò equivle dire he l porzione di rett situt nel semipino i e II qudrnte form un ngolo ottuso on l direzione positiv dell sse. Inoltre, è tnto più grnde qunto mggiore è m; ioè qunto minore è il vlore ssoluto di m.

18 Rissumendo: Se l'ngolo è uto si h m > ; se l'ngolo è ottuso, m < ; se l'ngolo è nullo o pitto, m ; se l'ngolo è retto non è definito il oeffiiente ngolre m. Considert l'equzione m, per m e m si ottengono le equzioni:, he rppresentno rispettivmente le isettrii del I e III qudrnte e del II e IV qudrnte. In questo so gli ngoli sono di mpiezz rispettivmente 5 e 5. Se P, e Q, sono due punti pprtenenti d un rett, non prllel ll'sse delle, il oeffiiente ngolre dell rett può essere immeditmente lolto pplindo l seguente formul: m vendo supposto diverso d. Rett in posizione generi Si r un rett non pssnte per l'origine e non prllel gli ssi. Si onsideri l trslzione t he trsferise l'origine degli ssi nel punto O. Si osserv he l rett r h l stess pendenz e quindi lo stesso oeffiiente ngolre rispetto i due sistemi di riferimento O e XO'Y. Nel sistem XO'Y l rett r pss per l'origine O ed h equzione : Y mx pplindo l trslzione invers t' si ottiene l'equzione di r nel sistem O: q m d ui m q. L m q è l'equzione di un generi rett nel pino dove: m è il oeffiiente ngolre, q è dett ordint ll'origine, in qunto rppresent l'ordint del punto di intersezione dell rett on l'sse delle ordinte. L viene himt equzione dell rett in form espliit.

19 Equzione rtesin dell rett L'equzione linere in due vriili, del tipo: rppresent l vrire di,, reli, on e non entrmi nulli, un qulsisi rett del pino. L si die equzione rtesin dell rett o equzione generle dell rett in form impliit. Il oeffiiente prende il nome di termine noto. Anlizzimo i vri si possiili:,, diversi d zero Dividendo tutto per si ottiene l form espliit: Tle equzione rppresent un rett di oeffiiente ngolre ed ordint ll'origine rispettivmente uguli : m q quindi l'equzione divent: m q he è dett equzione dell rett in form espliit., diversi d, l ssume l form ovvero he è l'equzione di un rett per l'origine. Posto m l'equzione divent: m., e diversi d l divent ovvero, diversi d e l diviene ovvero he rppresent un rett prllel ll'sse ; he rppresent un rett prllel ll'sse. Osservzione: L'equzione di un rett in form impliit rppresent tutte le rette del pino differenz dell'equzione in form espliit he non rppresent le rette prllele ll'sse e l'sse.

20 Equzione segmentri dell rett Si r un rett non prllel gli ssi rtesini e non pssnte per l'origine. Ess tgli gli ssi in due punti distinti Bp, e A,q. Le misure dei segmenti orientti he l rett st sugli ssi rtesini si himno interette dell rett. Noti p e q è possiile determinre l'equzione dell rett pplindo l seguente relzione: p q Quest equzione si die equzione segmentri dell rett. Ottenimol prtendo dll equzione trsformimol opportunmente in d ui ed nor ioè Si osservi he è l lunghezz lgeri del segmento he l rett st, prtire dll origine, sull sse delle e l lunghezz di quello he ess st, sempre prtire dll origine, sull sse delle. Indindo tli lunghezze on p e q imo l formul inizile. Posizione reipro di due rette Sino e ' ' ' le equzioni rtesine delle due rette r ed s. Rette inidenti Due rette si diono inidenti qundo si interseno in un punto. Il prolem geometrio di determinre l'eventule punto di inontro delle due rette si riondue ll risoluzione del sistem : ' ' ' Se ' ' il sistem mmette un ed un sol soluzione oinidente on il punto di intersezione delle due rette. Se ' ' ' il sistem è impossiile ioè le rette sono prllele e distinte.

21 Se ' il sistem è indeterminto ioè si hnno rette oinidenti. ' ' Risoluzione grfi di un sistem di primo grdo di due equzioni in due inognite, onsiderzioni generli. Studimo il sistem generio ' ' ' L soluzione grfi è dt dll rppresentzione dei digrmmi delle equzioni del sistem, le oordinte del loro punto d intersezione drnno l soluzione ert. L soluzione lgeri he si ottiene pplindo l regol di Krmer nell ipotesi he si : ' ' ' ' d ui ' ' ' ' ' ' ' ' Sono di prtiolre interesse le seguenti osservzioni : ' ' ' ' ' ' ' Supposto, le rette del grfio delle equzioni del sistem hnno uno ed un sol punto in omune, d ordo ol ftto he il sistem è determinto. Supposto e e quindi nhe notndo he è / / Le rette, grfio delle equzioni del sistem non hnno punti in omune, essendo prllele, d ordo ol ftto he il sistem è impossiile. Supposto e e quindi nhe Le due rette, grfio delle equzioni del sistem sono oinidenti, d ordo ol ftto he il sistem è indeterminto. Rette prllele. Condizione di prllelismo Condizione neessri e suffiiente ffinhè due rette sino prllele è he ino lo stesso oeffiiente ngolre: m m'. In termini lgerii iò equivle d ffermre he i oeffiienti delle inognite nell'equzione di un rett devono essere proporzionli i oeffiienti orrispondenti nell'equzione dell'ltr rett. Osservndo il grfio si not he le due rette hnno l stess pendenz, inftti gli ngoli he esse formno on l direzione positiv dell'sse delle sono uguli '. Si dedue he m m'.

22 ' Cioè essendo m e m' si h pure ' ome già ffermto dimostr l proporzionlità dei oeffiienti ' ' Rette perpendiolri. Condizione di perpendiolrità Sino s ed s' due rette generihe dte, perpendiolri, di equzione rispettivmente: m q e ' m' q'. Si onsiderino le rette r ed r', prllele lle dte e pssnti per l'origine di equzioni: m e m'. Sino A, m e B,m' i punti di intersezione delle rette s ed s' on l rett. Pssndo lle misure si h: HA m, HB m'. Inoltre pplindo il teorem di Eulide l tringolo rettngolo AOB, si h: HA HB OH m m' ossi m m ' quindi m m' Dunque: Condizione neessri e suffiiente ffinhè due rette sino perpendiolri è he i loro oeffiienti ngolri sino fr loro ntireiproi. Fsi di rette Fsio proprio di rette Si definise fsio proprio di rette l'insieme di tutte e sole le rette di un pino he hnno uno stesso punto in omune, detto entro del fsio. Se P, è il entro del fsio, l'equzione: m rppresent l'insieme di tutte le rette pssnti per il punto P. L si him equzione del fsio proprio di entro P,. L'equzione non omprende tutte le rette del fsio di entro P; mn, inftti, l rett pssnte per P e prllel ll'sse delle. Comprende, invee, tutte le rette del fsio di entro P l'equzione

23 ottenut dll preedente, ponendo m. Infine, se si hnno le rette r ed s di equzioni rispettivmente e ' ' ' inidenti in un punto P, il fsio di rette d esse individuto è λ µ' ' ' on λ e µ prmetri reli non entrmi nulli. Se λ si ottiene l rett r se µ si ottiene l rett s. Le rette r ed s sono dette genertrii del fsio. Supponendo λ diverso d e dividendo per λ, l'equzione del fsio divent k' ' ' ove k µ / λ. In questo so l rett r si ottiene per k, l rett s si ottiene per k tendente ll'infinito. Fsio improprio di rette Si die fsio improprio di rette l'insieme delle rette di un pino prllele d un rett dt. Dt un rett r di equzione ogni ltr rett di equzione del tipo : k è prllel ll rett dt. Al vrire di k si hnno tutte le rette del fsio improprio individuto dll rett r. Si rionose il fsio improprio di rette qundo, ridott l'equzione form espliit, il prmetro k e figur soltnto termine noto. L rett del fsio pssnte per l'origine si die rett se del fsio improprio. Equzione dell rett pssnte per due punti Sino P, e Q, due punti riferiti l pino rtesino O, on diverso d e diverso d. L equzione dell rett pssnte per P e Q si ottiene srivendo l'equzione del fsio entrto in P on oeffiiente ngolre ugule quello dell rett PQ Dividendo mo i memri per si ottiene: * Modo di introdurre l formul dell rett pssnte per due punti. he è l'equzione dell rett pssnte per due punti.

24 Considerimo, or, un rett r non prllel d lun sse oordinto. Su tle rett prendimo due punti, ritrri e distinti, P, e P, he, ome è noto, individuno l rett r. Preso, or un qulsisi ltro punto P,, diverso d P e P, e detti A,A, A e B, B, B, le proiezioni ortogonli di P, P, P, rispettivmente, sull sse e sull sse, per il teorem di Tlete he fferm: un fsio di rette prllele determin su due trsversli due lssi di segmenti direttmente proporzionli, risult nhe in segno A A A A P P ; P P B B B B P P P P d ui si riv A A BB A A BB Se e sono le oordinte di P, tenendo presente he: A A ; A A ; B B ; B B ; L relzione preedente si può srivere sotto l form seguente : d ui on fili loli si dedue: Indindo revemente on,,, rispettivmente, i numeri noti ; ; ; ioè posto:,, l relzione finle in form impliit l si può srivere sotto l form :. Si vede osì he le oordinte, del punto P, dell rett r, ostituisono un soluzione dell equzione:. Infine si f notre ome l formul * h rttere generle, omunque vengno disposti i punti nel pino rtesino rispetto gli ssi.inftti il punto P è llineto on A e B se e solo se sono uguli gli ngoli PAK e BAH, ioè se e solo se sono simili i tringoli PAK e BAH. Il he equivle dire he P è llineto on i due punti se e solo se sussiste l proporzione: KA PK HA BH

25 e nel so dell figur lto imo: A B A A B A In questo seondo so lto imo: A B A A B A nel terzo so qui lto sussiste: A B A B A A

26 In quest ultimo so grfito vremo: A A B B A A Tutte le uguglinze sono rionduiili ll formul *, he in questi esempi orrisponde l seondo so, nhe l prim mindo di segno i due numertori, l terz mindo di segno i due termini dell frzione primo memro, l ultim espressione infine, mindo di segno il denomintore dell frzione primo memro ed il numertore dell frzione seondo memro. Distnz di un punto d un rett Dt un generi rett r di equzione, ed un punto P, l distnz d di P dll rett r è osì lolile: d Se il punto P oinide on l'origine degli ssi l distnz d è dt d: d Come fre Per lolre l misur dell distnz del punto P, dll rett, oorre srivere l equzione dell rett per P perpendiolre ll dt, trovre quindi le oordinte del punto Q d intersezione dell rett on tle perpendiolre ed infine l misur dell distnz di P d Q. L perpendiolre ll rett dt per P é Fendo sistem on l rett dt ottenimo rivimo l dll ^ equzione: sostituimol nell ^ ottenendo: Elorimo

27 vlore dell Q Sostituendo nell ^ equzione questo vlore ottenimo il vlore dell Q vlore dell Q erto. Q ; L misur dell distnz PQ dll PQ Q Q Q P Q P vremo PQ in definitiv per l misur dell distnz onsidereremo il vlore ssoluto PQ

28 L espressione si die fttore normnte reltivo ll rett In prtiolre l misur dell distnz di un rett dll origine è d Are di un tringolo ltro pproio Dopo ver studito l rett, riproponimo il lolo dell re di un tringolo, hirmente ritrovndo le stesse formule risolutive, m on un pproio diverso. Sino A, ; B, ; C, i tre vertii, determinimo innnzi tutto l equzione di un rett pssnte per due punti dti A, ; B,. Se l rett pss per il punto A,, dovrà soddisfre ll ondizione: m Anlogmente, se l stess ret pss nhe per il punto B,, dovrà nor soddisfre ll ondizione: m Rivimo m, oeffiiente ngolre d medue le espressioni ed uguglimo i vlori osì ottenuti, os leit essendo l stess rett, Elorimo on fili pssggi lgerii quest espressione: e rogliendo : Confrontimo quest ultim espressione on l, formul dell rett impliit, eene si rionose essere:,,. Quindi è possiile lolre l distnz fr il punto C, e l rett determint, per l formul del preedente prgrfo possimo srivere: d

29 quntità he esprime l ltezz del tringolo dto,non rest he determinre l se dt dll lunghezz del segmento he h per estremi i punti di oordinte A, ; B,, ioè: AB Quindi l re del tringolo srà: S ABC h A s e nel nostro so: Dopo lo sviluppo lgerio ritroveremo ome nel pitolo preedente le due formule seond he si ordini o rispetto le sisse o lle ordinte, sempre in vlore ssoluto: S ABC S ABC

30 Cironferenz: definizione nliti L ironferenz è un oni definit ome il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto entro. Fissto nel pino un sistem di ssi rtesini ortogonli O, l ironferenz di entro C,β e rggio r è l'insieme dei punti P, tli he risult verifit l relzione: Poihè : PC r ovvero PC² r². PC ² β², il punto P, pprterrà ll ironferenz soltnto se le sue oordinte soddisfno l'equzione ² β² r². L rppresent l'equzione dell ironferenz, noto il entro C,β ed il rggio r. Nel so prtiolre in ui il entro C oinide on l'origine degli ssi, essendo β, l divent ² ² r². L si die equzione dell ironferenz entrt nell'origine degli ssi on rggio r. Sviluppndo l'equzione si ottiene: ovvero, ponendo ; β ; ² β² r², si ottiene: ² ², he si die equzione in form normle o noni dell ironferenz. E' un equzione di seondo grdo in e, mnnte del termine ontenente il prodotto termine rettngolre e on i oeffiienti di ² e ² uguli d uno. Not l'equzione noni dell ironferenz è possiile determinre le oordinte del entro e l lunghezz del rggio pplindo le seguenti formule: C, r Esminimo l formul he determin il vlore di r, si distinguono tre diversi si per l equzione del tipo ² ². I se - > l rppresent un ironferenz rele ed infiniti sono i punti he pprtengono l luogo d ess individuto. II se - l rppresent un ironferenz di rggio nullo e pertnto l luogo d ess individuto pprtiene un solo punto, he è poi, il entro dell ironferenz ironferenz degenere. III se - < l rppresent un ironferenz rele, non esiste pertnto lun punto del pino rtesino le ui oordinte l soddisfno.

31 Studio dell'equzione noni Dt l'equzione noni dell ironferenz ² ² in se i vlori ssunti di oeffiienti,, l ironferenz ssume un prtiolre posizione rispetto gli ssi. se l ironferenz h il entro sull'sse. Inftti, le oordinte del entro risultno, /. Inftti ome dll fig.: Dti C, ; P5/, ed pri r d CP r 5 5 Applindo l formul ² β² r² imo ² ² 5/ 5/ / C.V.D. Controllo r se l ironferenz h il entro sull'sse. Inftti, le oordinte del entro risultno /,. Inftti ome dll fig.: Dti C, ; P, ed pri 5 5 r d CP r 9 Applindo l formul ² β² r² imo ² ² 9 5 C.V.D. Osservzione importnte prim di proseguire: Controllo r 5 poihè l'equzione generi dell ironferenz dipende dl vlore dei oeffiienti,,, per determinrl servono sempre tre ondizioni indipendenti, ossi si deve ostruire un sistem di tre equzioni in tre inognite.

32 se l ironferenz pss per l'origine degli ssi. Le oordinte dell'origine, soddisfno l'equzione, e iò signifi ppunto he l'origine degli ssi st sull ironferenz. Dti P, ; R, e Q, Applindo l formul ² ² imo il sistem di tre equzioni in tre inognite imponendo il pssggio per i punti dti: P R 6 Q 6 6 d ui 6/ 6 d ui 6/ Dll seond e terz equzione essendo si dedue on fili pssggi he: Conludendo l equzione dell ironferenz ert è Con ² ² C.V.D. r e C,, se il entro dell ironferenz oinide on l'origine degli ssi. Inftti ome dll fig.: Dti C, ; P, ed pri r d CP r 9 Applindo l formul ² β² r² imo ² ² 9 9 C.V.D. Controllo r 9 Inftti ome dll fig.: Dti C, ; P,5 ed pri r d CP r Applindo l formul ² β² r² ² ² 5 5 C.V.D. imo

33 Controllo r se l ironferenz è tngente ll'sse e h il entro sull'sse. I modo Inftti ome dll fig.: Dti C, ; P, ed pri r d CP r Applindo l formul ² β² r² ² ² 9 C.V.D. Controllo r imo II modo onsiderndo C, ; O, Imponendo il pssggio per l origine e tenendo presente le oordinte del entro si h nor un sistem di tre equzioni in tre inognite ioè: O C / d ui e C / Conludendo l equzione dell ironferenz ert è ² ² C.V.D. on C,, 6se l ironferenz è tngente ll'sse e h il entro sull'sse. I modo Inftti ome dll fig.: r e Dti C, ; P, ed pri r d CP r Applindo l formul ² β² r² ² ² 9 C.V.D. imo Controllo r

34 II modo Dti P, ; Q O, e R, Applindo l formul ² ² imo il sistem di tre equzioni in tre inognite imponendo il pssggio per i punti dti: Q P R Conludendo l equzione dell ironferenz ert è ² ² C.V.D. Con r e C,, Posizione reipro tr rett e ironferenz Per studire le vrie posizioni he un rett ssume rispetto d un ironferenz, st risolvere il sistem formto dll equzione dell ironferenz e dell rett. In se l segno del disriminnte o delt dell equzione risolvente di seondo grdo si h: >, si hnno due rdii reli e distinte, ioè due punti d intersezione, l rett è sente l ironferenz; volte, l rett è tngente ll ironferenz;, si hnno due rdii reli e oinidenti, ioè un punto d intersezione d ontrsi due <, si hnno due rdii non reli l rett è estern ll ironferenz. Determinzione delle tngenti d un ironferenz Dto il punto P, esterno ll ironferenz, esistono diversi metodi per determinre l'equzione delle tngenti ondott d P ll oni. metodo Bst imporre d un generi rett usente d P di vere dl entro dell ironferenz distnz ugule l rggio. metodo Si ostruise il sistem tr l'equzione dell ironferenz ed il fsio di rette entrto in P. Dopo vere determinto l'equzione risolvente dell equzione di seondo grdo si impone l suo disriminnte di essere ugule zero.

35 Osservzione: questo metodo è vlido qulunque si l oni pres in onsiderzione. metodo Se il punto P pprtiene ll urv, st imporre ll rett generi per P di vere oeffiiente ngolre ugule ll'ntireiproo di quello dell rett ontenente il dimetro. Infine è ene riordre he se un delle tngenti è prllel ll sse, llor si trov, on i metodi preedente, o un equzione di I grdo in m, o ddirittur un equzione in m impossiile. Punti omuni due ironferenze. Due ironferenze possono vere in omune due punti reli e distinti, due punti reli e oinidenti od infine possono non vere punti reli in omune. Le oordinte dei punti omuni sono le soluzioni del sistem formto dlle equzioni delle due ironferenze, disutendone il reltivo delt dell equzione risolvente. Al sistem delle due equzioni delle ironferenze è possiile sostituire quello ottenuto d un equzione risultt dll differenz delle due equzioni dte e l ltr d un equzione di un delle due ironferenze. L equzione ottenut dll differenz rppresent un rett pssnte proprio per i due punti d intersezione e per questo è dett sse rdile. In generle onsiderte due ironferenze non onentrihe e detti P e P i loro punti omuni, l rett ongiungente P on P diesi sse rdile he : è rele qulunque si l posizione reipro delle due ironferenze, è perpendiolre ll ongiungente i due entri. Fsi di Cironferenze Anlogmente qunto visto per le rette si può introdurre l nozione di fsio di ironferenze. Sino dte sul pino due ironferenze distinte S ed S', le ui equzioni normli sono:, ' ' ', oppure, on «notzione simoli»: S e S'. Si onsideri, or, l seguente equzione: λs µ S, ominzione linere delle equzioni e, medinte i prmetri λ ed µ. Supposto λ e posto t µ/ λ, l'equzione si può srivere nell form più semplie: ' S ts', ossi, in form non simoli:. " t ' ' '. È file vedere he per ogni vlore del prmetro t, l'equzione " rppresent un ironferenz. Inftti, ess si può srivere sotto l form: t t t' t' 't, ossi, vendo supposto t : t' t' t' t t t he è l'equzione di un ironferenz, qulunque si t.

36 Rgionndo nlogmente si prov he l λs µ S rppresent un ironferenz, purhé λ µ. Per t, dll t ' ' ' si ottiene l:, ioè l equzione dell ironferenz S; mentre per nessun vlore dell t si può ottenere dll t ' ' ' l : ' ' ', ioè l equzione dell S. Pertnto l S ts' o l t ' ' ' rppresent tutte le ironferenze del fsio meno l S. L equzione dell S si ottiene, invee dll λs µ S ponendo λ ed µ. Conludendo: Si him fsio di ironferenze, definito dlle ironferenze S ed S, l insieme di tutte e sole le ironferenze rppresentte dll λs µ S, on λ µ ; oppure l insieme formto dll ironferenz S e d tutte le ironferenze rppresentte dll S ts', on t. Esminimo il so, finor esluso, di t. Per t l'equzione ' S ts' si può srivere: S' S, ossi in form non simoli: ' '. Or S' S è un polinomio di primo grdo in e, meno he le ironferenze S ed S' sino onentrihe; in quest'ultimo so è ' e ' e quindi S' S è un numero polinomio di grdo zero in e. Se S ed S' non sono onentrihe, l rett: S' S, si him sse rdile del fsio. L'sse rdile di un fsio si onsider ome un ironferenz del fsio vente «rggio infinito», ed è himto, periò, nhe ironferenz degenere del fsio. Si osservi, infine, he l'equzione ' S ts' è equivlente ll seguente: S ts' ts ts, ioè : t S ts' S, d ui, posto t e t t t', si h: S t's' S ; pertnto: nell'equzione ' S ts', sostituendo l ironferenz S' on l'sse rdile, si ottiene un nuov equzione he rppresent lo stesso fsio ritrovndo osì qunto già detto nel preedente prgrfo. Per finire, segnlimo lune notevoli proprietà dei fsi di ironferenze, he solmente enunimo: Per ogni punto del pino, pss un sol ironferenz del fsio.

37 Nell'equzione λs µ S, o ' S ts', sostituendo le ironferenze S ed S' on ltre due, qulsisi, del fsio si ottiene un nuov equzione rppresentnte il medesimo fsio. Un fsio di ironferenze non onentrihe si può rppresentre nhe ome ominzione linere dell'equzione di un qulsisi ironferenz del fsio on quell dell'sse rdile. II luogo dei entri delle ironferenze di un fsio è un rett perpendiolre ll'sse rdile, dett sse entrle. Vri tipi di fsi di ironferenze Vedimo or ome sono disposte tli ironferenze. I si he si possono presentre sono i seguenti: Cso. - Le ironferenze S ed S' si interseno in due punti A e B. Se S ed S' si interseno nei punti A e B llor ogni ironferenz del fsio, individuto d S ed S' pss si per A he per B. Vievers: ogni ironferenz he pss tnto per A, qunto per B è un ironferenz del fsio, vedi figur lto. Inftti, poihé le oordinte di A e B verifino le equzioni:, ' ' ', llor verifino nhe l: λs µ S, o l S ts. I punti A e B si himno punti se del fsio. In questo so, il fsio è ostituito d tutte e sole le ironferenze pssnti per A e B. L'sse rdile S' S risult essere l rett AB. L'sse entrle, ioè il luogo dei entri delle ironferenze del fsio, risult essere l'sse del segmento AB. Dll proprietà enunit preedentemente, segue in prtiolre: Il fsio delle ironferenze pssnti per due punti A e B, si può nhe srivere ome ominzione linere dell'equzione di un qulsisi ironferenz pssnte per A e B on quell dell rett AB. Cso. - Le ironferenze S ed S' sono fr loro tngenti in un punto T. Se S ed S' sono fr loro tngenti in un punto T, llor tutte le ironferenze del fsio risultno tr loro tngenti in T, ome nelle figure sottostnti. L'sse rdile S' S risult essere l rett r pssnte per T e ivi tngente d ogni ironferenz del fsio.

38 Vievers: ogni ironferenz he in T è tngente ll rett S' S, risult essere un ironferenz del fsio. In questo so, il fsio è ostituito d tutte e sole le ironferenze tngenti in T ll rett S' S. I entri delle ironferenze del fsio pprtengono tutti ll rett per T, perpendiolre ll tngente omune. In prtiolre: Il fsio delle ironferenze tngenti d un dt rett r in un suo punto T, si può srivere ominndo l'equzione di un qulsisi ironferenz tngente in T ll rett r, on quell dell rett r. Il modo più semplie di trovre l'equzione del fsio è quell di ominre linermente l ironferenz degenere di rggio, on l'sse rdile. Quindi se T, o e se, è l'equzione di r, llor il fsio si può nhe srivere nell form: 5 [ o o ] t. Cso. - Le ironferenze S ed S' non sono onentrihe e non hnno punti in omune. Se S ed S' non hnno punti in omune, le ironferenze del fsio, due due, sono prive di punti omuni, e i loro entri stnno su un rett perpendiolre ll'sse rdile ome nelle figure sottostnti.

39 Cso. - Le ironferenze S ed S' sono onentrihe. Se S ed S' sono onentrihe, llor ogni ironferenz del fsio è onentri S e S' ; e vievers, ogni ironferenz onentri S e S' è un ironferenz del fsio ome in figur. Inftti, essendo in tl so: ' e ', l'equzione divent: t' t t' t t' t onentrihe S e S'. Si può dimostrre he: t', t he è, qulunque si t, l'equzione di un ironferenz onentri S ed S'. In questo so, il fsio è ostituito d tutte e sole le ironferenze Il fsio delle ironferenze onentrihe ll ironferenz S di equzione S, si può srivere: Osservzione λs k, on λ. Signifito geometrio dell'sse rdile Ci limitimo segnlre quest proprietà rtteristi dell'sse rdile he ne d il signifito geometrio, qulunque si l reipro posizione delle ironferenze del fsio purhé non sino onentrihe. Per ogni punto P dell'sse rdile, si onduno i segmenti di tngente PT e PV, rispettivmente, lle due ironferenze S ed S' ome nelle figure dell pgin suessiv. Eene si dimostr he i due segmenti PT e PT sono isometrii, ioè: PT PT.

40 L prol: definizione nliti L prol è un oni definit ome il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso F, detto fuoo, e d un rett fiss d, dett direttrie. Riferiti gli elementi d un oppi di ssi di ui quello delle pssnte per F e perpendiolre ll rett d, si l'origine O il punto equidistnte d F e d d vertie dell prol ; l'sse srà llor prllelo ll rett d. L rett pssnte per il vertie e perpendiolre ll direttrie in questo so l'sse è l'sse di simmetri dell prol. Se P, è un generio punto e F,m è il fuoo, per definizione deve essere: PF PH. M PF ² - m² e PH m llor segue he: ² - m² m Elevndo l qudrto si ottiene e, ponendo m m si riv ². L, rppresent dunque l'equzione di un prol on il vertie nell'origine, vente sse di simmetri oinidente on l'sse, fuoo in F, e direttrie di equzione L prol è un funzione simmetri rispetto l suo sse. E' importnte osservre he il vertie pprtiene ll urv mentre il fuoo no. Segue he le oordinte del vertie verifino l'equzione dell prol, quelle del fuoo non l verifino. Equzione generle prol on sse prllelo ll'sse Si onsideri l'equzione ² verifihimo he rppresent un prol, on,, ostnti ritrrie. L si può srivere ggiungendo e togliendo l stess quntità: ossi Si onsideri il nuovo sistem di ssi rtesini

41 XO'Y, on origine O' di oordinte, O' Applindo le opportune formule reltive ll trslzione degli ssi e ioè X Y si ottiene he l'equzione dell urv riferit l nuovo sistem di ssi rtesini è Y X². Tle prol rispetto i nuovi ssi h il vertie oinidente on l'origine O', l'sse di simmetri oinide on Y. Conludendo l rppresent un prol on vertie,, V fuoo,, F direttrie di equzione: sse di simmetri di equzione: Se > positivo l prol volge l onvità verso l'lto, ed il vertie è il punto di minim ordint pprtenente ll urv; se < negtivo l prol volge l onvità verso il sso, ed il vertie è il punto di mssim ordint pprtenente ll urv. Prol on sse prllelo ll'sse delle L'equzione ² rppresent in pino rtesino, sempre un prol m on sse di simmetri prllelo ll'sse delle. Per ui è rtterizzt d: sse prllelo ll'sse delle di equzione: fuoo di oordinte:,, F vertie di oordinte: V direttrie di equzione:. Se > positivo l onvità è rivolt verso destr se < negtivo l onvità è rivolt verso sinistr.

42 Intersezioni dell prol on un rett Al solito, per trovre l'intersezione dell prol on un rett, st fr sistem fr l'equzione dell prol e quell dell rett. Clolto il disriminnte dell'equzione risolvente del sistem, possono presentrsi tre si: Se è >, si hnno due intersezioni distinte e l rett è sente. Se è, si hnno due intersezioni oinidenti nello stesso punto; l rett è tngente. Se è <, non si hnno soluzioni reli, quindi l rett è estern. Vedimone l impostzione teori: Si dt un prol di equzione ² ed un rett r di equzione m q. Le oordinte dei punti d intersezione tr l prol ed r sono le soluzioni del sistem di grdo: ² m q dl qule si riv l equzione risolvente ² m q le ui soluzioni sono le sisse dei punti d intersezione. Considerto il disriminnte m q Si possono presentre i tre si già visti. Se l rett r e prllel ll sse di simmetri dell prol, ess interse l prol in un sol punto, inftti il sistem ² mmette l uni soluzione Ph; h h h Anlogmente il sistem ² mmette l uni soluzione Ph h ; h h Tngenti ll prol Per determinre le equzioni delle rette tngenti ll prol, ondotte per un punto non interno ll onvità, si deve ostruire il sistem formto dll equzione generle dell urv e dl fsio di rette entrto in P,. Si impone poi l ondizione di tngenz e ioè he il disriminnte dell equzione risolvente di seondo grdo si ugule zero. Vedimone l impostzione teori: imo l equzione dell prol e l equzione del fsio di rette entrto in P, rett generi pssnte per un punto messe sistem

43 ² m Se il punto P, pprtiene ll prol di equzione ² l equzione dell tngente ll prol in P si può srivere medinte l formul di sdoppimento mentre se il punto P, pprtiene ll prol di equzione ² l equzione dell tngente ll prol in P si può srivere Condizioni generli per determinre l equzione di un prol. Poihé nell equzione dell prol si nell form ² he ² ompiono tre oeffiienti, per determinrli oorrerà imporre tre ondizioni. Indihimone luni si he possono presentrsi più frequentemente: Pssggio per tre punti Conosenz delle oordinte del vertie e del fuoo Conosenz delle oordinte del vertie e pssggio per un punto Conosenz delle oordinte del vertie e dell equzione dell direttrie 5 Pssggio per due punti e tngenz d un dt rett 6 Conosenz dell equzione dell sse e dell direttrie, e pssggio per un punto. Fsi di prole In modo del tutto nlogo qunto ftto per i iroli, si definise il fsio di prole. Le onsiderzioni he seguono si riferisono prole on l sse prllelo ll sse, m qunto verrà detto si può ripetere nhe per le prole on l sse prllelo ll sse. Sino : p p le equzioni di due prole, he possimo osì risrivere: e e onsiderimo l equzione: t ominzione linere delle due preedenti. L ultim equzione sritt on opportuni pssggi lgerii si può nhe srivere nell form: t t t t o nhe per t, nell form : t t t t l qule, se è nhe t, ioè t t t, rppresent un prol.

44 L insieme dell prol p e dell infinità delle prole rppresentte dll ultim equzione sritt, l vrire del prmetro t, si die fsio di prole. Per t si ottiene l prol p mentre l p non si ottiene per lun vlore del prmetro. Se si pone t e t, l eq.ne divent: t t t t he è l equzione di un rett he si onsider ome l prol degenere del fsio. Anhe un fsio di prole, ome i fsi di iroli, può essere individuto dll rett sritt e d un prol qulsisi del fsio. Poihé un rett può vere in omune on un prol due punti distinti rett sente, due punti oinidenti rett tngente, o nessun punto rett estern, le prole di un fsio possono essere disposte ome in figur. Qundo esistono, i punti omuni lle prole e ll rett del fsio si himno punti se. Per determinre gli eventuli punti se del fsio, si srive, se possiile, l equzione del fsio nell form: t Le soluzioni, se esistono, dell equzione * sono le sisse dei punti se: inftti le ordinte orrispondenti he si ottengono dell * non dipendono dl prmetro.

45 Esminimo, or, il so finor esluso, di t. In tl so l equzione t t t t si ridue, in generle, ll equzione di grdo: t t t ** he rppresent un prol degenere in due rette prllele ll sse distinte o oinidenti, seond he il disriminnte dell equzione risulti mggiore o ugule zero; se < non i sono prole degeneri. Se infine l equzione ** divent di primo grdo, quest rppresent un rett prllel ll sse e pprtiene l fsio. In prtiolre, se l rett del fsio h equzione k, l equzione del fsio si ottiene ominndo l prol e l rett k, ottenendo : t k ossi t tk. Come si not, tutte le prole del fsio hnno lo stesso prmetro, pssno per uno stesso punto di oordinte k, k k e sono sovrpponiili l un ll ltr on un trslzione. Teorem di Arhimede re del segmento prolio Si > l equzione di un prol on vertie in O, e sino A ; e A -; due suoi punti. L regione finit S del pino delimitt dll ro AVA di prol e dl segmento AA in figur prende il nome di segmento prolio. L re di S nell figur di olore gillo risult ugule ll differenz tr l re del rettngolo AA H H e quell dell regione T nell figur di olore grigio delimitt dll ro AVA e di segmenti AH, A H e H H; per l simmetri rispetto ll sse, l re di T risult doppi dell re dell regione R delimitt dll ro AV e di segmenti AH e OH, periò: Conseguentemente: Are S AreT AreR Per lolre l re di R si può utilizzre o un metodo di pprossimzione o un metodo medinte l integrle definito di funzione, omettimo l dimostrzione, ne utilizzimo solo il risultto AreR Are S AreT

46 Pertnto l re del segmento prolio AA VA è ugule i dell re del rettngolo AA H H teorem di Arhimede. L regol vle nhe nel so in ui l ord AB non si perpendiolre ll sse dell prol. Trit l rett t tngente ll prol e prllel ll rett AB, l re del segmento prolio ABV è ugule dell re del rettngolo vente se AB e ltezz ugule ll distnz tr l rett t e l rett AB: AreS AB AH

47 Ellisse: definizione nliti L'ellisse è un oni definit ome il luogo dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle loro distnze d due punti fissi detti fuohi. Si P, un generio punto pprtenente ll oni; indit on > l somm ostnte delle distnze di P di due fuohi F, F' deve risultre: Pssndo lle misure PF PF'. - ² ² ² ² Isolndo il primo rdile, trsportndo il seondo nel seondo memro ed elevndo l qudrto, si ottiene, ² ² - -² ² - ² ² - ² - ² ² dopo ver elevto nuovmente l qudrto e on semplii riduzioni vremo: - ² ² ² ²² ²² ² ² ² Si osservi or he deve ritenersi >, ossi > perhè nel tringolo F'PF il lto F'F è minore dell somm degli ltri due; periò l differenz ² ² è positiv, e si può porre: ² ² ², in ui nhe è rele positivo. L'equzione preedente divent osì: ²² ²² ²², d ui dividendo medue i memri per ²², si ottiene : L è l'equzione dell'ellisse in form noni o normle. Si die he l'ellisse è osì riferit l entro e gli ssi. ²

48 Simmetrie nell'ellisse Nell equzione noni dell'ellisse, ed ompiono elevti l qudrto. Ciò signifi he se il punto P di oordinte, pprtiene ll oni, llor vi pprtengono nhe i punti: P,, P,, P,. Possimo ffermre llor he l'ellisse è un urv simmetri rispetto isuno degli ssi oordinti e rispetto ll'origine. L'origine O si die entro dell ellisse. Proprietà dell'ellisse Anlizzndo l'equzione noni dell'ellisse si dedue he poihè i primi memri sono positivi o nulli, ltrettnto devono esserlo i seondi, quindi ne segue he l'ellisse è tutt ontenut nel rettngolo individuto dlle rette,,,. nei punti A,, A',, l'sse delle nei punti B,, B',. Ponendo sistem l oni on gli ssi, si verifi he l'ellisse inontr l'sse delle ± ± I punti A, A', B, B', si diono i vertii dell'ellisse.

49 Il segmento AA', he ontiene i fuohi si die sse mggiore dell'ellisse, il segmento BB' sse minore. I numeri e rppresentno rispettivmente le misure del semisse mggiore e minore. Note le misure dei semissi è possiile determinre i fuohi. Inftti dll relzione: ² ² ² si riv ± he è l formul ert. Intersezioni dell ellisse on un rett Al solito, per trovre l'intersezione dell ellisse on un rett, st fr sistem fr l'equzione dell ellisse e quell dell rett. Si possono presentre i soliti tre si, seondo il vlore del disriminnte dell equzione risolvente, e preismente: Se è >, si hnno due intersezioni distinte e l rett è sente. Se è, si hnno due intersezioni oinidenti nello stesso punto; l rett è tngente. Se è <, non si hnno soluzioni reli, quindi l rett è estern. Tngenti d un ellisse Per determinre l'equzione delle tngenti d un punto P d un'ellisse, si ostruise il sistem tr l'equzione dell urv e l generi rett per il punto ed si impone he il disriminnte dell'equzione risolvente si ugule zero. In prtiolre, se il punto P, pprtiene ll urv, l'equzione dell tngente in P ll'ellisse è: vist per l prol, si ottiene risolvendo il sistem: dett formul di sdoppimento. Quest formul nlogmente, ll formul m Vedimone per l ellissi i pssggi teorii per ottenerl, imponendo he esso i l oppi, ome soluzione doppi. Imponimo l ondizione di pprtenenz del punto P, ll ellissi, ottenendo *

50 Essendo il memro dell prim equzione del sistem pri nh esso d uguglimo le due equzioni, d ui e on file pssggio lgerio Ne onsegue he il sistem inizile or lo si può srivere osi: m Sostituendo nell prim equzione il vlore fornito dll ^ equzione, si h: m m m m Tle sistem h sempre ome soluzione l oppi P,.Dividendo l ^ equzione per ottenimo: m m Sistem sempre soddisftto dlle oordinte di P,, quindi sostituendo nell ^ equzione i vlori delle oordinte di P l posto di ed si vrà: m e ottenendo infine per m il vlore m sostituendo questo vlore nell ^ equzione, rett tngente in P imo: d ui rivimo

51 ed essendo vlid l * imo sostituendo si otterrà l equzione dividendo per ottenimo l equzione ert Condizioni per determinre l equzione di un ellisse. Poihé nell equzione ompiono due oeffiienti e, sono neessrie due ondizioni indipendenti per determinre l equzione di un ellisse riferit i suoi ssi di simmetri. Indihimo luni dei si he possono presentrsi: pssggio dell ellisse per due punti non simmetrii rispetto gli ssi o rispetto ll origine; onosenz dell oordint di un fuoo e di un vertie; onosenz del eentriità e pssggio per un punto; onosenz dell misur di un semisse e dell eentriità. Osservzione: Per determinre l'equzione dell oni llor serve ostruire un sistem di due equzioni nelle due inognite e. Eentriità dell'ellisse Si definise eentriità dell ellisse il rpporto e. Essendo, ioè Si vrà e e quindi e < In prtiolre, se e, ne onsegue he e quindi F F O fuohi oinidenti on il entro; inoltre e l equzione divent ² ² ² Quest equzione rppresent un ironferenz di rggio ; quindi l ironferenz si può onsiderre ome un so prtiolre di un ellisse i ui fuohi oinidono ol entro; oppure si può dire he l ironferenz è un ellisse di eentriità e.

52 Inoltre, essendo e, si riv he, qunto più il rpporto si vviin zero, ioè qunto più è grnde rispetto, tnto più l eentriità si vviin. Pertnto l eentriità e può ssumersi ome l misur dello shiimento dell ellisse sull sse mggiore. In generle si verifi he l resere di e l'ellisse si shii sempre più. Il so e orrisponde ll eentriità dell prol, il so e > orrisponde ll eentriità dell'iperole. Ellisse oi fuohi sull'sse Se P, è un generio punto pprtenente ll'ellisse, indit on > l somm ostnte delle distnze di P di due fuohi F, F' risult: PF' PF. Si ottiene l' equzione del tipo on < he rppresent nor un'ellisse vente per sse di simmetri gli ssi rtesini; i fuohi si trovno or sull'sse delle e sono i punti F,, F',. In questo so ed e. Ellisse trslt Un ellisse si definise trslt se i suoi ssi sono prlleli gli ssi rtesini. Determinimo l equzione di un ellisse osì posiziont, ome in figur lto, on le seguenti rtteristihe: O,β entro dell ellisse; F,β ed F,β i fuohi; P, generio punto dell ellisse. Per definizione sppimo he: d ui: PF PF'

53 β β Proedimo trsportndo seondo memro il primo rdile ed elevndo l qudrto mo i memri β β β β β β [ ] β β β β Elevndo nor l qudrto i due memri, e semplifindo: [ ] [ ] β [ ] β [ ] β β e semplifindo, si ottiene: β β β ponendo si ottiene: β β * d ui on ultimi pssggi β β β β ordinndo β β ed è un equzione lgeri di grdo, on i oeffiienti di e onordi e mnnte del termine rettngolre in. X L * on l trslzione di equzioni: Y β si trsform in Y X equzione in form normle dell stess ellisse nel riferimento O XY. Vievers, onsiderimo un equzione lgeri di grdo del tipo:

54 m n p q r ** mnnte del termine rettngolre e on m ed n onordi e positivi se non lo sono sterà mire di segno d entrmi i memri dell **. p q Con l rtifiio di sommre d mo i memri dell ** i numeri e l fine di individure l m n primo memro dei qudrti di inomi: m n p q p q p q m n m n r m p p n q p q q m n m n r p m q p q n m n m n r he rppresent un ellisse trslt se l quntità seondo memro risult: p q m n r > llor sotto quest ipotesi dl onfronto dell β p on l m q p q n m n r m n rivimo le oordinte del entro O,β dell ellisse **, ioè: p q ; β. m n p X m Questi vlori, sostituiti nell : he permettono di trsformre l ** form normle. q Y n Costruzioni dell'ellisse Segnti sul pino i due fuohi F', F si prend un filo di lunghezz e si fissino le estremità di questo, in F' ed F ome in figur. Si fi poi sorrere l punt dell mtit in modo he ess si ppoggi ostntemente l filo e he questo si teso. Si verrà in tl modo trire sul pino un urv i ui punti hnno di fuohi distnze l ui somm è ugule ll lunghezz del filo, ioè si viene trire un'ellisse. Poihè l oni è simmetri rispetto gli ssi oordinti, st studire l'ndmento dell urv nel primo qudrnte, dove le oordinte di un punto sono entrme positive. Per ottenere l mssim esttezz nel disegno dell urv, dopo ver visto l'ndmento, si potrnno lolre le oordinte di luni suoi punti utilizzndo l'equzione noni.

55 L iperole: definizione nliti L'iperole è un oni definit ome il luogo dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Si > in vlore ssoluto l misur dell differenz delle distnze di un punto P, dell urv di due fuohi di oordinte F,, F', e si F F l distnz di questi due punti. Si ssume ome rett dei fuohi l'sse delle e l'origine degli ssi oinidente on il punto medio del segmento FF'. Applindo l definizione, un punto P, pprtiene ll oni se e solo se le sue oordinte soddisfno l ondizione: PF' PF ; E' evidente riordndo he in un tringolo un lto è mggiore dell differenz degli ltri due he si deve supporre >, ioè > proprio perhè nel tringolo F'PF il lto F'F è mggiore dell differenz degli ltri due ne onsegue he l differenz ² ² è positiv ed è leito porre: ² ² ², pplindo l formul dell distnz tr due punti, nlitimente risult ioè ± ossi ± elevndo l qudrto mo i memri imo ± quindi riduendo i termini simili e dividendo per ± ed nor, per eliminre il rdile qudreremo, ottenendo moltiplindo e mettendo fttor omune vremo per qunto posto si ottiene l equzione del luogo geometrio ²² ²² ²², d ui dividendo tutti i termini per ²², si ottiene

56 L è l'equzione dell iperole riferit l entro e gli ssi vente i fuohi sull sse, in form noni o normle. Iperole on i fuohi sull'sse Anlogmente se i due fuohi sono posti sull'sse, l oni è rppresentt dll'equzione vendo posto PF' PF e. I vertii hnno oordinte i fuohi V,, V',, F,, F',. Simmetrie e proprietà dell'iperole Simmetri rispetto ssi oordinti. Poihè smindo in e in l'equzione rest inltert, l'iperole è un urv simmetri rispetto isuno degli ssi e rispetto ll'origine. L' sse delle si him sse trsverso e l'sse delle sse non trsverso. L'origine O si die entro dell'iperole. Intersezioni on gli ssi Ponendo sistem l'equzione dell urv on l'sse delle, ioè, si trov ±. L'sse trsverso interse quindi l'iperole in due punti di siss e. I due punti V, V', si diono vertii dell'iperole; è l lunghezz del semisse trsverso.

57 L'sse delle ordinte non interse l'iperole, inftti se nell'equzione noni dell'iperole si pone si trov he non h soluzioni reli. D qunto sritto deduimo he l iperole, si on i fuohi sull sse he quell on i fuohi sull sse hnno sempre ome sse trverso l sse fole. L'iperole è un urv illimitt. L iperole è un urv tutt estern ll strisi di pino limitt dlle rette,. Inftti dll equzione noni dell'iperole on i fuohi sull sse si riv Poihè il primo memro è sempre positivo o nullo, tle deve risultre nhe il seondo; deve quindi essere ² ², ioè ² ² d ui:, oppure :. Determinzione dei fuohi note le misure dei semissi. Dll relzione ² ² ², si ottiene ± he è l formul ert. Asintoti ll'iperole Le rette di equzioni si himno sintoti. Tli rette non interseno mi l'iperole, m d ess si vviinno indefinitmente mno mno he i si llontn dll'origine. Geometrimente iò signifi he qundo un punto generio P dell urv, si llontn indefinitmente lungo l urv, l distnz di P dll'sintoto diviene sempre più piol tende zero. Si osserv inoltre he l'iperole gie tutt nell'ngolo formto dgli sintoti, he ontiene l'sse. Nel so di iperole vente i fuohi sull sse di equzione gli sintoti hnno nor espressione Eene nlizzimo qunto espresso sintetimente dl punto di vist nlitio. Considerimo dpprim l equzione e si m l rett generi pssnte per O. Cerhimo le intersezioni tr tle rett e l iperole. Risolvendo il sistem: m

58 si ottengono le soluzioni: ± e m Si possono presentre i tre si seguenti: ± m m I m > ioè < m < In tl so i vlori he si ottengono dl sistem sono reli, ioè l rett m interse l iperole in due punti reli e distinti. II m ioè m ± Le rette venti tli oeffiienti ngolri si diono sintoti dell iperole. Come già ffermto preedentemente, tli rette possono pensrsi ome tngenti ll iperole in punti distnz infinitmente grnde dll origine. III m < ioè m < ; m > In tl so il sistem non h soluzioni reli, ioè l rett non interse l rett. Si dedue he: i punti dell urv sono ontenuti nell ngolo formto di due sintoti e ontenente l sse sse fole. Gli sintoti, vendo oeffiienti ngolri ±, sono le digonli del rettngolo vente per lti le rette ±, ±. In modo del tutto nlogo se l iperole h i fuohi sull sse vremo il sistem: m m he h per soluzioni ± e m ± m m Gli sintoti sono nor le rette e l rett interse l iperole per m < ; m >

59 Eentriità dell'iperole Essendo, ioè Il rpporto e diesi eentriità dell'iperole, nel so in ui > ioè per l iperole, ltrimenti tle rpporto diviene e nel so in ui < ioè per l iperole. si riv: e > e > L'eentriità dell'iperole h un signifito geometrio del tutto nlogo quello dell'eentriità dell'ellisse, e questo rpporto è sempre mggiore di uno. Se l'iperole è equilter l'eentriità vle e Iperole equilter Se, ovvero se le lunghezze dei semissi trsverso e non trsverso sono uguli, llor l'equzione noni dell'iperole ssume l form ² ² ² he è l'equzione dell'iperole equilter riferit i propri ssi ioè gli ssi di simmetri dell urv sono gli ssi oordinti. Le equzioni degli sintoti in questo so sono,. Gli sintoti dell urv oinidono on le isettrii dei qudrnti. I fuohi hnno oordinte F, F', i vertii V, V',. In generle un iperole omunque situt rispetto gli ssi oordinti si die equilter qundo i suoi sintoti sono perpendiolri.

60 Iperole equilter riferit i propri sintoti Nel so in ui gli ssi rtesini sino gli sintoti, dell urv, l'equzione dell iperole ssume un form prtiolre e notevole: k on k ostnte positiv o negtiv. Se k > l urv è situt nel e qudrnte; se k < l urv è situt nel e qudrnte. E' file osservre he l urv è simmetri rispetto ll'origine. Osservndo he l'iperole studit non h k nessun punto di siss null, potremo srivere l ome he è not ome legge dell proporzionlità invers. Intersezioni dell iperole on un rett Per trovre l'intersezione dell iperole on un rett, st fr sistem fr l'equzione dell iperole e quell dell rett. Anlogmente qunto visto per l ellisse, si hnno tre si, seondo il vlore del disriminnte dell equzione risolvente, e preismente: Se è >, si hnno due intersezioni distinte e l rett è sente. Se è, si hnno due intersezioni oinidenti nello stesso punto; l rett è tngente. Se è <, non si hnno soluzioni reli, quindi l rett è estern. Tngenti d un iperole Per determinre le equzioni delle tngenti ondotte d un punto generio P, d un iperole, si proede ome per l'ellisse. ssumere elenhimo un tell rissuntiv : In prtiolre, se il punto P'',' pprtiene ll urv, l'equzione dell tngente in P ll'iperole è: ' * ' Se il punto P'',' pprtiene ll'iperole di equzione k, llor l'equzione dell tngente in P' ll'iperole è ' ' L formul * è dett di sdoppimento, è otteniile nlogmente quell vist per l ellisse, m visti i molteplii spetti he le equzioni delle iperoli possono k

61 Formul di sdoppimento Equz. dell iperole ui è riferit k k L funzione omogrfi iperole equilter trslt Si dt l funzione d Si trtt di un funzione lgeri rzionle frtt di seondo grdo definit d per funzione dett nhe omogrfi. Riorrendo ll trslzione di ssi di equzioni d X Y l funzione omogrfi si trsform in d XY ossi XY k he rppresent l'equzione di un iperole equilter riferit i propri sintoti i quli oinidono on gli d ssi del sistem trslto e rispetto l sistem originrio sono le rette di equzione. Qunto espresso in modo sintetio neessit di un nlisi più pprofondit per mostrre un pproio più onsono dl punto di vist mtemtio. Eene studimo l equzione dove i oeffiienti,, e d sono ostnti ssegnte, on d e d non ontempornemente nulli; dimostrimo he, seond dei vlori ssunti di oeffiienti, ess rppresent o un rett o un iperole equilter on ssi di simmetri prlleli gli ssi rtesini. Si possono verifire i seguenti si: Si e d per ui l equzione dt divent d d he rppresent un rett di oeffiiente ngolre m d. Si e d d ui risult d ioè k e quindi d d k e kd; sostituendo questi vlori ll interno dell equzione dt imo: k kd d d k k on d d d

62 L onlusione è ovvi l equzione è nor un rett k prllel ll sse, non definit nel d punto di siss. Si e d, eene in questo so operimo un trslzione di ssi he d porti O in O, e dlle formule già sritte imo: d X Y sostituimo questi vlori nell equzione dt ottenendo: ; d d X Y d X d d d d X X X Y d X d d X X d d quindi X Y X d XY X X d XY X X d d XY k Il he dimostr he l equzione dt rppresent un iperole equilter trslt vente ome entro di simmetri O d ; d e per sintoti. Condizioni generli per determinre l equzione di un iperole. Per determinre l equzione di un iperole riferit i suoi ssi di simmetri, ioè del tipo o, sono neessrie due ondizioni, omprendo in esse due soli oeffiienti e. Indihimo llor luni dei si he possono presentrsi : Pssggio per due punti non simmetrii rispetto gli ssi gli ssi o rispetto ll origine Conosenz delle oordinte di un fuoo e dell equzione di un sintoto Conosenz delle oordinte di un vertie e di un fuoo. Per determinre l equzione di un iperole equilter, si del tipo o oppure k è suffiiente un sol ondizione, he non si l onosenz degli sintoti e dell eentriità, ostnte per ogni iperole equilter, m he può essere dt, per esempio, dl pssggio per un dto punto o dll tngenz d un rett.

63 Introduzione lle Conihe Sino ed r due rette dello spzio intersentesi in un punto V, formnti un ngolo B minore di 9. Si him superfiie oni indefinit l superfiie genert in un rotzione omplet, dell rett r ttorno ll rett. Le due porzioni dell superfiie oni si himno flde. L rett è dett sse, l rett r si him genertrie, e l'ngolo B pertur dell superfiie oni. Le intersezioni ottenute tglindo un superfiie oni on un pino si diono onihe. Preismente: Se il pino sente è perpendiolre ll'sse dell superfiie oni, l sezione è un ironferenz;

64 se il pino form on l'sse un ngolo mggiore dell'ngolo di pertur e diverso d 9 l sezione è un ellisse; se il pino sente è prllelo ll genertrie l sezione si him prol;

65 se il pino sente è prllelo ll'sse l sezione è un iperole. Le onihe ome rionoserle Ogni oni è un opportuno luogo geometrio rppresentto d un equzione lgeri del tipo: ² ² d e f Il nostro studio generle si limiterà onsiderre urve rppresentte d equzioni del tipo ² ² d e on e non ontempornemente nulli, equzioni mnnti ioè, rispetto l so generle, del termine rettngolre. In luni si prtiolri, he or esminimo, l equzione sritt rppresent le urve già viste. so l equzione ² ² d e rppresent un ironferenz. so ; ; l equzione ² ² d e divent ² d e ioè d e equzione he rppresent un prol on sse di simmetri prllelo ll sse. so ; ; d l equzione ² ² d e divent ² d e ioè

66 d e d d equzione he rppresent un prol on sse di simmetri prllelo ll sse. so ; Dimostrimo he in questo so he l equzione ² ² d e rppresent un ellissi o un iperole on ssi di simmetri prlleli gli ssi oordinti. Inftti l ² ² d e si può srivere nell form : e d ossi ggiungendo e togliendo opportune quntità e d d d d ui si ottiene k d dove e d k Considert l trslzione di ssi he port O in d O ; ', ome si vede dll figur e vremo: X Y d E l equzione dt diviene : X Y k vi sono llor due possiilità. ^ >, ioè e onordi. In tl so - per k, l equzione diviene X Y soddisftt solo dlle oordinte dell origine; - per k, e solo nel so in ui k i lo stesso segno di e, si h un urv rele di equzione k Y k X

67 he rppresent quindi un ellissi di semissi ^ <, ioè e disordi. In tl so k e k - per k, l equzione diviene X Y si ridue un oppi di rette pssnti per O ; - per k, l equzione X Y k si può srivere nell form X Y k k e osservndo he k/ e k/ hnno lo stesso segno, poihé e sono disordi, si può onludere he l equzione dt rppresent un iperole di semissi k e k. Luogo geometrio In geometri eulide si definise luogo geometrio l'insieme di tutti e soli i punti he godono di un dt proprietà. In geometri nliti per luogo geometrio si intende l'insieme di tutti e soli punti del pino le ui oordinte verifino un equzione del tipo: F, dett equzione del luogo.

68 Eserizi Rett Prolem. Srivere l'equzione di un rett pssnte per un dto punto P,. Premettimo he il prolem mmette infinite soluzioni. Un generi rett è del tipo m n Dovendo pssre per,, deve essere m n d ui n m Sostituendo nell, si h m m e nhe m oppure m. In quest equzione ompre il prmetro vriile m, d'ordo ol ftto he per un punto pssno infinite rette; si die più proprimente he l'equzione m ovvero m. è l'equzione di un fsio di rette venti per sostegno il punto,. Esempio: Srivere l'equzione del fsio di rette pssnti per il punto,. Si h: m Prolem. Srivere l equzione dell rett pssnte per i punti P,, e Q,. Premesso he se fosse i due punti vreero sisse uguli per ui l rett he li ongiunge sree prllel ll'sse delle e vree per equzione si può supporre. Un generi rett del fsio di sostegno P è m Dovendo pssre per Q, si h m Dll e si riv he è l'equzione rihiest. L relzione prov he Il oeffiiente ngolre dell rett non prllel ll'sse delle e pssnte per due punti è ugule l rpporto fr l differenz delle ordinte e l differenz delle sisse dei punti stessi. Esempio: Srivere l'equzione dell rett pssnte per i punii, e, - Applindo l, risult ossi 5 he è l'equzione rihiest. Ess si può nhe srivere 5 5 e ioè 5 equzione noni ovvero 5 equzione espliit oppure equzione segmentri. 5

69 Prolem. Srivere l equzione dell prllel ll rett m n pssnte per il punto P,. Un rett per il punto P è k Dovendo essere prllel ll rett dt, deve essere k m; quindi l equzione dell prllel rihiest è m ed nhe m Not prti Dt l rett l prllel d ess per P, è : m essendo m imo ioè Prolem. Srivere l equzione dell prllel ll rett pssnte per il puntop;. Un generi rett per il punto dto è: m essendo il oeffiiente ngolre dell rett dt pri m l rett rihiest è ossi ed nhe Altr proedur Un generi prllel ll rett dt h equzione k dovendo pssre per P ;, deve essere sostituisi per imporre il pssggio: k d ui k sostituendo riottenimo l rett ert Prolem 5. Srivere l equzione dell perpendiolre ll rett m n pssnte per il punto P,. Un rett del fsio di sostegno è del tipo k quest ultim ffinhé si perpendiolre ll rett dt deve essere k quindi : m m m

70 Not prti Se le rette sono dte nell form l ondizione ritrovimo m ioè m e ' ' ' ' diviene ' quindi m m d ui e quindi Prolem 6. In un sistem ortonormle srivere l equzione dell perpendiolre ll rett 5 pssnte per il punto P ;. Sfruttndo l ultim relzione sritt vremo he l perpendiolre rihiest vrà per equzione, 5 essendo e 5 on m : m 5 5 ossi 5 5 otteniile nhe d Prolem 7. Trovre l misur dell distnz di P ; dll rett. Semplie pplizione dell distnz punto rett ioè : d d Eserizi Cironferenz Trovre, se esistono, le intersezioni di un ironferenz on un rett dt. Prolem 8. Trovre le intersezioni dell ironferenz 6 on l rett. 6 Risolvendo, essendo >, si ottiene 6 L ironferenz e l rett s interseno in P, e Q6, e l rett è sente.

71 Prolem 9. Trovre le intersezioni dell ironferenz 9 on l rett 6. Si deve risolvere il sistem ± 6 5 d ui essendo <, le rdii non sono reli, quindi l rett è estern ll ironferenz. Prolem. Trovre le intersezioni dell ironferenz 5 on l rett 5. Si deve risolvere il sistem 5-5 essendo vremo e quindi l rett è tngente ll ironferenz Prolem. Trovre l equzione dell ironferenz di entro C, pssnte per P,. Si h CP Prolem. r quindi l equzione rihiest è: 8 Srivere l equzione dell ironferenz pssnte per A, B, e C,. metodo Si trovno le equzioni dei due ssi dei segmenti AB e BC; l loro intersezione fornise il entro, e nel determinre poi il rggio, he è l distnz dl entro d uno dei punti dti e il prolem è riondotto l preedente. metodo Un generi ironferenz h per equzione ² ² m n p Dovendo pssre per i punti dti, le oordinte di tli punti deono soddisfre quest equzione, per ui si ottengono le relzioni : m p 6 m p 9 n p Queste relzioni ostituisono un sistem di I grdo di tre equzioni in tre inognite he, risolto, d m 5; n ; p L equzione dell ironferenz rihiest è quindi : ² ² 5

72 Prolem. Trovre l intersezione dell ironferenz di entro C, e rggio lungo, on l rett pssnte per P, di oeffiiente ngolre. Bst risolvere il sistem Si ottengono i punti d intersezione P, e Q, Prolem. Trovre le intersezioni delle ironferenze Lo studente fi l figur. X 8 8 Bst fr sistem fr le due equzioni dte. Per risolvere tle sistemi dll sottrimo l ottenendo 8 e ioè Quest è l'equzione dell'sse rdile delle due ironferenze. Riord he l'sse rdile è l rett he gode dell proprietà he i segmenti di tngenti ondotti lle due ironferenze d un punto qulsisi di esso, non ontenente i entri delle due ironferenze stesse, sono uguli, ed è perpendiolre ll ongiungente i due entri stessi, non esiste se le due ironferenze sono onentrihe. Ftto sistem fr l e un qulsisi delle equzioni o, per opportunità on l, si ottengono le intersezioni rihieste: ioè 5. ioè i punti d intersezione sono,5 e, direttmente verifiile dll rppresentzione grfi. Prolem 5. E dt l ironferenz di entro C, e di misur del rggio ; trovre l equzione dell tngente d ess in un suo punto di siss. L equzione dell ironferenz è 9 Per trovre i punti di ess he hnno per siss, sterà porre nell'equzione dt ; on fili loli si ottengono i punti P ; 5 e Q ; 5. Trovimo or l tngente ll ironferenz per P.

73 Un generi rett per P h per equzione 5 m Affinhè ess risulti tngente ll ironferenz, deve essere perpendiolre PC. Il oeffiiente ngolre di PC è essendo m on C, m quindi quello dell tngente, su perpendiolre, è m ' m 5 L tngente per P è quindi 5. 5 Osservzione: Questo prolem può risolversi in vri ltri modi, ome d esempio imponendo he l rett si distnz dl entro C, d m m m 5 m 5 9 m 5m m 5 5 ± 5 m Prolem 6. Trovre le equzioni delle tngenti ll ironferenz 6 5 ondotte per il punto P ;6. L ironferenz dt h il entro in C ; e rggio lungo r II prolem si può risolvere in due modi, ed eo ome : Si srive un generi rett per P ; 6; ess è 6 m Si f sistem fr quest rett e l'equzione dell ironferenz, imponendo l ondizione he il disriminnte dell'equzione risolvente di seondo grdo si nullo. Si ottengono llor due vlori di m, he, sostituiti nell, dnno le due tngenti rihieste. Sritt l in form noni, si impone l ondizione he l su distnz d C si 5. Si ottiene m 6 m llor d 5 m d ui m 6 6 m he risolt, d m e m. Sostituendo questi vlori nell, si hnno le tngenti rihieste e ioè 6, 6 e 6.

74 Prolem 7. Srivere l equzione dell ironferenz di entro C 5, tngente ll rett 6. Il rggio non è ltro he l distnz di C dll rett dt; è quindi d d ui l'equzione 5 6/ Eserizi Prol Sintetizzimo in un qudro sinottio le formule reltive i due tipi di prole: Tipo di prol Fuoo Vertie Asse direttrie Tng. l vertie Convità > Convità < Asse // sse delle ² F, V, L urv volge l onvità nell direzione positiv dell sse L urv volge l onvità nell direzione negtiv dell sse Asse // ll sse delle ² F, V, L urv volge l onvità nell direzione positiv dell sse L urv volge l onvità nell direzione negtiv dell sse N.B.: Se è >, ome già si è visto, l prol volge l onvità verso l direzione positiv dell'sse delle, o, ome si suoi dire, h un MINIMO; se è < l prol volge l onvità verso l direzione negtiv dello stesso sse, o, ome si suoi dire, h un MASSIMO. Risoluzione grfi dell equzione di grdo L'equzione di grdo ² è evidentemente equivlente l sistem ì ;

75 quindi, per risolvere l, st trovre le intersezioni dell prol on l'sse. Esempio: L risoluzione grfi dell'equzione : 5 è dt dll figur dell pgin preedente. D ess risultno le rdii e. Equzioni di prtiolri prole Nell risoluzione dei prolemi, giov tener presente le equzioni di lune prole, soddisfenti prtiolri ondizioni. Prolem 8. Prol vente l sse prllelo ll'sse delle, pssnte per due punti m, ed n,, dell'sse delle. H l'equzione del tipo k m n Invero, per, si h m ed n. Prolem 9. Prol vente l sse prllelo ll sse delle, pssnte per il punto m, dell sse delle. H l'equzione dell form k m. Invero, per, si h m. Prolem. Prol vente l sse prllelo ll sse delle, tngente ll sse delle in un generio punto. È dell form k Invero, per è. k Prolem. Prol vente l sse prllelo ll sse delle, tngente ll'sse delle nel punto m,. È un so prtiolre del preedente ; solo è dto nhe il punto di tngenz. H l'equzione del tipo k m. Invero, per, è t m. Prolem Srivere l'equzione dell prol, vente l sse prllelo ll sse delle, pssnte per ;, ; e ;. È dell form k. Dovendo pssre per ;, deve essere k l l, d ui si tre k / L prol h quindi per equzione /.

76 Prolem Srivere l'equzione dell prol vente l sse prllelo ll sse delle, tngente ll sse delle in, e pssnte per ;. È dell form k. Dovendo pssre per,, risult k, d ui k / E quindi /. Prolem Srivere l'equzione dell prol vente l sse prllelo ll'sse delle, pssnte per i punti ; / e, e tngente ll'sse delle. È dell form h. Dovendo pssre per ; / deve essere, d ui ±. Dovendo pssre per,, deve essere h ± d ui h ± he d h ed h. Si hnno pertnto due prole he soddisfno il prolem proposto, e ioè ed ossi: Eserizi Ellisse Prolem 5 - Studire l urv 8. Ess è un'ellisse e si può srivere 8 Le lunghezze dei suoi semissi sono,. L'sse mggiore è l'sse delle ; su esso si trovno i fuohi di oordinte F, 6 e F, 6; invero è 8 6 I vertii hnno per oordinte A,, A,, B,, B,.

77 Eserizi Vri Prolem 6 Dto il tringolo di vertii A ;, B ;, C ;, dimostrre he le oordinte del rientro sono rispettivmente e ; dimostrre ioè he le oordinte del rientro punto d inontro delle tre medine di un tringolo sono l medi ritmeti delle omologhe oordinte dei tre vertii. Allo sopo si onsideri l figur, nell qule è rppresentto il tringolo ABC. M ; ed M ; sono i punti medi rispettivmente dei lti BC e C; AM e BM sono due medine; G è il rientro. A, G, M, sono le proiezioni ortogonli di A, G, M, sull sse. Per l proprietà del rientro di un tringolo è AG GM, e quindi nhe A G G M. Ne onsegue he : G G M G M G quindi G M G G G ioè G G M G e nlogmente G d ui L si potev impostre nhe tenendo onto dell proprietà del rientro ioè G G M quindi sostituendo e on fili loli lgerii si riottiene l formul già sritt. Altri punti notevoli dei tringoli sono: - ortoentro: punto d inontro delle tre ltezze. - inentro: punto d inontro delle tre isettrii entro del erhio insritto - iroentro : punto d inontro dei suoi tre ssi. Prolem 7 Determinre l equzione dell sse di un segmento. I modo

78 L sse di un segmento di estremi A ;, B ;, è l rett perpendiolre l segmento e pssnte per il suo punto medio M ; ; per vere l su equzione si potrà quindi srivere l equzione dell rett r pssnte per M e di oeffiiente ngolre ntireiproo di quello dell rett AB rett perpendiolre m /m. II modo L equzione dell sse di un segmento può però venir trovt nhe per un ltr vi, e preismente, riordndo he l sse è il luogo dei punti del pino equidistnti dgli estremi del segmento. Periò l ondizione neessri e suffiiente ffinhé un punto P; si sull sse del segmento di estremi A e B è he si PA PB. Clolndo le misure PA e PB on l formul dell distnz tr due punti e uguglindole vremo: PA PB ; d ui he è ppunto l equzione dell sse del segmento di estremi A ;, B ;. Prolem 8 Determinre l equzione delle isettrii degli ngoli individuti d due rette inidenti. Dte due rette inidenti r ed s di equzioni rispettivmente e, si vogliono trovre le equzioni delle due rette isettrii dei quttro ngoli d esse individuti. Riordimo he l isettrie di un ngolo è il luogo dei punti equidistnti di lti dell ngolo stesso; potremo llor dire he ondizione neessri e suffiiente ffinhé un punto P; si su un isettrie degli ngoli individuti d due rette r ed s è he si PH PK essendo PH e PK le distnze di P dlle due rette. dell distnz di un punto d un rett : Clolimo PH e PK on l formul