Disequazioni irrazionali n a( x)

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1 Formulrio RICHIAMI DI ALGERA... I rdili... Il vlore ssoluto... Le equzioni di seondo grdo... Regole di somposizione dei polinomi... RICHIAMI DI GEMETRIA EUCLIDEA...4 Perimetri ed ree e di lune figure pine...5 Aree e volumi di luni solidi notevoli...6 GEMETRIA ANALITICA...7 L rett...7 L ironferenz...9 L prol...9 L ellisse...0 L iperole... GRAFICI TRASFRMATI... GNIMETRIA...5 Funzioni goniometrihe...5 Grfii e proprietà delle funzioni goniometrihe...5 Funzioni goniometrihe inverse...8 Grfii e proprietà delle funzioni goniometrihe inverse...8 Funzioni goniometrihe di ngoli prtiolri...0 Relzioni e proprietà fondmentli... Formule goniometrihe... Trigonometri...4 ESPNENZIALI...5 Funzioni esponenzili...5 LGARITMI...6 Proprietà dei logritmi...6 Funzioni logritmihe...6 SCHEMI RISLUTIVI DI DISEQUAZINI DI VARI TIP...8 Disequzioni potenz [g()] n 0, n N n...8 Disequzioni inomie n + 0, n N n...8 Disequzioni trinomie n + n + 0, n N n >...8 I

2 Disequzioni irrzionli n ( ) ù ( ), n N n >...8 Disequzioni in vlore ssoluto g() ù, on R...9 Disequzioni goniometrihe lineri sen + os, os + sen...9 Disequzioni esponenzili g()...0 Disequzioni logritmihe log g()...0 DMINI DELLE FUNZINI PIÙ CMUNI... GRAFICI DELLE PRINCIPALI FUNZINI ALGERICHE... LIMITI... Verifihe dell orrettezz dei limiti... Limiti notevoli... DERIVATE...4 Derivte delle funzioni elementri...4 Regole di derivzione...5 INTEGRALI...5 Integrli indefiniti immediti...5 Regole di integrzione...6 Integrli definiti...6 CALCL CMINATRI...8 PRGRESSINI...8 II

3 Rihimi di lger I rdili Rzionlizzzioni n A = n A n n n n n n n n A = n n A = A A m C A ( m C) = = ± C ± C m C ( ) ( C) = A ( m C) C Rdili doppi ± Se è un qudrto perfetto + ± = ±, p q= Se è divisiile per 4 ed esistono due numeri interi p e q tli he 4 p+ q= ± = p± q Il vlore ssoluto = se 0 se< 0 Proprietà del vlore ssoluto R 0;, R = ;, R / = / ;, R + + (disuguglinz tringolre); R = ; Se k 0 < k k < < k > k < k > k = k = ± k. Se k < 0 k l disuguglinz è impossiile > k l disuguglinz è sempre ver

4 Le equzioni di seondo grdo + + = 0 on,, R e 0 ± 4 = = 4 Se è un numero pri ± = se > 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte se = 0 l equzione h due soluzioni oinidenti se < 0 l equzione non h soluzioni reli 4 = Relzione tr i oeffiienti e le soluzioni Se l equzione h due soluzioni reli e llor + = e =. Regol di Crtesio Dt un equzione di seondo grdo + + = 0, d ogni permnenz dei segni dei oeffiienti,, orrisponde un soluzione negtiv, d ogni vrizione un soluzione positiv. Equzioni inomplete impossiile se < 0 Se = 0 (equzione pur) + = 0 = = ± se 0 Se = 0 (equzione spuri) + = 0 ( + ) = 0 = 0 =, Se = = 0 (equzione monomi) = 0 = 0.

5 Regole di somposizione dei polinomi Numero dei termini inomi Trinomi Qudrinomi Regol Roglimento totle Differenz di due qudrti: A = (A + ) (A ) Differenz di due ui: A = (A ) (A + A + ) Somm di due ui: A + = (A + ) (A A + ) Roglimento totle Qudrto di un inomio: A + A + = (A + ) Trinomio speile: + S + P = ( + A) ( + ) S = A + P = A Trinomio di grdo: + + on due zeri, + + = ( ) ( ) Roglimento totle Roglimento przile Cuo di un inomio: A + A + A + = (A + ) Esempio 6 + = ( + ) 4 = () = ( + ) ( ) 8 = = ( ) (4 + + ) + 7 = + = ( + ) ( + 9) = ( + ) = ( ) A =, = ; A = ( ) = 4 6 = ( + ) ( ) S = = + ( ) P = 6 = ( ) 5 = + ( ), 5± = ± 7 = = = ( 6 + 4) 4 + = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) A =, = ; A = ( ) = 6, A = ( ) =

6 Rihimi di geometri eulide Teorem di Pitgor i = + i = i = i Teoremi di Eulide h p p i Primo teorem i : = : p i : = : p Seondo teorem p : h = h : p Formul di Erone + + Indito on p = Are = p ( p ) ( p ) ( p ) Teorem di Tlete r A A s r s t A : C = A : C t C C Teorem dell isettrie di un ngolo interno di un tringolo A ÂD CÂD D : DC = A : AC D C 4

7 Sezione ure sezione ure di un segmento di lunghezz : = : ( ) = 5 Il lto del degono regolre insritto in un ironferenz è ugule ll sezione ure del rggio r l Perimetri ed ree e di lune figure pine Trpezio Prllelogrmm Romo h h d d l ( + ) h S = Poligono regolre S = h P = 4 l S = Cerhio d d Settore irolre r r α r l P = perimetro, n = numero dei lti S = P = n l S = n otg 4 l n l P n = sen r n C = lunghezz dell ironferenz α = misur in rdinti dell ngolo l entro orrispondente C = r S = r l r l = α r S = = r α Segmento irolre r α l r α = misur in rdinti dell ngolo l entro orrispondente S = r ( α sen α ) 5

8 Aree e volumi di luni solidi notevoli Prllelepipedo rettngolo Pirmide Pirmide rett h h h S S S l = ( + ) h S t = ( + h + h) V = h V = S h S l = P = perimetro dell se P V = S h h Prism retto S P = perimetro dell se S l = P h V = S h V = Trono di pirmide h( + + ) h Trono di pirmide rett P = perimetro se mggiore p = perimetro se minore V = S l = (P + p) + + h( ) Cilindro Cono retto Trono di ono r h h h h r r R S l = rh V = r h S l = r V = Sfer r h Clott e segmento sferio h V = S l = (R + r) h( R + r + Rr ) r R S = 4r V = 4 r S = Rh V = h (R h) 6

9 Geometri nliti Distnz tr due punti ( ; ) e ( ; ) = d d d = d = ( ) + ( ) = se se = = Punto medio di un segmento di estremi ( ; ) e ( ; ) M M + = + = M M M L rett Equzioni delle rette prllele gli ssi Equzioni delle rette non prllele ll sse = k h = h = m + q = 0 q = 0 k Equzione dell rett in form impliit + + = 0 Equzione dell rett in form espliit = m + q m oeffiiente ngolre, q ordint ll origine Equzioni delle isettrii dei qudrnti = = e qudrnte = e 4 qudrnte = Prof. Aldo Fsno 7

10 Condizione di prllelismo Condizione di perpendiolrità m m = = m + q m = m = m + q = m + q oppure m = m = m + q Rett pssnte per un punto ( 0 ; 0 ) Rett pssnte per due punti A e 0 = m ( 0 ) m A = A A 0 A A = m A ( A ) 0 A Distnz di un punto ( 0 ; 0 ) Asse di un segmento di estremi dll rett + + = 0 A( ; ) e ( ; ) + + = d = + 0 M M 0 M ( ) + ( ) = ( ) + ( ) oppure M = ( M ) m isettrii degli ngoli formti d due rette + + = 0 e + + = 0 A + + = = = ± + Prof. Aldo Fsno 8

11 L ironferenz Definizione di ironferenz: PC = r r rggio P C entro Equzione dell ironferenz on entro C(α; β) e rggio r Equzione noni dell ironferenz C r ( α) + ( β) = r = 0 on + 4 > 0 Centro C ; Rggio r = + L prol Definizione di prol: PF = d( P; r) P sse di simmetri F fuoo V vertie r direttrie Prol on sse di simmetri prllelo ll sse Prol on sse di simmetri prllelo ll sse > 0 sse > 0 F direttrie sse V direttrie V F Equzione: = + + = 4 Equzione: = + + = 4 > 0 l onvità è rivolt verso l lto Prof. Aldo Fsno 9 > 0 l onvità è rivolt verso destr < 0 l onvità è rivolt verso il sso < 0 l onvità è rivolt verso sinistr Asse di simmetri = Asse di simmetri = Vertie V ; Vertie 4 V ; 4 Fuoo F ; Fuoo 4 F ; 4 Direttrie + = Direttrie + = 4 4

12 Prol vente direttrie = d e fuoo F Prol vente direttrie = d e fuoo F = d F F = d F F F F ( d) = ( F ) + ( F ) ( d) = ( F ) + ( F ) Equzione dell prol di vertie V Equzione dell prol di vertie V ed sse prllelo ll sse ed sse prllelo ll sse V = ( V ) V = ( V ) L ellisse Definizione di ellisse: PF + PF on > 0 = P sse minore Distnz fole: F F = = = Eentriità: e = distnz fole lunghezz dell'sse mggiore Equzione dell ellisse riferit gli ssi + = > A < A A A F F F F distnz fole fuohi sse mggiore F F Vertii: A ( ; 0), A (; 0), (0; ), (0; ) > i fuohi sono sull sse F ( ; 0), F ( ; 0) i fuohi sono sull sse F (0; ), F (0; ) sse mggiore sse minore eentriità < A A = sse mggiore = = sse minore A A = e= eentriità e= Prof. Aldo Fsno 0

13 L iperole Definizione di iperole: PF PF on > 0 = P sse trsverso Distnz fole: F F = = = + Eentriità: distnz fole e = lunghezz dell'sse trsverso Equzione dell iperole riferit gli ssi F F fuohi sse non trsverso Se i fuohi pprtengono ll sse : = Se i fuohi pprtengono ll sse : = = = A A F F = F = A A F vertii reli: A ( ; 0), A (; 0), vertii reli: (0; ), (0; ) vertii non reli (0; ), (0; ) vertii non reli A ( ; 0), A (; 0) fuohi F ( ; 0), F ( ; 0) fuohi F (0; ), F (0; ) sintoti sse trsverso sse non trsverso eentriità = ± sintoti = ± A A = sse trsverso = = sse non trsverso A A = e= eentriità e= Iperole equilter A A = = = sintoti = ± = = F A A F = F A A F = Se i fuohi pprtengono ll sse : = Se i fuohi pprtengono ll sse : = Prof. Aldo Fsno

14 Equzione dell iperole equilter riferit gli sintoti: = k on k 0 = k = k k > 0 i vertii e i fuohi sono sull isettrie k < 0 i vertii e i fuohi sono sull isettrie k > 0 = = k < 0 F F A A A A F F del primo e del terzo qudrnte del seondo e del qurto qudrnte vertii A ( k ; k) A( k ; k) vertii A ( k ; k) A( k ; k) fuihi F( k; k) F ( k ; k) vertii F( k; k) F ( k; k) Funzione omogrfi sintoti: entro di simmetri: + = on 0 e d 0 + d d = e = d C ; C = d = Prof. Aldo Fsno

15 Grfii trsformti P v = f( ) P v P = f() + v = f() v P = f() Il grfio dell funzione = f( ) si ottiene trslndo orizzontlmente il grfio dell funzione = f() del vettore v = (; 0). Se > 0 l trslzione è verso destr, se < 0 l trslzione vviene sinistr. Il grfio dell funzione = f() + si ottiene trslndo vertilmente il grfio dell funzione = f() del vettore v = (0; ). Se > 0 l trslzione è verso l lto, se < 0 l trslzione è verso il sso. = f(/) 0 < < = f(/) > 0 P P = f() 0 = f() P P / 0 0 Se 0 < < il grfio trsformto = f(/) ppre ontrtto orizzontlmente rispetto quello di prtenz. 0 0 / Se > il grfio trsformto = f(/) ppre diltto orizzontlmente rispetto quello di prtenz.. 0 P = f() > = f() 0 < < 0 P = f() 0. 0 P P = f() 0 0 Se > il grfio trsformto ppre diltto vertilmente rispetto quello di prtenz; Se 0 < < il grfio trsformto ppre ontrtto vertilmente rispetto quello di prtenz. = f( ) = = f() 0 = f() P 0 P P = = f() P Il grfio trsformto = f( ) è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll rett = Il grfio trsformto = f() è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll rett = Prof. Aldo Fsno

16 = f( ) = f() 0 = f() P P 0 P P = f() Il grfio trsformto = f( ) è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll sse ( = 0) Il grfio trsformto = f() è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll sse ( = 0) 0 P = 0 = f() P = f() P 0 0 = = f() P = f( ) 0 Se f è un funzione iunivo, il grfio trsformto = f() è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll isettrie del primo e del terzo qudrnte. Se f è un funzione iunivo, il grfio trsformto = f( ) è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll isettrie del seondo e del qurto qudrnte. 0 P = f() = f() P P = f( ) Il grfio trsformto = f( ) è il simmetrio del grfio = f() rispetto l punto C(; ). C P = f( ) Il grfio trsformto = f( ) è il simmetrio del grfio = f() rispetto ll origine (0; 0). = f( ) = f() = f() = f() Il grfio dell funzione = f() oinide on quello dell funzione = f() negli intervlli in ui f() 0; oinide ol grfio simmetrio di f rispetto ll sse, = f(), negli intervlli in ui f() < 0. Il grfio dell funzione = f( ) oinide on quello dell funzione = f() nel semipino delle sisse 0; oinide ol grfio simmetrio di f rispetto ll sse, = f( ), nel semipino delle sisse < 0. Prof. Aldo Fsno 4

17 Goniometri Funzioni goniometrihe Seno e oseno senα α H osα Tngente tg α T tg α T α A(; 0) α A(; 0) α A(; 0) α A(; 0) tg α T tg α T Cotngente C(0; ) S S C(0; ) C(0; ) S S C(0; ) α α otg α otg α α otg α otg α α Grfii e proprietà delle funzioni goniometrihe Funzione seno = sen / / / / Prof. Aldo Fsno 5

18 Dominio D = R Codominio C = [ ; ] Periodiità k Z sen ( + k) = sen, Limitndo lo studio ll intervllo [ ; ] l funzione è resente in ; l funzione è deresente in ; ; Funzione oseno = os / / / / Dominio D = R Codominio C = [ ; ] Periodiità k Z os ( + k) = os, Limitndo lo studio ll intervllo [ ; ] l funzione è resente in ( ; 0) l funzione è deresente in (0; ) Funzione tngente = = = tg / / / / Prof. Aldo Fsno 6

19 Dominio D = R {/ + k k Z } Codominio C = R Periodiità: k Z tg( + k) = tg Limitndo lo studio ll intervllo ; l funzione è resente nell intervllo lim tg= + lim tg + = ± sintoti vertili = Funzione otngente = otg = 0 = / / / / Dominio D = R { k k Z } Codominio C = R Periodiità: k Z otg( + k) = otg Limitndo lo studio ll intervllo (0; ) l funzione è deresente nell intervllo lim otg= lim otg= = 0 e = sintoti vertili Prof. Aldo Fsno 7

20 Funzioni goniometrihe inverse / m α = r sen (m) α = r os (n) 0 n / p / α = r tg (p) n α = r otg (q) 0 / Grfii e proprietà delle funzioni goniometrihe inverse Funzione roseno Funzione rooseno = r sen () = r os () 0 Dominio D = [ ; ] Codominio ; L funzione è resente nel dominio Dominio D = [ ; ] Codominio [0; ] L funzione è deresente nel dominio Prof. Aldo Fsno 8

21 Funzione rotngente / / = = r tg () = Dominio R Codominio ; L funzione è resente nel dominio lim r tg ( ) =±, ± =± sintoti orizzontli Funzione rootngente = = r otg () / 0 = 0 Dominio R Codominio (0; ) L funzione è deresente nel dominio lim rotg ( ) = 0 + lim rotg ( ) = = 0 e = sintoti orizzontli Prof. Aldo Fsno 9

22 Funzioni goniometrihe di ngoli prtiolri Misur in grdi Misur in rdinti seno oseno tngente otngente non esiste ( ) non esiste ( ) Prof. Aldo Fsno 0

23 Seno e oseno di luni ngoli notevoli e dei loro ssoiti /4 = 5 5/6 = 50 / = 0 90 = / / / / 60 = / 45 = /4 0 = /6 = 80 0 = 0 60 = 7/6 = 0 5/4 = 5 4/ = 40 / / / 70 = / 5 = 7/4 00 = 5/ 0 = /6 Tngente e otngente di luni ngoli notevoli e dei loro ssoiti 0 90 = / 60 = / / = 0 /4 = 5 5/6 = = /4 0 = /6 = 80 0 = 0 0 A 0 = /6 7/6 = 0 5/4 = 5 5 = 7/4 4/ = = 5/ 70 = / Prof. Aldo Fsno

24 Relzioni e proprietà fondmentli Relzioni tr le funzioni goniometrihe di uno stesso ngolo sen α = os α sen α + os α = tg α = os α = sen α senα osα α 90 + k80 otg α = osα senα os α = + tg α α k80 otg α = e sen α = tg α + tg α tgα on α 90 + k80 α k 90 Formule goniometrihe Formule di ddizione e sottrzione sen(α + β) = senα osβ + osα senβ os(α + β) = osα osβ senα senβ sen(α β) = senα osβ osα senβ os(α β) = osα osβ + senα senβ tgα+ tgβ tg(α + β) = tgα tgβ tgα tgβ tg(α β) = + tgα tgβ on α, β, α + β 90 + k 80 on α, β, α β 90 + k 80 Formule di duplizione sen α = senα osα os α = os α sen α = sen α os α tg α = tgα tg α on α 45 + k 90 α 90 + k 80 Formule prmetrihe t sen α = + t t os α = + t on t = tg α e α 80 + k60 Prof. Aldo Fsno

25 t tg α = t on t = tg α e α 90 + k80 α 80 + k60 Formule di isezione α osα α + osα sen = ± os = ± α osα tg = ± on α 80 + k60 + osα α senα α osα tg = on α 80 + k60 tg = on α k80 + osα senα Formule di prostferesi sen p + sen q = sen sen p sen q = os p+q p+q p q p+q p q os ; os p + os q = os os p q p+q p q sen ; os p os q = sen sen Formule di Werner sen α sen β = [ os( α β) os( α+ β) ] os α os β = [ os( α+ β) + os( α β) ] sen α os β = [ sen( α+ β) + sen( α β) ] Angolo tr un rett nel pino rtesino e l sse delle sisse m = tg α α q = m + q Angolo tr due rette nel pino rtesino m m' tgγ = + mm' γ = m + q = m + q Prof. Aldo Fsno

26 Trigonometri Primo teorem sui tringoli rettngoli = sen β = os β = os γ = sen γ. γ C Seondo teorem sui tringoli rettngoli = otg γ = tg γ β A = tg β. = otg β. Teorem dei seni C Se indihimo on r il rggio dell ironferenz irosritt d un qulunque tringolo = = = r. senα senβ senγ α γ β A Teorem del oseno C Per un qulunque tringolo: = = = osα osβ osγ α γ β Invertendo queste relzioni rispetto i oseni: A osα = + osβ = + + osγ =. Il teorem sull ord Si A un qulunque ord di un ironferenz e AC ˆ uno degli ngoli ll ironferenz d ess sotteso. A= r sen ACˆ. l ngolo AC ˆ è uto C l ngolo AC ˆ è ottuso A A Prof. Aldo Fsno 4 C

27 Esponenzili Sino un numero rele, ed n un numero nturle. Si definise: se n= 0 n n = se n= = n se n> 44 K n volte Dto un numero rele 0 e un numero rzionle m/n > 0, si definise: m m n n m n = = m = n m n Dto un numero rele > 0 e un numero irrzionle α, indite on β, β, e γ, γ, due lssi ontigue di numeri rzionli he hnno α ome elemento seprtore, si definise α ome l elemento seprtore delle due lssi ontigue di potenze d esponente rzionle β, β, K e γ, γ, K. Si definise poi 0 α = 0 per ogni numero rele α > 0. Per le potenze d esponente rele, vlgono le proprietà:., R = +., R : =., R ( ) = 4. Se > 0, R > 0 5. Se > 0, R =. Funzioni esponenzili Si un prefissto numero rele positivo, si definise funzione esponenzile di se l funzione di equzione: =. Proprietà. Dominio D = R;. Se, odominio C = (0; + ); Se >. l funzione è resente: < < 4. lim = + ; lim = 0. + Se 0 < <. l funzione è deresente: < > 4. lim = 0 ; lim = +. + Prof. Aldo Fsno 5

28 Riportimo di seguito i due grfii: = > = 0 < < 5. sservimo he entrme le urve pssno per il punto (0; ). Logritmi Si > 0,, > 0, il logritmo in se di è l esponente d ttriuire d per ottenere un potenz ugule. log = = > 0,, > 0 Identità fondmentli log = log = Proprietà dei logritmi se m > 0, n > 0, > 0 logritmo di un prodotto logritmo di un quoziente logritmo di un potenz log (m n) = log m + log n log n m = log m log n log = log Formule del mimento di se log = log log log = log Funzioni logritmihe Si un prefissto numero rele positivo diverso d, si definise funzione logritmi di se l funzione di equzione: = log. Proprietà. dominio D = (0: + );. odominio C = R; Prof. Aldo Fsno 6

29 Se >. l funzione è resente: < log < log 4. lim log = ; lim log = Se 0 < <. l funzione è deresente: < log > log 4. lim log = + ; lim log =. 0 + Riportimo di seguito i due grfii: = log 0 < < = log > 5. entrme le urve pssno per il punto (; 0). Prof. Aldo Fsno 7

30 Shemi risolutivi di disequzioni di vrio tipo Disequzioni potenz [g()] n 0, n N n [g()] n > 0 g() 0 Se n è pri [g()] n = 0 g() = 0 [g()] n < 0 impossiile Se n è dispri [g()] n 0 g() 0 Disequzioni inomie n + 0, n N n Se n è pri l disequzione si risolve in modo simile ll disequzione di grdo + 0 Se n è dispri l disequzione si risolve in modo simile lle disequzioni di grdo on l differenz he dopo ver isolto n l primo memro, oorre lolre l rdie n sim di entrmi i memri. Disequzioni trinomie n + n + 0, n N n > Si onsider il trinomio l primo memro n + n + e si esegue l sostituzione n = t ottenendo il trinomio di grdo t + t + ; si sompone il trinomio t + t + in fttori, ottenendo t + t + = (t t ) (t t ); on l sostituzione invers t = n ottenimo l somposizione del trinomio l primo memro dell disequzione inizile nel prodotto di due inomi: n + n + = ( n t ) ( n t ); l disequzione di prtenz si può quindi risrivere nell form: ( n t ) ( n t ) 0 e si risolve on lo studio del segno dei fttori, Disequzioni irrzionli n ( ) ù ( ), n N n > Se n è pri l disequzione n ( ) < ( ) è equivlente l sistem ( ) 0 ( ) > 0 ( ) < [ ( ) ] n, Prof. Aldo Fsno 8

31 l disequzione n ( ) > ( ) h per soluzioni l unione delle soluzioni dei due sistemi ( ) < 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) > [ ( ) ] n, he devono essere risolti seprtmente. Se n è dispri l disequzione n ( ) ù ( ) è equivlente ll disequzione he si ottiene elevndo entrmi i memri ll n, ioè n ( ) ù ( ) () ù [()] n Disequzioni in vlore ssoluto g() ù, on R Se < 0 l disequzione g() è impossiile l disequzione g() > è sempre ver (nel dominio di g()) Se 0 g( ) < l disequzione g() < è equivlente < g() < oppure l sistem. g( ) > Conviene risolvere l disequzione < g() < qundo g() è un funzione monoton nel suo dominio. l disequzione g() > h per soluzioni l unione delle soluzioni delle due disequzioni g() < g() >. Disequzioni goniometrihe lineri sen + os, os + sen Supponimo he l disequzione si presenti nell form sen + os + Dividimo entrmi i memri dell disequzione per + sen + + os Riportimo sull ironferenz goniometri il punto ; e indihimo on ϕ l ngolo ϕ ssoito. Questo ngolo, nell mggior prte dei si, si riv filmente dlle telle degli ngoli notevoli o d un figur ftt ene, ltrimenti si riv on l loltrie sientifi. Dto he os ϕ = + e sen ϕ = +, + ϕ + possimo risrivere l disequzione nell form os ϕ sen + sen ϕ os +. Prof. Aldo Fsno 9

32 Riordndo l formul di ddizione del seno, rionosimo he l somm l primo memro è ugule sen ( + ϕ), quindi possimo srivere he sen ( + ϕ). Ci simo riondotti d un disequzione goniometri elementre. L ngolo ϕ viene detto ngolo ggiunto e d il nome l metodo di risoluzione desritto. Se l disequzione si present nell form os + sen, seguendo lo stesso rgionmento, dopo ver determinto un ngolo ϕ tle he: os ϕ = + e sen ϕ =, + l disequzione os + sen è equivlente ll disequzione os ( ϕ). + + Disequzioni esponenzili g() Se 0 l disequzione g() < è impossiile g() è sempre ver (nel dominio di g()) nel so > nel so 0 < < g() log g() log g() log g() log g() log g() log Se > 0 Se si può esprimere filmente ome potenz di, ioè =, llor si può proedere più speditmente ome segue: nel so > g() g() nel so 0 < < g() g() Disequzioni logritmihe log g() log g() log g() log g( ) > 0 Se > l disequzione è equivlente l sistem g( ) g( ) > 0 Se 0 < < l disequzione è equivlente l sistem g( ) vvero he h ome punto ssoito sull ironferenz goniometri Prof. Aldo Fsno 0 ; + +

33 Domini delle funzioni più omuni Nello shem he segue g() indi un funzione qulunque funzione Funzioni Rzionli intere Rzionli frtte Domini R R {vlori he nnullno il denomintore} n g( ) = n pri Soluzioni dell disequzione g() 0 n g( ) = n dispri Dominio di g() g () =, > 0 Dominio di g() = log g(), > 0, Soluzioni dell disequzione g() > 0 = sen g() = os g() Dominio di g() = tg g() Soluzioni dell disequzione g() +k, k Z = otg g() Soluzioni dell disequzione g() k, k Z = r sen g() = r os g() Soluzioni dell disequzione g() = r tg g() = r tg g() Dominio di g() = [g()] α α irrzionle positivo Soluzioni dell disequzione g() 0 = h() g() Soluzioni dei sistemi h( ) > 0 Dominio dig( ) h( ) = 0 g( ) > 0 Prof. Aldo Fsno

34 Grfii delle prinipli funzioni lgerihe = n on n dispri = n on n pri = n on n dispri = n on n pri = = Prof. Aldo Fsno

35 Limiti Verifihe dell orrettezz dei limiti. lim f ( ) = l Si risolve ε > 0 l disequzione f() l < ε e si verifi he l insieme S ε delle soluzioni onteng un intorno ompleto ( ε ; ε ) di, eventulmente esluso. Se + è suffiiente he S ε onteng un intorno destro (; ε ) di Se è suffiiente he S ε onteng un intorno sinistro ( ε ; ) di.. lim f ( ) = l Si risolve ε > 0 l disequzione f() l < ε e si verifi he l insieme S ε delle soluzioni onteng un intorno ( ; ε ) ( ε ; + ) di. Se + è suffiiente he S ε onteng un intorno ( ε ; + ) di +. Se è suffiiente he S ε onteng un intorno ( ; ε ) di.. limf ( ) = + 4. limf ( ) = 5. limf ( ) = + 6. limf ( ) = Si risolve M > 0 l disequzione f() > M e si verifi he l insieme S M delle soluzioni onteng un intorno ompleto ( M ; M ) di, eventulmente esluso. Se + è suffiiente he S M onteng un intorno destro (; M ) di Se è suffiiente he S M onteng un intorno sinistro ( M ; ) di. Si risolve M > 0 l disequzione f() < M e si verifi he l insieme S M delle soluzioni onteng un intorno ompleto di, eventulmente esluso, ome nel so preedente. Lo stesso disi nei sottosi +,. Si risolve M > 0 l disequzione f() > M e si verifi he l insieme S M delle soluzioni onteng un intorno ( ; M ) ( M ; + ) di. Se + è suffiiente he S M onteng un intorno ( M ; + ) di +. Se è suffiiente he S M onteng un intorno ( ; M ) di. Si risolve M > 0 l disequzione f() < M e si verifi he l insieme S M delle soluzioni onteng un intorno di, ome nel so preedente. Lo stesso disi nei sottosi +,. Limiti notevoli + lim ( ) e log lim 0 = e ( + ) = log e= ln lim + 0 ln lim 0 ( + ) = = Prof. Aldo Fsno

36 lim 0 = log lim 0 e = sen lim 0 = ( in rdinti) os lim 0 = ( in rdinti) Derivte Derivt di un funzione in un punto Si f un funzione definit in un punto, il limite f () = him derivt dell funzione nel punto. lim h f ( + h) h f ( ) qundo esiste si t Signifito geometrio dell derivt P f () = m t t rett tngente l grfio dell funzione nel punto di siss α f () = tg α Derivte delle funzioni elementri Funzione Prof. Aldo Fsno 4 Derivt = = 0 = = = α = α α (α R) = = = n = n n n = sen = os = os = sen = tg = + tg = os = otg = ( + otg ) = = r sen = = r os = = r tg = + sen

37 = r otg = + = = ln = e = e = log = log = ln = e= ln = ln = Regole di derivzione = f() ± g() = f()g() = f () ± g () = f ()g() + f()g () f( ) f '( ) g( ) f( ) g' ( ) = = g( ) [ g( ) ] g' ( ) = = g( ) [ g( ) ] = f [ g( ) ] = f '[ g( ) ] g' ( ) Integrli Integrli indefiniti immediti d = + C α+ α d= + C, on α α+ d= ln + C sen d= os+ C os d= sen+ C tg d= ln os + C otg d= ln sen + C d= tg+ C os Prof. Aldo Fsno 5

38 d= otg+ C sen d= r sen+ C d= rsen + C, > 0 d= r tg+ C + d= r tg + C m + m m + k d= r tg + C m + ( + k) m m ed= e + C d= + C ln Regole di integrzione Integrzione immedit generlizzt Se F è un primitiv di f llor Integrzione per sostituzione f(g()) g () d = F(g()) + C Se = g(t) è un funzione invertiile e derivile nel dominio di f e si riese lolre l integrle f(g(t)) g (t) d, llor f ( ) d= f( g( t) ) g' ( t) Integrzione per prti dt t= g ( ) Se f e g sono due funzioni derivili llor f ( ) g' ( ) d f( ) g( ) g( ) f '( ) = d Integrli definiti ( = ) f ( ) d= F( ) F( ) on f( ) d F( ) + Vlor medio di un funzione ontinu in un intervllo [; ] V m = f ( ) d Prof. Aldo Fsno 6

39 Se f 0 nell intervllo [; ] l re del trpezoide delimitto dl grfio dell funzione, dll sse e dlle rette = e = è S = f ( ) d = S = f 0 Se f 0 nell intervllo [; ] l re del trpezoide delimitto dl grfio dell funzione, dll sse e dlle rette = e = è S = f ( ) d. = f 0 S = Are dell regione di pino ompres tr i grfii di due funzioni f e g S = [ f ( ) g( ) ] d = f() S = g() Volume di un solido generto dll rotzione omplet di un trpezoide intorno ll sse V = [ f( ) ] d V = f() Volume di un solido generto dll rotzione omplet di un trpezoide intorno ll sse V = f ( ) [ ] f ( ) f ( ) d f() f() V = f () Volume del solido S he h per se il trpezoide delimitto dl grfio dell funzione f() 0 e dll intervllo [, ], le ui sezioni ottenute tglindo S on pini perpendiolri ll sse, sono tutte poligoni regolri di n lti z = f() S R d Prof. Aldo Fsno 7

40 V n = otg 4 n [ f ( ) ] d Clolo omintorio Disposizioni semplii di n elementi distinti di lsse k (on k n) n! D n,k = n (n ) (n ) (n k + ) = ( n k)! k fttori Disposizioni on ripetizione di n elementi distinti di lsse k (on k n) D n,k = n k Permutzioni semplii di n elementi distinti P n,k = D n,n = n (n ) (n ) Cominzioni semplii di n elementi distinti di lsse k (on k n) n D C n,k = = k k! n, k n ( n ) ( n ) K ( n k+ ) = = k! n! k!( n k)! Formul di Stifel: n n n = + k k k n n Potenz di un inomio: ( A+ ) = k= 0 n A k n k k Progressioni Progressione ritmeti di rgione d: è un suessione,,, n, tle he n n+ n = d. Vlgono i seguenti risultti: n n = + (n ) d n S n = n = lim n n + Prof. Aldo Fsno 8 +, se d > 0 =, se d < 0, se d = 0 n + n Progressione geometri di rgione q: è un suessione,,, n, tle he n n+ n = q.

41 Vlgono i seguenti risultti: n n = q n n S n = n = n q q lim n n +, se 0, se =, se non esiste se q= q < q> q Prof. Aldo Fsno 9