Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi
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- Umberto Franco
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1 Geometri Anliti Domnde, Risposte & Eserizi L ironferenz. Dre l definizione di ironferenz ome luogo di punti. L ironferenz è un luogo di punti, è ioè un insieme di punti del pino le ui distnze d un punto fisso detto entro sono tutte uguli. on riferimento ll figur destr si h P Q R r rggio.. ome si ottiene l ironferenz ome sezione oni? onsiderimo il ono irolre retto ostituito dlle rette genertrii he on il suo sse formno un ngolo di mpiezz α. onsiderimo poi un pino sente he form un ngolo β on l sse del ono. Se si h β, l sezione ottenut è un ironferenz.. ome si trov l equzione generi dell ironferenz di entro il punto e rggio r ssegnti? Utilizzndo l formul dell distnz tr due punti si ottiene l equzione generle dell ironferenz di entro ( ) ( ) ( ) e rggio r: r. Qul è l equzione dell ironferenz in form noni? L equzione dell ironferenz in form noni è
2 . Assegnt un ironferenz di equzione e il rggio r? entro. Le oordinte del entro ( ) si rivno medinte le formule ome si trovno il entro e Rggio. L misur del rggio si riv medinte l formul r. Dt un ironferenz in form generi, si esprimno i vri si prtiolri: ( ) trindo i reltivi grfii ( ) entro sull sse ( ) entro sull sse ( ) ironferenz O ironf. pssnte per l origine entro nell origine entro sull sse, ironf. pssnte per l origine entro sull sse, ironf. pssnte per l origine
3 7. Per qule motivo l ironferenz è un so prtiolre dell ellisse? onsiderimo un ironferenz di entro l origine e rggio r l su equzione srà: Se si dividono tutti i termini per r, si h: ( ) ( ) r r r e quindi r r r r Quest equzione è l equzione di un ellisse in form noni dove i semissi e sono uguli e pri d r possimo dunque ffermre he l ironferenz è un ellisse on i semissi e uguli. L semidistnz fole è pri poi r r I due fuohi srnno osì: F '( ) F' ( ) F( ) F( ) Un ironferenz è llor un ellisse i ui fuohi oinidono on il entro dell ironferenz stess. Infine, lolndo l eentriità, si ottiene: e r Un ironferenz è osì un ellisse d eentriità null, ovvero senz shiimento. 8. ome si trov l equzione dell ironferenz di entro il punto ( ) e pssnte per un punto P ( P P ) ssegnto? Innnzitutto lolimo il rggio dell ironferenz u- tilizzndo l formul dell distnz tr due punti: r r ( ) ( ) P P onosendo poi il entro e il rggio riorrimo ll equzione generle dell ironferenz di entro ( ) e rggio r: ( ) ( ) r. ome si trov l equzione dell ironferenz di ui sono ssegnti due punti dimetrli A ( ) e B ( )? Innnzitutto osservimo he il entro dell ironferenz è il punto medio tr A e B:
4 ( ) inoltre il rggio dell ironferenz è pri ll distnz tr i punti ed A: r ( ) ( ) onosendo osì il entro e il rggio riorrimo ll equzione generle dell ironferenz di entro ( ) e rggio r: ( ) ( ) r. ome si trovre l equzione dell ironferenz di ui sono ssegnti tre suoi punti A ( ), ( ) L equzione generle dell ironferenz è innnzitutto doimo imporre le ondizioni di pprtenenz:? B e A ironferenz ( ) ( ) ( ) B ironferenz ironferenz Le ondizioni di sopr sono tre equzioni nelle inognite, e ponendole sistem e risolvendo il sistem on uno dei metodi onosiuti (rmer, sostituzione, onfronto) si ottengono filmente, e.. Dt l rett di equzione m q e l ironferenz di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ironferenz. Svolgimento. Per verifire se l rett è tngente, sente o estern rispetto ll ironferenz si possono seguire due strde: quell grfi e quell lgeri nel primo so è suffiiente trire sullo stesso pino rtesino i grfii dell rett e dell ironferenz ed osservre le posizioni reltive, rivndo in mnier pprossimtiv le oordinte degli eventuli punti di intersezione. Nel seondo so, st impostre il sistem lgerio tr l rett e l ironferenz. m q Tle sistem si può risolvere per sostituzione: sostituendo nell equzione dell ironferenz ll l su espressione m q si ottiene un equzione di II grdo di ui si lolerà il potremo vere tre si possiili: ) se > il sistem vrà due soluzioni distinte i punti di intersezione tr l ironferenz e l rett srnno due distinti l rett srà sente l ironferenz ) se il sistem vrà due soluzioni oinidenti i srà un unio punto di intersezione tr l rett e l ironferenz l rett srà tngente ll ironferenz ) se < il sistem non vrà soluzioni reli non vi srnno punti di intersezione tr l ironferenz e l rett l rett srà estern ll ironferenz.
5 PROBLEMA. DETERMINAZIONE DELL EQUAZIONE DI UNA IRONFERENZA A PARTIRE DALLA ONOSENZA DEL ENTRO E DEL RAGGIO. e rggio r. Esempio. Si vuole trovre l equzione dell ironferenz di entro Sostituendo nell equzione generle si h: ( ) ( ) r ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) e infine: PROBLEMA. TRASFORMAZIONE DELL EQUAZIONE DI UNA IRONFERENZA NELLA FORMA ANONIA. Esempio. Dt l ironferenz di equzione 8 si vuole srivere l equzione in form noni Per vere l equzione in form noni è suffiiente dividere tutti i oeffiienti dell equzione per : 8 PROBLEMA. DETERMINAZIONE DEL ENTRO E DEL RAGGIO DI UNA IR- ONFERENZA A PARTIRE DALL EQUAZIONE Esempio numerio. Dt l ironferenz di equzione se ne vuole trovre il entro e il rggio r e poi disegnrl. entro. Le oordinte del entro si rivno medinte le formule ( ) ( ) Rggio. L misur del rggio si riv medinte l formul ( ) ( ) r Esempio numerio. Dt l ironferenz di equzione, trovre il entro e il rggio r e poi trire il grfio. entro. Le oordinte del entro si rivno medinte le formule ( ) ( ) ( )
6 Rggio. L misur del rggio si riv medinte l formul r ( ) ( ) ( ) immginrio Si onlude he l equzione ssegnt nell tri non orrisponde d un ironferenz rele, in qunto il rggio risult non rele m immginrio. PROBLEMA. DETERMINAZIONE DELLA IRONFERENZA A PARTIRE DALLA ONOSENZA DEL ENTRO E DI UN SUO PUNTO. Esempio numerio Si vuole trovre l ironferenz vente per entro il punto e pssn- te per il punto P ( ). Il rggio dell ironferenz è pri ll distnz r P : ( ) ( ) ( ) P P onosendo osì il entro e il rggio li ponimo nell equzione generle dell ironferenz ( ) ( ) ottenendo: r ( ) e infine PROBLEMA. DETERMINAZIONE DELLA IRONFERENZA A PARTIRE DALLA ONOSENZA DI DUE PUNTI DIAMETRALI. Esempio numerio : si vuole trovre l ironferenz pssnte per i punti dimetrli A ( ), e B ( ). Il entro dell ironferenz è il punto medio tr A 8 e B: ( ) Il rggio dell ironferenz è pri ll distnz tr i punti ed A: r ( ) ( ) A ( ( ) ) ( ) ( ) A
7 7 onosendo osì il entro e il rggio li ponimo nell equzione generle dell ironferenz r ottenendo: 8 e infine 8 Esempio numerio : si vuole trovre l ironferenz pssnte per i punti dimetrli A, e B. Il entro dell ironferenz è il punto medio tr A e B:.. Il rggio dell ironferenz è pri ll distnz tr i punti e A: A A r onosendo osì il entro e il rggio li ponimo nell equzione generle dell ironferenz r ottenendo: e infine PROBLEMA. DETERMINAZIONE DELLA IRONFERENZA A PARTIRE DALLA ONOSENZA DI TRE SUOI PUNTI. Esempio numerio. Si vuole trovre l ironferenz pssnte per i punti A, B e. A) Imponendo l pprtenenz del punto A si ottiene: ironferenz A B) Imponendo l pprtenenz del punto B si ottiene: ironferenz B ) Imponendo l pprtenenz del punto A si ottiene: 8 ironferenz Mettendo sistem le tre equzioni in, e si ottiene: 8
8 8 Risolvimo il sistem oll regol di rmer: L equzione ert è dunque: Verifihimo infine he i punti A, B e pprtengno effettivmente ll ironferenz trovt. A) Imponendo l pprtenenz del punto A si ottiene: OK A ironferenz B) Imponendo l pprtenenz del punto B si ottiene: OK B ironferenz ) Imponendo l pprtenenz del punto A si ottiene: OK ironferenz PROBLEMA 7. DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UNA IRONFERENZA E DELLE OORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI INTER- SEZIONE. Esempio numerio 7. Dt l rett di equzione e l ironferenz di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ironferenz e lolre le oordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo si trino i digrmmi dell rett e dell ironferenz. L rett v espliitt nell form: ttrverso l solit tell - se ne riv il grfio.
9 L ironferenz h per equzione ssegnt. Si trtt di un so prtiolre (ironferenz on entro nell origine): ( ) il rggio vle r,. Proedendo l grfio si vede suito he le rett è sente, on due punti di intersezione distinti A e B. lolimo desso lgerimente gli eventuli punti d intersezione ttrverso il sistem lgerio. sostituimo l seond equzione nell prim: ( ) svolgo il qudrto di inomio trsporto I memro: e semplifindo l prim equzione per due: ( ) ( ) > Ne segue he l rett è sente. lolndo le intersezioni si prosegue: ± ±, le soluzioni srnno due: A) ( ) A ( )
10 B) ( ) B ( ) Esempio numerio 7. Dt l rett di equzione e l ironferenz di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ironferenz e lolre le oordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo si trino i digrmmi dell rett e dell ironferenz. L rett v espliitt nell form: ttrverso l solit tell - se ne riv il grfio. L ironferenz h per equzione ssegnt. Per lolre il entro e il rggio oorre l equzione in form noni: dividendo tutto per si ottiene: Si vede llor he l ironferenz h per entro il punto di origine e il suo rggio vle r. Proedendo l grfio si vede suito he le rett è sente, on due punti di intersezione distinti A e B. lolimo desso lgerimente gli eventuli punti d intersezione ttrverso il sistem lgerio. ( ) ( ) 8 7 ( ) ( 8)( 7) >. Ne segue he l rett è sente. ±, 8 ± ± le soluzioni srnno due: A) 8
11 B) 8 I punti di intersezione A e B hnno llor oordinte:.. A A.. B B Esempio numerio 7. Dt l rett di equzione e l ironferenz di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ironferenz e lolre le oordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo si trino i digrmmi dell rett e dell ironferenz. Il entro dell ironferenz h per oordinte Il rggio è 8, 8 r Proedendo l grfio si vede suito he le rett è tngente ll ironferenz, on un unio punto in omune T. lolimo desso lgerimente gli eventuli punti d intersezione ttrverso il sistem lgerio. sostituimo l seond espressione nell prim: eseguo il qudrto di inomio e l moltiplizione: rolgo i termini simili: semplifindo per : risolvimo l equzione di II grdo:
12 ( ) Ne segue he l rett è tngente. ±, e infine: Il punto di tngenz T h quindi ome oordinte T ( ) Esempio numerio 7d. Dt l rett di equzione e l ironferenz di equzione 8 8, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ironferenz e lolre le oordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo si trino i digrmmi dell rett e dell ironferenz. Il entro dell ironferenz h per oordinte ( 8) 8 Il rggio è ( ) ( ) ( 8) 8 r Proedendo l grfio si vede suito he le rett è estern ll ironferenz, senz punti in omune. Vedimo desso le ose dl punto di vist lgerio. 8 8 sostituimo l seond espressione nell prim: ( ) 8( ) 8 eseguo il qudrto di inomio e l moltiplizione: rolgo i termini simili: semplifindo per : 7 risolvimo l equzione di II grdo: ( 7) ( ) 8 < Poihé il è negtivo il sistem non h soluzioni reli, ne segue he l rett è estern.
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Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot
Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità
Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli
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Verifica di matematica
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L IPERBOLE. x si sviluppano i prodotti notevoli; 25 y 8 si porta un radicale al 2 membro; 25 y si elevano i due membri al quadrato;
L IPERBOLE L'IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO L iperole è il luogo geometrio dei punti P del pino rtesino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi, F ed F, detti fuohi. Il punto medio
4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013)
Fsio iproprio di rette prllele r: ipliit risult q r si h: q ; esso in for. onsiderndo he ( ;) q ( q) q e 8 q q q q 6q 6 q ± 6 q 8; q Le tngenti srnno: 8, ; L ironferenz (Polo Urni pri stesur settere ggiornento
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Equazioni di secondo grado Capitolo
Equzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
KIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 2015/16 CLASSI SECONDE IeFP OPERATORE GRAFICO
ZENALE e BUTIINONE KIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 0/ CLASSI SECONDE IeFP OPERATORE GRAFICO Al fine di tenere in llenmento le ilità mtemtihe propedeutihe ll lsse terz, onsiglimo lo svolgimento piere di eserizi
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