U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica

Transcript

1 54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le coordinte del ricentro di un tringolo 5) Equzione crtesin di un curv pin 6) Il grfico di un equzione di primo grdo due incognite. 7) Le proprietà crtesine dell rett euclide 8) Rette prllele 9) Rette perpendicolri ) Le coordinte del punto comune due rette ) Fscio di rette ) Distnz di un punto d un rett 3) I luoghi geometrici e le equzioni due incognite ) Il grfico dell funzione c 3) Il grfico dell funzione c U.D. N 5 Pgin 54

2 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 55 Le coordinte crtesine Su di un rett r considerimo un punto O, detto origine, un verso positivo indicto con un frecci ed un segmento unitrio OU. In questo cso l rett r dicesi sse delle scisse e viene indict col simolo e di solito è disegnt in posizione orizzontle. Ogni punto P O U P r individu il segmento OP. Noi sppimo che OP OU è un numero rele che esprime l misur del segmento OP rispetto l segmento OU ssunto come segmento unitrio. Adesso ponimo : OP OU e convenimo di considerre positivo ( negtivo ) se P si trov ll destr ( sinistr ) di O. Il numero dicesi sciss del punto P. D qunto imo detto è evidente che esiste un corrispondenz iunivoc fr i numeri reli reltivi R ed i punti P di un rett r sull qule imo fissto un punto origine O, un verso positivo, un unità di misur per i segmenti. Adesso considerimo due rette orientte ed fr loro perpendicolri. L rett è orientt d sinistr verso destr, l rett è orientt dl sso verso l lto. Si O il punto comune lle rette ed. Si P un punto qulsisi del pino. Si H l proiezione ortogonle di P sull rett e K l proiezione ortogonle di P sull rett. ed Si OH l sciss del punto H rispetto ll rett OU orientt, si OK l sciss del punto K OU rispetto ll rett orientt. I numeri reli reltivi si dicono le coordinte crtesine del punto P. Si scrive P (, ) e si legge << P di coordinte ed >>. è dett sciss del punto P, è dett ordint del punto P. L rett orientt è dett sse delle scisse o sse delle, l rett orientt è dett sse delle ordinte o sse delle. Le due rette ed costituiscono un sistem di ssi crtesini ortogonli. Il punto O è detto origine degli ssi. III II K o P(,) I IV P H U.D. N 5 Le coordinte crtesine Pgin 54

3 56 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic D qunto si è detto si deduce che esiste un corrispondenz iunivoc fr le coppie ordinte di numeri reli ed i punti di un pino riferito d un sistem di ssi crtesini. Le rette ed dividono il pino in 4 prti ciscun delle quli prende il nome di qudrnte. Le rette ed e le loro due isettrici dividono il pino in 8 prti, ciscun delle quli prende il nome di ottnte. L distnz tr due punti L distnz tr i punti P( ; ) e ( ; ) clcol pplicndo l seguente formul : P si ( ) ( ) d( P, P) PP Dimostrzione Bst pplicre il teorem di Pitgor l tringolo rettngolo AHB. P O P H A(, ) ), ( 5;3) ( ) ( ) dpp (, ) PH PB B d( A, B) ( 5 ) ( 3 ) 6 7 Se i punti P( ; ) e ( ; ) prllelo ll sse delle scisse. Osservzione P hnno l stess ordint ( ) llor il segmento PP è In questo cso imo : d( P, P) Possimo nche dire che : dpp (, ) sciss mggiore - sciss minore P O P U.D. N 5 Le coordinte crtesine Pgin 55

4 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 57 Se i punti P( ; ) e ( ; ) P hnno l stess sciss ( ) llor il segmento PP è prllelo ll sse P delle ordinte. In questo cso imo : d( P, P) P Possimo nche dire che : dpp (, ) ordint mggiore - ordint minore O Le coordinte del punto medio di un segmento Si M(, ) il punto medio del segmento di estremi P(, ) e P( ) M M,. Ricordndo che in un fscio di rette prllele tglite d due trsversli segmenti uguli sull un corrispondono segmenti uguli sull ltr imo : MP MP AH HB CK KD M M M M M, M D P M K M C P A H B O M U.D. N 5 Le coordinte crtesine Pgin 56

5 58 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Le coordinte del ricentro di un tringolo Per clcolre le coordinte del ricentro G ( ) P (, ), P (, ) st pplicre le seguenti formule : G 3 3, G 3 3 Che si dimostrno pplicndo opportunmente il secondo teorem di Tlete. G, del tringolo di vertici P (, ), G P Coordinte del ricentro di un tringolo del qule conoscimo le coordinte dei suoi vertici P (, ), P (, ), P (, ) M 3 M G P P 3 M O Equzione crtesin di un curv pin Definizione : Dicesi curv pin il luogo geometrico dei punti del pino le cui coordinte ( ; ) verificno un equzione due incognite ( ) A ;. Se tle equzione è di primo grdo, l curv è un rett, se è di secondo grdo l curv è un conic, cioè un circonferenz o un prol o un ellisse o un iperole. L equzione 3 rppresent un rett, l equzione rppresent un prol d sse verticle, circonferenz ci centro C ( ; 3), l equzione rppresent un rppresent un ellisse, l equzione 9 36 rppresent un iperole. U.D. N 5 L rett Pgin 54

6 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 59 Il grfico di un equzione di primo grdo due incognite. Definizione : Dicesi rett il luogo geometrico dei punti del pino le cui coordinte ( ; ) verificno un equzione di primo grdo due incognite c [B] è l equzione generle dell rett o equzione dell rett sotto form implicit. c c Ponendo m, m n [C] c n l equzione [B] divent: che rppresent l equzione cnonic dell rett o equzione dell rett sotto form esplicit. Il numero rele reltivo n dicesi ordint ll origine perché rppresent l ordint del punto di intersezione dell rett con l sse, mentre m dicesi coefficiente ngolre dell rett. L equzione [C] non si prest rppresentre rette prllele ll sse delle in qunto m perde di significto equzione generle dell rett, 4 equzione cnonic dell 3 rett, m 4 3 coefficiente ngolre dell rett, n 4 ordint ll origine Equzione segmentri dell rett Dll equzione generle dell rett ricvimo : c, c c c c Se ponimo : p c, q che rppresent l equzione segmentri dell rett. c ottenimo: [D] p q I numeri reli reltivi p e q sogliono chimrsi le intercette ( dell rett sugli ssi crtesini ) in qunto il primo rppresent l sciss del punto in cui l rett incontr l sse, il secondo l ordint del punto in cui l rett incontr l sse. L equzione segmentri dell rett 7 3 è : 3 7 U.D. N 5 L rett Pgin 55

7 6 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Equzioni di rette venti un posizione prticolre rispetto gli ssi crtesini k rppresent l equzione di un generic rett prllel ll sse delle. Ess si ricv ponendo :, k c. Risult : m h rppresent l equzione di un generic rett prllel ll sse delle. Ess si ricv ponendo :, k c. Risult : m k( h ) rppresent l sciss ( l ordint ) di un generico punto dell rett. è l equzione dell sse delle ordinte. Si ottiene per : è l equzione dell sse delle scisse. Si ottiene per : c,, m c,, m è l equzione dell isettrice del I e III qudrnte, dett nche isettrice fondmentle degli ssi crtesini. Risult :,, c, m è l equzione dell isettrice del II e IV qudrnte, dett nche isettrice secondri degli ssi crtesini. Risult :,, c, m oppure m è l equzione di un generic rett pssnte per l origine degli ssi crtesini. Equzione dell rett pssnte per due punti Per scrivere l equzione dell rett pssnte per i punti P( ; ) e ( ; ) P st pplicre l seguente formul : Ess non si prest rppresentre né rette prllele ll sse delle scisse ( [E] ) né rette prllele ll sse delle ordinte ( perdere di significto. ) in qunto, nnullndosi uno dei due denomintori, verree U.D. N 5 L rett Pgin 56

8 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 6 Equzione dell rett pssnte per un punto ed vente coefficiente ngolre ssegnto Ponendo : m [F] l [E] divent: m( ) che rppresent l equzione dell rett pssnte per un dto punto P( ) [G], ed vente coefficiente ngolre m ssegnto. Il numero m è detto, come sppimo, coefficiente ngolre dell rett. Rppresentzione grfic dell rett Vedimo come è possiile disegnre un rett qundo conoscimo l su equzione. Se l rett è oliqu st trovre le coordinte dei punti d intersezione con gli ssi crtesini. Se pss per l origine degli ssi, st trovre un su qulsisi ltro punto distinto dll origine ; preferiilmente quello che h come coordinte numeri interi. A volte è conveniente scrivere l equzione sotto form segmentri e poi disegnrl utilizzndo l interpretzione geometric dei simoli p e q. Se voglimo disegnre l rett di equzione 5 st scriverl in form segmentri, cioè : essendo : p 5, q. 5 Se invece voglimo disegnre l rett 5 isogn clcolre le coordinte di un suo punto, d esempio A( 5, ). Inftti ponendo nell equzione dell rett 5 si ricv. Adesso l rett può essere disegnt in qunto conoscimo le coordinte di due suoi punti. 5 o A A( 5, ) 5 U.D. N 5 L rett Pgin 57

9 6 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Il punto comune due rette Per clcolre le coordinte del punto P (, ) comune lle rette r ed s venti, rispettivmente, equzioni : r : c s : c st risolvere il seguente sistem : c c [] Applicndo il teorem di Crmer ottenimo : c c c c c c Quindi l intersezione delle due rette è il punto P c c c c c, c Se voglimo clcolre le coordinte del punto comune lle rette di equzioni 3 6 e , doimo risolvere il sistem : P 3, [] P P 3, o Discutimo le soluzioni [] del sistem []. cso : cioè : cioè i coefficienti omonimi delle vriili ed non sono proporzionli. Sotto queste ipotesi, le rette r ed s sono incidenti. Vicevers, se le rette r ed s sono incidenti, llor i coefficienti omonimi delle vriili ed non sono proporzionli. cso : cioè : c cioè i coefficienti omonimi delle vriili ed c sono proporzionli. Ponendo: k, k, il sistem d risolvere divent : c k k c c c k U.D. N 5 L rett Pgin 58

10 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 63 Essendo c c k il sistem non mmette soluzioni, cioè non esiste lcun coppi di numeri (, ) che verific simultnemente le due equzioni del sistem []. In questo cso le due rette sono prllele e distinte. Vicevers se le rette r ed s sono prllele e distinte llor i coefficienti omonimi delle vriili ed sono proporzionli, cioè le due rette hnno lo stesso coefficiente ngolre. r// s k, k con k R. Ponendo k ottenimo :, ed nche : m m Risultno fr loro prllele le rette venti equzioni generli : c, h ed nche le rette venti equzioni in form cnonic m n, m h Possimo utilizzre queste conclusioni per scrivere l equzione dell rett s pssnte per il punto ( ) P, e prllel ll rett r di equzione c. Un generic rett prllel d r h equzione : h ( m h ) P s h ( m h), h ( h m Quindi l equzione dell rett s pssnte per il punto P( ) ), ssume un delle due seguenti forme : ( ) ( ) m( ) [] 3 cso : c k k, k, c kc con k R. c Il sistem [] ssume l form : c k k kc Le equzioni di questo sistem sono equivlenti e quindi rppresentno l stess rett. Rissumendo possimo ffermre qunto segue : Dte le rette r ed s venti rispettivmente equzioni : r ed s coincidenti r : c s : c si h : r ed s incidenti r ed s prllele e distinte c k cioè : k, k, c kc c c k cioè k c, k, c kc U.D. N 5 L rett Pgin 59

11 64 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Rette prllele Teorem C.N.S. perché due rette sino prllele è che i loro coefficienti ngolri sino uguli. r : c, m n, s : c, m n r // s m m oppure k, k con k R {} cioè k è un costnte di proporzionlità non null. In prticolre ess può ssumere il vlore k ed il prllelismo tr le due rette si trsform nell uguglinz tr i coefficienti delle vriili omonime :,. Equzione dell rett pssnte per il punto P( ) : ( ) ( ) c Equzione dell rett pssnte per il punto P( ) : m( ) m n, e prllel ll rett r di equzione, e prllel ll rett r di equzione Rette perpendicolri C.N.S. perché due rette sino perpendicolri è che i loro coefficienti ngolri sino ntireciproci, cioè che il prodotto dei loro coefficienti ngolri si -. r s [ mm, oppure oppure k e k oppure e oppure e ] Equzione dell rett pssnte per il punto P( ) c : ( ) ( ) con k R { }, e perpendicolre ll rett r di equzione Equzione dell rett pssnte per il punto P( ) m n : ( ), e perpendicolre ll rett r di equzione m U.D. N 5 L rett Pgin 6

12 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 65 Distnz di un punto d un rett d c O H d P Per clcolre l distnz del punto P( ), dll rett r di equzione c st pplicre l seguente formul Se P ( ) d P, r PH d c O l precedente formul divent: ( ) dor, OH d c Fscio di rette Dicesi fscio di rette centro proprio l insieme di tutte le rette del pino pssnti per uno stesso punto P( ) o o o,, detto centro del fscio. L equzione del fscio di rette vente come centro il punto P(, ) è : o m( o) o meglio ( o) ( o) o o o Al vrire del prmetro m ottenimo tutte le rette del pino pssnti per il punto P( ) o o o,, esclus quell prllel ll sse. Un fscio di rette centro proprio è individuto qundo conoscimo le coordinte del suo centro oppure qundo conoscimo le equzioni di due sue qulsisi rette. Vedimo desso come è possiile clcolre l equzione del fscio proprio di rette individuto dll rett r ( di equzione c ) e dll rett s ( di equzione c ). Se h ( o k ) è un numero rele qulsisi, llor : ( ) oppure ( ) c h c k c c è l equzione del fscio di rette individuto dlle rette r ed s. Scrivere l equzione del fscio individuto dlle rette 3 3, 4 3 ( ) 3 3 k 4 3, 3 3 4k 3k k ( ) ( ) 3 4k 3k k 3 equzione del fscio di rette U.D. N 5 L rett Pgin 6

13 66 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Se il prmetro figur soltnto nel termine noto, llor imo il fscio di rette centro improprio o fscio di rette prllele. PROBLEMA INVERSO Dt l equzione del fscio di rette ( ) ( ) le coordinte del suo centro. m 3 m 3 5m clcolre Primo procedimento ) Ci clcolimo le equzioni delle rette che individuno il fscio, m( ) m 3 m 3 5m , 5 sono le rette che individuno il fscio. ) Le coordinte del centro P del fscio si ottengono risolvendo il sistem formto dlle equzioni che individuno il fscio Secondo procedimento P(, 3) Bst ttriuire l prmetro m due prticolri e convenienti vlori, Si ottengono due rette del fscio che con l loro intersezione ci consentono di clcolre le coordinte del centro del fscio. m 3 3 ; m 3 P(, 3) Equzioni delle isettrici degli ngoli formti d due rette Considerimo le rette concorrenti r ed s venti rispettivmente equzioni c, c. Dll geometri euclide sppimo che l isettrice di un ngolo è il luogo geometrico dei punti del pino equidistnti di due ltti. Detto P (, ) un generico punto di un dell due isettrici possimo scrivere : PH PK e quindi : c c cioè : c c ± se > se < 5 ± 5 7, 3 Le isettrici richieste sono due e sono sempre fr loro perpendicolri. U.D. N 5 L rett Pgin 6

14 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 67 Clcolre le isettrici degli ngoli formti dlle rette,. 4 ± 4,, p A o K s H P r p U.D. N 5 L rett Pgin 63

15 68 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Equzione dell circonferenz L circonferenz è il luogo geometrico dei punti P del pino equidistnti d un punto fisso C detto centro. Riferito il pino d un sistem ortonormle di ssi crtesini, detto C( α, β) il centro dell circonferenz σ, P (, ) un generico punto di σ imo : CP r CP r ( α) ( β) r [] σ O r C α β P C( αβ, ) P (, ) L [] è l equzione di un circonferenz di dto centro e dto rggio. Se C r [] O l [] divent : L [] rppresent l equzione di un circonferenz vente il centro coincidente con l origine degli ssi crtesini. Equzione generle dell circonferenz L equzione [] ssume l seguente form c [3] se ponimo : [4] α, β, c α β r α, β, r α β c 4c [5] Intersezione di due circonferenze σ : c, σ : c Per clcolre le coordinte dei punti comuni lle circonferenze σ e σ st risolvere il seguente c sistem : c Sottrendo memro memro ottenimo : [7] c c # # ( ) ( ) c c U.D. N 5 L circonferenz Pgin 54

16 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 69 L equzione ( ) ( ) c c [6] rppresent un rett dett sse rdicle delle due circonferenze. Tle sse rdicle contiene i due punti A e B ( reli e distinti, reli e coincidenti, immginri ) comuni lle due circonferenze. Pertnto le coordinte di questi due punti si ottengono risolvendo uno dei due seguenti sistemi : ( ) ( ) c c c ( ) ( ) c c c Equzioni delle rette tngenti d un circonferenz uscenti d un dto punto 4 Scrivere le equzioni delle rette uscenti dl punto P o 3, e tngenti ll 3 circonferenz σ di equzione PRIMO METODO ) Mi clcolo le coordinte del centro C di σ e l misur del suo rggio : C( 3 ; ), r 4 ) Mi scrivo l equzione del fscio di rette di centro P o 3, : 3 4 m( 3 ), 3 4 3m 9m 3m 3 4 9m 3 3) Impongo che l distnz del centro C dell circonferenz σ d un generic rett del fscio si ugule l rggio r dell circonferenz, cioè : CH r, 9m 6 4 9m 9m 9 Elevndo mo i memri l qudrto ottenimo : 9m 9, 9m 9, 9m m, m ± 9 3, m, m ( si sostituisce nell [*] ) 3 3 t : 3 7 t : 3 OSSERVAZIONE Per clcolre le coordinte dei punti di tngenz st risolvere il sistem fr l equzione dell circonferenz e l equzione di ciscun tngente T ( 4, ) T (, ) U.D. N 5 L circonferenz Pgin 55

17 7 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic SECONDO METODO 4 ) Mi scrivo l equzione del fscio di rette di centro P o 3, e risolvo il seguente sistem : 3 4 m( 3) ) Mi trovo l equzione risolvente tle sistem eliminndo l : 9 m 7m 3m 7 8m 8m 9 3) Impongo che il Δ ( o il Δ 4 Δ 4 ( ) ( ) ) dell equzione risolvente il sistem si ugule zero. ( ) ( )( ) 7m 3m 7 9 m 8m 8m 9, 9m, m± 3 OSSERVAZIONE Con questo secondo procedimento, in generle, i clcoli sono piuttosto loriosi. Equzione dell rett tngente d un circonferenz in un suo punto P o Scrivere l equzione dell rett tngente ll circonferenz σ di equzione 4 6 nel punto ( 4, ) P o PRIMO PROCEDIMENTO ) Mi clcolo le coordinte del centro C di σ : C( 76, ) ) Mi clcolo il coefficiente ngolre dell rett PC o : m PC o C C Po Po ) CPo t m t 3 m 4 4) m ( 4 ), ( ) o t s 3 4 4, 4 8 3, 3 4 U.D. N 5 L circonferenz Pgin 56

18 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 7 SECONDO PROCEDIMENTO Bst pplicre l regol degli sdoppimenti : o, o, o, σ : c, t : o o o o c o α β c oppure : ( ) ( ) o o o o Nel cso dell esempio numerico imo : ( ) ( ) TERZO METODO Si può utilizzre uno dei procedimenti usti per il clcolo dell rett tngente d un circonferenz uscenti d un punto. U.D. N 5 L circonferenz Pgin 57

19 7 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic L prol Definizione : Dicesi prol il luogo geometrico dei punti P del pino equidistnti d un punto fisso F detto fuoco e d un rett fiss d ( non contenente il fuoco ) dett direttrice. L rett r pssnte per F e perpendicolre ll direttrice d è l sse dell prol. L rett r incontr l rett d nel punto D. Il punto medio V del segmento FD è il vertice dell prol. sse dell prol r P O F V direttrice d D H L prol d sse verticle Se sceglimo gli ssi crtesini in modo che l sse delle scisse si prllelo ll direttrice d, l equzione dell prol ssume l form c Δ V, 4 Vertice dell prol F, Δ 4 Fuoco dell prol Δ equzione dell direttrice dell prol 4 equzione dell sse dell prol > ( < ) l prol volge l concvità verso l lto ( il sso ) Se c l equzione dell prol ssume l form : 4 p 4 p F, 4 F( p), p 4 equzione dell direttrice Δ 4 c U.D. N 5 L prol Pgin 54

20 73 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Intersezioni con gli ssi crtesini L prol d sse verticle incontr sempre l sse delle nel punto A( c),. Per clcolre le coordinte delle eventuli intersezioni dell prol con l sse delle scisse st risolvere il seguente sistem : cioè l seguente equzione di secondo grdo : c c Δ> : l prol incontr l sse delle scisse in due punti distinti Δ : l prol incontr l sse delle scisse in due punti coincidenti. Questo signific che l prol h il vertice V sull sse delle, cioè l sse è tngente ll prol nel vertice Δ < : l prol non incontr l sse delle scisse L prol d sse orizzontle d D V F sse dell prol r H P O Se sceglimo gli ssi crtesini in modo che l sse delle risulti prllelo ll direttrice d, llor l equzione dell prol ssume l form : c Δ V 4, Vertice dell prol F Δ, Fuoco dell prol 4 Δ equzione dell direttrice dell prol 4 equzione dell sse dell prol > ( < ) l prol volge l concvità verso destr ( sinistr ) U.D. N 5 L prol Pgin 55

21 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic 74 Se c l equzione dell prol ssume l form : 4 p 4 p F 4, F p, p 4 ( ) equzione dell direttrice Δ 4 c Tngenti d un prol condotte d un punto Clcolre le equzioni delle rette tngenti condotte ll prol γ di equzione 3 condotte dl punto P(, 3) P Si procede come segue : ) Si scrive l equzione del fscio di rette di centro P(, 3) m( ) 3 m( ) o o ) Si risolve il sistem formto dll equzione dell prol e dll equzione del fscio di rette : 3 m m 3 ( ) m 3 3 m equzione risolvente il sistem 3) Si impone che si ugule zero il Δ dell equzione risolvente il sistem : ( ) ( ) Δ 3 m 4 3 m, m m 3, m m 3 4) Si sostituiscono i vlori trovti nell equzione del fscio : t : t : 3 9 U.D. N 5 L prol Pgin 56

22 75 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic Rett tngente ll prol in un suo punto PRIMO PROCEDIMENTO E identico quello illustrto nel prgrfo precedente SECONDO PROCEDIMENTO : regol degli sdoppimenti Per ottenere l equzione dell rett t tngente γ nel punto P( ) o o o, st sostituire nell equzione dell prol o l posto di, o l posto di, o l posto di, o l posto di. o o ( o) c c o o ( o) c c U.D. N 5 L prol Pgin 57