30. ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni alla fine della rassegna)

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1 0. ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni ll fine dell rssegn) A prtire dll equzione di un ellisse stilisci qunto vlgono I. le lunghezze dei semissi orizzontle ( ) e verticle ( ); II. le coordinte dei vertici e dei fuochi; III. l costnte (somm costnte delle distnze di un punto di fuochi) k IV. l eccentricità disegn l curv ) ) ) ) + 6 ) + 6) + 7) + 8) + 0 ( ) 0 Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i fuochi e l costnte (somm costnte) k. ) F ( ±, 0 ); k 0 0) F ( 0, ± ); k 0 ) ( ), F 0, ± ; k ) F,, 0 ± ; k ), ( ) Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i vertici. Determinne i fuochi e l costnte (somm costnte) k. ) ( 8,0 ); ( 0, 0 6), ± ± ) ( ) ±,0 ; 0, ± F ±, 0 ; k 6, F ±, 0 ; k 6 ), ( ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic conoscendone uno dei semissi ( è quello orizzontle, il verticle) e spendo che pss per un punto P ssegnto. Determin inoltre i fuochi dell curv e il vlore dell su costnte (somm costnte) k. 7) ; P, 8) 6 8; P, 7 ) 0; P(, ) Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i fuochi e spendo che pss per un punto P ssegnto. F,, 0 ; P, 0) ( ) ± ) F, ( 0, ± ); P, ) F, ( ±, 0 ); P( 0, ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic spendo che pss per l coppi seguente di punti: 6 ), ;, ), ;, ) (, ); (, ) Determin l equzione di un ellisse cnonic prtire dlle informzioni seguenti ( semisse orizzontle, verticle, c semidistnz focle, e eccentricità) 6) 7, 7), c 0 8), c ), c 0), >, e ), <, e ), e 7 ), >, e ), <, e ) <, c, e 6) c, e 6 Port in form stndrd le seguenti equzioni (ciscun rppresent un semiellisse); disegn l curv: 7) 8) ) 0) 6 7 Consider l curv ssocit ll equzione dt, e determin i vlori del prmetro per i quli I) rppresent un ellisse II) rppresent un ellisse coi fuochi sull sse III) rppresent un ellisse coi fuochi sull sse IV) rppresent un circonferenz ) k + k ) k k + ) k k ) k + 7 k

2 Scrivi l equzione dell rett tngente d un ellisse in un suo punto. ) P(, 8 ) 6 6) P, 6 7) P(, ) 6 Scrivi le equzioni delle rette tngenti d un ellisse ssegnt condotte d un dto punto esterno. 8) P(, 8 + ) ) P (, ) 0) + P (, ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic di cui si conoscono un rett tngente, e un second condizione. ) Tngenz con l rett t : ; pssggio per P, ) Tngenz con l rett t : + ; sse minore ) Tngenz con l rett t : + ; somm costnte k ) Tngenz con l rett t : + 6 0; semidistnz focle c ) Qundo l Terr si trov in felio (il punto di mssim distnz dl Sole) tle distnz misur circ km, 0 8. L distnz minim ( perielio ) è invece di km,7 08 circ. L orit dell Terr intorno l Sole è di form ellittic, e il Sole ne occup uno dei fuochi. Spresti, prtire d questi dti, determinre pprossimtivmente l sse mggiore dell ellisse? E l eccentricità? (Troveri che è dvvero piccol piccol determin il suo vlore con cifre significtive) 6) Anche l orit dell Lun intorno ll Terr è ellittic; l Terr ne occup uno dei fuochi. Il perigeo è il punto di minim distnz dell Lun dll Terr: l distnz è di circ 6 mil chilometri. L'pogeo è il punto di mssim distnz dell Lun dll Terr: distnz pri 0 mil chilometri circ. E mggiore l eccentricità dell orit lunre intorno ll Terr o quell dell orit terrestre intorno l Sole? 7) Qunto distno dll origine i punti di intersezione delle due ellissi e? i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss, situti rispettivmente sull ellisse e sull circonferenz circoscritt ll ellisse, 8) Dimostr che in un ellisse ( > ) stnno fr loro come :. ) Determin l misur del lto del qudrto inscritto nell ellisse di equzione 60) Determin l misur del lto del qudrto circoscritto ll ellisse di equzione 6) Dt l ellisse +, determin l re del rettngolo inscritto, vente due lti pssnti per i fuochi.

3 6 6) Le figure I), II), III) mostrno l ellisse 6 e un qudrto con due vertici su di ess (un solo vertice nell ultimo cso) e gli ltri vertici sugli ssi crtesini. Determinre il lto del qudrto in questione. I) II) III) 6) Generlizzimo: rispondi gli stessi quesiti I), II), III) dell esercizio precedente con riferimento ll ellisse di equzione 6) Intersec l ellisse con un rett k ( k > 0) 6 in modo che il rettngolo in figur i re 0 6) Nell ellisse determin 6) Nell ellisse in modo che si unitrio il lto del qudrto inscritto nell ellisse. determin i punti di conttto delle quttro tngenti prllele lle digonli del rettngolo circoscritto ll ellisse. 66) Sull ellisse di equzione +, determinre i punti equidistnti dl fuoco superiore e dl vertice che si trov sul semisse delle scisse positive. 67) Determin le coordinte del punto in cui l normle ( perpendicolre ll tngente) ll ellisse + nel suo punto P, vente ordint e pprtenente l qudrnte, intersec ulteriormente l ellisse. 68) Qul è l lunghezz del segmento che un ellisse stcc sull digonle del rettngolo circoscritto? 6) Cos hnno di prticolre le curve seguenti? + 0 ) ) + + 0

4 7 70) Dt un ellisse di costnte ( somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti P 0 interni ll ellisse sono tli che PF 0 + PF 0 < ; per quelli esterni si h invece PF+ PF > ) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? 7) L ellisse di equzione h, com è noto, fuochi di coordinte, con >, ( c ) ( ) ( c ) ( ) F, 0, 0 ; F, 0, 0 ed eccentricità c e. Dimostr or che, dti tre numeri positivi, <, c, e considerti il punto F ( c, 0) e l rett d :, c nche il luogo dei punti P tli che si i PF c, PH dove PH indic l distnz di P dll rett d, h per equzione. Allo stesso modo, si potree provre che si perviene ll equzione c pure ricercndo il luogo dei punti per i quli è ugule il rpporto delle distnze dl punto F ( c, 0) e dll rett d :. c In definitiv, l ellisse ( > ) può essere penst come luogo dei punti per i quli è costnte il rpporto delle distnze d un fuoco e d un direttrice, ed in tl cso h come direttrici le due rette ± c mentre il rpporto costnte è ugule c ).

5 8 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULL ELLISSE ( ) ( ) ( ±,0) ( 0, ± ) ( ±,0) ( 0, ± ) ±,0 ) F, ( ±, 0 ); k 0; e 0, ± ) F, ( 0, ± ); k 0; e ) ) ) 6) 7) F, ( ±, 0 ); k 6; e ( ±,0) ( 0, ± ) ; F, ( ±, 0 ); k 0; e,0 ± 6 6 F,, 0 + ; k e ± ; 6 0, ± ( ±, 0) F,, 0 ; k ; 0, ± e ±,0 ± F, 0, + ; k e ± ; 0, ± 8) 0 ( ± ) 0,0 F, ( ±, 0 ); k 0; e 0 0 0, ± 0 0 ( ) ) 0) ) ) 6 ) opp. + opp ) 6 6 ) F, ( 0, ± 6 ); k ) 7 + opp. + 0 ; F,, 0 ; k ± 7) ; F, ( ±, 0 ); k 0 6 8) ; F, ( 0, ± ); k 6 8 ) ; F, ( 0, ± ); k ) ) ) 0 ) ) ) 6 6) 7) 8) opp. ) opp ) ) + ) + opp. + 6 ) ) ) 6) opp / / / /

6 7-8--0: poiché il risultto di un rdice qudrt è sempre 0, in tutti i csi l equzione ottenut ndrà int ll condizione 0. Le curve in questione srnno delle semiellissi. 7) +, con 0 8), con 0 ), con 0 0), con 0 6 ) Ellisse con k > ) Ellisse con k > In tl cso, l ' ellisse h SEMPRE i fuochi sull ' sse Ellisse coi fuochi sull ' sse con k > Circonferenz per nessun vlore di k Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k ) Ellisse con k > Ellisse coi fuochi sull ' sse con k > Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k ) Ellisse con < k < 7 Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < 7 Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k ) 6 6) 0 7) + 8 8) + 6, 0 ) +, ) +, 7 7 ) oppure ) opp. ) + ) 6 6 TROVI LE RISOLUZIONI COMPLETE DEGLI ESERCIZI 7 ALLE PAGINE 00 0 ) sse mggiore km, 0 8; e 0,067 6) Coi dti forniti, si trov e 0,0 7) d + 8) Vedi pg. 00 ) + 6) lto qudrto I ) 0 0 6) lto qudrto I) 6) k k 6) / 60) ( ) + 6) re lto qudrto II 0 0 ) lto qudrto II ) lto qudrto III ) lto qudrto III ) ), ;, ;, ;, 8 66) (, 0 );, 7 67), 0 68) ( + ) 6) ) è un luogo puntiforme ) è il luogo vuoto 70, 7, 7) Vedi pg. 0

7 00 RISOLUZIONE DI ALCUNI FRA GLI ESERCIZI ) Qundo l Terr si trov in felio (il punto di mssim distnz dl Sole) tle distnz misur circ km, 0 8. L distnz minim ( perielio ) è invece di km,7 08 circ. L orit dell Terr intorno l Sole è di form ellittic, e il Sole ne occup uno dei fuochi. Spresti, prtire d questi dti, determinre pprossimtivmente l sse mggiore dell ellisse? E l eccentricità? (Troveri che è dvvero piccol piccol determin il suo vlore con cifre significtive) sse mggiore km, 0 + km,7 0 km, 0 distnz focle km km km 0,0 08 e 0,067, 08 L' orit è " qusi circolre": eccentricità molto piccol 8 8 8, 08,7 08 0,0 08 6) Anche l orit dell Lun intorno ll Terr è ellittic; l Terr ne occup uno dei fuochi. Il perigeo è il punto di minim distnz dell Lun dll Terr: l distnz è di circ 6mil chilometri. L'pogeo è il punto di mssim distnz dell Lun dll Terr: distnz pri 0mil chilometri circ. E mggiore l eccentricità dell orit lunre intorno ll Terr o quell dell orit terrestre intorno l Sole? sse mggiore km km 6000 km e 0, 07 distnz focle km 0000 km 6000 km ) Qunto distno dll origine i punti di intersezione delle due ellissi e? ( ) ( + ) ( ) ( ; d ' ltronde, se fosse si trtteree di cinconferenze!) ± + + P + Per evidenti motivi di simmetri, si vrà pure P P d cui d + + ( il tringolo OHP h gli ngoli di 0,, : in tli tringoli, si h ipotenus cteto ) i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss, situti rispettivmente s ull ellisse e sull circonferenz circoscritt ll ellisse, stnno fr loro come :. 8) Dimostr che in un ellisse ( > ) Ellisse : ± ; ; ; ± ( ) ( ) Circonferenz dirggio : + ; ; ± Rpporto fr i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss :

8 0 ) Determin l misur del lto del qudrto inscritto nell ellisse di equzione ± + d cui lto qudrto inscritto + 60) Determin l misur del lto del qudrto circoscritto ll ellisse di equzione Ricerc dell equzione dell rett, inclint di in disces e tngente ll ellisse nel qudrnte: + k ( + k) + + ( + k) + k + k Δ 0 ( ) k ( k ) ( k ) ( + )( k ) 0 k ( k k ) k k + 0 k k + k + k + ( ) lto qudrto circoscritto + + ( in un tringolo con gli ngoli di 0,,, si h ipotenus cteto ) 6) Dt l ellisse +, determinre l re del rettngolo inscritto, vente due lti pssnti per i fuochi. + + ±,, c c F, 0 ( ± ) ± ± ± se, ltezz, re

9 0 6) Le figure I), II), III) mostrno l ellisse 6 e un qudrto con due vertici su di ess (un solo vertice nell ultimo cso) e gli ltri vertici sugli ssi crtesini. Determinre il lto del qudrto in questione. I) II) III) ± lto qudrto I) ± 6( ) lto qudrto II) lto qudrto III) 0 0 6) Generlizzimo: rispondi gli stessi quesiti I), II), III) dell esercizio precedente con riferimento ll ellisse di equzione ± ± ( ) ( + ) ( + ) lto qudrto I) + lto qudrto II ) ( ) + + lto qudrto III ) +

10 6) Intersec l ellisse 6 0 con un rett k ( k > 0) in modo che il rettngolo in figur i re ltezz rettngolo k se rettngolo 6 6 k Are rettngolo 6 k k ( )( ) 6 k k 0 ; 6 k k ; 6 k k 8; k 6 k ; k k k k k k 6) Nell ellisse determin in modo che si unitrio il lto del qudrto inscritto nell ellisse. ( il lto del qudrto inscritto vle, vedi esercizio ) + + ; + ; + ; ; + 6) Nell ellisse determin i punti di conttto delle quttro tngenti prllele lle digonli del rettngolo circoscritto ll ellisse. Il coefficiente ngolre dell digonle scendente è ( ) m. + k k + k k + ; + k k ; ; k + k ; + k + k 0 Δ 0 k k 0; k k 0; ( ) + 0; ; ; ± k k k k k ; ( ) 0; + 0 Oltre l punto, così trovto gli ltri punti di tngenz sono evidentemente,, ;, ;, per motivi di simmetri,

11 0 66) Sull ellisse di equzione +, determinre i punti equidistnti dl fuoco superiore e dl vertice che si trov sul semisse delle scisse positive. Il luogo dei punti del pino, equidistnti dgli estremi di un segmento, è l sse di quel segmento! ( ) ( ) +,0 F 0, V ( ) ( ) ( ) ( ) sse di FV : ± (,0 );, ) Determin le coordinte del punto in cui l normle (perpendicolre ll tngente) ll ellisse + nel suo punto P, vente ordint e pprtenente l qudrnte, intersec ulteriormente l ellisse. + ± ± P, Tngente ( regol sdoppimenti): ; ; m mnormle ( ) Normle : + + Intersezione dell normle trovt con l ' ellisse : ± + 70 ± 7 ± Q , 0

12 68) Qul è l lunghezz del segmento che un ellisse stcc sull digonle del rettngolo circoscritto? + 0 ± ± ± + + PQ OQ ( ) 6) ) è un luogo puntiforme: l unico punto (, ) che soddisf ll equzione è inftti l origine ( 0,0). ) è il luogo vuoto: l su equzione non è inftti verifict d lcun coppi (, ). 70) Dt un ellisse di costnte ( somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti interni ll ellisse sono tli che PF+ PF < ; per quelli esterni si h invece PF+ PF >. P0 0 0 Si P0 un punto interno ll ellisse. Congiungimo P0 con F ed F ; prolunghimo l congiungente FP 0fino d incontrre l ellisse in P. Essendo, per l disuguglinz tringolre su PP0F, PF 0 < PP 0 + PF, srà P F + P F < P F + P P+ PF PF + PF E in modo del tutto simile si prov l second prte dell sserto ) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? Dll figur: PA + PO PB + PO r costnte Ellisse di fuochi A, O 7), <, c P (, ) F ( c, 0) PF c c PH ( ) ( 0) ( ) + ( 0) c + c ; ; c ; + + ; ; + + ; + ; + ;

13 ESERCIZI SULL ELLISSE TRASLATA 06 ) (Esercizio svolto) Scrivi l equzione del LUOGO dei punti P(, ) del pino crtesino per i quli l distnz dl punto A,0) ( è ugule / dell distnz dll rett r:. Troveri un ellisse in posizione NON cnonic: determinne il centro, i semissi, i vertici, i fuochi, l eccentricità. P (, ) A(, 0 ) r: d( P,A) d( P, r) ( ) + ( 0) ; ( ) + ; ( ) 0 ; 8 0 ; + + ( ) ; 8 8 6; 8 6; 8 6; 8 6; ; Si trtt di un ellisse trslt di centro C ( 0, 0), 0 semissi, vertici ( ) 0 0 (, 0) ( ) ±,, 0 ±, 0 e ( ) ;, ±, 0 ±, ± semidistnz focle otteniile (essendo > ) dll formul c c ( 0, 0) fuochi ( 0 ± c,0 ),0 ±, 0 ( ) Determin centro, semissi, vertici, fuochi, costnte ed eccentricità dell ellisse di equzione: ) ( ) ( ) ) ( + 7 ) 8 ) ( ) + + 6) ( ) + ) ( ) ( + 0 ) 6 Port le seguenti equzioni di ellissi trslte sotto l form ( ) ( ) 0 0 così d determinrne il centro e i semissi: 8) 6 + 7) ( ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

14 Scrivi l equzione dell ellisse trslt con le seguenti crtteristiche (C centro di simmetri, semisse orizzontle, semisse verticle, c semidistnz focle, k somm costnte, e eccentricità) 0),, centro di simmetri C(, ) ) F (,0 ), C( 6,0 ), ) F(, ), F(, ), k 0 ) ( ) ( ) 07 ) Vertici (, ); (, ); ( 7, ); ( 7,+ ) ) Centro in C(, 0), pssggio per P 0,, 6 6) Pssggio per i punti, ; (, ); 0, ; (,0) 7) Centro in C,, un fuoco in, pssggio per P, ( ) F(0,) ( ) 8) Un fuoco in F(,0 ), due vertici opposti in, e, ) Fuochi in F (, ) ed F (, ), pssnte per P, 0) D quli punti è formto il grfico delle curve seguenti? ) ) c) RISPOSTE (,) ( 7,) ) C(,) F(, ), F( 6, ); k 0; e,, ) ( ) ( ) ( ) ( 6, 0) (, 0) ( ) ( ) k ( 7, ± ) (, 0) ( 6, 0) ( ) ( ) (, ) (, 6) (,) (,) C 7,0 F 7,, F 7, ; 0; e C, 0 F, 0, F, 0 ; k 0; e ) ( ) ) C, F,,F, ; k ; e,, + 6) ( ) (,0) ( +,0) (, ) (,) ( ) ( ) C, 0 F, 0, F +, 0 ; k 6; e 7) ( ) ( 0, ) (, ) 8 C, F 6 6,,F, ; k ; e,, 8) ( ) + ( + ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( + ) ( ) 6 + 6) ( ) ( ) + 0) ( + ) 6 8 ) 8) 7) + 0) ( ) + ( + ) ) ( + 7 ) ( ) ) ( ) ( ) 8) F,, F 7,, e 0.8 ) ( + ) ( + ) + 6 ( ) + ) ( 6 ) 6 ) ( + ) 6) + ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 6 ( + ) ) + + ) ( + ) ( ) ) ( + ) ( ) ) Dl solo punto (, 0) 0) ) E il luogo vuoto c) Dl solo punto (, ) 8

15 08 ESERCIZI MOLTO BELLI MA DIFFICILI (trovi le risoluzioni dei primi tre d pg. 0) ) Disegnre un ellisse utilizzndo due circonferenze concentriche Trcci l circonferenz di centro l origine e rggio, poi un ltr circonferenz di centro l origine m di rggio diverso d. Se or conduci dll origine un semirett s che intersechi l circonferenz di rggio in A e quell di rggio in B, e indichi con P l intersezione fr l prllel ll sse per A e l prllel ll sse per B, IL LUOGO DELLE POSIZIONI DI P SARÀ UN ELLISSE!!! Giustificre quest ffermzione è molto semplice se si hnno nozioni di goniometri. M senz coinvolgere l goniometri, ci si può ugulmente riuscire ricvndo l equzione del luogo innnzitutto in form prmetric, per poi pssre successivmente ll form crtesin. Si clcolernno le coordinte di A e di B ttrverso l intersezione fr l rett m e le due circonferenze, poi se ne dedurrnno le coordinte di P (che conterrnno il prmetro m) e infine si eliminerà m fr le due equzioni...,... ottenute. Ci vuoi provre? ) Costruzione dell tngente un ellisse in un suo punto ) Podri di un ellisse rispetto un fuoco Ecco un metodo per trccire l tngente d un ellisse in un suo punto P. I. Con centro in un fuoco F si trcci l circonferenz vente rggio ugule ll sse mggiore dell ellisse (quindi nche ll somm costnte PF+ PF); II. poi si congiunge F con P e si prolung tle congiungente fino d incontrre l circonferenz in un punto W; III. infine si trcci l sse r di WF. Tle sse psserà per P (P è inftti equidistnte dgli estremi di WF, perché PW FW PF ( PF+ PF) PF PF) e srà l tngente cerct, come si dimostr (provci!) prendendo, sull sse r, un ltro punto P' distinto d P e fcendo vedere che esso non può pprtenere ll ellisse. (Per quest dimostrzione, st l vecchi geometri sintetic, ossi senz coordinte) Definizione - Si dice PODARIA (NOTA) di un curv rispetto un punto (detto polo) il luogo geometrico delle proiezioni di quel punto sulle rette tngenti ll curv. NOTA : podàri, con l ccento sull prim : ossi curv dei piedi, curv delle proiezioni A prtire dll figur, ti chiedo di giustificre, ncor con l geometri sintetic, che: In un ellisse, l PODARIA DI UN FUOCO è l circonferenz vente per dimetro l sse mggiore Indiczioni per l dimostrzione: detti M, N i punti medi di FF e di WF, consider l congiungente MN

16 0 ) Proprietà focle dell ellisse in relzione ll riflessione dell luce Un proprietà notevole dei fuochi di un'ellisse consiste nel ftto che l normle ll ellisse in un suo punto (si dice normle l perpendicolre ll tngente) divide per metà l ngolo formto di segmenti che uniscono questo punto con i due fuochi. Di conseguenz un rggio di luce che prt d uno dei fuochi e colpisc l ellisse, verrà riflesso nell ltro fuoco. Lo stesso vle per le onde sonore: se si isigli in un fuoco di un cmer volt ellittic (NOTA), le onde sonore si rifletternno sull volt e ndrnno concentrrsi tutte nell ltro fuoco, dove potrnno essere udite distintmente d un person che occupi quell postzione. Le ltre persone nell stnz non sentirnno null! Idele per spettegolre!!! NOTA tle cioè che il soffitto si un pezzo di ellissoide di rotzione, ossi i l form che si otterree ruotndo un ellisse intorno d un suo sse, in questo cso l sse non contenente i fuochi. Vedi figur qui finco, trtt dl sito dell mostr virtule Oltre il compsso. Vuoi provre dimostrre quest proprietà? Ai fini dimostrtivi, l ellisse è colloct in un riferimento crtesino, in posizione cnonic. Vedi figur qui finco: t è l tngente ll ellisse in un suo punto P 0, n è l normle in. Si trccino le congiungenti PF 0 e PF 0 e, prezzo di impegntivi clcoli, si f vedere che, scrivendo l equzione dell isettrice dell ngolo FP F, si ottiene l equzione dell normle in. ) Sino A, B due punti fissti, e r > AB un segmento. Dimostr che il luogo dei centri C delle circonferenze che pssno per B e sono tngenti ll circonferenz di centro A e rggio r, è un ellisse vente per fuochi A e B. ) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? 6) Dt un ellisse, giustific rigorosmente l seguente ffermzione: preso un punto P 0( 0, 0) 0 0 se esso è interno ll ellisse, llor + < ; 0 0 se invece è esterno, si h + >. 0 7) Dt un ellisse di costnte ( somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti P0 tli che PF 0 + PF 0 < sono interni ll ellisse; quelli per cui PF 0 + PF 0 > le sono esterni. P 0 P 0

17 RISOLUZIONI ) Disegnre un ellisse utilizzndo due circonferenze concentriche m A: + ; ( ) + m + m + m ± ± + m + m m m ± + m e llo stesso modo ± m B :... + m + m ± + m Dunque il punto P dell figur (che è poi il generico punto dell curv che ci interess) h coordinte dte d: m ± ; ± + m + m P A P B dove vlgono o i due segni + contempornemente, oppure i due segni contempornemente. ± Le equzioni + m sono le equzioni prmetriche del luogo. m ± + m 0 Pssimo or ll equzione crtesin, risolvendo rispetto l prmetro m e sostituendo. Innnzitutto, llo scopo di isolre il prmetro, conviene dividere memro memro le due equzioni, ottenendo m m Dopodiché potremo scrivere ± Possimo questo punto semplificre per (osservimo per l occsione che i pssggi precedenti erno effettuili solo supponendo 0 ; vedremo in che modo l sciss null, per or provvisorimente esclus llo scopo di poter effetture determinti pssggi lgerici, si recuperile ll fine), ottenendo: + che, divis per, fornisce ellisse cnonic di semissi,. Avevmo escluso dll nostr considerzione l sciss 0; possimo or osservre che i punti P di sciss 0 otteniili con l costruzione descritt (semirett condott dll origine intersezioni di quest con le due circonferenze P A, P B) sono i due punti ( 0, ± ), che risultno nch essi soddisfre ll equzione ottenut. Dunque effettivmente l è l equzione del luogo in questione.

18 ) Costruzione dell tngente un ellisse in un suo punto Ecco un metodo per trccire l tngente d un ellisse in un suo punto P. I. Con centro in un fuoco F si trcci l circonferenz vente rggio ugule ll sse mggiore dell ellisse (quindi nche ll somm costnte PF+ PF); II. poi si congiunge F con P e si prolung tle congiungente fino d incontrre l circonferenz in un punto W; III. infine si trcci l sse r di WF. Tle sse psserà per P (P è inftti equidistnte dgli estremi di WF, perché PW FW PF ( PF+ PF) PF PF) e srà l tngente cerct, come si dimostr (provci!) prendendo, sull sse, un ltro punto P' distinto d P e fcendo vedere che esso non può pprtenere ll ellisse. Preso sull sse r di WF un punto P' distinto d P, vremo: P'F+ P'F P'F+ P'W (inftti P'F P'W perché P' pprtiene ll sse di WF, e i punti dell sse di un segmento sono equidistnti dgli estremi del segmento stesso). M + > P'F P'W F W (per l disuguglinz tringolre su P'F W : in un tringolo, ciscun lto è sempre minore dell somm degli ltri due), quindi P'F + P'F > F W PF + PF. Poiché l somm P'F+ P'F NON e ugule ll costnte PF + PF dell ellisse, P' non può pprtenervi, c.v.d. ) Podri di un ellisse rispetto un fuoco Si dice PODARIA di un curv rispetto un punto (detto polo), il luogo geometrico delle proiezioni di quel punto sulle rette tngenti ll curv. Dimostr che In un ellisse, l PODARIA DI UN FUOCO è l circonferenz vente per dimetro l sse mggiore Nell figur compiono (vedi il precedente esercizio ) l tngente r d un ellisse in un suo punto P, costruit come sse del segmento WF, e l proiezione N del fuoco F su tle tngente. Detti M, N i punti medi dei segmenti FF e WF rispettivmente, vremo che il segmento MN, in qunto congiungente i punti medi di due lti del tringolo FF W, è ugule ll metà del terzo lto FW. M FW h lunghezz costnte l vrire di P: dunque nche MN, l vrire di P, h lunghezz costnte. E perciò il punto N, l vrire di P, descrive un circonferenz di centro M e rggio ugule ll metà di FW, quindi dimetro ugule FWssemggiore dell'ellisse.

19 ) Proprietà focle dell ellisse in relzione ll riflessione dell luce Il nostro oiettivo è di fr vedere che se si prende un qulsivogli punto P (, ) e si considerno le due congiungenti e PF, PF 0 0 l normle n ll ellisse in P0 coincide con l isettrice dell ngolo FP 0 F. dell ellisse Utilizzndo l regol degli sdoppimenti, scrivimo innnzitutto l equzione dell rett tngente ll ellisse in P (, ) : ; m t il coefficiente ngolre dell rett tngente, vremo: 0 t 0 mn P0 0 n 0 n P0 Perciò, indicto con m e di conseguenz, detto il coefficiente ngolre dell normle ll ellisse in, srà m Scrivimo or l equzione dell normle in : n: 0 mn ( 0) 0 0 ( 0) Or scrivimo le equzioni delle due rette e PF ; PF 0 0 successivmente potremo determinre l equzione dell isettrice dell ngolo FP 0 F. Rett PF 0, con F ( c,0) e P 0( 0, 0) : + c 0 + c 0 0( + c) ( 0 + c) 0 + c0 0 + c 0 0 c + c0 0 ( + c) + c

20 Rett PF 0, con P 0( 0, 0) e F ( c,0) : c 0 c 0 0( c) ( 0 c) 0 c0 0 c c c0 0 ( c) c Equzione dell isettrice dell ngolo FP 0 F individuto d PF 0 e PF 0 : isettrice P, / d P,PF d P,PF { ( ) ( 0 ) ( 0 ) } ( + c) + c ( c) c ( 0 + c) 0 + ( 0 c) dove possimo osservre che i denomintori coincidono con le distnze PF 0 e PF 0 rispettivmente. Sciogliendo il vlore ssoluto vremo 0 ( 0 + c) + c0 0 ( 0 c) c0 ± 0 + ( 0 + c) 0 + ( 0 c) e, fr le due rette isettrici dei due ngoli opposti l vertice formti dlle rette PF 0 e PF 0, ndimo considerre quell otteniile utilizzndo il segno. Inoltre, per opportunità di clcolo, cmimo di segno entrmi i numertori. Dunque: ( 0 + c) 0 c0 ( 0 c) 0 + c0 PF 0 PF 0 PF 0 ( 0+ c) PF 0 0 PF 0 c0 PF 0 ( 0 c) + PF 0 0 PF 0 c0 PF 0 0+ PF 0 c PF 0 0 PF 0 c0 PF 0 0+ PF 0 c+ PF 0 0 PF 0 c0 0 (P0F + P0F ) + c(p0f P0F ) 0 (P0F + P0F ) c0(p0f P0F ) 0 Moltiplichimo or tutto per PF + PF e otterremo, tenendo conto che 0 0 ( ) PF 0 + PF 0 ( ) e PF 0 PF 0 c0, l equzione 0 c c ( c) 0 + c ( c) 0 c 0 0 Ricordndo or che c potremo scrivere: 0 0 c 0 0; 0 c 00 0 c ; Utilizzimo l relzione c e vremo: 0 ( ) M l ultim equzione scritt (che è, ricordimolo ncor, l equzione dell isettrice dell ngolo formto dlle due rette PF 0 e PF 0 ) risult coincidere con l equzione dell normle ll ellisse in d noi determint ll inizio! L sserto è perciò dimostrto. P 0