Appunti di matematica 3 Indice

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2 Appunti di mtemtic Indice. Ripsso di lgebr e geometri del biennio. Geometri nlitic Il pino crtesino Rett Circonferenz Prbol Ellisse Iperbole Complementi di geometri nlitic. Successioni numeriche. Funzione esponenzile e logritmic 5. Sttistic 6. Lbortorio di informtic Appunti di Mtemtic è rilscito con licenz Cretive Commons BY NC SA (ttribuzione non commercile condividi llo stesso modo)

3 - Ripsso - Ripsso di lgebr Equzioni Equzioni di primo grdo Un equzione di primo grdo può essere sempre ridott ll form Se 0 l soluzione è Se 0 llor ci sono due csi: b 0 b e l equzione si dice determint. se nche b 0 bbimo un equzione indetermint cioè qulsisi vlore di verific l equzione; se invece b 0 llor l equzione è impossibile cioè non esiste nessun vlore rele di che verifichi l equzione. Ricord Per determinre l soluzione di un equzione di primo grdo nel cso in cui si determint si somm d entrmbi i membri b in modo d semplificre b e ottenere b e poi si dividono b entrmbi i membri per ( 0 ) ottenendo l soluzione.

4 - Ripsso - Equzioni di secondo grdo Un equzione di secondo grdo può essere sempre ridott ll form Abbimo tre csi second del vlore del b c 0 con 0 b c : se 0 l equzione h due soluzioni reli distinte se 0 l equzione h due soluzioni reli coincidenti se 0 l equzione non h nessun soluzione rele. Ricord, b b c ; b, ; Per rrivre ll formul risolutiv si spost il termine noto e sinistr si mette in evidenz : b ( ) c b b Si complet il qudrto ggiungendo sinistr e di conseguenz (perché nel primo membro c è che moltiplic l prentesi tond): ( b b b ) c b b c b b c Si ottiene: ( ) b destr Se b c 0 potremo scrivere b b c b b c e quindi, con se 0 Se invece b c 0 l equzione non vrà soluzioni reli. Ricord Nel cso in cui 0 si può fcilmente verificre che b e c Utilizzndo queste relzioni si dimostr fcilmente (bst mettere in evidenz ) che b c ( )( )

5 - Ripsso - Equzioni di grdo superiore l secondo Vedimo solo lcuni esempi di equzioni di grdo superiore l secondo risolubili medinte scomposizione o ponendo t. ) 0 Possimo operre un rccoglimento przile e ottenimo ( )( ) 0 e quindi vremo,, ) In questo cso osservndo che sostituendo il polinomio si nnull possimo scomporre utilizzndo il metodo di Ruffini e vremo ( )( 6) 0 e quindi rccogliendo ( )( )( ) 0 In conclusione le soluzioni sono, ) 9 0 Si trtt di un equzione dett biqudrtic : ponimo t risolt dà t, e t, e ottenimo t 9t 0 che

6 - Ripsso - Equzioni contenenti il vlore ssoluto Vedimo lcuni esempi: ) ) ) 0 0 Poiché il primo sistem non h soluzione bbimo come soluzione solo. ) Studimo i segni degli rgomenti dei due vlori ssoluti Quindi possimo vere i seguenti csi: ( ) ( ) Risolvendo i tre sistemi si ottiene un unic soluzione (dl secondo sistem)

7 - Ripsso - Equzioni irrzionli Un equzione d un incognit si dice irrzionle qundo contiene rdicli nel cui rdicndo compre l incognit. Vedimo degli esempi. Equzioni irrzionli con rdici qudrte ) 7 Se elevimo l qudrto entrmbi i membri dell equzione ottenimo un equzione equivlente, cioè con le stesse soluzioni? Elevimo l qudrto entrmbi i membri: , Verifichimo se le soluzioni trovte sono soluzioni dell equzione di prtenz. 7 ( primo membro) (secondo membro) 7 ( primo (sec ondo membro) membro) Quindi solo è soluzione dell equzione irrzionle. Per decidere se le soluzioni sono ccettbili dobbimo necessrimente fre l verific? Il secondo membro, essendo ugule d un rdice qudrt, dovrà essere necessrimente positivo o nullo e quindi bsterà mettere l condizione 0 Quindi confrontndo le soluzioni con quest condizione possimo stbilire, nche senz eseguire l verific con l sostituzione, che non è ccettbile. In conclusione l equzione dt v risolt impostndo il seguente sistem misto (equzione e disequzione): Che ci dà come unic soluzione ccettbile =. 5

8 - Ripsso - Not importnte Inftti l equzione A( ) B( ) non è equivlente ll equzione A ( ) B ( ) perché e quindi le soluzioni di A ( ) B ( ) sono le soluzioni dell equzione A ( ) B( ) 0 (che è l equzione di prtenz A( ) B( ) ) m nche quelle dell equzione A( ) B( ) 0 Osservzione: perché non ci simo preoccupti del cmpo di esistenz dell rdice qudrt? Nel nostro cso porre 7 0 srebbe stto superfluo visto che bbimo l equzione ) 7 A ( ) B ( ) 7 Per prim cos dobbimo isolre il rdicle, e quindi bbimo Quindi si procede come nell esempio precedente. A( ) B( ) A( ) B( ) 0 7 ) Risolvimo il seguente sistem misto: 0 Risolvendo l equzione ottenimo le soluzioni che risultno entrmbe ccettbili (essendo verifict l condizione 0 ). ) L concordnz di segno tr i due membri in questo cso è utomticmente soddisftt poiché l rdice qudrt (positiv) h sempre lo stesso segno di (numero positivo). In conclusione in questo cso bst elevre l qudrto entrmbi i membri e risolvere: 5) In questo cso non c è concordnz di segno tr i due membri e quindi non c è nessun soluzione. 6

9 - Ripsso - 6) In questo cso l concordnz del segno tr i due membri è utomticmente verifict m in questo cso dobbimo porre l condizione di esistenz dei due rdicli. 0 0 Elevndo l qudrto entrmbi i membri ottenimo Quindi l soluzione non è ccettbile e l equzione non h nessun soluzione. 7) Le condizioni d imporre srebbero piuttosto complesse (esistenz dei rdicli e l concordnz del segno dei due membri) e quindi in questo cso conviene semplicemente verificre con l sostituzione se le soluzione ottenute elevndo l qudrto entrmbi i membri sono o meno ccettbili. Verifichimo se = è soluzione dell equzione dt: ( primo membro) (secondo Quindi è soluzione dell equzione dt. membro) NOTA Tutto quello che bbimo detto per le rdici qudrte vle per qulsisi rdice di indice pri, cioè per risolvere l equzione irrzionle n A( ) B( ) impostimo il sistem misto: A( ) B B( ) 0 n ( ) 7

10 - Ripsso - Equzioni irrzionli con rdici cubiche Esempio Considerimo l equzione Elevimo entrmbi i membri l cubo in modo d eliminre l rdice. Abbimo: ( ).. Dobbimo verificre se le soluzioni sono ccettbili? No, perché elevndo l cubo entrmbi i membri ottenimo un equzione equivlente (cioè con le stesse soluzioni). Inftti: A ( ) B ( ) A ( ) B ( ) 0 A( ) B( ) A ( ) A( ) B( ) B ( ) 0 e per l legge di nnullmento del prodotto, le soluzioni sono dte dll soluzione di A ( ) B( ) 0 (che è l equzione inizile) e di A ( ) A( ) B( ) B ( ) 0 che h come uniche soluzioni A ( ) B( ) 0. Dobbimo porre condizioni di esistenz del rdicle? No, perché per l rdice cubic il rdicndo può essere si negtivo che positivo o nullo. In conclusione quindi per risolvere l equzione irrzionle dt bst elevre l cubo entrmbi i membri dell equzione. NOTA Questo vle in generle per tutte le equzioni con rdicli di indice dispri del tipo n A( ) B( ) che si risolvono semplicemente elevndo n+ entrmbi i membri dell equzione. 8

11 - Ripsso - Disequzioni Disequzioni di primo grdo Esempi Inftti possimo spostre destr il termine ottenendo e quindi ricvre oppure spostre ottenendo e ricordre che dividendo per un numero negtivo (-) dobbimo invertire il verso dell diseguglinz. Nelle disequzioni è importnte ricordre che se si moltiplic o si divide per un numero negtivo dobbimo invertire il verso dell diseguglinz. ( per esempio: è vero che 5 m moltiplicndo per - bbimo 5 ) Possimo sempre ricondurci d un disequzione in cui il coefficiente dell si positivo moltiplicndo tutto per - m nturlmente cmbindo di verso ll diseguglinz. Nell esempio inftti vremo nche potuto scrivere: 0 9

12 - Ripsso - Disequzioni di secondo grdo Esempi ) Determinimo le soluzioni dell equzione ssocit: Quindi scomponendo vremo: ( )( ) 0 Studimo il segno dei fttori ed indichimo con un line continu il segno positivo e con un line trtteggit il segno negtivo: Segno di - Segno di - Quindi per l regol dei segni vremo il prodotto positivo per cioè per i vlori esterni lle soluzioni dell equzione ssocit. Not: se considerimo l prbol ssocit ll equzione 5 6 bbimo un prbol rivolt verso l lto che intersec l sse nei punti di sciss, e quindi i punti del grfico che si trovno sopr ll sse delle scisse si hnno per. 0

13 - Ripsso - ) Se vessimo dovuto risolvere vremmo vuto, considerndo lo studio del segno dei fttori vlori interni lle soluzioni., cioè i Anlogmente con il metodo dell prbol bbimo che i punti che si trovno sotto ll sse delle scisse si hnno per. ) 0 Se mettimo in evidenz l e studimo il segno dei fttori: ( ) 0 Ottenimo quindi : 0 Not: se considerimo l prbol ssocit bbimo un prbol rivolt verso il bsso in cui i punti che si trovno sopr ll sse delle scisse si hnno per 0. Not Qundo il coefficiente di è negtivo si può nche moltiplicre per - ed invertire il verso dell diseguglinz: bbimo 0 che per qunto detto nel precedente esempio h come soluzione: 0

14 - Ripsso - ) 0 Poiché in questo cso l equzione ssocit h due soluzioni coincidenti (si trtt inftti di un qudrto) vremo ( ) 0 cioè le soluzioni dell disequzione sono tutti i vlori reli di diversi d. Se considerimo l prbol ssocit bbimo un prbol rivolt verso l lto tngente ll sse delle scisse e quindi i punti che si trovno sopr ll sse delle scisse sono tutti eccetto (punto in cui 0). Nturlmente se dobbimo invece risolvere 0 non c è nessun soluzione (rele). Not: è chiro che : 0 0

15 - Ripsso - 5) 0 In questo cso l equzione ssocit non h soluzioni reli poiché 0 e quindi l prbol ssocit, rivolt in questo cso verso l lto, non intersec l sse delle scisse e tutti i suoi punti si trovno sopr ll sse. Quindi l soluzione dell disequzione è. Not: nche lgebricmente si può dimostrre che il trinomio h lo stesso segno del coefficiente di ( ): nel nostro cso, per esempio, bbimo Se completimo il qudrto: 0 cioè e poiché un qudrto è sempre mggiore di un numero negtivo, quest disequzione h come soluzione tutti i numeri reli cioè è verifict. 6) 0 Anche in questo cso l equzione ssocit non h soluzioni reli ed essendo il coefficiente di negtivo l prbol ssocit è rivolt verso il bsso e non h intersezioni con l sse : quindi tutti i suoi punti si trovno sotto ll sse delle scisse e ( è negtivo L nostr disequzione non h perciò nessun soluzione rele. ) Inftti nche lgebricmente vedimo che: cioè ( ) e quindi non c è nessun soluzione rele poiché un qudrto non può mi essere minore di un numero negtivo.

16 - Ripsso - Disequzioni di grdo superiore l secondo Esempi ) 0 Mettendo in evidenz e studindo il segno dei fttori: ( ) 0 Segno di - Segno di ) 0 Mettendo in evidenz bbimo: ( ) 0 Il fttore è sempre positivo o nullo e nello studio del segno possimo trscurrlo perché non f cmbire niente. Possimo quindi limitrci risolvere solo 0 : 0 Allo stesso risultto sremmo rrivti nche studindo il segno dei due fttori: Segno di Segno di - - 0

17 - Ripsso - Disequzioni frtte Esempi ) 0 Dobbimo studire il segno del numertore e il segno del denomintore: N: 0 D: 0 Riportimo l situzione in un grfico: D N Se dobbimo risolvere 0 prenderemo. Not: se vessimo dovuto risolvere 0 il procedimento srebbe stto lo stesso, m ll fine vremo preso come soluzione l zon che risult con segno negtivo cioè. D N ) 0 N D - 0 Quindi : 0. 5

18 - Ripsso - Disequzioni contenenti vlori ssoluti Esempi ) ) cioè )* )* cioè ) Dobbimo distinguere due csi: se 0 llor e quindi bbimo se 0 llor e quindi bbimo Quindi 0 0 ) e in conclusione:. Studimo i segni degli rgomenti dei due vlori ssoluti (vedi equzioni contenenti il vlore ssoluto) e distinguimo i vri csi: ( ) ( ) ( ) ecc. 6

19 - Ripsso - Disequzioni irrzionli Esempi ) 9 Osservimo che potrebbe essere si negtivo che positivo. Se 0 dobbimo elevre l qudrto entrmbi i membri (n on import porre 9 0 poiché se 9 ( ) sicurmente vremo 9 positivo). Se 0 l rdice qudrt 9 (positiv) srà sicurmente mggiore di un numero negtivo purché esist cioè qundo 9 0. Quindi per risolvere quest disequzione dovremo impostre l unione di due sistemi di disequzioni: 0 9 ( ) nessun soluzione 5 Quindi l soluzione dell disequzione è: 0 5 7

20 - Ripsso - ) 9 In questo cso non può essere negtivo, perché deve essere mggiore di un rdice qudrt (positiv, qundo esiste). Quindi per risolvere quest disequzione dobbimo impostre un solo sistem, m con tre disequzioni: ( ) Quindi l soluzione dell disequzione è: ) 5 0 In questo cso dobbimo confrontre l rdice qudrt con un numero. Poiché il numero è positivo dobbimo elevre semplicemente l qudrto entrmbi i membri dell disequzione (è inutile porre nche 0 poiché è un richiest più forte): ) In questo cso oltre d elevre l qudrto è necessrio nche mettere l condizione di esistenz del rdicndo:

21 - Ripsso - 9 Sistemi Sistemi di equzioni Sistemi di due equzioni in due incognite grdo Esempio 0 0 Ci sono vri metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione ). Ripssimo solo il metodo di sostituzione: ricvimo un incognit d un equzione e sostituimol nell ltr Trovt l tornimo sostituirl per determinre : Not Non è detto che il sistem dto bbi sempre un soluzione: può essere impossibile (nessun soluzione rele) o indeterminto (infinite soluzioni). Per esempio: 0 è impossibile 0 0 è indeterminto

22 - Ripsso - grdo (il grdo si ottiene moltiplicndo i grdi delle equzioni che compongono il sistem) Esempio 0 Anche in questo cso ripssimo solo il metodo di risoluzione per sostituzione: ricvimo un incognit dll equzione di grdo e sostituimo nell ltr: Quindi vremo due soluzioni, ), ) : ( ( Not Un sistem di due equzioni in due incognite di secondo grdo può vere nche due soluzioni coincidenti o nessun soluzione. Per esempio 0 h due soluzioni coincidenti (, ;, ) mentre 0 non h nessun soluzione rele. 0

23 - Ripsso - Sistemi di tre equzioni in tre incognite di primo grdo Esempio z z Ricvimo un incognit d un equzione e sostituimo nelle ltre due: z z z Ricvimo un ltr incognit (tr l second e l terz equzione) e sostituimo: z e sostituendo vremo: z L soluzione è quindi l tern ) ; ; ( Not Nturlmente posso vere sistemi con infinite soluzioni (indeterminti) o nessun soluzione (impossibili). Per esempio: 0 0 z è impossibile mentre z h infinite soluzioni del tipo (; - ; 0)

24 - Ripsso - Sistemi di disequzioni Esempi ) 0 0 Risolvimo le due disequzioni e intersechimo i risultti: 0 0 sol. second dis. sol. prim dis. - Quindi l soluzione del sistem è: Attenzione Non h lcun senso mettere il trtteggio nel grfico conclusivo! Inftti il trtteggio si us per indicre un segno negtivo qundo dobbimo studire il segno di numertore e denomintore in un disequzione frtt o il segno dei fttori in un prodotto. Se dovessimo risolvere per esempio ( ) ( ) 0 oppure 0 utilizzre il trtteggio. llor dovremmo ) 0 nessun soluzione 0 nessun soluzione

25 - Ripsso - Esercizi di ricpitolzione I) Risolvi le seguenti equzioni ) 0 ) ) 0 [ ] [ ; ] [ ; ] ) 0 [nessun soluzione rele ] 5) 9 0 [, ;, ] 6) [ ] 5 7) [ ; 5 ] 8) 6 5 [ ] 9) [ 0 ] 0) [ ] ) [ ] ) [ ] ) ) 5) 5 5 [ 9] 6) 6

26 - Ripsso - 7) [ ] 8) 5 [ 6] 9) ] [ 0) [ ] ) 5 0 [ ] ) [ impossibile] ) 6 [ ] ) 8 [ ] 5) 8 0 [ ] 6) [ ] 7) 5 5 [ ] 8) 5 [ ] 9) [ ] 0) 7 0 [ ]

27 - Ripsso - II) Risolvi le seguenti disequzioni ) 0 ) 0 ) 9 0 [ 0 ] [ ] [ ] ) 0 0 [nessun sol. rele] 5) 0 [ ] 6) 0 7) ) 0 9) 0 5 0) [nessun sol. rele ] [ 0 ] [ ] [ 5 5 ] [ ] ) [ ] ) 6 [ 0 ] ) [ 0 ] ) 8 0 [ ] 5

28 - Ripsso - 5) 0 [ ] 6) [ 6] 7) 0 [ ] 8) 6 [ ] 9) 8 [ ] 0) [ ] 7 ) 0 [ 7 ] ) [ 0] ) [ ] 5 ) [ 0] 5) 6 6 [ impossibile] 6) 6 [ 0] 7) 5 [ ] 6

29 - Ripsso - 7 III) Risolvi i seguenti sistemi ) 8 7 [( -; -)] ) 5 [ (; ) (; ) ] ) z z z [ (-; ; ) ] ) 8 0 ) ( [ ( 0; 8 ) ( ; ) ] 5) 6 7 [ 9 ] 6) [ ] 7) 0 0 [ 0 ] 8) 0 ) )( ( 0 [ ]

30 - Ripsso - Ripsso di geometri Gli rgomenti essenzili d tenere presenti sono: Tringoli Criteri di congruenz e di similitudine di tringoli Punti notevoli di un tringolo (bricentro, incentro, circocentro e ortocentro) Somm degli ngoli interni di un tringolo e di un poligono Teoremi di Euclide e Pitgor Qudrilteri Prllelogrmm, rettngolo, rombo e qudrto e loro proprietà Trpezio Somm degli ngoli interni in un qudriltero Circonferenz Angoli l centro e ngoli ll circonferenz Qudrilteri inscritti e circoscritti d un circonferenz Poligoni inscritti e circoscritti d un circonferenz 8

31 - Ripsso - Problemi di geometri ) Dto un tringolo equiltero ABC di lto l, determin l lunghezz del segmento MN prllelo l lto AB tle che re ( MNC) re( ABC). 9 l [ MN ] ) Dto un tringolo equiltero prllelo l lto AB tle che re( MNBA) re( MNC). ABC di lto l, determin l lunghezz del segmento MN l [ MN ] ) Dto il tringolo rettngolo ABC di cteti AC e CB, determin sul cteto AC un punto P tle che, detto H il piede dell perpendicolre trccit d P d AB, si bbi re ( APH ) re( ABC). 5 [ AP ] ) Dt un semicirconferenz di dimetro AB r, determin su ess un punto P tle che, condott l cord PQ prllel d AB, si bbi p( ABQP) 5r. [ AP PQ QB r ] 5) Dto il tringolo isoscele ABC con bse AB 0 e lti obliqui AC CB, determin sul lto AC un punto P tle che, trccit per P l prllel ll bse AB e detto Q il suo punto di intersezione con BC, si bbi re ( ABQP) re( ABC). [ PQ 5 ] 6) Consider un rombo ABCD vente perimetro p 0 e re digonli del rombo e il rggio r dell circonferenz inscritt. A. Determin le [ 6 ; 8 ; r ] 5 9

32 - Ripsso - 7) Dt un semicirconferenz di dimetro AB r, determin un punto P sul prolungmento del dimetro dll prte di B tle che, condott d P l tngente ll semicirconferenz e detto T il punto di tngenz, si bbi semicirconferenz. re( OPT ) r dove O è il centro dell [ OP 5r ] 8) Dt un circonferenz di dimetro AB r, determin sul dimetro AB un punto P tle che, trccit per P l cord CD perpendicolre l dimetro AB, si bbi re( ACBD) r. r [posto AP si h, r ] 9) Dto un tringolo rettngolo ABC con cteti AC e AB, determin sul cteto AC un punto P tle che, trccito il segmento PQ prllelo d AB (con Q pprtenente ll ipotenus) e il segmento QR perpendicolre d AB ( R su AB) si bbi re( PQRA). [ CP ] 0) Consider il tringolo equiltero ABC inscritto in un circonferenz di dimetro r. Determin un punto P sul lto AB tle che re ( APC) re( PBC). [ AP r ] ) Consider un trpezio rettngolo ABCD vente ltezz AD e bse minore CD. Spendo che l digonle minore AC risult perpendicolre l lto obliquo BC, determin sul lto obliquo un punto P tle che, trccito il segmento PQ prllelo d AC (Q su AB) si bbi re( PQB) re( AQPC). 0 [ PB ] 0

33 - Ripsso - ESERCITAZIONE Risolvi le seguenti equzioni, disequzioni e sistemi di equzioni: ) ) 0 ) ( ) ) 5 5) ) 5 7) 6 6 8) 9) 6 0) z z z Problem Dto un tringolo rettngolo ABC vente cteti AB e AC, determin su AB un punto P tle che, dett Q l proiezione ortogonle di P su BC, si bbi re( PBQ) re( APQC). Problem Un tringolo isoscele ABC di bse AB è inscritto in un circonferenz di rggio r. Spendo che l bse AB è ugule ll ltezz CH reltiv ll bse, determin l lunghezz dell bse AB e dei lti obliqui.

34 - Il pino crtesino - Il pino crtesino Sistem di riferimento su un rett Per fissre un sistem di riferimento su di un rett r occorre: orientre l rett r fissre su di ess un punto origine O fissre l unità di misur A questo punto c è un corrispondenz biunivoc tr i punti dell rett r dove si è fissto il sistem di riferimento e i numeri reli. Inftti: se P è un punto pprtenente ll rett r posso ssocirgli l misur del segmento orientto OP cioè vrò 0 se P si trov nell semirett positiv, 0 se P si trov nell semirett negtiv ; vicevers se è un numero rele posso ssocirgli un punto sull rett poiché se è un numero nturle, intero reltivo o rzionle il procedimento è semplice e se è un numero irrzionle, per esempio, considero le due clssi contigue di numeri rzionli di cui è elemento seprtore,,5 ;,, ;,,5 ecc. e poiché i segmenti [,;,5] [,;,] [,;,5] sono uno contenuto nell ltro, per il postulto dell continuità dell rett hnno un punto P in comune.

35 - Il pino crtesino - Sistem di riferimento nel pino Fissre un sistem di riferimento crtesino ortogonle nel pino signific fissre due rette perpendicolri orientte chimte sse e sse del sistem di riferimento. L loro intersezione viene indict con O e chimt origine del sistem di riferimento. Ogni punto P del pino può essere individuto d un coppi ordint (;) di numeri reli e vicevers d ogni coppi ordint (;) di numeri reli corrisponde un solo punto del pino (vedi figur). Il numero si chim sciss del punto P e il numero si chim ordint del punto P. Osservzione: i punti sull sse hnno ordint =0; i punti sull sse hnno sciss =0; i punti pprtenenti d un rett prllel ll sse hnno tutti l stess sciss; i punti pprtenenti d un rett prllel ll sse hnno tutti l stess ordint; il punto simmetrico di P ( ; ) rispetto ll sse è P ( ; ) ; il punto simmetrico di P ( ; ) rispetto ll sse è P ( ; ) ; il punto simmetrico di P( ; ) rispetto ll origine è P ( ; ).

36 - Il pino crtesino - Distnz tr due punti Per determinre l distnz tr due punti A( A, A ) e B( B, B ) possimo pplicre il teorem di Pitgor (vedi figur): AB = ( B A ) ( B A ) Se i punti hnno l stess sciss o l stess ordint l distnz è dt dl vlore ssoluto dell differenz delle scisse o delle ordinte : per esempio in figur AB = B A e CD D C.

37 - Il pino crtesino - 5 Punto medio di un segmento Per determinre le coordinte del punto medio M di un segmento AB possimo considerre le proiezioni di A, M e B sull sse e poi sull sse e, sfruttndo il teorem di Tlete, ffermre che: B A M M B A M B A M M B A M Bricentro di un tringolo Per determinre le coordinte del bricentro G di un tringolo di vertici ssegnti A( A, A ) B( B, B ) C( C, C ) posimo considerre per esempio l medin CM (vedi figur) e ricordre che G l divide in due prti un doppi dell ltr. Proiettndo M,G,C prim sull sse e poi sull sse sempre per il teorem di Tlete potremo scrivere: ) ( C M G M G G C ) ( C M G M G G C e quindi, ricordndo che B A M e che B A M si h che C B A G C B A G

38 - Il pino crtesino - Trslzione del sistem di riferimento A volte può essere utile trslre il sistem di riferimento spostndo l origine in un punto O (,b) e chirmente le coordinte dei punti si modificno. Se indichimo con (, ) le coordinte nel nuovo sistem di riferimento vremo,come si cpisce dll figur, le seguenti relzioni tr le vecchie coordinte (,) e le nuove coordinte (, ) di un punto P: ' ' b 6

39 - Il pino crtesino - Esercizi sul pino crtesino. Dto il tringolo di vertici A(,) B(5,) C(6,0) determin perimetro,re e coordinte del bricentro. (per determinre l re puoi considerre il rettngolo in cui è inscritto il tringolo e ) p 5 7 9, A 9, G(,). Verific che il tringolo di vertici A(,5) B(0,) C(,-) è un tringolo rettngolo. Clcol perimetro e re. p, A. Verific che il tringolo di vertici A(,) B(5,7) C(7,) è isoscele, determin l misur dell ltezz reltiv ll bse, clcol perimetro, re e coordinte del bricentro G. p 0, A 6, G( ; ). Consider il qudriltero di vertici A(,) B(7,) C(,7) D(-,7).Di qule qudriltero si trtt? Determin perimetro e re. p 0, A 0 5. Consider il qudriltero di vertici A(,0) B(7,) C(,6) D(,). Di qule figur si trtt? Se il sistem di riferimento viene trslto portndo l origine nel punto di incontro delle digonli, quli sono le nuove coordinte dei vertici dell figur? 7

40 - L rett - L rett nel pino crtesino Abbimo visto come, fissto un sistem di riferimento, ciscun punto si possibile ssocire un coppi ordint di numeri reli (le sue coordinte). Se desso considerimo un rett come l potremo individure? Non possimo dre le coordinte di tutti i suoi punti m forse possimo cercre un relzione che rigurd le coordinte (,) di un suo generico punto. Comincimo con il considerre un rett prllel ll sse :osservimo che tutti i suoi punti hnno l stess ordint. Se per esempio prendimo l rett in figur potremo scrivere = e dire che = è l equzione di quest rett perché tutti i suoi punti hnno ordint ugule e tutti i punti del pino che hnno ordint pprtengono quest rett. Quindi, in generle, un rett prllel ll sse vrà equzione =k dove k è un numero rele. In prticolre l sse vrà equzione =0. Anlogmente se considerimo un rett prllel ll sse (vedi figur) osservimo che tutti i suoi punti hnno l stess sciss, nel nostro cso, equindi l equzione che descrive l rett srà =. In generle un rett prllel ll sse vrà equzione =k e in prticolre l sse vrà equzione =0. 8

41 - L rett - Considerimo desso un rett pssnte per l origine degli ssi (vedi figur): se P e Q sono due punti pprtenenti ll rett, per l similitudine dei tringoli in figur OPP e OQQ potremo scrivere PP ' QQ' cioè P Q OP' OQ' e quindi in generle potremo dire che l equzione dell rett è nel nostro esempio possimo scrivere =. P Q che In generle per un rett pssnte per l origine potremo considerre i tringoli in figur OPP e OQQ e potremo scrivere PP' QQ' = m cioè P Q m OP' OQ' P Q 9

42 - L rett - Quindi l equzione di un rett per l origine srà : = m m viene detto coefficiente ngolre dell rett ed indic l inclinzione dell rett. Osservimo che se m>0 l rett pprtiene l I III qudrnte ( inftti le coordinte dei punti sono entrmbe positive o negtive e quindi il rpporto è un numero positivo) mentre se m<0 l rett pprtiene l II- IV qudrnte (le coordinte dei punti sono discordi e qu indi il loro rpporto è negtivo). Osservimo inoltre che l sse h inclinzione m = 0 (l equzione risult inftti = 0 ), m che ll sse non può essere ssocito un coefficiente ngolre. Infine fccimo notre che per trovre il coefficiente ngolre posso considerre nche due punti qulsisi P e Q pprtenenti ll rett e esprimere m utilizzndo il tringolo PQR (vedi figur) scrivendo Q P m Q P Considerimo infine un rett non pssnte per l origine O(0,0) e non prllel gli ssi (vedi figur). 0

43 - L rett - Considerimo il punto Q(0;q) in cui intersec l sse ed esprimimo il coefficiente ngolre m considerndo un punto generico P ( ; ) e il punto Q. Abbimo: m q q m m q Nell equzione q viene dett ordint ll origine poiché corrisponde ll ordint del punto dell rett vente sciss null. In figur per esempio è stt rppresentt l rett di equzione = +.

44 - L rett - Problem: è possibile scrivere un equzione che riesc rppresentre qulsisi rett? Abbimo già ftto notre che ll sse non potev essere ssocito un coefficiente ngolre e lo stesso vle per le rette prllele ll sse: l equzione = m +q non riesce quindi rppresentre tutte le rette del pino crtesino. Osservimo invece l seguente equzione: +b +c = 0 Provimo fr vrire i prmetri, b, c: se = 0 e b 0 possimo ricvre = - b c e quindi ottenimo le rette prllele ll sse (per c = 0 bbimo proprio l sse ); se 0 e b = 0 possimo ricvre = - c e quindi ottenimo le rette prllele ll sse (per c = 0 bbimo proprio l sse); se 0 e b 0 m c = 0 ottenimo = - b cioè le rette per l origine; e infine se 0, b 0 e c 0 ottenimo = - b - b c cioè le rette del tipo = m +q. Quindi l equzione + b +c = 0 rppresent tutte le rette nel pino crtesino e per questo viene dett equzione generle di un rett.

45 - L rett - Rette prllele Per quello che bbimo detto è chiro che due rette, non prllele ll sse, sono prllele qundo hnno lo stesso coefficiente ngolre. Vedimo in figur le rette di equzione = e = +. Rette perpendicolri Considerimo un rett per l origine r di equzione m (per semplicità si m 0 ) e costruimo il tringolo OAD come in figur prendendo cioè OD e AD m. A questo punto disegnimo il tringolo OCB prendendo BC e OB m trccimo l rett s che vrà quindi equzione. m (vedi figur) e

46 - L rett - Poiché i tringoli OAD e OCB sono uguli per costruzione, vrnno tutti gli ngoli uguli e in prticolre AOD BCO e llor essendo BOC 90 vremo che l ngolo AOC 90 cioè le rette r e s sono perpendicolri. L relzione che bbimo trovto tr i coefficienti ngolri di due rette perpendicolri pssnti per l origine vle nturlmente nche per rette perpendicolri non pssnti per l origine poiché quello che cont è il coefficiente ngolre. Quindi possimo dire che se un rett h coefficiente ngolre m, un rett con coefficiente ngolre risult d ess perpendicolre (e vicevers se due rette sono perpendicolri e non m prllele gli ssi i loro coefficienti ngolri sono uno l ntireciproco dell ltro). Vedimo per esempio in figur le rette perpendicolri di equzione = e = - +.

47 - L rett - Intersezione tr due rette Supponimo di vere due rette non prllele, per esempio e come in figur e di voler trovre le coordinte del loro punto P di intersezione. In questo cso le coordinte si possono determinre fcilmente nche osservndo l figur: P (;). M in generle come possimo trovrle? Poiché Poiché P r le sue coordinte devono verificre l equzione di r. P s le sue coordinte devono verificre l equzione di s. Quindi le coordinte ( ; ) del punto di intersezione devono verificre entrmbe le equzioni cioè sono l soluzione del sistem Inftti risolvendo bbimo: In generle quindi per trovre le coordinte del punto di intersezione di due rette bsterà risolvere il sistem formto dlle loro equzioni. Not: se le rette sono prllele il sistem non vrà soluzione. 5

48 - L rett - Equzione di un rett pssnte per un punto ssegnto P( o ; o ) ed vente un coefficiente ngolre ssegnto m Supponimo di voler trovre l equzione dell rett pssnte per P (; ) e vente coefficiente ngolre m. Se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine nel punto P (; ) vremo ' ' M nel nuovo sistem di riferimento sppimo che l equzione di r srà e quindi, tornndo e, ottenimo ' ' ( ) In generle, quindi, l rett pssnte per P o ; ) con coefficiente ngolre m vrà equzione: ( o o m ( o ) 6

49 - L rett - Equzione dell rett pssnte per due punti ssegnti Supponimo di volere trovre l equzione dell rett pssnte per A (;) e B (6;5). Osservimo che possimo ricvre il coefficiente ngolre dell rett prtendo dl tringolo trtteggito in figur: B A m B e nel nostro esempio m. A questo punto possimo utilizzre l equzione dell rett per A, per esempio, con coefficiente ngolre m : ( ) In generle l equzione dell rett pssnte per A A ; ) e B B ; ) vrà equzione: A ( A ( B A B B A A ( A ) che può essere nche scritt B A A A B A. Not: se per ricvre m ci si ffid l pino qudrettto occorre fre ttenzione i coefficienti ngolri negtivi. Per esempio le misure dei cteti del tringolo trtteggito sono ncor e m in questo cso è chiro che m. B A Inftti m 5 B A 7

50 - L rett - Problem A questo punto si possono già risolvere molti problemi collegti con l rett. Vedimone uno. Dti tre punti A (5; ) B (;5) C ( 0; ) consider il tringolo ABC e determin le coordinte del circocentro K (centro dell circonferenz circoscritt intersezione degli ssi dei lti del tringolo ) e dell ortocentro H (intersezione delle ltezze). Ricerc del circocentro K Dobbimo intersecre due ssi del tringolo, per esempio K sse sse AB AC Poiché l sse di un segmento è l rett perpendicolre l segmento pssnte per il suo punto medio, dobbimo trovre M AB (;) mab m sseab 5 M AC ( ; ) mac m sseac Avremo quindi: K ( ) 5 ( ) 0 8

51 - L rett - Ricerc dell ortocentro H Dobbimo intersecre due ltezze, per esempio H h h B C ltezz ltezz uscente uscente d d B C h : m AC m B hb h C : m AB mhc Quindi vremo: H 5 ( ) 0 9

52 Distnz di un punto P d un rett r Progetto Mtemtic in Rete - L rett - In molti csi è utile conoscere l distnz di un punto P d un rett r. Potremo trccire l rett per P perpendicolre d r, trovre il punto H di intersezione con r e poi clcolre l distnz HP. Questo procedimento risult piuttosto lungo. Voglimo dimostrre che se r : b c 0 P o ; ) ( o d( P, r) o b o b c. Comincimo con il considerre P(0;0) r : b c 0 c A(0; ) b c B( ;0) Considerimo il tringolo APB : PH è l ltezz reltiv ll ipotenus e quindi poiché si ottiene AB PH c c b PA PB AB c ( b b c b c b c ) c b c b b b. Se P (0;0) possimo trslre il sistem di riferimento portndo l origine in P. 50

53 - L rett - Sppimo che ' o ' o ' o ' o L equzione dell rett r nel nuovo sistem di riferimento srà quindi: ( ' ) b( ' ) c 0 o o ' b' o b o c 0 Poiché il termine noto è o bo c e, nel nuovo sistem di riferimento P coincide con l origine, utilizzndo l formul trovt precedentemente vremo: d( P, r) o b o b c Problem: clcolo dell re di un tringolo Determin l re del tringolo ABC in figur. A(;) B(5;) C(6;) Possimo clcolre re( ABC) AB d( C, rab ) AB r AB : m ( ) d( C, r AB ) 5 7 Quindi: re( ABC)

54 - L rett - Equzioni delle bisettrici degli ngoli individuti d due rette Supponimo di dover risolvere il seguente problem: dte le rette di equzione s :, determinre le equzioni delle bisettrici degli ngoli individuti d esse. r : s : r : Ricordimo che se P ( ; ) pprtiene d un bisettrice dovrà essere d( P, r) d( P, s). Quindi, scrivendo r : 0 s : 0 dovrà essere 5 5 E quindi possimo vere due csi: 0 ( b ) ( ) 0 b ) Osservimo che le due bisettrici sono tr loro perpendicolri. Inftti osservndo l figur è chiro che ( 80 e quindi 90 5

55 - L rett - Problemi sull rett. Disegn le rette venti le seguenti equzioni: ) = b) c) d) =+ e) f). Disegn le rette venti le seguenti equzioni: ) +=0 b) -=0 c) -+=0 d) -+=0 e) -=0 f) 5-5=0. Dte le rette di equzione =, 5, determin perimetro e re del tringolo individuto dlle rette e verific che si trtt di un tringolo rettngolo isoscele. 5 [ p 5 0 ; A = 0 ]. Dti i punti A(;) B(;7) C(7;-) determin le equzioni delle rette pssnti per A,B per B,C,per A,C. Clcol il perimetro del tringolo. Determin le coordinte del bricentro G e dell ortocentro H del tringolo. 5 [=+;=-+; ; p 5 5 ; G ( ;) ; H (0; ) ] 5. Consider i punti A(;) B(;6) C(8;).Determin le equzioni delle rette dei lti e verific che si trtt di un tringolo rettngolo isoscele. Determin perimetro e re. Determin le coordinte di bricentro, ortocentro e circocentro e verific che sono llineti. [=- ; 8 ; ; p 5 0 ; A=0 ; ;) G ( ; H(;6); K(5;) ] 6. Consider i punti A(-;0) B(;) C(5;-). Determin le coordinte del circocentro K del tringolo ABC. 6 [ K ( ; ) ] Dti i punti A(-;) B(;5) C(5;-) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) il perimetro e l re del tringolo ABC ; c) le coordinte del bricentro G e dell ortocentro H del tringolo [ ; 9; ; p 5 5; A 8 ; G ( ; ) ; H ( ; ) ] 7 7

56 - L rett - 8. Dti i punti A(0;) B(;) C(5;) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) il perimetro e l re del tringolo ABC (verific nche che è un tringolo rettngolo); c) le coordinte del circocentro K del tringolo ABC. 6 5 [ ; ; ; p 6; A ; K( ; ) ] 5 9. Dti i punti A(0;) B(;6) C(5;5) D(;) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, C e D, D e A; b) verific che ABCD è un trpezio isoscele e determin perimetro e re. 0 [ ; ; ; ; p 0 6 ; A ] 0. Dti i punti A(0;) B(;7) C(6;5) D(;) ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, C e D, D e A; b) verific che ABCD è un qudrto e clcolne perimetro e re; c) determin le coordinte del centro di simmetri O del qudrto ABCD. [ ; 8; 7; ; p 8 5; A 0; O(;)]. Dti i punti A(-;) B(;6) C(;0) ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) determin le coordinte del bricentro G, dell ortocentro H e del circocentro K del tringolo ABC e verific che sono llineti. 5 [ 5; 8; G (; ) H(0;) K ( ; ) ]. Dte le rette di equzione r : s : 7 0 t : 0 ) determin le coordinte dei punti di intersezione A ( r, s) B ( s, t) C ( r, t) ; b) verific che ABC è un tringolo rettngolo; c) determin il perimetro e l re del tringolo ABC. [ A(;5) B(5;) C(0;-) p 0 5 ; A 0] 5

57 - L rett -. Clcol l re del tringolo di vertici A(;) B(0;) C(6;7). [A=6]. Clcol l re del tringolo di vertici A(;-) B(;-) C(-;). [A=] 5. Clcol l re del tringolo di vertici A(-;) B(-;-5) C(;-) [A=0] 6. Clcol l distnz d tr le rette di equzione = e = +. [ d ] Clcol l distnz d tr le rette di equzione -+=0 e --=0. [d= ] 8. Clcol l distnz d tr le rette di equzione +=0 e +-=0. [ d ] 5 9. ) Consider i punti A(-;) B(;6) C(;-). Determin le equzioni delle rette r AB (rett pssnte per i punti A e B ), r AC (rett pssnte per i punti A e C ) e r BC (rett pssnte per i punti B e C). b) Determin perimetro e re del tringolo ABC. c) Determin le coordinte dell ortocentro H. d) Determin le coordinte del circocentro K. e) Determin le coordinte del bricentro G e verific che H, K e G sono llineti. [ r : 5; r : 9; r : 0 AB p 5 0 5; A 0; H ( ;); K(;); G( ; )] 0. ) Consider le rette r ; 0 r : 0 e r :. Disegnle e determin le coordinte di A ( r, sse) B r, r ) e C r, r ). ( ( b) Determin l equzione dell rett r prllel ll rett r e pssnte per A e indic con D l intersezione tr r e r. Come risult il qudriltero ABCD? c) Determin perimetro e re di ABCD. BC AC [ A(0;6) B(;) C(6;0) r : 6 ; D(;) ABCD è un rombo; p 8 5 Are=] 55

58 - L rett - Fsci di rette Per fscio di rette si intende o l insieme di tutte le rette prllele d un rett dt oppure l insieme di tutte le rette pssnti per un punto dto. Per esempio, per indicre il fscio di rette prllele ll rett scriverò: k ( k è detto prmetro) Al vrire di k (che rppresent in questo cso l ordint ll origine) ottengo tutte le rette del fscio. Per indicre, per esempio, il fscio di rette pssnti per il punto P(;) scriverò: k( ) In questo cso k rppresent il coefficiente ngolre. L rett deve essere indict prte poiché non si ottiene per nessun vlore di k. 56

59 - L rett - Fscio individuto d due rette genertrici ) Considerimo le due rette in figur r : 0 s : Per indicre il fscio di rette generto d r e punto di intersezione P(;) posso scrivere così: s, cioè l insieme delle rette pssnti per il loro k( ) 6 0 Inftti si trtt, l vrire di k, dell equzione di un rett pssnte per P(;) poiché sostituendo = = si nnull si che 6 0. Le rette r e s si chimno genertrici del fscio. Si osserv fcilmente che se k=0 si ottiene 6 0 cioè l rett s, m per qule vlore di k ottenimo l rett r? Provimo per esempio d ssegnre k il vlore : Osservimo che se ssegnimo k un vlore grnde in vlore ssoluto, per esempio k=00 o k=- 00, trovimo delle rette molto vicine r poiché è come se il termine ( 6) diventsse trscurbile. Per esempio: 0 6 k= k= Si stbilisce quindi di ssocire r il vlore infinito () di k. Quindi k 0 k

60 - L rett - Osservimo infine che i vlori di k, nel nostro esempio, umentno qundo si ruot in senso orrio: se inftti voglimo ndre dll rett corrispondente k=0 quell corrispondente k=, senz toccre l rett k, dobbimo ruotre in senso orrio: quindi prtendo d r e ruotndo in senso orrio si hnno vlori d. b) Considerimo le due rette in figur: r : 0 s : 0 Se considero l equzione: k( ) 0 ( k ) ( k ) 0 l vrire di k (con k ) ottengo rette prllele d r e s. Si trtt quindi di un fscio di rette prllele (m=) in cui k 0 s k r r e s sono le genertrici del fscio. 58

61 - L rett - Problem Consider il fscio k ( ) 6 0. ) Determin per qule vlore di k si ottiene l rett prllel ll sse e per qule vlore di k si ottiene l rett prllel ll sse. Se sviluppimo l equzione dt del fscio ottenimo ( k ) ( k) 6 0. Quindi vremo un rett prllel ll sse se k 0 k un rett prllel ll sse se k 0 k b) Determin per qule vlore di k si ottiene l rett pssnte per P(;5). Bsterà sostituire le coordinte del punto nell equzione del fscio: k( 5) k 0 k c) Determin per qule vlore di k si ottiene un rett prllel ll bisettrice del I-III qudrnte. k Poiché il coefficiente ngolre delle rette del fscio risult m dovrà essere k k k k k k d) Determin per quli vlori di k si ottengono rette che intersecno il segmento AB in figur in cui si h A(;) e B(5;). k A k B : k( ) 6 0 k k : k( 5 ) k k 7 59

62 - L rett - Quindi se k le rette intersecno il segmento. 7 Not: se il segmento AB intersec l rett genertrice corrispondente ttenzione. Considerimo per esempio A(;) m B(0;): k occorre fre k B : k( ) 6 0 k k Le rette che intersecno il segmento AB si vrnno, in questo cso, per k k (osserv come umentno i vlori di k ). 60

63 - L rett - Problemi sui fsci di rette. Scrivi come risultno i fsci di rette venti le seguenti equzioni: ) k ; b) k ; c) m ; d) m( ). Consider il tringolo ABC con A(-;) B(-;-) C(-;). Nel fscio di rette prllele ll rett per B e C determin quell che stcc su ABC un tringolo AB C tle che re ( AB' C') re( ABC). [=+7]. Per quli vlori di k le rette di equzione =+k intersecno il tringolo dell esercizio precedente? ABC [ 5 k 9]. Consider il tringolo ABC con A(-;0) B(;9) C(7;7). Determin perimetro e re. Clcol le coordinte del bricentro G, dell ortocentro H e del circocentro K. Determin l equzione dell rett prllel ll rett per B e C che stcc un tringolo AB C tle che re ( AB' C') re( ABC) [ p 5 0 0; A 0; G(; ); H (;9); K( ; ); ] 5. Dto il tringolo ABC con A(;) B(;7) C(7;-) determin per quli vlori di k le rette del fscio k intersecno il tringolo ABC. 9 [ k ] 6

64 - L rett - 6. Consider il tringolo ABC dell esercizio precedente: per qule vlore di k l rett del fscio k stcc un tringolo AB 'C' di re? [k=9] 7. Studi i seguenti fsci di rette,disegn le rette genertrici ed indic con C l eventule centro del fscio: ) ( k ) k k 0 [C(;-)] b) ( k ) ( k ) k 0 c) k ( k ) k 0 d) ( k ) k 0 e) ( k) ( k) k 0 f) ( k) ( k) ( k ) 0 g) ( k ) ( k) 0 [C(;)] [ C( ; )] [C(;-6)] [C(;)] [C(;)] [rette prllele con m=] 8. Studi il fscio di rette di equzione e determin: ( k ) k 5 0 ) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; b) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; c) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll rett di equzione =; d) i vlori di k per cui le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(;0) e B(;). [ C ( 5,0); k ; k 0; k ; k ] 6

65 - L rett - 9. Studi il fscio di rette di equzione ( k) ( k ) k 0 e determin: ) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll rett di equzione =-; b) i vlori di k per cui le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(0;0) B(;0); c) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; d) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse. 5 [ C( ; ); k ; k 7 k ; k ; k ] 0. Studi il fscio di rette di equzione k( 8) 0 e determin per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il tringolo ABC dove A(;) B(;-) e C(-;-5). 5 [C(-;); k ] 7. Studi il fscio di rette di equzione ( ) k( ) 0 e determin: ) per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il tringolo C(;-); ABC con A(0;0) B(;) b) per qule vlore di k si h un rett perpendicolre ll rett di equzione =. [ C( ; ); k ; k ] Studi F : k ( ) 8 0 e determin: ) per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(;) e B(6;); b)per qule vlore di k si h un rett prllel ll rett di equzione. [C(;) ; k k ; k ] 5 6

66 - L circonferenz - 6 L circonferenz nel pino crtesino Considerimo l circonferenz in figur in cui il centro è ; C e il rggio 5 r : se indichimo con P ; un punto dell circonferenz vremo, per definizione, che l distnz tr P e C è ugule 5. Per scrivere l equzione che rppresent quest circonferenz bsterà scrivere l proprietà di tutti i suoi punti cioè PC 5 Avremo 5 ed elevndo l qudrto entrmbi i membri vremo: 5 In generle l equzione di un circonferenz C di centro C C C ; e rggio r srà quindi r C C Sviluppndo ottenimo 0 0 r r C C C C C C C C Si pone c r c r b b C C C C C C C C

67 - L circonferenz - Quindi bbimo b c 0 b C ; r b c Osservzioni Abbimo visto che l equzione di un circonferenz è molto divers d quell di un rett: è un equzione di grdo in cui i coefficienti di e sono uguli se sono diversi d si può dividere tutt l equzione per il vlore del coefficiente di e ) e in cui mnc il termine. Inoltre, per vere un circonferenz "rele, dovrà essere b c 0 b ( ricord che r - c ) (Se r = 0 l circonferenz "degener" in un solo punto). Esempi ) è l equzione dell circonferenz di centro C(0,0) e r =. In generle r e l equzione dell circonferenz di centro (0,0) C e rggio r. ) 0 0 è l equzione dell circonferenz di centro C( ; ) e rggio 5 r. ) 0 non rppresent un circonferenz rele perché r i. ) b 0 è l equzione di un circonferenz pssnte per l origine ( c = 0 ). 65

68 - L circonferenz - Problemi sull circonferenz Vedimo qulche problem sull circonferenz. ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per un punto A ssegnto ed vente centro C ssegnto. E chiro che bsterà clcolre rggio = AC ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per tre punti A,B,C non llineti ( è come cercre l equzione dell circonferenz circoscritt l tringolo ABC ). Il centro dell circonferenz si può trovre intersecndo, per esempio, l sse del segmento AB con l sse del segmento BC. Così fcendo, inftti, trovimo un punto che è equidistnte d A,B,C e quindi è il centro dell circonferenz. Per trovre il rggio bst clcolre l distnz del centro trovto d uno qulsisi dei tre punti. (*) Questo problem può essere risolto nche sostituendo le coordinte dei tre punti nell equzione generle + ++b+c=0 e risolvendo il sistem. A( B( C( A B C,,, A B C ) ) ) A B C A B C A B C b b b A B C c 0 c 0 c 0 Le incognite sono,b,c. 66

69 - L circonferenz - ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per due punti ssegnti A e B e vente il centro C pprtenente d un rett ssegnt r. Bsterà determinre sse segmento AB C r ( Se l circonferenz C deve pssre per A e B il suo centro deve trovrsi sull sse del segmento AB). Per trovre il rggio si clcol, per esempio, CA. Considerimo per esempio (vedi figur) A(;) B(5;) e r: =-+. m AB m M (;) AB sseab sse segmento AB -= -(-) ( ) 9 5 C... C r CA C : ( 5) ( )

70 - L circonferenz - Rett e circonferenz Un rett r può essere estern, tngente o secnte d un circonferenz C. L rett è estern qundo d( C, r) rggio L rett è tngente qundo d( C, r) rggio L rett è secnte qundo d( C, r) rggio Rette tngenti d un circonferenz ) Risolvimo il seguente problem: dt l circonferenz C in figur e considerto il suo punto (7;7) P determinre l rett t pssnte per P tngente ll circonferenz C. Potremo, nel fscio di rette pssnti per P, individure quell l cui distnz d C è ugule 5 (rggio di C.), m in questo cso c è un procedimento più veloce. Bst inftti osservre che l rett t deve essere perpendicolre l rggio CP e quindi: 68

71 - L circonferenz - ) Risolvimo desso il seguente problem: dt l circonferenz C in figur e considerto il punto P(5;0), determinre le rette t e t pssnti per P e tngenti ll circonferenz C. C : + =9 P(5,0) Considerimo l generic rett pssnte per P Dobbimo cercre le rette che hnno distnz (rggio=) dl centro di C (0,0) e quindi Elevndo l qudrto: Quindi t : ( 5) t : ( 5) 69

72 - L circonferenz - (*) L condizione di tngenz Questo problem potev essere risolto nche in un ltro modo. Abbimo collegto l posizione di un rett reltivmente d un circonferenz con l su distnz dl centro, m possimo vederl nche in un ltro modo. Se intersechimo un rett con un circonferenz vremo: nessun punto di intersezione se r è estern C solo punto di intersezione (o meglio due punti coincidenti) se r è tngente C punti di intersezione se r è secnte C Algebricmente questo signific che risolvendo il sistem equzione circonferenz equzione rett r C troveremo un equzione di grdo il cui srà: se r è estern C se r è tngente C : quest viene dett condizione di tngenz se r è secnte C Quindi il problem potev essere risolto così: 9 m( 5) m ( 0 5) 9 ( m ) 0m 5m 9 0 5m ( m )(5m 9) 0 5m 5m 9 5m 9m 0 6m 9 m 9 6 m 70

73 - L circonferenz - Altri problemi sull circonferenz Risolvimo qulche ltro problem sull circonferenz. ) Determin l circonferenz vente centro C ssegnto e tngente d un rett t ssegnt. Per esempio: C(;) t: =- ( +=0). Bsterà clcolre rggio = distnz (centro, tngente) Nel nostro cso r C : ( ) ( ) 8 ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in un punto T d un rett ssegnt t e pssnte per un punto P ssegnto. Per esempio: t: = T(;) P(7;) Possimo individure il centro C dell circonferenz intersecndo l sse del segmento TP con l rett per T perpendicolre t sse TP : ( ) perp. per T t : ( ) Nturlmente r = = 5 5 C(5;0) C : ( 5) 0 (*) Questo problem si può risolvere nche considerndo l equzione generle e imponendo il pssggio per T, per P e l condizione di tngenz t (si ottiene un sistem di equzioni nelle incognite,b,c ). 7

74 - L circonferenz - ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente d un rett t ssegnt e pssnte per due punti A e B ssegnti. Per esempio t: =-+ A(0;5) B(-;5) Considerimo l equzione generle pssggio per A 5 5b c 0 pssggio per B 5 5b c 0 (*) cond.tn genz ( b ) 8( b c) 0 (*) b c 0 ( ) b( ) c 0... ( b ) b c 0 Risolvendo il sistem ottenimo due terne di soluzioni cioè due circonferenze che soddisfno le condizioni richieste. Oppure: si determin l sse di AB e si consider che il centro dell circonferenz dovrà C ; : si impone poi che l distnz di C pprtenere ll sse e quindi nel nostro cso vremo dll rett t si ugule, per esempio, CA. 7

75 Circonferenz e fsci di rette Progetto Mtemtic in Rete - L circonferenz - Vedimo qulche problem in cui si considerno le intersezioni tr un circonferenz e un fscio di rette. ) ) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k circonferenz C : 9. intersecno l k k Si trtt di un fscio di rette prllele venti m. Bsterà determinre le tngenti (distnz d (0;0) ugule ): k F : k 0 k Quindi qundo k le rette del fscio intersecno C. b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio precedente intersecno l semicirconferenz AB situt nel e qudrnte ( 0 ). k 7

76 - L circonferenz - In questo cso occorre determinre il vlore di k delle rette del fscio pssnti per A e B. k A(0;) 0 k k A k B(;0) 0 k k B Quindi qundo k le rette del fscio intersecno l semicirconferenz in solo punto; qundo k le rette del fscio intersecno l se circonferenz in punti (il punto di tngenz viene contto due volte). Se il problem fosse stto proposto come soluzione del sistem k 9 0 l soluzione srebbe stt : soluzione per k soluzioni per k ) ) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k 8k 0 circonferenz C : 0. intersecno l Studindo il fscio si trov che si trtt di un fscio di rette pssnti per P(0;8) e che le k 0 0 genertrici sono le rette : k 8 Determinimo i vlori di k corrispondenti lle rette tngenti: pplicndo l formul dell distnz dl centro C(;) dell circonferenz e ponendol ugule (rggio) ottenimo i vlori k e k. 7 E chiro quindi che qundo k le rette del fscio intersecno l circonferenz (in due 7 punti). 7

77 - L circonferenz - b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio precedente intersecno l semicirconferenz AB situt nel e qudrnte ( 0 ). Trovimo il vlore k 0 dell rett per A(0;0) e il vlore k B dell rett del fscio pssnte per B(;0). Quindi qundo k 0 k 7 le rette del fscio intersecno in punti l semicirconferenz, mentre per 0 k le rette del fscio intersecno l semicirconferenz in solo punto. A 75

78 - L circonferenz - Problemi sull circonferenz ) Disegn le circonferenze venti le seguenti equzioni: ) d) b) e) c) f) ) Determin l equzione dell circonferenz spendo che: ) h centro C(;) e pss per P(;); [( ) ( ) 5] b) h centro C(0;0) ed è tngente ll rett t: =-+; c) pss per (0;0), A(;) B(;) ; [ ( ) ( ) 0 ] d) pss per (0;0) A(-;) B(6;0) ; [ 5] e) pss per A(;-) B(;) C(-;) ; 8 f) pssnte per O( 0;0) e A(;0) e vente il centro pprtenente ll rett di equzione ; 8] [ g) è tngente ll rett t: nel punto T(0;0) e pss per A(0;) h) è tngente ll rett t: nel punto T(;) e pss per A(;-) 76

79 - L circonferenz - ) Determin l tngente ll circonferenz C: nel suo punto T(0;). [ ] ) Dt l circonferenz C: determin l rett tngente nel suo punto T(;) e le 5 tngenti uscenti dl punto P ( 0; ). [ t : t, : ] 5) Dt l circonferenz C: determin le rette tngenti d ess uscenti d (0;0). [ ; ] 7 6) Determin l rett tngente in (0;0) ll circonferenz di equzione 5. [ ] 7) Dt C : determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k intersecno l circonferenz. [ k 8) Dt C : 9 determin per quli vlori di k le rette del fscio F: 5 k 0 intersecno l circonferenz. 7 [ k k 9) Dt l circonferenz di equzione C : 6 0 determin per quli vlori di k le rette del fscio: ) b) intersecno l circonferenz. ] ] 0) Dt l circonferenz C: 0, determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k intersecno: ) l inter circonferenz ; [ k ] b) l prte di circonferenz che si trov nel e qudrnte ( 0) ( specificndo il numero delle intersezioni). [ intersezione per k 0 e intersezioni coincidenti per k ] 77

80 - L circonferenz - ) Dt l circonferenz C : 0, determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k( 6) 0 intersecno l circonferenz. [ k ] ) Risolvere il seguente sistem: 6 0 k ) [ soluzione per 8 k ; soluzioni per 5 k 8] ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in T (; ) ll rett t : e pssnte per il punto A (7;). Disegnl ed indic con C il suo centro. b) Determin le tngenti ll circonferenz uscenti dl punto P(5;0) e indicti con T e T i punti di tngenz, determin l re del qudriltero PT CT. c) Nel fscio di rette di equzione k determin per quli vlori di k le rette del fscio intersecno C. [C: ; t, : ( 5) ; re ( PT CT ) = 0 ; 0 k 0 ] ) ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in (0;0) ll rett t : e vente il centro C pprtenente ll rett. b) Determin i punti P pprtenenti t tli che re ( OPC) 5. [C: P (8;6) P ( 8; 6) ] 5) Determin l equzione dell circonferenz circoscritt e dell circonferenz inscritt l tringolo di vertici O(0;0), A(;0) e B(0;). [ 0 ; 0 ] 78

81 - L circonferenz - 6) Determin l equzione dell circonferenz tngente ll rett t: =- e pssnte per i punti A (;) e B (;7). 7) Determin l equzione dell circonferenz tngente ll rett t: e pssnte per i punti A (-;) e B (0;). 8) Determin l equzione dell circonferenz tngente ll sse e pssnte per i punti A (;) e B (;). 9) ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per A(0;) B(;0) e O(0;0). b)determin per quli vlori di k le rette del fscio F: =+k intersecndo C. c)determin per quli vlori di k le rette del fscio F intersecno l prte di C con 0. Specificre qunti punti. [C : 0 ; k ; intersezione per k 0, intersezioni per 0 k k ] 0) ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per A(-; ) e B(; -) e il cui centro pprtiene ll rett di equzione 0. b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k( ) 0 intersecno l circonferenz e per quli vlori ( e in qunti punti) intersecno l C con 0. [C: 0 ; k ; intersezioni per k ] ) Determin l equzione dell circonferenz tngente gli ssi coordinti e pssnte per A ( ; ). [ ; 0 ] ) ) Determin l equzione dell circonferenz vente centro C( ; ) e tngente ll rett t :. b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k circonferenz un cord di lunghezz. stccno sull [ C: 8 0 ; k 7 ], 79

82 - L circonferenz - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE ) ) Determin l equzione dell circonferenz C vente centro C(,-) e tngente ll rett t: ++ =0. Disegnl e determin le coordinte del punto T di tngenz. [ 6 0; T ( 0; ) ] b) Nel fscio di rette F: = k determin per quli vlori di k le rette intersecno l circonferenz C. 0 0 [ k ] ) ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in T(0,) ll rett t : e pssnte per ( ; ). Disegnl ed indic con C il suo centro. [ 0 ] b) Determin le equzioni delle tngenti ll circonferenz uscenti dl punto P(-,-5) e, detti T e T i punti di tngenz, determin l re del qudriltero TT PT. [ ; 7 ; ( TT PT ) ] ) ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per i punti A (6, -5) B(-, ) C(6,). Disegnl ed indic con il suo centro. b) Dopo ver studito il fscio di rette di equzione F : +9 + k ( + )= 0 [ 7 0 ] determin per quli vlori di k le rette del fscio intersecno l circonferenz. 5 5 [ k k ] 80

83 - L circonferenz - Fsci di circonferenze Supponimo di vere due circonferenze C : b c 0 C : b c 0 Se considerimo l equzione k( b c ) b c 0 cioè k ) ( k ) ( k ) ( kb b ) kc c 0 ( è chiro che srà, l vrire di k, con k, ncor un circonferenz (rele qundo c c c 0 ). Si prl quindi di fscio di circonferenze generto d C e C. Per k 0 si ottiene C, mentre per k si ottiene C (rgionmento nlogo quello svolto per i fsci di rette). Nturlmente second di C e C si otterrnno vri tipi di fsci. ) C e C secnti Considerimo per esempio le circonferenze in figur e studimo il fscio d esse generto. C : 0 C(;0 ) r C : 0 C (0;0) r A ( ; ) B( ; ) F : k( ) 0 ( k ) Qulunque si il vlore ssegnto k ( k ), si otterrà un circonferenz nch ess pssnte per A e B: inftti si sostituendo le coordinte di A che di B si otterrà k

84 - L circonferenz - Quindi il fscio generto d due circonferenze secnti in due punti A e B è costituito d circonferenze pssnti per A e B. A e B vengono detti punti bse del fscio e l rett per A e B sse rdicle del fscio ( si ottiene per k = -) (*) Osservimo che, per qulunque vlore di k, con k -, si ottengono circonferenze reli. Inftti: ( k ) ( k ) k 0 k 0 k k k ( ;0) k k k k k k r 0 ( k ) k ( k ) ( k ) C ) C e C tngenti k Considerimo le circonferenze in figur, tngenti in (0;0) con l sse ( tngente comune t). C : : C (;0) r = r = C : C (-;0) Considerimo il fscio generto d C e C : F : k( ) 0 ( k ) ( k ) ( k) 0 r k k Si osserv che intersecndo un qulunque circonferenz del fscio con l rett t : =0 si ottiene solo, come soluzione (0;0) e quindi tutte le circonferenze del fscio sono tngenti in (0;0) ll sse. Il fscio generto d due circonferenze tngenti in T d un rett t è costituito d circonferenze tngenti in T t ( che si ottiene per k = -). 8

85 - L circonferenz - ) C e C concentriche Considerimo le circonferenze in figur: C : + =0 C(;0 ) r C : + =0 C (;0 ) r Considerimo F : k( ) 0 Sviluppndo : ( k ) ( k ) ( k ) 0 Dividendo per k ( k ) : 0 k Osservimo che C( ; 0) cioè che tutte le circonferenze hnno lo stesso centro di C e C e r k k k Quindi vremo circonferenze reli solo se k k 0 k k ( k ) Quindi il fscio generto d circonferenze concentriche è costituito d circonferenze concentriche (nel nostro cso per k k ). 8

86 - L circonferenz - ) C e C non venti punti in comune e non concentriche Considerimo le circonferenze in figur: C : + =0 C(;0) r C : =0 C ( ;0) r 0 (circonferenz degenere) Considerimo F : k( ) 0 Sviluppndo : ( k ) ( k ) ( k) 0 ( k) Dividendo per k ( k ) : 0 k k k C( ;0) k r ( k ) ( k ) k ( k ) Quindi ho circonferenze reli solo se 0 ( k ) k cioè, sviluppndo i clcoli, qundo k 0 k 8 con k Osservimo che le circonferenze del fscio hnno il centro pprtenente ll sse (rett per C e C ) e che non intersecno né C intersecsse in un punto P o ; ) ( o né C : se inftti se per esempio un circonferenz C del fscio C sostituendo le coordinte di P nell equzione vrei k( o o o ) o o o 0 o o m essendo 0 vrei di conseguenz nche 0 o cioè P pprterrebbe nche C e questo è ssurdo perché C e C non hnno punti in comune. 8 o o o

87 - L circonferenz - Osservzione Abbimo considerto i fsci di circonferenze ottenuti combinndo le equzioni di due circonferenze. Cos si ottiene combinndo l equzione di un circonferenz con l equzione di un rett? C : b c 0 r : b c 0 F : k b c ) b c 0 ( k k ( k ) ( kb b ) kc c 0 Se k 0 (e verific l condizione di reltà per il rggio), ottengo quindi un fscio di circonferenze. E semplice dimostrre che se r e C sono secnti si ottiene un fscio di circonferenze secnti (pssnti per i punti di intersezione tr r e C); se r e C sono tngenti si ottiene un fscio di circonferenze tngenti nel punto di tngenz tr r e C (r è l tngente comune); se r e C non hnno punti in comune si ottiene un fscio di circonferenze che non intersecno né r né C e il cui centro pprtiene ll rett pssnte per il centro C di C e perpendicolre ll rett r. Quindi qundo dobbimo scrivere l equzione di un fscio di circonferenze secnti vente come punti bse due punti A e B ssegnti converrà combinre l rett per A e B con un circonferenz per A e B (per esempio quell vente AB come dimetro). Anlogmente se dobbimo scrivere l equzione di un fscio di circonferenze tngenti d un rett t ssegnt in un suo punto T ssegnto converrà combinre l rett t con un circonferenz tngente t in T. 85

88 - L circonferenz - Problemi sui fsci di circonferenze ) Scrivere l equzione di un fscio di circonferenze pssnti per A( 0; ) e B( 0; 0). Possimo risolvere il problem in due modi: ) Considerimo l equzione generic di un circonferenz b c 0 Se imponimo il pssggio per A e B bbimo 6 b c 0 b c 0 Quindi l equzione del fscio srà: F C : 0 dove il prmetro è. Se voglimo possimo scrivere 0 e quindi pensre ll combinzione di un circonferenz C : 0 e di un rett r : 0 (sse ). 0 C(0;) r 86

89 - L circonferenz - b) Possimo scrivere il fscio di circonferenze per A, B combinndo un circonferenz per A e B con l rett per A e B. Per semplicità possimo scegliere l circonferenz vente AB come dimetro C(0;) r : C : ( ) 0 e quindi ottenimo, essendo r AB : sse 0 cioè lo stesso risultto di prim. k 0 Nturlmente scegliendo un ltr circonferenz per A e B ottenimo un ltr equzione (oppure combinndo due circonferenze per A e B). k NOTA: il centro dell circonferenz del fscio è C( ;) cioè pprtiene ll sse di AB ( = ) Se k>0 si ottengono circonferenze con centri venti sciss negtiv mentre se k<0 l sciss del centro è positiv. Per k 0 C e per k r (sse ) 87

90 - L circonferenz - ) Scrivere l equzione di un fscio di circonferenze tngenti in T( 0; 0) ll rett t :. Anche in questo cso possimo procedere in due modi. ) Scrivimo l equzione generic dell circonferenz e imponimo il pssggio per ( 0; 0) e l condizione di tngenz con l rett : ( 0;0) c 0 b c 0 b c 0 b c 0 ( b) c 0 ( b) 8c Quindi dovremo risolvere il sistem c 0 ( b) 8c 0 Risolvendo il sistem bbimo c 0 b e quindi : 0 F C che possimo nche scrivere ( ) 0 dove è il prmetro. b) Possimo combinre l equzione di un circonferenz tngente in T ll rett t con l equzione di t. Possimo, per semplicità, scegliere come circonferenz tngente l circonferenz (degenere) di rggio nullo e centro T( 0; 0) 0 e llor bbimo k( ) 0 cioè l stess equzione trovt in ) (cmbi solo il nome del prmetro). Nturlmente scegliendo un circonferenz tngente divers vrò un equzione divers del fscio. 88

91 - L circonferenz - Osservimo che il centro dell circonferenz del fscio è cioè pprtiene ll bisettrice del I-III qudrnte (rett perpendicolre t per T). Se k 0 si ottengono le circonferenze con centri nel III qudrnte, se k 0 si ottengono quelle con centro nel I qudrnte. ) Scrivere l equzione di un fscio di circonferenze venti centro C(;). In questo cso possimo semplicemente usre l equzione dove r srà il prmetro. Oppure prtendo d: b c 0 poiché si vrà In questo cso per vere circonferenze reli dovremo porre, essendo Nturlmente potremo combinre nche le equzioni di due circonferenze di centro C(;) (per esempio un circonferenz potrebbe essere quell degenere di rggio nullo.). 89

92 - L circonferenz - Esercizi sui fsci di circonferenze ) Determin l equzione del fscio di circonferenze pssnti per i punti A(0;0) e B(6;0) combinndo l circonferenz vente AB come dimetro con l rett per A e B. [ 6 k 0] ) Determin l equzione del fscio di circonferenze tngenti ll rett t: in T(;) combinndo l circonferenz degenere di rggio nullo del fscio con l rett tngente. Determin per quli vlori di k si ottengono circonferenze di rggio r. [ F : k( ) 0 k ], ) Studi il fscio di circonferenze e determin per quli vlori di k si ottiene: ) l circonferenz del fscio pssnte per P(;); b) l circonferenz del fscio vente centro C(-;0); c) l circonferenz del fscio vente rggio r ) Studi: e determin per quli vlori di k si ottiene: ) un circonferenz del fscio pssnte per P(;); b) un circonferenz vente centro C(-;0); c) un circonferenz vente rggio r [fscio di circonferenze tngenti in (0;0) ll sse per k ] 90

93 - L circonferenz - 5) Studi : k( ) 0 e determin per quli vlori di k si hnno: ) un circonferenz pssnte per P(;); b) un circonferenz di rggio r. [fscio di circonferenze concentriche di centro ( ; 0) per k k ; 8 k ; 5 5 k ] 7 6) Scrivi l equzione del fscio di circonferenze pssnti per A( 0; 0) e B( 0; ) combinndo l circonferenz di dimetro AB con l rett per A e B (nell form C kr 0 ) e determin per quli vlori di k si ottiene: ) l circonferenz del fscio pssnte per P( ; ); b) l circonferenz del fscio vente centro C(, ); c) l circonferenz del fscio vente rggio r =. [ k 0 ; 8 k ; k ; k, ] 7) Studi ( k ) ( k) ( k) 0 e determin per quli vlori di k si ottiene: ) l circonferenz del fscio pssnte per ( -; -); b) l circonferenz del fscio tngente ll rett ; c) l circonferenz del fscio vente rggio r 5. [fscio di circonferenze secnti in A( 0; 0) e B( 0; ) per k ; k ; k ; k 5, k 7 ] 8) Studi : ( k ) ( k) k k 0 e determin per quli vlori di k si ottengono circonferenze reli. [fscio di circonferenze non venti punti in comune e non concentriche per k e k ] 9

94 - L circonferenz - 9) Studi k( ) 0 e determin per quli vlori di k si ottengono: ) circonferenze reli; [ k ] b) circonferenze di rggio r ; [ k ; k ] c) l circonferenz pssnte per P( ; 0); [ k ] d) l circonferenz tngente ll rett 8. [ k ] 0) Studi k( ) 0 e determin per quli vlori di k si ottengono: ) circonferenze reli; [ k k ] b) circonferenze di rggio r (disegnle); [ k 0 ; k ] c) circonferenz pssnte per ( 0; 0). [ k ] ) Studi k( ) 0 e determin per quli vlori di k si ottengono : ) circonferenze reli; [ k ] b) circonferenz pssnte per ( 0; 0) (disegnl); [ k ] c) circonferenze di rggio r. [ k ], ) Studi k( ) 0 e determin per quli vlori di k si ottengono: ) circonferenze reli; [ k k 0 ] b) circonferenze con rggio r ; [ k ] 9 c) circonferenz tngente ll rett [ k ] 7 9

95 - L circonferenz - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE ) Dto il fscio di circonferenze di equzione k( ) 0 ) studilo e disegn le genertrici; [fscio circ. secnti in A(;) e B(;) k ] b) determin il vlore di k per il qule si ottiene l circonferenz di centro (;) e disegnl; [ k ] c) determin per quli vlori di k si ottengono circonferenze di rggio 5 e disegnle. [ k k ] ) Dto il fscio di circonferenze di equzione k( ) 0 ) studilo e disegn le genertrici; [fscio circ. concentriche per k ] b) determin per quli vlori di k si ottengono circonferenze di rggio minore di e per quli vlori di k si ottengono circonferenze di rggio mggiore di ; [ k 0 ; k 0 ] c) determin per qule vlore di k si trov l circonferenz del fscio tngente ll sse e disegnl. [ k ] ) Dto il fscio di circonferenze di equzione k( ) 0 ) studilo e disegn le genertrici; [fscio circ. tngenti in T (; ) t : ] b) indic dove si trovno le circonferenze del fscio corrispondenti vlori positivi di k e quelle corrispondenti vlori negtivi di k (disegnne qulcun) ; [ sinistr di t; destr di t] c) determin per quli vlori di k si ottengono circonferenze tngenti ll rett 0 e disegnle. [ k ], 9

96 - L prbol - Prbol Dopo ver studito l rett e l circonferenz nel pino crtesino, ffrontimo lo studio di un nuov curv: l prbol. Comincimo con l definizione. Dti nel pino un rett d e un punto F d, si dice prbol P di direttrice d e fuoco F il luogo geometrico dei punti P del pino (cioè l insieme dei punti del pino) equidistnti d d e d F cioè tli che PF d( P, d). Osservzioni. Possimo subito individure un punto prticolre dell prbol: il punto che si trov sull perpendicolre d per F viene detto vertice dell prbol e indicto con V.. Per individure dei punti di P possimo trccire un rett r prllel d e puntre il compsso in F con pertur ugule ll distnz tr r e d. Si individuno due punti P, P simmetrici rispetto ll rett per F perpendicolre d che è quindi l sse di simmetri dell prbol.. Osservimo inoltre che non ci sono punti dell prbol l di sotto del vertice (se s è l rett per V prllel d i punti di P si trovno nel semipino individuto d s contenente F). 9

97 - L prbol -. Determinndo qulche punto di P si osserv che l curv risult pert e illimitt. 5. Allontnndo il fuoco F dll direttrice d l form dell prbol risult più lrg. L distnz tr F e d viene chimt prmetro dell prbol ed indict con p. Quindi mggiore è p e mggiore è l pertur dell prbol. 95

98 - L prbol - L prbol nel pino crtesino Prbol con sse di simmetri prllelo ll sse Comincimo con il considerre il cso in cui l sse di simmetri dell prbol si prllelo ll sse del sistem di riferimento. ) Supponimo inoltre che il vertice coincid con l origine del sistem di riferimento cioè V (0;0). Considerimo per esempio F(0;) d : (vedi figur). Per determinre l equzione di P considerimo un generico punto P ( ; ) e imponimo che si equidistnte d F e d d : PF d( P, d) ( d : 0) Possimo elevre l qudrto per evitre le rdici qudrte e bbimo quindi: E sviluppndo: PF ( d( P, d)) ( ) ( ) 8 8 Quindi l equzione di P risult. 8 96

99 - L prbol - In generle, indicndo con p il prmetro, vremo 0; p p F e d : PF ( d( p, dir)) p p p p p p p p Generlmente si pone p e quindi l equzione dell prbol con vertice V (0;0 ) e sse di simmetri sse risult: D notre che se il fuoco si trov sotto ll direttrice, come nell figur seguente, vremo e quindi in questo cso si pone. p p In conclusione l equzione dell prbol di vertice V (0;0), sse di simmetri sse e prmetro p (p>0 perché rppresent l distnz tr fuoco e direttrice) risult p se P è rivolt verso l lto ( 0 ) se P è rivolt verso il bsso ( 0) p 97

100 - L prbol - b) Considerimo desso il cso in cui il vertice V non coincid con (0;0). Si per esempio V (; ), p e l prbol si rivolt verso l lto. Supponimo di trslre il sistem di riferimento in modo che il vertice dell prbol coincid con l nuov origine. L relzione tr le coordinte (;) e quelle ( ; ) srà: ' ' M nel nuovo sistem di riferimento possimo scrivere l equzione di P : ' ( ') ( ) 8 p 8 e quindi nel sistem di riferimento (O;;) vremo ( ) 8 In generle se V V ; ) vremo: ) ( V Se sviluppimo bbimo: ottenimo b c V ( V V b V V V e ponendo (*) c equzione dell prbol P con sse di simmetri prllelo ll sse Dlle relzioni (*) possimo ricvre che le coordinte del vertice sono V V V V b ( b c) 98

101 - L prbol - Possimo nche ricvre delle formule per esprimere le coordinte del fuoco e l equzione dell direttrice in funzione di, b, c. Se l equzione dell prbol è b c con 0 bbimo (vedi figur): F F V V b p V ( b c) e quindi b F ; Per l equzione dell direttrice vremo: V p ( b c) direttrice : Se 0 bbimo p p m il fuoco st sotto l vertice e quindi dobbimo sottrrre mentre l direttrice sopr l vertice e quindi dobbimo sommre p e quindi si ottengono le stesse formule. 99

102 - L prbol - Problemi sull prbol con sse prllelo ll sse Disegnre un prbol di equzione ssegnt ) Disegnre l prbol P di equzione, determinre le coordinte del suo fuoco F, l equzione dell direttrice d e l equzione del suo sse di simmetri. Per disegnre un prbol occorre innnzitutto individure il suo vertice V. b Sppimo che V ( b c) Per determinre l ordint del vertice possimo utilizzre l relzione V m, più semplicemente, possimo sostituire l sciss del vertice nell equzione dell prbol (inftti V P e quindi le sue coordinte verificno l equzione di P ). Quindi vremo: ( ) ( ) V Per disegnre l prbol possimo poi individure qulche ltro punto, per esempio le intersezioni con gli ssi del sistem di riferimento: Quindi vremo: 00

103 - L prbol - L equzione dell sse di simmetri di P è. Come possimo determinre le coordinte di F e l equzione dell direttrice d? L prbol è rivolt verso l lto e quindi. p Possimo llor ricvre il prmetro p : p p Ricordndo che il vertice dist p si d F che dll direttrice d, vremo F ; ; d : ) Disegnre l prbol di equzione. Procedendo come nel precedente problem si ottiene 5 e quindi: V (;), p 5 F; ; p d : 7 sse di simmetri: 0

104 - L prbol - Esercizi Disegn le seguenti prbole e determin nche fuoco e direttrice: ) [ V ( ; ) ) [ V (;0) F; F; 5 d : ] d : ] ) [ V (0; ) F0; 5 d : ] ) V ; 8 [ F ;0 d : ] 5) 9 [ ; V ; F d : 5 ] 6) [ V 0; 5 F0; 7 d : ] 7) [ V 0; 5 F0; d : ] 8) [ V ; ;0 F d : ] [ V 0; 9) 5 F0; d : ] [ V 0; 0) F0; 8 d : ] 8 0

105 - L prbol - Determinre l equzione di un prbol con sse prllelo ll sse ) Vertice V e fuoco F Possimo determinre il prmetro p e quindi e quindi l equzione srà: V ( V ). Esempio: V (;) e F(;) p p p P: ( ) b) Vertice V e direttrice d Possimo determinre il prmetro p d cui trovimo e poi utilizzimo l equzione V ( V ). Esempio: V (;) d : p p p 8 P: ( ) 8 c) Vertice V e un punto A pprtenente ll prbol Esempio: V (; ) A(;) L equzione di P srà : ( ) Sostituendo le coordinte di A: ( ) E quindi P : ( ) 0

106 - L prbol - d) Le coordinte di tre punti A,B,C pprtenenti ll prbol In questo cso dobbimo utilizzre l equzione b c. Esempio: A (;5 ) B (0;) C(;5) Sostituimo le coordinte dei punti nell equzione generle: A B C 5 b c b c 5 9 b c.. b c Quindi l equzione dell prbol è e) Fuoco F e direttrice d Esempio: F(0; ) d : Possimo ricvre V (0;) srà: p e quindi l equzione dell prbol p P : Oppure possimo utilizzre l definizione: P( ; ) PF ( d( P, dir)) ( ) ( )... 0

107 - L prbol - f) Il fuoco F e le coordinte di un punto A P Esempio: F (0; ) A(; ) b 0 F ( b c) F A b c b 0 c 0 b 0 c Anche in questo cso bbimo ottenuto un sistem di grdo e bbimo trovto due soluzioni distinte cioè due prbole. Puoi risolvere il problem con un procedimento geometrico? g) L equzione dell direttrice d e le coordinte di due punti pprtenenti ll prbol Esempio: 9 d : A (; ) B( ; ) A B d b c b c ( b c) 9. Osservimo che si ottiene un sistem di grdo: in questo cso bbimo due soluzioni distinte, b, ), b, ) cioè due prbole che verificno le condizioni ssegnte. ( c ( c In quli csi si h un sol prbol oppure nessun prbol con sse prllelo ll sse? Puoi trovre le prbole con un procedimento geometrico? 05

108 - L prbol - h) L equzione di un tngente t in un punto T e le coordinte di un punto A P Esempio: t : T (;0 ) A(;) Considerimo l equzione generle b c. Osservimo che un rett t srà tngente d un prbol P qundo, risolvendo il sistem formto dll equzione dell rett e dell prbol, si otterrà un equzione di grdo con 0 e quindi con due soluzioni coincidenti. rett prbol 0 condizione di tngenz Nel nostro cso: b c... b c ( b ) c 0... ( b ) ( c ) 0 (condizione di tngenz) T Quindi: A cond.tn g P : 5 0 b c b c ( b ) ( c ) 0 b 5 c 06

109 - L prbol - Equzioni delle tngenti d un prbol uscenti d un punto P ssegnto Esempio: P : P( 0; ) Considerimo l equzione di un rett generic pssnte per P m m Per determinre le tngenti dobbimo imporre l condizione di tngenz: m ( m) 6 0 m Quindi: ( m) 6 0 m t : m t : Osservzione: se P è interno ll prbol non ci sono rette tngenti; se P pprtiene ll prbol si trov un sol rett tngente. 07

110 - L prbol - Esercizi Determin l equzione dell prbol vente: ) F(0;0) d : [ ] ) F(;) d : [ ] ) F (0; ) V ( 0; ) [ ] 8 ) V (;0) d : [ ] 5 5) Asse prllelo sse, V (; ), pssnte per P (;) [ ] 6) Asse prllelo sse, pssnte per A (;0 ) B (;0) C (;) [ ] 5 7) Asse prllelo sse, pssnte per A ; B( 0; ) C ; [ ] 8) Asse di simmetri prllelo sse, F (0;0), pssnte per A(;0) 9) Direttrice d : 0, pssnte per A(0;) e B(; ) [ ; ] 0) Direttrice ) Direttrice d :,pssnte per A (0;) e B(;5) 5 d :, pssnte per A (0;0) e B(;) ) Direttrice d :, pssnte per A (;0 ) e B(; ) [ 5 ; ] [ ; ] 9 [ ; 9 ] 5 9 [ ( ) ; ] 5 5 ) Direttrice d : 0,pssnte per A (; ) e B (; ) [ ] ) Asse di simmetri prllelo sse, F (0; ),pssnte per P (0;) [ ] 08

111 - L prbol - Prbol con sse di simmetri prllelo ll sse Considerimo desso il cso in cui l sse di simmetri dell prbol si prllelo ll sse del sistem di riferimento. ) Se il vertice V (0;0) vremo: PF ( d( P, dir)) p p Sviluppndo ottenimo l equzione dell prbol P : e ponendo p p P : Anlogmente se P è rivolt verso sinistr, cioè p F ; 0 e p d : ottenimo. p Quindi, in generle, l equzione di un prbol P con V (0;0), sse di simmetri sse e prmetro p risult dove p se P è rivolt verso destr se P è rivolt verso sinistr p 09

112 - L prbol - b) Se il vertice V V ; ) trslimo il sistem di riferimento. ( V Poiché le equzioni le collegno le vecchie e le nuove coordinte sono vremo quindi P: ' ( ') cioè V ( V ) ' ' V V Sviluppndo ottenimo : V V V V b Ponendo (* ) bbimo V V c P : b c b il cui vertice V h coordinte V ; che si ricvno d (*) ; b il cui fuoco F h coordinte F ; (bst svolgere conside rzioni nloghe quelle viste per l prbol con sse prllelo ll sse ); l cui direttrice h equzione d : In prtic si nell equzione di P che nelle coordinte di V, F e nell equzione dell direttrice e sono scmbiti rispetto ll prbol con sse prllelo ll sse. I problemi reltivi prbole con sse prllelo ll sse sono del tutto nloghi quelli considerti per prbole con sse prllelo ll sse. 0

113 - L prbol - Esercizi Disegn le seguenti prbole e determin nche fuoco e direttrice: ) [ V ; F0; d : ] ) [ (;0) 5 V ; F ;0 7 d : ] ) [ V ( ; ) ; F( 0; ) d : ] ) [ V (;0) ; F ;0 ) 5 [ V (;0 ) ; F ;0) 5 d : ] d : ] Determin l equzione dell prbol vente: ) F(;0 ) d : 0 [ ] ) F (0;0) V (;0) [ ] 8 9 ) V (; ) d : [ ] 8 8 )Asse prllelo sse, V (0;0), pssnte per P (; ) [ ] 5)Asse prllelo sse, pssnte per A (0;0) B (; ) C (; ) [ 7 ] 6)Asse di simmetri prllelo sse, F (0; ), pssnte per A(0;) [ ; ]

114 - L prbol - Prbol con sse di simmetri non prllelo gli ssi coordinti Fccimo solo un esempio: determinimo l equzione dell prbol vente fuoco F (0;) e direttrice d : ( quindi 0 ). Applichimo l definizione: PF ( d( P, dir)) Sviluppndo ottenimo: ( ) ( ) P : 6 0 Osservimo che bbimo ottenuto un equzione di grdo in e in cui compre, differenz di qunto ccde per l circonferenz, il termine in. Not: il nostro studio si limiterà essenzilmente lle prbole con sse di simmetri prllelo ll sse o ll sse.

115 - L prbol - Approfondimento Perché il fuoco dell prbol si chim così? Il fuoco dell prbol si chim così perché h un importnte proprietà: se considerimo un qulunque rett prllel ll sse di simmetri dell prbol come fosse un rggio di luce incidente, il rggio riflesso (cioè l rett che form con l normle nel punto di incidenz un ngolo di riflessione r ugule ll ngolo di incidenz i ) pss per il fuoco dell prbol. Verifichimolo con un esempio. Considerimo P :, rggio incidente 0, punto di incidenz P (; ). Clcolto F 0; possimo determinre l rett PF: m PF ( ) 0. Verifichimo che r PF è il rggio riflesso : bsterà dimostrre che i r (vedi figur).

116 - L prbol - Trovimo innnzitutto l equzione dell normle e per frlo dobbimo prim determinre il coefficiente ngolre m dell tngente t ll prbol in P(;). t m( ) m m m m m m 0 E ponendo 0 dell equzione di secondo grdo ottenut bbimo: m ( m ) 0 m Quindi l equzione dell normle n srà : ( ) 0. Se i r llor n e t devono essere le bisettrici degli ngoli formti dll rett 0 e dll rett 0. Per determinre le equzioni delle bisettrici clcolimo e uguglimo l distnz dlle due rette di un generico punto P(;): 5 Quindi 0 rett n 5 ( ) 0 rett t 5 Quindi un fscio di rggi incidenti prlleli ll sse di simmetri di uno specchio prbolico ( form di prboloide di rotzione cioè del solido ottenuto ruotndo l prbol intorno l suo sse di simmetri) viene riflesso in modo che i rggi riflessi pssino tutti per il fuoco dell prbol e in quel punto ci srà un grnde concentrzione di luce e di clore! Questo vle nche se considerimo onde elettromgnetiche in generle (inftti l luce è un prticolre ond elettromgnetiche) e ci spieg l form delle ntenne prboliche

117 - L prbol - Problemi vri ) Disegn l prbol P : e determin l equzione dell tngente t P in (0;0) e le equzioni delle tngenti t, uscenti dl punto P(;-). [ t : ; t :, t : 8 5 ] ) Disegn l prbol P : intersezione con l sse. e determin le equzioni delle tngenti nei suoi punti di [ ; ] ) Disegn l prbol P : e determin le equzioni delle tngenti uscenti dll origine. [ ] ) Determin l equzione dell prbol P con sse di simmetri prllelo ll sse, tngente in T(-;0) ll rett t : e pssnte per A(;-). [ ] 5) Determin l equzione dell prbol P con sse di simmetri prllelo ll sse, tngente in T(0;0) ll rett t : e pssnte per A(;). [ ] 6) Determin le equzioni delle prbole con sse prllelo ll sse, tngenti ll rett t : 0 e pssnti per A(0;0) e B(;). [ ; 9 8 ] 7) Determin le equzioni delle prbole con sse prllelo ll sse, tngenti ll rett t : 0 e pssnti per A(0;0) e B(;). 9 [ ; 8 ] 5

118 - L prbol - 6 Prbol e fsci di rette ) Considerimo il seguente sistem contenente un limitzione : 0 k Risolverlo signific studire le intersezioni re l rco di prbol in figur e il fscio di rette k. Osservimo che occorre determinre i vlori di k corrispondenti lle rette del fscio pssnti per gli estremi dell rco di prbol OA e il vlore di k corrispondente ll rett tngente. O k O k k A k 6 A k k k t k... k... 0 k L condizione di tngenz risult: 0 k t k Osservndo il disegno bbimo quindi: soluzione (intersezione) 0 k soluzioni (intersezioni) k

119 - L prbol - ) Considerimo desso l intersezione dello stesso rco di prbol con un fscio di rette pssnti per un punto: k 0 0 fscio di rette pssnti per P(0;-) con rette genertrici k k 0 0 In questo cso il vlore di k corrispondente ll rett del fscio per (0;0) è k k A k t 5 k 0 k A k k... ( k) 0... L condizione di tngenz è : k) 8 0 k (, Osservndo come umentno i vlori di k, si deduce che il vlore che ci interess è quello positivo cioè k. In conclusione bbimo: t soluzione (intersezione) soluzioni (intersezioni) 5 k k 5 7

120 - L prbol - 8 Esercizi (intersezione di un rco di prbol con un fscio di rette): ) k [ sol. k ; sol. 5 k ] ) 0 k [ sol. k ] ) 0 k [ sol. k ] ) 0 k [ sol. 0 k ; sol. 9 k ] 5) ) ( 5 k [ sol. 5 k ] 6) 0 ) ( k [sol. k ;sol. k k ]

121 - L prbol - 7) (k ) k 0 0 [ sol. k, sol. k 0 ] 8) k( ) 0 [sol. k k ] 9) k ( k ) 0 0 [ sol. k k ] 0) k ( k ) [sol. k ; sol. k ] ) k ( k) ( k ) 0 0 sol. 5 [ sol. k k ; 7 5 k k ] 7 ) k [ sol. k 0, sol. 5 0 k ] 6 ) k 0 9 [ sol. k 0, sol. k ] 9

122 - L prbol - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SULLA PARABOLA. Determin l equzione dell prbol vente fuoco F (0; ) e direttrice d:.disegnl, indic con V il suo vertice e si A il suo punto di sciss =. Determin l equzione dell tngente t ll prbol in A e, dett B l intersezione di t con l direttrice d, determin l re del tringolo ABV. [ ; ; re ( ABV ) ]. Determin l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse tngente in T(0;-) ll rett --=0 e pssnte per A(-5;). Disegnl ed indic con V il suo vertice. Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k intersecno l rco VT dell prbol e in qunti punti. [ ; intersezioni k ]. Determin le equzioni delle prbole con sse prllelo ll sse venti come direttrice l sse e pssnti per i punti A(-5;-) e B(-5;6). Disegnle. Dett P l prbol vente il vertice di sciss mggiore, determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k ( k ) 0 intersecno, e in qunti punti, l rco AB di P. [ ( ) ; ( ) 6 ; inter. k k ]. Determin l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse vente vertice V(-;) e pssnte per A(;). Disegnl e detto B il punto dell prbol simmetrico di A rispetto ll sse dell prbol, determin un punto P pprtenente ll rco VA dell prbol tle che re( VPB ) =. [ ; P(0;)] 5. Determin l equzione dell prbol vente fuoco F (0; ) e direttrice d:. Disegnl, indic con V il suo vertice e si P il suo punto di sciss =. Determin l equzione dell tngente t ll prbol in P. [ ] 0

123 - L prbol - 6. Determin l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse tngente in T(0;) ll rett +-=0 e pssnte per A(6;8). Disegnl ed indic con V il suo vertice. Determin l re del tringolo TVA. [ ; re ( TVA ) ] 7. Determin le equzioni delle prbole con sse prllelo ll sse venti come fuoco F(0;0) e pssnti per il punto A(- ;). Disegnle. [ 8 ; ] 8. Determin l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse vente vertice V(-;0) e pssnte per A(8;). Disegnl e determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k intersecno l rco VA dell prbol e in qunti punti. Per qule punto P VA il tringolo VPA h re mssim? [ ; inters. 5 k ; P ( ; ) ] 9. Disegn l prbol di equzione e indic con A e B i suoi punti di intersezione con l sse. Determin l rett prllel ll sse che intersec l rco AB dell prbol in C e D tli che, detti C e D le proiezioni ortogonli di C e D sull sse, si bbi p ( CC' D' D). 5 [ ]

124 - L prbol - Problemi di mssimo e minimo risolti con l uso dell prbol Problem Voglimo costruire un recinto rettngolre ed bbimo un filo lungo 0 metri. Qul è l mssim re che possimo recintre? Supponimo di indicre con un dimensione del nostro recinto rettngolre ABCD : vremo chirmente che 0 5 L ltr dimensione srà quindi 5 (il semiperimetro è 5 metri). Quindi l re del recinto srà: A 5 Sviluppndo bbimo A 5 cioè un espressione di secondo grdo e quindi il grfico dell re srà l rco di prbol in figur: E quindi chiro che l re mssim si vrà 5 5 prendendo e risulterà. 5 Osservimo che per l ltr dimensione del 5 5 rettngolo risult BC 5 e quindi il recinto di re mssim è un qudrto.

125 - L prbol - Problem Dto il qudrto ABCD di lto l consider il qudrto A B C D inscritto in ABCD costruito prendendo AA' BB' CC' DD' (vedi figur). Quli vlori può ssumere l re di A B C D? E chiro che l re di A B C D srà l mssimo l (= re di ABCD). Inoltre si osserv che per ogni vlore possibile dell re ci sono sempre due qudrti A B C D che hnno quell re (vedi figur). M cerchimo di clcolre l re del qudrto A B C D. Possimo porre AA' con l limitzione 0 l. L re di A B C D llor risult (pplicndo il teorem di Pitgor l tringolo A BB ): A ( ) A' B' ( l ) l l

126 - L prbol - M nel pino crtesino il grfico di A () è un prbol ed h vertice l l V ; Quindi osservndo il grfico dell re bbimo che : l l re minim risult (cioè metà dell re del qudrto ABCD) e si h qundo cioè qundo A coincide con il punto medio del lto AB; l re mssim è l (re del qudrto ABCD) e si h qundo A coincide con A o con B. l 0, l cioè qundo l Inoltre è nche chiro che per ogni vlore k dell re compres tr diversi qudrti inscritti con quel vlore dell re. e l ci sono sempre due

127 - L prbol - Problem Consider l prbol di equzione vertice dell prbol. con 0 e un punto P OV dove V è il Trcci il rettngolo PQRS inscritto nell prte di pino delimitt dll rco di prbol e dll sse : come vri il perimetro? Puoi provre disegnre l rco di prbol con Geogebr e d inscrivere il rettngolo (vedi sched reltiv): vrindo l posizione di P possimo frci un ide di come vri il perimetro di PQRS. Provimo d esprimere il perimetro di PQRS in funzione dell sciss del punto P. P ; con 0 e quindi. Innnzitutto bbimo che Per l simmetri dell prbol vremo poi che In conclusione: p PQ. p 8 Quindi il perimetro del rettngolo è espresso d un espressione di secondo grdo ed il suo grfico srà un prbol. 5

128 - L prbol - Disegnimo quindi l prbol 8 p per 0 vremo per 0 p 8 e per p 8. : il vertice srà ;0 V e Quindi : il perimetro minimo srà 8 qundo 0 cioè qundo P O e qundo cioè qundo P V ; il perimetro mssimo srà 0 e si vrà per P ;. cioè qundo E nche chiro che fissndo un vlore del perimetro compreso tr 8 e 0 si vrnno sempre due diversi rettngoli con quel perimetro. 6

129 - L prbol - Esercizi sui problemi di mssimo e minimo ) Dto un rettngolo ABCD vente AB 0 e BC 6,consider A, B, C, D tli che AA' BB' CC' DD'. Come vri l re del prllelogrmm A B C D? [ A 8, A 60 ] ) Dto un tringolo isoscele ABC vente perimetro p 6 e bse AB 6,consider un punto P pprtenente l lto AC e, trccit per P l prllel ll bse AB che intersec in Q il lto BC, studi l re ( PQH ), dove H è il punto medio di AB. min [ A m min 0, Am ] ) Dto il tringolo rettngolo ABC vente cteti AB e AC, consider P pprtenente d AC e trccit l prllel per P d AB e detto Q il punto di intersezione con BC, studi l re (APQR) dove R è l proiezione ortogonle di Q su AB. [ A min 0, Am ] ) Dto il tringolo isoscele ABC vente p 6 e bse AB 0 consider un rettngolo PQRS inscritto in esso, con PQ prllelo d AB e RS sull bse AB, e studi l re (PQRS). [ A 0, A 0 ] 5) Dto il trpezio rettngolo ABCD vente ltezz AD, bse minore CD e lto obliquo CB 5, consider un punto P sul lto obliquo e, trccit l perpendicolre per P BC e detto Q il punto di intersezione con AB, studi l re ( PQB). min m 50 [ Amin 0, Am ] 6) Un pll viene lncit verticlmente verso l lto dll ltezz di metro d terr con velocità inizile v o 0m / s. Dopo qunto tempo rggiunge l mssim ltezz? Qul è l mssim ltezz rggiunt? (Consider l ccelerzione di grvità g 0m / s ) [ s ; h m 6m ] 7

130 - L prbol - 7) Consider un tringolo ABC vente CAB 60, ABC 0, AB 0. Consider un punto P pprtenente l lto AC e disegn il rettngolo PQRS inscritto nel tringolo ABC cioè vente PQ prllelo d AB (Q pprtenente l lto BC) e RS su AB. Qul è l mssim re del rettngolo inscritto PQRS? 5 [ A m ] 8) Si ABCD un rombo di perimetro 0 e vente l digonle mggiore BD AC Consider un rettngolo PQRS inscritto nel rombo. Qul è l re mssim di PQRS?. [ Am ] 9) Consider un tringolo cutngolo ABC vente bse AB e ltezz CH h. Consider il rettngolo PQRS inscritto nel tringolo (P pprtenente l lto AC, Q pprtenente l lto BC con PQ prllelo d AB ed RS su AB): qul è il mssimo vlore dell re di PQRS? [ h Am ] 0) Un compgni ere decide di stbilire il prezzo di un biglietto di un volo nel modo seguente: 00 euro + 0 euro per ogni posto che rest libero. Spendo che l ereo dispone di 50 posti, qunti posti devono rimnere liberi perché l compgni ere otteng il mssimo ricvo? Qunto risult il mssimo ricvo? [ 65; 750] 8

131 - Ellisse - Ellisse Comincimo con l definizione: Dti due punti F e F si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P del pino per i quli costnte l somm delle distnze d F e F cioè tli che è PF PF costnte F e F si dicono fuochi dell ellisse. Osservzioni ) Dti F e F e il vlore dell costnte (che dev e mggiore di F F ) possimo trccire l ellisse corrispondente in questo modo: prendimo uno spgo di lunghezz ugule ll costnte ssegnt e fissimone le estremità i due fuochi. Tenendolo teso con un lpis, l punt del lpis scorrendo ci drà il disegno dell ellisse. PF PF lunghezz spgo costnte Vedimo quindi che l ellisse è un curv chius, simile d un circonferenz un po schiccit. ) Osservimo che l ellisse possiede due ssi di simmetri: l rett pssnte per F e F e l sse del segmento F F. Inftti se P E nche P (simmetrico di P rispetto ll sse di F F ) e P (simmetrico di P rispetto ll rett per F e F ) pprtengono ll ellisse. 9

132 - Ellisse - Inoltre il punto di incontro degli ssi di simmetri è centro di simmetri dell ellisse (cioè se P E nche P E ) e viene chimto centro dell ellisse. ) Osservimo che, fcendo scorrere il lpis, ci sono posizioni estreme cioè quttro punti dell ellisse che vengono chimti vertici dell ellisse. Osservimo che A A = lunghezz dello spgo=costnte e che risult mggiore di B B. A A viene detto sse mggiore (contiene i fuochi) B B viene detto sse minore 0

133 - Ellisse - Osservimo che, indicndo con c l semidistnz focle, poiché pplicndo il teorem di Pitgor l tringolo OF bbimo: B B semisse mggiore = B F F c ( semisse mggiore ) ( semisse minore ) ) L form più o meno schiccit dell ellisse dipende dl rpporto tr F F (distnz focle) e l costnte ssegnt. Si definisce eccentricità e dell ellisse e = semidistnz focle semisse mggiore Poiché l semidistnz focle è minore del semisse mggiore si h: 0 e Se F F è molto minore dell costnte (cioè c molto minore del semisse mggiore) si ottengono ellissi piuttosto tonde (simili d un circonferenz) e l eccentricità risult molto vicin 0. Cso limite e 0 c 0 F F Si h un circonferenz Se F F è molto vicino (nche se minore) l vlore dell costnte si hnno ellissi schiccite e l eccentricità è vicin. Cso limite e c semisse. mggiore semisse minore = 0 Si h il segmento F F.

134 - Ellisse - L ellisse nel pino crtesino L equzione dell ellisse nel pino crtesino dipenderà d come si fiss il sistem di riferimento. Comincimo con il cso più semplice in cui gli ssi di simmetri dell ellisse coincidono con gli ssi coordinti. Ellisse con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti ) Supponimo che i fuochi si trovino sull sse (quindi l sse mggiore di E è sull sse ). Fccimo un esempio: F (;0) F ( ;0) costnte = sse mggiore =0 Possimo disegnre l ellisse poiché spendo che c ( semisse mggiore ) ( semisse minore ) ottenimo che semisse minore =. Per ricvre l equzione di E impostimo l definizione: P ( ; ) : PF PF 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 00 0 ( ) ( ) 0 ( ) 00 5 ( ) 5 5[( ) ] (5 ) Dividendo entrmbi i membri per 00 bbimo: 5 6

135 - Ellisse - Generlizzimo: considerimo ) ;0, ( c F e indichimo con e b i due semissi. Nel nostro cso b poiché i fuochi si trovno sull sse., F ( c ; 0) ;0), ( A, B (0 ; b) b b c PF PF c c ) ( ) ( ) ( ) ( c c ) ( ) ( ) ( c c c c c ) ( c c ) ( ) ( ] ) [( c c c c c c ) ( ) ( ) ( c c M b c e quindi: b b Dividendo entrmbi i membri per b : b equzione dell ellisse considert

136 - Ellisse - b) Supponimo che i fuochi si trovino sull sse : in questo cso l sse mggiore dell ellisse è B B cioè b e c b. F, (0; c ) A, ( ; 0) B, (0; b ) b c b PF PF b Sviluppndo in modo nlogo qunto ftto in ) ottenimo ncor b sostituito b c ). (vendo In conclusione l equzione di un ellisse i cui ssi di simmetri coincidono con gli ssi coordinti risult b dove e b sono i semissi dell ellisse se se b llor i fuochi F, ( c ; 0) pprtengono ll sse ( c b llor i fuochi F, (0; c ) pprtengono ll sse ( c b ) b ) Poiché l eccentricità c e nel cso in cui semisse. mggiore b e b e c c b

137 - Ellisse - 5 Problemi sull ellisse riferit i suoi ssi di simmetri (cioè gli ssi di simmetri dell ellisse coincidono con gli ssi coordinti ) ) Disegnre un ellisse di equzione ssegnt Per disegnre un ellisse occorre conoscere i suoi semissi. Se l equzione è dt nell form b è molto semplice rislire d e b. Esempio: b Se l equzione non si present nell form normle possimo fre dei pssggi per riportrcel. Esempio: b Esempio: b Esempio: b ) Determinre l equzione di un ellisse riferit i suoi ssi di simmetri Bsterà determinre e b e quindi occorrernno due condizioni (indipendenti). Vedimo lcuni csi. ) Pssggio dell ellisse per due punti (non simmetrici rispetto ll sse o ll sse o ll origine) Esempio: ; P ; P Sostituendo P nell equzione b e nlogmente P bbimo: b b b b b b... b b

138 - Ellisse - b b b b b b b b Quindi E : b) Conoscenz di un fuoco e di un vertice Esempio: F (;0) A (;0) Quindi c e poiché i fuochi pprtengono ll sse c b b 9 5 E : 9 5 c) Conoscenz di un fuoco e dell eccentricità Esempio: F (;0) e Poiché F sse e c e quindi 6. Inoltre b c e quindi E : 6 7 d) Conoscenz di un vertice e dell eccentricità Esempio: A (;0) e Sppimo quindi che m non sppimo dove si trovno i fuochi e quindi si possono vere due csi (due diverse ellissi che soddisfno le condizioni): se c c b e e c e b c 6 e bbimo 6 se c b e e b c b c b c b c b 6 6 e risolvendo bbimo b 6 6 6

139 - Ellisse - Rette tngenti d un ellisse Considerimo un ellisse E : e un punto P ( ; ) b o o o ssegnto. ) Se P o non pprtiene ll ellisse ed è esterno ll ellisse esisternno due rette tngenti E uscenti d P o. Per determinrle bsterà procedere come l solito considerndo il fscio di rette per imponendo l condizione di tngenz. P o e 5 Esempio: E: P o (-;0) m( ) 5 m( ) 5 m ( ) 5 E sviluppndo l second equzione bbimo: (5 m ) m m 5 0 m (5 m ) (m 5) 0 (condizione di tngenz). 5 5 m m, 5 t, : ( ) equzioni delle tngenti b) Se Po pprtiene ll ellisse ci srà un sol tngente. Per determinrl possimo procedere come in ) m possimo dimostrre che l rett tngente t vrà equzione o o t : b Quest formul viene dett formul dello sdoppimento. 7

140 - Ellisse - 8 Vedimo l dimostrzione: E : b è l equzione dell ellisse Poiché o P ( ) ; o o E si h b o o Possimo quindi scrivere: ) ( o o o o m b b... 0 b o o ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( o o o o o o m b ) ( 0 ) ( ) ( o o o o o m b m Poiché voglimo che ) ; ( o o si l unic soluzione del sistem, sostituimo ) ; ( o o nell prentesi qudr ed imponimo che si zero: o o o o b m b m 0 Abbimo trovto così il coefficiente ngolre dell tngente. Sostituimolo nell equzione ) ( o o m : ) ( o o o o b o o o o o o o o b b b b M poiché o P ( ) ; o o E cioè b b b o o o o b b o o e dividendo entrmbi i membri per b ottenimo: b o o

141 - Ellisse - Osservzione Si può dimostrre che l bisettrice b dell ngolo ll ellisse. Vedimo solo un esempio: F P o è perpendicolre ll tngente t in Po F E : F ; 0) (, P o ; Determinimo le equzioni delle rette per F e Po e per F e P o : rf : 0 P o rf : ( ) 0 Po Determinimo le bisettrici degli ngoli formti d queste due rette: 5 )... 5 b)... equzione di b 5 M pplicndo l formul dello sdoppimento vedimo che l tngente t è proprio :... Quindi t e b sono perpendicolri ( Po F P o F m t ; m b ). (*) D quest proprietà deriv l denominzione di fuochi dt F e F : inftti se considerimo uno specchio ellittico di fuochi F e F ogni rggio luminoso incidente uscente d F (per esempio F Po ) vrà sempre come rggio riflesso un rggio pssnte per F ( P o F ) perché, per l legge dell riflessione, l ngolo di incidenz i deve essere ugule ll ngolo di riflessione r. 9

142 - Ellisse - Ellisse con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti Supponimo che gli ssi di simmetri dell ellisse non coincidno con gli ssi coordinti m sino prlleli d essi. Se il centro dell ellisse è C C ; ) trslndo il sistem di riferimento in modo d portre ( C l origine in C, l equzione di E srà: M poiché ' ' C C vremo: ' ( ) ( ( b ) ' ) ( C C E : b ) Esempio Determinre l equzione dell ellisse vente centro C (;) ( ssi di simmetri sono, ) spendo che 5 ; b. L equzione srà ( ) ( ) 5 6 E : Possimo nche sviluppre e ottenimo: 6( 6 8 6) 5( 5 )

143 - Ellisse - Problemi sull ellisse con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti ) Disegnre un ellisse di equzione ssegnt ( C ) ( C ) Se l equzione è dt nell form è molto semplice. b ( ) Esempio: E: ( ) 9 C(;) b ( C ) ( C ) Se invece l equzione è stt sviluppt occorre riportrsi ll form b per riconoscere le coordinte del centro e i semissi. Esempio: : E: Spostimo il termine noto e mettimo in evidenz in questo modo: 6( 8) 5( Completimo i qudrti, bilncindo dll ltr prte: 6( 8 6) 5( ) ) (6 6) (5 ) 6( ) 5( ) 00 Quindi C(;) 5, b. ( ) ( ) 5 6 E:

144 - Ellisse - ) Determinre l equzione di un ellisse con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti Bsterà determinre il centro e i due semissi. Fccimo solo qulche esempio. ) Conoscenz dei fuochi e di un vertice Esempio: F (5; ) F (; ) A (0; ) Si osserv che il centro dovrà essere C(;); inoltre c e. Di conseguenz b c 9 5. In conclusione possimo scrivere: ( ) ( ) 9 5 E: b) Conoscenz dei fuochi e dell eccentricità Esempio: F (; ) F (; ) e 5 E chiro che C(;-) e c. c Poiché in questo cso e b 5. b 5 b Di conseguenz b c ( ) ( ) 6 5 e quindi E:

145 - Ellisse - Rette tngenti d un ellisse con ssi prlleli gli ssi coordinti ( C ) ( ) e un punto P o ( o ; o ) : b E ed è esterno si determinno due rette tngenti come bbimo già visto per l ellisse con ssi coincidenti con gli ssi coordinti; E possimo pplicre l formul dello sdoppimento per determinre l equzione dell tngente considerndo l trslzione C Dt l ellisse E : ) se P O b) se P o ' ' C C t ( ) ( ) ( ) ( o C C o C C : b ) Esempio ( ) ( ) 6 Considerimo E : e Po 7; E Applicndo l formul dello sdoppimento come bbimo detto ottenimo: 6 ( ) (7 ) ( ) 5 t: 5 6 ( ) 6 ( ) Svolgendo i clcoli: ( ) 5( )

146 - Ellisse - Ellisse con ssi di simmetri non prlleli gli ssi coordinti Fccimo solo un esempio. Determinre l equzione dell ellisse E vente fuochi F (;0 ) F (0; ) e sse mggiore ugule. Applicndo l definizione bbimo: P ( ; ) tle che PF PF Quindi: ( ) ( ) E sviluppndo i clcoli si può determinre l equzione di E. Osservimo, per disegnrl, che C ;, c, b c b Gli ssi di simmetri hnno equzione: sse contenente i fuochi (sse mggiore): sse non contenente i fuochi (sse minore):

147 - Ellisse - Un ltr definizione di ellisse Provimo risolvere il seguente problem. Dt un rett d e un punto F d, determinre il luogo geometrico dei punti P del pino tli che PF dist( P, d) PF (*) Osservimo che il luogo dei punti P tli che è l prbol di fuoco F e direttrice dist( P, d) d. Fissimo u sistem di riferimento, per esempio prendimo come sse l rett d e fissimo l sse e l unità di misur in modo tle che F (0; ) (bst prendere come sse l rett per F perpendicolre d.). Quindi se P(;) è un punto del luogo dovrà essere : PF ( dist( P, sse)) ( )... 9 Si trtt quindi di un ellisse con centro C 0; e semissi b. Inoltre essendo c b c. Quindi F è un fuoco dell ellisse e l eccentricità 9 9 c risult e. b In generle inftti si può dimostrre che: Dt un rett d e un punto F d, il luogo geometrico dei punti P del pino tli che PF e con e costnte 0 e dist( P, d) risult un ellisse vente un fuoco in F ed eccentricità ugule d e. 5

148 - Ellisse - Esercizi sull ellisse I) Disegn le seguenti ellissi e determin vertici e fuochi ) [ b F ;0) ] (, b) 9 6 [ b 0; 7 F ], c) 9 6 [ b 5;0 F ], d) [ b F, ; 0 ] e) 9 [ b 5 F, 0; ] 6 f) 9 6 [ 6 b ;0 F ], g) 6 0 [ b 0; F ], 6

149 - Ellisse - II) Determin l equzione dell ellisse E vente ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti spendo che: ) A (;0) F (;0) b) B (0; ) F (;0) [ 9 5 ] [ 5 6 ] c) F ;0), ( e [ 6 ] d) F (0;, ) e [ 7 8 ] e) A (;0) fuochi sse ed e [ 6 5 ] f) A (;0 ) fuochi sse ed e [ ] 6 g) F (;0) e pssnte per P ; [ ] h) B (0;) e pssnte per P ; [ ] i) fuochi sse, e e pssnte per P ; [ ] 7

150 - Ellisse - III) uscenti dl punto P ;0. [ t, : ( ) ] nel suo punto 6 P ;. 5 [ t : ] ) Determin le equzioni delle rette tngenti ll ellisse E : b) Determin l equzione dell tngente t ll ellisse E : c) Determin l equzione dell tngente t ll ellisse E : nel suo punto P ;. [ t : 0 ] d) Determin le equzioni delle rette tngenti ll ellisse E : 9 9 uscenti dl punto P 0;. [ t : 7 ], IV) ) Determin l equzione dell ellisse E vente fuochi F ; 7; 6 Determin inoltre l equzione dell rett tngente d E in P ;. 5 ( ) ( ) 5 6 [E: b) Determin equzione dell ellisse E vente B 0;0, B 0; F ed eccentricità e. 5 t : 5 0 ], fuochi pprtenenti ll sse ed eccentricità e. Detto F il fuoco di ordint mggiore e A e A gli ltri vertici, determin l equzione dell prbol P pssnte per A, A, F. [E: ( ), P: ] c) Determin l equzione dell ellisse E vente A 0;0 6;0 Determin inoltre per quli vlori di k le rette del fscio F: k ( ) 9 [E: A e fuoco 5;0 F. intersecno E., k ] 8

151 - Ellisse - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SULL ELLISSE. Determin l equzione dell ellisse vente come ssi di simmetri gli ssi coordinti, pssnte 6 per P(-;), vente i fuochi sull sse ed eccentricità e. Disegnl e determin i fuochi F,. Determin l equzione dell tngente t in P ll ellisse ed indic con A il suo punto di intersezione con l sse. Clcol l re di PAF dove F è il fuoco di sciss positiv. [ 6 ; t : 0 ; A ( PAF ) 6 6 ]. Determin l equzione dell ellisse vente vertici A ( ; ) A (; ) e pssnte per 6 P ( ;). Disegnl e determin i fuochi F,. Determin l equzione dell tngente in P 5 ll ellisse e, detto F il suo punto di intersezione con l sse, determin l equzione dell prbol vente fuoco F e direttrice l sse. Disegn l prbol. [ ( ) 6 5 ; t : ; 9 8 ] 6. Determin l equzione dell ellisse vente come ssi di simmetri gli ssi coordinti, un vertice A (;0) e pssnte per il punto P (; ) Determin le tngenti ll ellisse uscenti d Q(-;0).. Disegnl e determinne i fuochi. [ ; ( F, ;0) ; t, : ( ) ] 5. Determin l equzione dell ellisse vente fuochi F (0;0) e F (0;) ed eccentricità e. Disegnl e determin le coordinte dei vertici. Determin l equzione dell tngente t nel punto P dell ellisse di intersezione con l sse e vente sciss mggiore. Verific che l bisettrice dell ngolo F PF è perpendicolre t. [ ( ) 8 9 ; A ( ; ), B (0;, ) t : 8 0 ] 9

152 - Ellisse - 5. Disegn l ellisse 6 5 e trov per quli vlori di k le rette del fscio k intersecno l ellisse e in qunti punti. [ intersezioni k ] 6. Disegn l curv di equzione fscio k intersecno l curv dt e in qunti punti. e determin per quli vlori di k le rette del [ intersezione k ; intersezioni k ] 7. Dt l ellisse di equzione 8 0 e detti B, i vertici sull sse mggiore, determin l equzione dell circonferenz pssnte per O(0;0), B e B. [ 5 0 ] 8. Determin l equzione dell ellisse riferit i propri ssi di simmetri vente fuoco F ( ;0) e pssnte per P ( ;). Disegnl. Determin l equzione dell prbol vente fuoco F e direttrice l sse. [ 8 8 ; ] 9. Determin l equzione dell ellisse vente fuochi F (0;0) e F (0;) ed eccentricità e. Dopo ver determinto l ordint del punto P di sciss = pprtenente ll ellisse e nel primo qudrnte, determin l equzione dell rett t tngente in P ll ellisse ed indic con Q il punto di intersezione di t con l sse. Detto P il simmetrico di P rispetto l centro dell ellisse, clcol l re del tringolo PQP '. [ ( ) 6, P(;); t: 0 0 ; A ( PQP') 6 ] 0. Determin per quli vlori di k le rette del fscio di equzione k k 0 intersecno, e in qunti punti, l ellisse di equzione. [ intersezioni k ]

153 - Iperbole - Iperbole Comincimo con l definizione: Dti due punti F e F si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d F e F cioè tli che F e F si dicono fuochi dell iperbole. PF PF costnte Osservimo che deve essere F costnte perché nel tringolo F F P si h F F PF PF F poiché un lto è sempre mggiore dell differenz degli ltri due. Osservzioni ) Cerchimo di cpire come risult un iperbole. Considerimo per esempio F F 0 e l costnte 6. Per individure qulche punto del luogo possimo fre così : trccimo un circonferenz di centro F e rggio r (per esempio r =0) e l intersechimo con l circonferenz di centro F e rggio r costnte (quindi di rggio ). I punti P e P individuti pprtengono ll iperbole poiché e nlogmente per P. P F P F r ( r costnte)= costnte 5

154 - Iperbole - Osservimo poi che sul segmento F F ci sono due punti A e A del luogo fcilmente individubili (vedi figur) e che A costnte = 6. A Se determinimo vri punti vremo un curv come nell seguente figur: ) L iperbole è simmetric rispetto ll rett per F e F, che viene chimt sse trsverso poiché intersec l curv, e ll sse del segmento F F, che viene detto sse non trsverso perché non intersec l curv. I punti A e A dell curv sono detti vertici dell iperbole e A A costnte. Se P pprtiene ll iperbole nche P, P, P pprtengono ll iperbole. Nturlmente il punto di incontro dei due ssi di simmetri risult centro di simmetri dell iperbole. ) L iperbole non è limitt, come l ellisse o l circonferenz, poiché ci sono punti dell curv nche molto lontni di fuochi dto che nell definizione del luogo è in gioco l differenz delle distnze d F e F. 5

155 - Iperbole - ) L form dell iperbole dipende dl rpporto tr F F e l costnte. Questo rpporto viene chimto eccentricità e dell iperbole e risult sempre mggiore di dto che F F costnte F F e cos tn te F F A A Se e è di poco mggiore di (cioè se F F è di poco mggiore di A A ) si hnno iperboli come nell figur seguente: Not: se F F A costnte cioè se e l iperbole degener nelle due semirette in figur. A Se e è molto mggiore di, cioè se F F è molto mggiore di A A, si hnno iperboli come nell figur seguente: 5

156 - Iperbole - L iperbole nel pino crtesino Iperbole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Fissimo il sistem di riferimento in modo che gli ssi di simmetri dell iperbole coincidno con gli ssi coordinti. Si possono presentre due csi: l sse trsverso (quello su cui si trovno fuochi e vertici) è l sse oppure è l sse. ) Asse trsverso coincidente con l sse Determinimo l equzione dell iperbole considerndo per esempio 5;0 6. F e l costnte ugule, Se P ; dovrà essere PF PF 6 cioè ( 5) Sviluppndo i clcoli bbimo: ( 5) ( 5) ( 5) 6 ( 5) 0 6 ( 5) 5 9 ( 5) ( Dividendo entrmbi i membri per ottenimo: 9 6 ) 6 Osservimo che i vertici sono ;0 A e che per determinre le coordinte degli ltri punti, possimo ricvre : 9 5

157 - Iperbole - Osservimo che qundo si consider l sciss molto grnde in vlore ssoluto si h : 9 e quindi cioè l iperbole tende d vvicinrsi lle rette. Queste rette sono dette sintoti dell iperbole dl greco ( non-insieme-tocco ) perché l iperbole, pur vvicinndosi molto queste rette, non le intersec. Generlizzimo: se indichimo con vremo: c l distnz F F e con l distnz A A cos tnte Se P ; dovrà essere PF PF cioè ( c) ( c) Sviluppndo i clcoli bbimo: ( c) ( c) ( c) ( c) ( c) c ( c) c c ( c ) c ( c) ( ( c c c ) ) Poiché c c 0 e llor possimo indicrlo come un qudrto cioè porre c b Sostituendo bbimo: b b e dividendo entrmbi i membri per b ottenimo: b equzione dell iperbole con F ;0 A ;0 eccentricità c e, c, b c 55

158 - Iperbole - Per determinre l equzione degli sintoti ricvimo l dll equzione dell iperbole. Dopo lcuni semplici pssggi ottenimo: b Quindi se è grnde e b cioè gli sintoti hnno equzione b b) Asse trsverso coincidente con l sse I vertici si trovno sull sse : se li indichimo con B 0; b, vremo: F 0; c. B, 0; b c b Se P ; dovrà essere PF PF b e sviluppndo si ottiene, posto c b b equzione dell iperbole con F, 0; c B, 0; b c eccentricità e b b sintoti : c b 56

159 - Iperbole - Problemi sull iperbole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Disegnre un iperbole di equzione ssegnt Per disegnre in modo pprossimto un iperbole disegnimo i vertici e gli sintoti. Esempio : disegnimo l iperbole di equzione. Essendo, b A ;0, sintoti :. e sse trsverso l sse, bbimo Disegnimo l posizione dei vertici e trtteggimo gli sintoti. Infine disegnimo l iperbole., Se l equzione non si present in form normle fremo dei pssggi per ricondurl ll form normle (come per l ellisse). Esempi ) b) c)

160 - Iperbole - Determinre l equzione di un iperbole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti ) Conoscenz di due punti dell iperbole (non simmetrici rispetto gli ssi o ll origine) e del suo sse focle. Esempio: sse focle coincidente con l sse, ; P 6;. P Poiché l sse focle è l sse l equzione srà del tipo. b 9 b Sostituendo vremo: 6 b b b) Conoscenz dei fuochi e dei vertici Esempio: 0; B F 0; 5, L equzione srà del tipo : b Poiché b e c 5 c b 0 6 e quindi, : 6 58

161 - Iperbole - 59 c) Conoscenz dei fuochi e dell eccentricità Esempio: ;0, F e Poiché in questo cso c e srà Inoltre c b e quindi : d) Conoscenz dei vertici e dell eccentricità Esempio: 0;, B e Poiché l sse trsverso è l sse srà b c e e quindi c c Inoltre b c e quindi : e) Conoscenz dei fuochi e degli sintoti Esempio: ;0, F sintoti: c b b 9 b b Quindi bbimo: 9 :

162 - Iperbole - Rette tngenti d un iperbole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Considerimo un iperbole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti e un punto P ssegnto. o ) Se Po ed è esterno (vedi figur) esisternno due rette tngenti d uscenti d P o e per determinrle si procederà con il solito metodo (vedi ellisse). b) Se P o vremo un sol tngente come che può essere determint come in ) oppure utilizzndo l formul dello sdoppimento (l dimostrzione è nlog quell svolt per l ellisse). Se : b e P ; ) l equzione dell tngente è o ( o o t b o o : Anlogmente se : vremo b o o. b Esempio: : 6, P o 5; 5 t :

163 - Iperbole - Iperbole con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti Si un iperbole i cui ssi di simmetri non coincidono con gli ssi coordinti m sono prlleli d essi. Si C ( ; C C ) il centro dell iperbole (gli ssi di simmetri sono quindi C, C ). Anlogmente qunto visto per l ellisse, se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine in C vremo che l equzione di risulterà ll fine: ( C ) ( b C ) ( C ) ( C ) oppure b ( ) Esempio: : ( ) Il centro è C ( ; ),, b ; sse focle prllelo ll sse. I vertici sono A (; ) A (0; ) e gli sintoti hnno equzione ( ). 6

164 - Iperbole - 6 Problemi sull iperbole con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti ) Disegnre un iperbole di equzione ssegnt Se l equzione è nell form ) ( ) ( b C C oppure ) ( ) ( b C C È molto semplice. Esempio: 9 ) ( ) ( : Osservimo che ) (; C b Se invece l equzione è stt sviluppt occorre riportrl nell form in cui si individuno il centro, e b con il metodo già visto per l ellisse. Esempio: 0 8 : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Quindi ) (; C b.

165 - Iperbole - ) Determinre l equzione di un iperbole con ssi prlleli gli ssi coordinti Vedimo qulche esempio: ) Conoscenz dei fuochi e dei vertici Esempio: F (; ) F (7;) A (; ) A (6; ) Di fuochi possimo ricvre il centro C(;) e c. Osservndo l posizione dei vertici bbimo. Quindi b c 9 5. ( ) ( ) In conclusione: : 5 b) Conoscenz dei fuochi e dell eccentricità Esempio: F ( ; ) F ( ; ) e Srà C(-;) e c Essendo l sse focle prllelo ll sse vremo Inoltre c b e quindi: c e cioè b b b. : ( ) ( ) 6

166 - Iperbole - Rette tngenti d un iperbole con ssi prlleli gli ssi coordinti Si un iperbole con ssi prlleli gli ssi coordinti e P ; ) un punto ssegnto. o ( o o ) Se P ed è esterno (vedi figur) si determinno le equzioni delle due rette tngenti o uscenti d P o con il solito metodo. b) Se P o possimo utilizzre l formul dello sdoppimento (vedi ellisse con ssi prlleli gli ssi coordinti). ( C ) ( C ) Esempio: : b Po ( o; o ) t ( ) ( ) ( ) ( o C C o C C : b ) ( ) Quindi se per esempio : ( ) e P o (;) ( ) ( ) t : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6

167 - Iperbole - Iperbole con ssi di simmetri non prlleli gli ssi coordinti Fccimo solo un esempio. Determinre il luogo dei punti P(;) del pino tli che PF PF 5 dove F (0;0) e F (8;) P(;) : ( 8) ( ) 5 Sviluppndo i clcoli si determin l equzione di. Osservimo che: il centro è C(;) gli ssi di simmetri hnno equzione e ( ) Inoltre bbimo che l semidistnz focle è c 5 e che l distnz tr i vertici è A A 5. I vertici sono A (; ) e A (6;). 65

168 - Iperbole - Un ltr definizione di iperbole Avevmo visto che si potev dre un definizione dell ellisse più simile quell dt per l prbol. Vedimo se l stess cos si può fre per l iperbole. Considerimo il seguente problem: Dt un rett d e un punto F d, determinre il luogo geometrico dei punti P del pino tli che PF dist( P, d) Fissimo il sistem di riferimento in modo che sse d e che F(0;) P(;) pprtiene l luogo PF ( dist( P, sse)) cioè ( ) Abbimo quindi trovto un iperbole di centro Quindi 6 c b c C 0;, sse focle sse, c Perciò F(0;) è un fuoco dell iperbole e l eccentricità risult e. b, b. In generle si può dimostrre che, dt un rett d e un punto F d, il luogo dei punti P tli che PF e dove e è un costnte > dist( P, d) risult un iperbole vente un fuoco in F ed eccentricità e. In conclusione il luogo dei punti P tli che PF dist( P, d) 66 k un prbol se k un ellisse se 0 k ( k è l eccentricità dell ellisse) un iperbole se k ( k è l eccentricità dell iperbole) risult :

169 - Iperbole - Esercizi sull iperbole I) Disegn le seguenti iperboli indicndo le coordinte dei vertici, l equzione degli sintoti e le coordinte dei fuochi. ) [ A, ( ;0) ; ( F, 5;0) ; ] b) [ A, ;0) 9 ( ; F (, 0;0) ; ] c) [ B, (0; ) ; F (0;, ) ; ] d) [ A ;0) ; F 5;0) ; ] (, (, e) 9 6 [ B (0;, ) ; F, ) ; ] f) [ A (, ;0) ; 5 F, ;0) ; ] g) 9 [ 0 B, ) ; F (0;, ) ; ] f) 8 [ A ;0) ; F ;0) ; ] (, (, 5 i) 9 6 [ B, (0; ) ; F, (0; ) ; ] l) [ A ;0) ; F ;0) ; ] (, (, 67

170 - Iperbole - II) Determin l equzione dell iperbole, riferit i suoi ssi di simmetri, vente: ) A ;0) e (, b) B (0;, ) F (0;, ) [ ] [ ] c) A, ( ;0) sintoti [ ] d) F ;0) sintoti [ ] (, e) e 0, fuochi pprtenenti ll sse, pssnte per P ( 5;6) [ ] 9 III) ) Determin le equzioni delle tngenti ll iperbole : uscenti dl punto P (;0 ). [ ( ) ] b) Determin l equzione dell tngente ll iperbole : nel suo punto P (; ). 9 [ t : 0 ] c) Determin le equzioni delle tngenti ll iperbole : uscenti dl punto P(0;). [ t : ], d) Determin l equzione dell tngente ll iperbole : nel suo punto P (; ). [ t : 0 ] 68

171 - Iperbole - IV) ) Determin l equzione dell iperbole vente fuochi F (0;) F (;) ed eccentricità e. Disegnl e determin le equzioni dei suoi sintoti. ( ) [ : ( ) ( ) ] b) Disegn l iperbole di equzione : 0. Determin il centro C, i vertici, i fuochi e gli sintoti. Disegn. [ C (0; ) ; B (0;, ) ; F (0;, 5) ; sintoti : ] c) Determin l equzione dell iperbole vente vertici A (0;0) A ( ;0) e sintoti di equzione ( ). Disegnl e determin l su eccentricità. Verificto che P (; ) pprtiene ll iperbole, determin l equzione dell tngente ll iperbole in P. [ : ( ) ; e 0 ; t : 6 0 ] 9 d) Determin l equzione dell iperbole vente fuochi F ;) e coefficienti ngolri degli (, sintoti m. Disegnl, determin vertici ed eccentricità. Determinto il punto A di, sciss mggiore in cui intersec l sse, scrivi l equzione dell tngente in A ll iperbole. [ ( ) ; A ; ) ; e ; A ( 0;0) ; t A : ] (, 69

172 - Iperbole - Iperbole equilter Un iperbole si dice equilter qundo b : gli sintoti hnno quindi inclinzione e risultno perpendicolri. Vicevers se gli sintoti sono perpendicolri bbimo che b poiché se b b b b b Osservimo che per un iperbole equilter risult c c e cioè l eccentricità è sempre e. L equzione dell iperbole equilter riferit i suoi ssi di simmetri è quindi: se l sse trsverso è l sse oppure se l sse trsverso è l sse 70

173 - Iperbole - Equzione di un iperbole equilter riferit i propri sintoti Se l iperbole è equilter possimo prendere i suoi sintoti come sistem di riferimento: vedimo come risult l equzione in questo cso. Considerimo l iperbole equilter in figur: i fuochi si trovno sull rett dei fuochi in questo sistem di riferimento srnno F ( ; ) F ( ; ) e le coordinte poiché c e l sciss e l ordint dei fuochi rppresentno l misur del lto di un qudrto di digonle c. Applicndo quindi l definizione di iperbole come luogo geometrico bbimo: PF PF cioè ( ) ( ) ( ) ( ) 7

174 - Iperbole - Sviluppndo con pssggi nloghi quelli visti qundo bbimo ricvto l equzione dell iperbole riferit i propri ssi di simmetri ottenimo cioè un equzione del tipo k con k 0 Se i fuochi si trovno sull rett ottenimo, con nloghi pssggi cioè un equzione del tipo k con k 0 7

175 - Iperbole - Problemi sull iperbole equilter riferit i propri sintoti ) Disegn l iperbole e determinne i vertici e i fuochi. Per disegnre possimo determinre qulche punto pprtenente ll iperbole: poiché si ottiene per esempio ( ;) ( ;) ( ; ). Nturlmente, essendo l curv simmetric rispetto ll origine vremo nche ( ; ) ( ; ) ( ; ). Per determinre i vertici bst intersecre l curv con l rett trsverso): (sse di simmetri A (;) A ( ; ) Poiché OA e le coordinte dei fuochi, in questo sistem di riferimento, sono F ( ; ) F ( ; ) vremo: F ( ; ) F ( ; ) 7

176 - Iperbole - ) Determin l iperbole equilter riferit i propri sintoti spendo che pss per il punto P (; ). (*) Osservimo che per determinre l equzione di : k è sufficiente un condizione. Bsterà sostituire in k le coordinte P (; ) : k k e quindi : ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i propri sintoti spendo che è tngente ll rett di equzione t : 0. In questo cso bsterà impostre l condizione di tngenz : k 0 ( ) k k 0 8k k 0 k 8 Quindi : 8 7

177 - Iperbole - Iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi coordinti (funzione omogrfic) Abbimo visto che l equzione dell iperbole equilter con sintoti coincidenti con gli ssi coordinti è del tipo k. E se gli sintoti non coincidono con gli ssi coordinti m sono comunque prlleli d essi? Vedimo un esempio: supponimo che il centro dell iperbole si C (;) e che gli sintoti bbino equzione, =. Supponimo inoltre che l iperbole pssi per il punto P (;0 ) (vedi figur). Se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine in C cioè: X Y l iperbole vrà equzione XY :per determinre k= bst sostituire in XY k le coordinte di P che nel nuovo sistem di riferimento sono ( ; ). Quindi : ( ) ( ) E sviluppndo vremo: 6 ( ) 75

178 - Iperbole - In generle, quindi, l equzione di un iperbole equilter di centro C ( ; C C ) con sintoti prlleli gli ssi coordinti vrà equzione: ( ) ( ) k C C che sviluppt dà un equzione del tipo: b c d Quest funzione viene nche chimt funzione omogrfic. Osservimo che : ) c 0 poiché se c 0 ottenimo un rett; b) b b ( c d) poiché se m m c d c d c d che per d dà l rett m c b M se bbimo l equzione come possimo determinre il centro dell iperbole? c d Tornimo ll esempio inizile: sviluppndo i clcoli vevmo ottenuto. Osservimo che quest funzione è definit per (per = il denomintore si nnull) e quindi srà l sciss del centro cioè srà l sintoto verticle (inftti non c è nessun punto dell iperbole con sciss ). Inoltre qundo è grnde in vlore ssoluto i termini b e d nell equzione diventno trscurbili nel clcolo del vlore di e e quindi semplificndo l si ottiene. Quindi è l sintoto orizzontle cioè è l ordint del centro: i rmi dell iperbole, qundo o si vvicinno ll rett. b In generle quindi se bbimo l funzione omogrfic poiché per c d denomintore si nnull e per il centro C vrà coordinte c d il c d C ; c c 76

179 - Iperbole - Problemi sull funzione omogrfic ) Disegn l funzione omogrfic di equzione: Si ricv subito, d qunto bbimo detto, che il centro è C ( ; ). Possimo quindi disegnre gli sintoti che srnno le rette di equzione e. Per disegnre l iperbole, dopo ver trovto il centro e trccito gli sintoti,possimo determinre per esempio l intersezione dell iperbole con l sse ponendo Conoscendo il punto ( ;0), per l simmetri rispetto C, ricvimo che nche ( 0; ) pprterrà ll iperbole (del resto ponendo 0 si ottiene proprio ). Inoltre possimo ricvre fcilmente nche ltri punti (vedi figur) ricordndo che rispetto l centro l equzione dell iperbole srebbe stt XY k e in questo cso bbimo k. Ottenimo in conclusione il seguente disegno: 77

180 - Iperbole - ) Per determinre l equzione di un funzione omogrfic (iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi coordinti) occorrono tre condizioni indipendenti. Questo risult chiro se scrivimo l equzione nell form : ( C ) ( C ) k ( in cui bbimo tre prmetri C, C, k ) b oppure se considerimo l equzione m dividimo numertore e denomintore per c d c (ricordimo che c 0 ) ottenendo b c c ' b' cioè ( in cui compiono solo i tre prmetri ', b ', d ' ) d d' c Quindi possimo nche scrivere l equzione dell funzione omogrfic nell form Vedimo qulche esempio. ' b' d' ) Conoscenz del centro C dell iperbole e pssggio per un punto P Esempio: C (; ) P(0;0) Considerimo l equzione ( C ) ( C ) k : poiché il centro è C(;) ( ) ( ) k Sostituendo le coordinte di P vremo: ( ) ( ) k k In conclusione : ( ) ( ) b) Conoscenz dell equzione di un sintoto e pssggio per due punti P, P Esempio: sintoto : ; P (0;0) P (; ) b Considerimo l equzione nell form (vedi osservzione precedente). d Il centro è C( d; ) e poiché un sintoto è vremo C cioè d. Quindi bbimo c d d b 0( pssggio. per. P ) b 0 d b ( pssggio. per. P ) d c d b 0 : c) Conoscenz del pssggio per tre punti P P P In questo cso bsterà sostituire le coordinte dei punti nell equzione un sistem di tre equzioni nelle tre incognite,b,d. b : otterremo d 78

181 - Iperbole - V) Esercizi sull iperbole equilter ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i suoi sintoti spendo che pss per il punto P (; ). Disegnl e determin vertici e fuochi. [ :, A ; ), F 6; 6) ] (, (, ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i suoi sintoti spendo che è tngente ll rett t :. Disegnl e determin vertici e fuochi. [ :, A ; ), F ; ) ], ( (, ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i suoi sintoti vente vertice A (; ). Disegnl e, detto P il suo punto di sciss =, determin l equzione dell tngente ll iperbole in P. [ :, t P : 8 ] ) Disegn l iperbole equilter (funzione omogrfic). Determin i suoi vertici. [ A (;0 ) A ( ;) ] 5) Disegn l iperbole equilter (funzione omogrfic) e detto A il suo punto di intersezione con l sse, determin l tngente in A ll iperbole. [ A (;0), t A : ] 6) Determin l equzione dell iperbole equilter vente sintoti e e pssnte per (0;0). Disegnl e determin l tngente ll iperbole in (0;0). [ :, t( 0;0) : ] 79

182 - Iperbole - 7) Determin l equzione dell funzione omogrfic pssnte per A (;0) B(0;) Disegnl e verific che A e B sono i vertici dell iperbole. C ;. [ : ] 8) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in (0;0) ll rett t : e pssnte per P ;. Disegnl. [ : ] 9) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in A ( ; ) ll rett t : e vente sintoto. Disegnl. [ : ] 0) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in A (;0) ll rett t : 0 e pssnte per B (;). Disegnl. [ : ] ) Disegn l iperbole di equzione :. Detto A il suo punto di intersezione con l sse, determin l equzione dell prbol P con sse di simmetri prllelo ll sse vente il vertice V nel centro di simmetri di e pssnte per A. [P : ] ) Disegn l funzione omogrfic : e determin l equzione dell circonferenz C vente in (0;0) l stess tngente di e pssnte per A (;0). [C: 0 ] 80

183 - Iperbole - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE. Determin l equzione dell iperbole riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi F ( 0;0) F ( 0;0) e sintoti di equzione. Disegnl e clcolne l eccentricità. Si P il punto dell iperbole situto nel qudrnte e vente ordint ugule : determin l equzione dell tngente t ll iperbole in P e, dett Q l intersezione di t con l sse, determin l re del tringolo PQO (O origine del sistem di riferimento). [ 5 9 ; e 0 ; t : ; 9 6 re ( PQO) ] 5. Determin l equzione dell iperbole vente fuochi F (0;) F (0;0) ed eccentricità e=. Disegnl e scrivi l equzione degli sintoti. Determin le coordinte dei punti A e B in cui l iperbole tgli l sse e le equzioni delle tngenti in A e B ll iperbole. Detti A e B i punti simmetrici di A e B rispetto l centro C dell iperbole determin perimetro e re del qudriltero ABA B. [ ( ) ; A (;0) B (;0) ; 0 ; 0 ; p 0 ; A=]. Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i suoi sintoti tngente ll rett di equzione. Disegnl e determin le coordinte dei suoi vertici e dei suoi fuochi. Determin l equzione dell circonferenz tngente nei vertici ll iperbole. 9 [ ; A ( ; ) A ( ; ) ; F ; ) (, ; 9 ]. Determin l equzione dell funzione omogrfic vente come sintoto orizzontle l rett di equzione = e pssnte per i punti A(-;) e B(;0). Disegnl e determinne i vertici. Determin l equzione dell prbol con sse di simmetri prllelo ll sse e pssnte per A B e C (centro dell iperbole). [ ; A, ; ) ( ; ] 8

184 - Iperbole - 5. )Determin l equzione dell iperbole riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi F 5;0) e pssnte per il punto P ( ;). Disegnl indicndo vertici, sintoti e (, clcol l su eccentricità. b) Determin l equzione dell tngente t ll iperbole nel punto P e, dett Q l intersezione di t con l sse, determin l equzione dell circonferenz C pssnte per O, A (vertice dell iperbole di sciss positiv) e Q. [ : ;, ;0) ( A ; ; 5 e t : 0 ; C : 0 ] 6. ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i propri sintoti tngente ll rett t : 6. Disegn l iperbole ed indic le coordinte dei vertici A, e dei fuochi F,. b) Detto T il punto di tngenz di t, clcol l re del tringolo A AT. [ : 6 ; A 6; 6) ; F ; ) ; re A A ) 5 6 ] (, (, ( T 7. ) Determin l equzione dell funzione omogrfic vente come sintoto orizzontle l rett e pssnte per A (;0) e B (0;). Disegnl ed indic con C il suo centro. b) Determin l equzione dell rett t tngente in A ll iperbole. Determin l equzione dell prbol P con sse di simmetri prllelo ll sse, tngente t in A e pssnte per B. Disegn P. [ : ; t : ; P : ] 8

185 - Iperbole - 8. ) Determin l equzione dell iperbole riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi (0; F, 0) e sintoti. Disegnl indicndo con B il suo vertice di ordint positiv. b) Si P il punto dell iperbole situto nel qudrnte vente sciss. Determin l tngente in P ll iperbole e, detto Q il suo punto di intersezione con l sse, clcol l re del tringolo B QP. 5 [ : ; P ; ; t : ; 9 re ( B QP) ] 5 9. ) Determin l equzione dell iperbole equilter riferit i propri sintoti spendo che è tngente ll rett t :. Disegnl e determin i vertici A, e i fuochi F,. b) Determin un punto (o i punti) pprtenenti ll rett t tle che l re del tringolo 5 si ugule. PA A [ 9 : ; A, ; ; F, ; ; P (; ) P ( ;) ] 0. ) Determin l equzione dell funzione omogrfic vente come sintoto verticle l rett e pssnte per i punti A ( ; ) e B (0; ). Disegnl, indic con C il suo centro e determin l equzione dell tngente t ll iperbole in B. b) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in B ll rett t e vente il centro sull sintoto verticle di. [ : ; t : ; C : ( ) ( 0) 90 ] 8

186 - Complementi di geometri nlitic - Le coniche Le sezioni di un cono Prbol, ellisse, circonferenz, iperbole sono dette coniche poiché si possono ottenere sezionndo un cono doppi fld. Inftti: se il pino incontr tutte le genertrici si ottiene un ellisse o un circonferenz se il pino è perpendicolre ll sse di simmetri del cono; se il pino è prllelo d un genertrice del cono si ottiene un prbol; se il pino è prllelo due genertrici del cono si ottiene un iperbole. M come si può dimostrre che queste sezioni corrispondono effettivmente ll definizione dei luoghi geometrici che bbimo dto? Dimostrimolo per esempio per l ellisse (in modo nlogo possimo frlo per l iperbole o l prbol). Considerimo le due sfere che sono tngenti l pino che individu l curv-sezione e l cono (vedi figur). 8

187 - Complementi di geometri nlitic - Ciscun sfer tocc il cono secondo un circonferenz e il pino dell curv-sezione in un punto: indichimo questi due punti di tngenz con F ed F. Si P un generico punto sull curv-sezione: ci proponimo di dimostrre che l somm delle distnze d(f, P) + d(f, P) rimne costnte l muoversi del punto P lungo l curv e che quindi si trtt di un ellisse. L rett pssnte per P e il vertice del cono intersec le due circonferenze in due punti che denotimo con G e G. Qundo P si muove sull curv-sezione, G e G si muovono ciscuno su un circonferenz. Si h F P GP e F P GP poiché entrmbi i segmenti pprtengono rette tngenti ll stess sfer. Di conseguenz l somm delle distnze d(f, P) + d(f, P) è ugule ll somm delle distnze d(g, P) + d(g,p) che corrisponde ll lunghezz del segmento fr G e G (dto che P si trov sull rett per G e G ) e rimne costnte l vrire di P sull curv-sezione. Questo dimostr che l curv-sezione è un ellisse secondo l definizione che bbimo dto come luogo geometrico e che i punti di conttto F e F sono quelli che noi vevmo chimto fuochi. 85

188 - Complementi di geometri nlitic - Un po di stori. M perché ellisse, prbol e iperbole si chimno così? Lo studio delle coniche si è sviluppto nel corso di diversi secoli. Per qunto si s le sue origini rislgono Menecmo (50.C.) che considerv solo sezioni con pini perpendicolri d un genertrice del cono: se il cono è d ngolo retto sezionndolo con un pino perpendicolre d un genertrice si ottiene un prbol; se il cono è d ngolo ottuso si trov l iperbole; se il cono è d ngolo cuto si trov l ellisse. Anche Euclide (60-00.C.) si interessò lle coniche sulle quli scrisse ben libri ndti poi perduti e l trttzione fu poi complett, dl punto di vist teorico, negli otto libri 'Le coniche' di Apollonio (00.C.). Si dice che si stto Apollonio, tr l'ltro, d ver introdotto i nomi "ellisse", "prbol", e "iperbole": ellisse vuol dire mncnz, iperbole signific "ndre oltre", e prbol, "mettere ccnto".inftti rgionndo in termini moderni l'equzione dell prbol può essere scritt l cioè l prbol gode dell proprietà per cui, preso un qulunque punto sull curv, il qudrto costruito sull'ordint risult ugule l rettngolo vente per dimensioni l'sciss ed un prmetro l. Se per comodità sceglimo un riferimento tle che un vertice dell curv si nell'origine, come per l prbol precedente, l'equzione di ellisse e dell'iperbole diventno ( ) b ( ) oppure b b e quindi svolgendo i clcoli e ricvndo ² si ottiene, ponendo l b l cioè l per l ellisse (mncnte) b oppure l cioè l per l iperbole (in eccesso). 86

189 - Complementi di geometri nlitic - Equzione generle delle coniche L equzione generle di un conic è b c d e f 0 con,b,c non tutti nulli poiché ltrimenti ottenimo un rett. Vedimo come, l vrire dei vri coefficienti, si ottengno tutte le coniche (eventulmente nche degeneri ) iutndoci con Geogebr. Concentrimoci sull prte di secondo grdo b c ) Supponimo che si un qudrto cioè si b c 0 Considerimo per esempio che c e b : l prte di secondo grdo si può scrivere quindi come ( ) e llor possimo ottenere, l vrire di e, d, f )nessun punto rele ( ponendo per esempio d e 0 f ) 87

190 - Complementi di geometri nlitic - b)un prbol con sse di simmetri prllelo ll rett 0 cioè con inclinzione m (ponendo per esempio d e f 0 ) c)due rette prllele di inclinzione m (di cui un 0 ) eventulmente coincidenti 88

191 - Complementi di geometri nlitic - Csi prticolri: ) Se b c 0 si ottiene un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse poiché rimne solo e quindi l rett è 0 cioè l sse (che può degenerre in un coppi di rette prllele ( di cui un l sse ) eventulmente coincidenti. 89

192 - Complementi di geometri nlitic - b) Se b 0 si ottiene un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse poiché rimne solo c cioè l rett 0 (sse ) che può degenerre in un coppi di rette prllele ll sse ( di cui un l sse ) eventulmente coincidenti. ) Se b c 0 continu tu. ) Se b c 0.continu tu. 90

193 - Complementi di geometri nlitic - Le coniche e l fisic Le coniche sono importnti nche nello studio dell fisic: l triettori di un corpo lncito con velocità vente un componente orizzontle non null dell velocità nel cmpo grvitzionle terrestre è un prbol, le orbite dei pineti intorno l Sole sono ellittiche Lo storico dell mtemtic Crl Boer fferm inftti che fu l mtemtic pur di Apollonio che, 800 nni più trdi, rese possibile i Principi di Newton; quest'oper, su volt, h permesso gli scienziti d'oggi di mndre l'uomo sull Lun. Nello sviluppo dell mtemtic si è spesso dto il cso che rgomenti che originrimente potevno essere giustificti come "degni per se stessi" si sino rivelti più trdi di vlore inestimbile per l'uomo prtico". M i pineti non sono gli unici oggetti orbitre intorno l Sole: ogni nno, inftti, sono vvistte nuove comete, che sono oggetti del sistem solre. Le triettorie delle comete possono essere: ellittiche e in questo cso l comet è periodic, come d esempio l comet di Hlle (l periodicità di quest comet fu scopert d Edmund Hlle, 656-7, fisico e stronomo mico di Newton), che trnsit per il vertice dell'ellisse più vicino l Sole (il perielio) circ ogni 76 nni (l'ultimo pssggio è stto nel 986); orbite perte (prboliche o iperboliche) : l comet h un velocità troppo elevt per essere ctturt dl Sole e, dopo essere psst l perielio, si llontn definitivmente. Che tipo d ellissi descrivono i pineti e le comete periodiche? Le orbite delle comete periodiche sono molto schiccite (eccentriche), mentre le orbite dei pineti sono ellissi poco schiccite cioè molto vicine d un circonferenz ed inftti clcolndo l loro eccentricità bbimo vlori vicino llo zero. 9

194 - Successioni numeriche - Successioni numeriche Un successione numeric è un funzione che ssoci d ogni numero nturle rele: : N R : n n n viene spesso indicto con n e viene chimto termine n-esimo dell successione. Esempi : n n ) Abbimo: 0,,,9,6.Per indicre quest successione possimo nche scrivere n N un numero n n : 0 ecc. 0 ) : n n 0 ecc. 9

195 - Successioni numeriche - 9 ) n n : Not Alcune successioni vengono definite ssegnndo il termine inizile 0 e l relzione tr il termine n e il termine successivo n e in questo cso si dice che l successione è definit per ricorrenz. Esempio: considerimo l seguente successione definit per ricorrenz 0 n n Abbimo: ecc

196 - Successioni numeriche - Progressioni ritmetiche Un progressione ritmetic è un successione in cui l differenz d tr un termine e il precedente è costnte, cioè un successione in cui si ssegn il primo termine 0 e d (che st per differenz e che viene chimt rgione dell successione): 0 n n d Esempi ) 0 n n Abbimo:,6,0,,8,.. In questo cso osservimo che si trtt di un successione crescente (ogni termine è mggiore del precedente). ) 0 n n Abbimo:,-,-6,-0,-.. In questo cso l successione è decrescente (ogni termine è minore del precedente). Osservzione Il termine n di un progressione ritmetic di primo termine 0 e rgione d risult n 0 n d Inftti bbimo: 0 ; 0 d ; ( 0 d) d 0 d ; ecc. Quindi il grfico di un progressione ritmetic srà formto d punti llineti. Per esempio in figur è rppresentto il grfico dell progressione n vente e rgione d. n 0 9

197 - Successioni numeriche - Problem Dt un progressione ritmetic, come risult l somm dei suoi primi n termini? Considerimo per esempio l successione ritmetic di termine 0 e rgione d. Qunto risult l somm dei suoi primi 0 termini cioè qunto risult S ? 0 Possimo osservre che riscrivendo l somm S in ordine inverso e sommndo membro membro bbimo: S S S 0 S 0 0 In generle quindi bbimo: S S n n S n 0 n 0 n n n 0 n S n ( 0 n ) n Un neddoto Il grnde mtemtico Guss qundo er bmbino riuscì clcolre l somm dei primi 00 numeri nturli (che il mestro vev dto d clcolre perché i suoi studenti pssssero un po di tempo.) proprio osservndo che l somm del primo e dell ultimo dv 0 così come l somm 000 del secondo e del penultimo ecc. e quindi clcolndo semplicemente. Esercizio Se considerimo n come il numero di secondi, qul è l successione s n che esprime le posizioni occupte d un punto mterile che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto d un fissto sistem di riferimento prtendo d un posizione inizile s (0)? s (n) 95

198 - Successioni numeriche - Progressioni geometriche Un progressione geometric è un successione in cui il rpporto tr un termine e il precedente è costnte, cioè un successione in cui si ssegn il primo termine 0 e q (che st per quoziente e viene chimt rgione dell progressione) : 0 n q n Esempi ) 0 n n Abbimo:, 6,8, 5, 6.. Osservimo che l successione è crescente ( q e il primo termine è positivo). ) 0 n n Abbimo :,,,, Osservimo che l successione è decrescente ( 0 q e il primo termine è positivo). 0 ) n n Abbimo:, -6, 8, -5, 6. Osservimo che i termini dell successione sono lterntivmente positivi e negtivi. 0 ) n n Abbimo: -, -6,-8,-5,-6.. I termini sono tutti negtivi e l successione è decrescente. 0 5) n n Abbimo:,,, I termini sono tutti negtivi e l successione è crescente. 96

199 Osservzione Il termine Progetto Mtemtic in Rete - Successioni numeriche - n di un progressione geometric di primo termine 0 n 0 q Inftti bbimo : 0, 0 q, 0 q q 0 q ecc. Se per esempio considerimo l progressione geometric con 0 q bbimo: Il grfico cresce rpidmente.,, n,,. e rgione q risult e Problem Come possimo clcolre l somm dei primi n termini di un progressione geometric,q 0? Ponimo Se moltiplichimo per q bbimo: S S n n 0 0 q 0 q... 0 q n q 0 q 0 q 0 q... 0 q n Clcolimo or S n q S : osservimo che bbimo poiché gli ltri termini si nnullno. Allor possimo scrivere: S n n n q q 0 S n q S S n n 0 q n 0 0 q n q Se per esempio considerimo l progressione geometric con 0 e q bbimo 0 S Un neddoto Un leggend nrr che l inventore del gioco degli sccchi chiedesse come ricompens l re di Persi di vere tnti chicchi di grno qunti se ne potev disporre su un sccchier ponendo: chicco nell prim csell, due chicchi nell second, quttro chicchi nell terz e così vi fino ll 6 csell. Inizilmente il re pensò che l inventore si fosse ccontentto di poco m qundo si ccorse che vrebbe dovuto drgli S 6 chicchi l leggend nrr che, preso dll ir, decise di tglirgli l test! 97

200 - Successioni numeriche - Sched Colonie di btteri L mitosi è un processo legto ll divisione cellulre. Attrverso l mitosi un cellul si divide in due cellule figlie che risultno geneticmente e morfologicmente identiche tr loro e ll cellul mdre. L mggior prte dei btteri si riproduce medinte il meccnismo dell scissione cellulre, ovvero dell mitosi. Un volt che un cellul h rggiunto un cert dimensione, si divide in due cellule identiche, di mss pri circ l metà di quell originri. Intnto nche le due cellule figlie crescono fino dividersi ulteriormente e così vi. Un dto btterio si riproduce ogni or circ, proliferndo in colonie molto grndi. Supponimo di poter osservre l evoluzione di un popolzione di questi btteri e che ll inizio dell nostr osservzione si costituit d N btteri. Come risult il numero dei btteri che popolno l coloni l tempo t (misurndo t in ore)? N(0) = 000 N() = N( )... Quindi N( t)... Prov disegnre il grfico di N (t) nel pino crtesino. 98

201 - Successioni numeriche - Sched Interesse semplice o composto? Qundo versimo dei soldi in bnc ricevimo un compenso che è l'interesse. L'interesse è il prezzo che l bnc pg per poter disporre del nostro denro e può essere: Interesse Semplice: se per esempio bbimo depositto 00 euro e l interesse è semplice del 5% gudgneremo 5 euro ll nno e quindi dopo 0 nni, per esempio, vremo 5 0 euro in più rispetto l cpitle depositto. Interesse Composto: l interesse è clcolto ll fine di ogni nno e si cpitlizz, cioè si ggiunge l cpitle depositto. Quindi se bbimo depositto 00 euro e l interesse è del 5% composto il primo nno gudgneremo 5 euro m il secondo nno gudgneremo il 5% di 00+5=05 euro quindi 5,5 euro ecc. Supponimo di ver depositto in bnc 000 euro e che l bnc pplichi un interesse i = %. Clcol il cpitle C (), C () ) interesse semplice C()... C()... C( t)... b) interesse composto C()... C()... C( t)... C(t) dopo, nni.t nni nel cso che si trtti di: Trcci i grfici corrispondenti : è chiro che è più conveniente l interesse.. Generlizz: se indichimo con i l interesse (per esempio i % 0, 0 ) e con C 0 il cpitle inizile (cioè l tempo 0) scrivi come risult il cpitle C (t) dopo t nni ) interesse semplice C( t)... b) interesse composto C( t)

202 - Successioni numeriche - Sched Scl musicle tempert Nell scl musicle tempert l intervllo di un ottv (per esempio d Do l Do di frequenz doppi) viene diviso in intervlli uguli chimti semitoni temperti cioè il rpporto tr l frequenz di due note consecutive (esempio Do e Do diesis, Do diesis e Re ecc.) è costnte. Se chimimo f 0 l frequenz ssegnt l Do (di un determint ottv), come possimo ricvre le frequenze delle note successive (Do diesis, Re, Re diesis, Mi, F, F diesis, Sol, Sol diesis, L, L diesis, Si, Do)? Suggerimento: ricord che l frequenz del Do successivo dovrà essere f f0 e che costnte cioè le frequenze sono in progressione geometric. Riesci determinre l rgione di quest progressione geometric? f n f n è.. 00

203 - Successioni numeriche - Problemi sulle successioni ) Tsso lcolemico Il tsso lcol emico nel sngue indic l quntità (in grmmi) di lcool puro presente in litro di sngue: se un person h un tsso lcol emico di g/l vuol dire che h grmmo di lcool puro per litro di sngue. Spendo che in medi il fegto riesce smltire l lcool fcendo riducendo il tsso lcol emico del 0% ogni or, se un person h inizilmente (dopo un bevut) un tsso lcolemico 0,5 g / l) Scrivi l successione che descrive il tsso lcolemico in funzione del tempo misurto in ore cioè clcol (tsso lcol emico dopo n ore ). n g? Not: fi un ricerc su qul è il tsso lcolemico fissto per legge oltre il qule ci sono multe per guid in stto di ebbrezz e controll bevendo cos e qunto si può rggiungere questo limite. Dopo qunte ore il tsso è minore di 0, / l) [,5 0, 7 n n ; dopo 8 ore] ) Rimblzi Supponimo che un pll veng lscit cdere d un ltezz inizile h, m e che d ogni rimblzo perd il 0% dell su energi. Come 0 risult l ltezz h n dell pll dopo n rimblzi? Qul è l ltezz rggiunt dopo il 5 rimblzo? Se un pll identic, l 6 rimblzo, rggiunge l ltezz di 0,5 m, d qule ltezz er stt lscit cdere? Approssim i risultti ll second cifr decimle. n [ h, 0,8 ; 0, 6 m ;,9 m ] n 0

204 - Successioni numeriche - ) Allenmento in biciclett )Un ciclist progrmm un llenmento stbilendo di percorrere il giorno inizile 0 Km e nei giorni successivi il 0% in più del giorno precedente. Ponendo 0 0 come risult n? Se l llenmento dur 0 giorni, qunti chilometri in totle h percorso? b) Se invece l llenmento vesse previsto di umentre di Km l giorno come risulterebbe n e qunti chilometri in totle si srebbero percorsi in 0 giorni? Not: n rppresent i Km percorsi dopo n+ giorni di llenmento se considerimo nche il giorno inizile. [ ) 0, n ; circ 78 Km ; b) n 0 n ; circ 5 Km] n ) Decdimento rdiottivo Alcune sostnze, dette rdiottive, si trsformno in ltre sostnze (si dice che decdono ) e il tempo in cui l sostnz si dimezz (metà dell su mss inizile si è trsformt) viene chimto tempo di dimezzmento ed è diverso d sostnz sostnz rdiottiv. Per esempio lo iodio- h un tempo di dimezzmento di 8 giorni: se inizilmente hi 00 g di iodio- dopo giorni qunti grmmi sono rimsti? E dopo 50? 5) Ninfee [5 g ;,5 g ] Le ninfee di un lgo impiegno giorno per rddoppire l propri superficie: se ll inizio occupno 0 m e il lgo h un superficie di 0 m, dopo qunti giorni le ninfee vrnno occupto l inter superficie del lgo? [n=5] 0

205 - Esponenzili e logritmi - Funzione esponenzile Abbimo studito le progressioni geometriche ed bbimo visto che ci sono molte situzioni reli in cui il modello mtemtico sottostnte è proprio un progressione geometric. n Considerimo per esempio l successione n con n = 0,, ecc. Invece di limitrci i numeri nturli provimo desso considerre l funzione f : ( posso nche scrivere f ( ) oppure ). Quest funzione risult definit per tutti i numeri reli? Provimo: n se n є N ( moltiplicto per se stesso n volte) n se n є Z n se m n є Q m n n m se è un numero irrzionle, per esempio possimo definire l elemento seprtore delle due clssi contigue di numeri reli come,,,.,5,,5. (dove si sono considerte le pprossimzioni per eccesso e per difetto di ). Quindi f ( ) risult definit cioè il suo dominio è. Chimimo funzione esponenzile un funzione del tipo ( si trov ll esponente) dove è un numero rele positivo e diverso d e si chim bse dell funzione esponenzile. L funzione esponenzile h come dominio (insieme di definizione) l insieme dei numeri reli. Osservzione: si consider l bse > 0 perché con bsi negtive non vrei sempre risultti reli: per esempio con < 0 non è un numero rele. Osservzione: non si consider l bse = perché vremmo l funzione costnte =. 0

206 - Esponenzili e logritmi - Come risult il grfico di? Considerimo per esempio = : possimo fre un tbell ssegnndo vri vlori ll vribile e ottenimo - - =/8 - - =/ - - = / 0 0 = = = Osservzioni L funzione h le seguenti crtteristiche: è crescente cioè se f ( ) f ( ) ; è iniettiv cioè d elementi distinti corrispondono immgini distinte (se f ( ) f ( ) ); è sempre positiv e quindi il grfico si trov sempre sopr ll sse ; h come sintoto l sse. 0

207 - Esponenzili e logritmi - Considerimo desso. Come risult il suo grfico? / / Osservimo che in questo cso l funzione è decrescente, m per il resto h le stesse crtteristiche. In conclusione quindi, in generle, vremo che è un funzione crescente qundo l bse >, decrescente per 0 < <. Il codominio (insieme delle immgini) di è in ogni cso l insieme dei reli positivi > 0. 05

208 - Esponenzili e logritmi - Funzione logritmic Il logritmo (in un dt bse) di un numero Riprendimo l esempio dell dupliczione dei btteri presentto nell sched delle progressioni geometriche: se per esempio il numero inizile dei btteri è N e sppimo che ogni btterio si duplic ogni or, possimo chiederci dopo qunto tempo l coloni srà costituit d milione di btteri Scrivendo il numero di btteri presenti l tempo (misurto in ore) come dovremo risolvere N( ) 000 M llor dovrà essere 000 M qul è l esponente che dobbimo dre per ottenere 000? Scrivimo l tbell di tr 9 e 0. e poiché 9 5 e 0 0 è chiro che il nostro numero srà 9 9,96 Se continuimo provre: m 9, e quindi se ci ccontentimo di due cifre decimli potremo dire che 9, 96. M è chiro che se dobbimo risolvere problemi di questo tipo cercre l esponente giusto ndndo per tenttivi non è molto prtico! I mtemtici hnno chimto log N (che si legge logritmo in bse del numero N ) l esponente d dre ll bse per ottenere il numero N Quindi nel nostro esempio il numero che cercvmo er 000 log 06

209 - Esponenzili e logritmi - Not storic L ide su cui si bs il concetto di logritmo è molto ntic e se ne trov già trcci nelle opere di Archimede: considerimo un progressione geometric, per esempio di rgione, e indichimo ccnto ciscun termine il suo indice che è l esponente d dre per ottenerlo. Numero indice Si osserv che per moltiplicre due termini, per esempio 6 6, possimo rislire i rispettivi indici ( e 6 ), sommrli (+6=0) e infine cercre nell tbell il termine con indice 0: 0 = 0 ed inftti 6 6 = 6 = 0 Questo metodo quindi semplificv il clcolo del prodotto di due numeri purché fossero termini dell progressione. Il mtemtico scozzese John Npier,vissuto nel sedicesimo secolo, noto con il nome itlinizzto di Giovnni Nepero, coniò il termine ncor oggi utilizzto di logritmo, dl greco logon rithmos, cioè numero dell rgione (intendendo l indice, cioè l esponente, per vere il numero dell tbell). M come si clcol il logritmo di un numero? 07

210 - Esponenzili e logritmi - Comincimo d pprofondire l rgomento e studimo prim di tutto l funzione logritmic log che risult l funzione invers dell funzione esponenzile. Se per esempio nell tbell dell funzione tbell dell funzione log. inverto i ruoli delle vribili e ottengo l Trccimo il grfico di log : log / - / - 0 Not Osservimo che i grfici di e di log sono simmetrici rispetto ll rett poiché bbimo scmbito l con l. (e questo ccde sempre qundo si considerno un funzione e l su invers) Osservimo che il dominio dell funzione logritmic è > 0, mentre il codominio sono tutti i numeri reli: dominio e codominio sono scmbiti rispetto ll funzione esponenzile. Il grfico h come sintoto verticle l sse (l esponenzile vev invece l sse ) Se l bse > ottenimo un funzione crescente (come nel cso dell funzione esponenzile) Il grfico intersec l sse in (;0) 08

211 - Esponenzili e logritmi - Trccimo or il grfico di log : log / / / Osservimo che il grfico è in questo cso decrescente. Quindi se 0 log è un funzione decrescente m per il resto bbimo sempre l sse come sintoto verticle e il pssggio per (;0). Not importnte Nel clcolo dei logritmi le bsi più uste sono l bse 0 e l bse e ( e è un numero irrzionle il cui vlore pprossimto è,7 ed è prticolrmente importnte nello studio dell nlisi mtemtic). Se voglimo clcolre log 0 utilizzndo l clcoltrice dobbimo premere il tsto log: log 0 0 = log 0 00 ecc. RICORDA: per indicre il logritmo in bse e si scrive ln (controll il tsto sull clcoltrice). M per clcolre il logritmo di un numero in un bse divers d 0 e d e? Dobbimo studire lcune proprietà dei logritmi d cui ricveremo l regol del cmbimento di bse che ci permetterà di clcolre logritmi in bse qulsisi usndo il tsto log dell clcoltrice. 09

212 - Esponenzili e logritmi - Proprietà dei logritmi ) log ( m n) log m log n Inftti se ponimo llor m log m cioè m e log n cioè n n e quindi log ( m n) m ) log log m log n n Inftti sempre ponendo log m e n log bbimo che log m n m n e quindi n ) log ( m ) n log m Inftti se ponimo log m cioè m vremo che m n ) n n ( e quindi n log ( m n ) ) Cmbimento di bse log m log log b b m Inftti se m log b log b m log b log b m log log b b m Esempio: per clcolre log 000 utilizzndo il logritmo in bse 0 (nell clcoltrice bst premere log per vere il logritmo in bse 0) utilizzndo l relzione del cmbimento di log0 000 bse vremo log 000 9, log0 ed ecco finlmente il numero del nostro esempio inizile! Osservzione logb b In prticolre bbimo log b logb logb Esempio: log0 00 (inftti log 0 00 mentre log 00 0 ) log

213 - Esponenzili e logritmi - Equzioni esponenzili L equzione esponenzile elementre è k (con k>0 ltrimenti non ci sono soluzioni) e per l definizione di logritmo si risolve così: log k Ci sono poi equzioni che si possono ricondurre ll soluzione di equzioni esponenzili elementri. Vedimo degli esempi. Esempi.. log log log.. Per ricondurre quest equzione d un equzione elementre cerchimo di vere lo stesso esponente: scrivimo quindi Dividimo entrmbi i membri per (o per ) e ottenimo: Se vessi diviso per log vrei ottenuto log Operndo però un cmbimento di bse ci ccorgimo che i due risultti sono uguli: inftti log log log (log log ) log ( poiché log 0 ) log 5. 0 Ponimo 0 Quindi nessun soluzione log.

214 - Esponenzili e logritmi - Esercizi sulle equzioni esponenzili. 8 [ ] [ ] [ ]. 5 [ log log 5] 5. 0 [ ] [ ] 7. [ ] [ 0] [ log ] [ log ] 5 5 [ ] [ ] [ log ] [ ] [ 0]

215 - Esponenzili e logritmi - Disequzioni esponenzili Esempi log cioè log cioè In generle se bbimo un disequzione esponenzile elementre del tipo se,essendo l soluzione è se 0, essendo diseguglinz e l soluzione è k ( k 0) un funzione crescente, si mntiene il verso dell diseguglinz e log k un funzione decrescente log k si inverte il verso dell Not: se dobbimo risolvere dl momento che è sempre positivo l disequzione srà sempre verifict. Quindi se bbimo k e k<0 l disequzione è verifict. Nturlmente considerzioni nloghe vlgono per l risoluzione dell disequzione di k con k>0. Se k<0 invece in ci srà nessun soluzione di k poiché è sempre positivo.

216 - Esponenzili e logritmi - Nturlmente un disequzione esponenzile può essere più compless m spesso può essere ricondott ll risoluzione di disequzioni esponenzili elementri. Vedimo degli esempi.. log. log. log log. log log... log 5. 0 Possimo risolvere quest disequzione ponendo e sostituendo ottenimo : 0 cioè che non h nessun soluzione log Ponimo 0 e quindi Studimo il segno del numertore e del denomintore: : N 0 : 0 D Quindi l soluzione è 0.

217 - Esponenzili e logritmi - Esercizi sulle disequzioni esponenzili. 5 5 [ ]. 7 7 [ ] ( ) 0 [ ] [ ] 5. 7 [ ] 6. ( ) ( ) [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] 9. 5 [ 5 log 0 ] [ log5 log5 0] [ ] [ ] [nessun soluzione]. [ 0] [ 0] [ ] 5

218 - Esponenzili e logritmi - Equzioni logritmiche Si dice equzione logritmic ogni equzione in cui l incognit compre come rgomento di un logritmo. L equzione logritmic elementre è quindi: log k ( 0) k Molte equzioni logritmiche possono essere ricondotte ll risoluzione di equzioni logritmiche elementri. Vedimo lcuni esempi. Esempi. log. log ( ) 9. log ( ) log ( 5) In questo cso è importnte determinre l condizione di ccettbilità delle soluzioni (determinre il dominio dell equzione) ricordndo che l rgomento di un logritmo deve essere strettmente positivo. Quindi nel nostro cso vremo: Risolvendo l equzione logritmic bbimo: Quindi l soluzione dell equzione è. 5 ccettbile 6

219 - Esponenzili e logritmi -. log ( ) log ( ) 0 0 non ccettbile Quindi l equzione non h soluzioni. 5. log log 0 In questo cso occorre operre un cmbimento di bse. Per esempio possimo portre tutto in bse ponendo log log log log Quindi : log log 0 5 log 0 log 6. log( 5) log log( ) (Se non scrivimo l bse si intende che ci si riferisce sempre d un stess bse e che non è importnte conoscerl per risolvere l equzione). Impostimo innnzitutto il sistem per vere le condizioni di ccettbilità delle soluzioni: Possimo in questo cso pplicre le proprietà dei logritmi: 5 6 Quindi l unic soluzione è. log ( 5) log( ) ( 5) ( ) 6 ccettbile non ccettbile 7

220 - Esponenzili e logritmi - Esercizi sulle equzioni logritmiche. log. log ( ). log ( ). log ( ) log log (9 ) 5. log( 8) log log [ ] 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 6. log 5 log 0 [ ] 7. log ( ) log ( ) log log log ( 5) log ( ) 9. log ( 5) log ( ) log 0. log( ) log( ) log( ). log log( ) log( ). log log( ) log( ) [ ] 7 [ ] 8 [ ] [nessun soluzione] [ ] [ ]. log 5 log 0 [ ]. log ( ) log ( 5) [nessun soluzione] 5. 5 log log log [ ] 6. log ( ) 5 log ( ) 6 0 [ 9] 5 8

221 - Esponenzili e logritmi - Disequzioni logritmiche L disequzione logritmic elementre è del tipo e si risolve così: se se 0 diseguglinz) log k ( con >0 ) k (essendo k 0 (essendo log crescente si mntiene il verso dell diseguglinz) log decrescente si inverte il verso dell Esempio log Poiché per log è un funzione crescente, si mntiene l diseguglinz. log 0 Poiché per 0 log è un funzione decrescente, si inverte l diseguglinz e v tenuto conto del dominio del logritmo. E chiro che se devo risolvere log k (con >0 ) vrò: Esempio: log 0 log se 0 se 0 k k 9

222 - Esponenzili e logritmi - Nturlmente le disequzioni logritmiche possono essere più complesse m spesso si possono ricondurre ll risoluzione di disequzioni elementri. Vedimo lcuni esempi. Esempi. log. log 0. log 5 ( ) 5 6. log ( ) 7 5. log ( ) log ( ) In questo cso possimo risolvere un unico sistem in cui mettimo il dominio dei logritmi e l risoluzione dell disequzione cioè: L soluzione è: log ( ) log ( ) 0 0 L soluzione è : 0

223 - Esponenzili e logritmi - Esercizi sulle disequzioni logritmiche. log ( ). log ( 5) 0. log ( ). log 0 5. log log 0 6. log log( 8) 7. log log 0 8. log ( ) log (0 ) 9. log (6 ) 0 0. log ( ) log ( ) log ( ). log ( ) 0. log ( ) 0. log5 log5 0. log log ( ) log ( ) 7 [ ] [ ] [ ] [ 0 ] [ ] [ 9] [ ] 7 [ ] [nessun soluzione] [ ] [ 0] [ ] [ 0 5] 5 [ 0 ] 5. log ( ) log ( ) 0 [ 0 ] log( ) 6. 0 log ( ) log log 7. 0 log [ ] [ 0 con ]

224 - Esponenzili e logritmi - Esercizi di ricpitolzione (Equzioni e disequzioni esponenzili e logritmiche). 9 0 [ ]. [ log 6] ( ) log5 ( ) log5 ( ) log5 [ log5 log5 ] [ 0 ] [ log 5 ] [ ] [ ] 8. log (5 ) log (5 ) 0 6 [ ] 5 9. log ( ) log ( ) 0. log ( ) log 0. log ( ) log ( ) log ( ) [nessun soluzione] [ ] [ 5] [ ]

225 - Esponenzili e logritmi [ 0, ]. 5 [ 9 log ] [ ] 6. 0 [ ] [ 0 ] 8. log log [ ] 6 log log log [ ] 0 log [, ] 0. log 0. log [ ]. log log 0 [ ]. 5 log 0 [ ]

226 - Esponenzili e logritmi - Sched di pprofondimento Logritmi e chimic In chimic l concentrzione molre di ioni simbolo [ H ] e si h: H presenti in un soluzione viene indict con il [ H ] per un soluzione di mssim cidità; [ H [ H ] 0 ] 0 7 per un soluzione neutr; per un soluzione di minim cidità (bsic). Si definisce il ph di un soluzione come e quindi bbimo che: ph log 0 [ H ] se [ H ] ph 0 7 se [ H ] 0 ph 7 se [ H ] 0 ph soluzione di mssim cidità; soluzione neutr; soluzione di minim cidità (bsic) Problemi ) Dto il ph di un soluzione, per esempio ph=8, qunto risult l concentrzione di ioni [ H ]?... b) Un umento del ph corrisponde d un umento o un diminuzione dell concentrzione di ioni H?... c) Se l soluzione X h un ph doppio dell soluzione Y, come risult l concentrzione degli ioni H presenti nelle due soluzioni?......

227 - Esponenzili e logritmi - Sched di pprofondimento Logritmi e decibel Ricordimo che l intensità I di un ond sonor è definit come l quntità di energi che ttrvers in secondo un superficie di m dispost perpendicolrmente ll superficie di propgzione dell ond e si misur quindi in W / m. L intensità minim percepit d un orecchio normle (ll frequenz di riferimento di 000 Hz) è I 0 W m (sogli di udibilità). 0 / Si definisce livello sonoro, che indichimo con l s, misurto in decibel (db): Quindi se I I l 0 db Problemi 0 s se I 0 I 0 l 0 db se I 00 I 0 ls 0 db ecc. s 0 log 0 I I 0 l s (db) ) Un mplifictore di un impinto Hi-Fi emette un suono che d un dt distnz h un livello sonoro di 80 db. Rddoppindo l potenz dell mplifictore e quindi l intensità I del suono, come risulterà (in quell stess posizione) il livello sonoro? b) L intensità del suono (per l frequenz di riferimento di 000 Hz) che provoc un senszione di dolore l timpno è I W / m : qul è il livello sonoro corrispondente? c) Rppresent in un grfico (I, s l ) l ndmento del livello sonoro (in db) rispetto ll intensità I del suono. 5

228 - Esponenzili e logritmi - Problemi. Supponimo che nell sterilizzzione del ltte ll tempertur costnte di 0 C il numero n(t) delle spore del microrgnismo Bcillus Sterothermophilus si regolto dll legge n( t) 00 0, 98 t dove t è l durt in secondi del processo di sterilizzzione. Rppresent l ndmento di n(t) e determin il tempo di dimezzmento del numero delle spore cioè dopo qunti secondi il loro numero è dimezzto rispetto quello inizile. [, s]. Un biologo h scoperto che il numero N(t) di un dto tipo di btteri presenti l tempo t (misurto in ore) in un coltur rddoppi ogni or. Spendo che ll inizio (t=0) il numero dei btteri er 50 scrivi l espressione di N(t). Dopo qunto tempo il numero di btteri è mggiore di milione? t [ N( t) 50 ;, h]. Un sostnz rdiottiv si dimezz ogni or. Indicndo con Q 0 l quntità di sostnz rdiottiv inizile, determin l espressione dell quntità Q(t) di sostnz rdiottiv l tempo t misurndo t in ore. Dopo qunto tempo l quntità di sostnz rdiottiv si riduce meno di /00 dell quntità inizile? E dopo qunto meno di /000? [ Q( t) Q0 ; 6,6 h; 0 h]. In qunti nni rddoppi un cpitle inizile C 0 se l bnc pplic un interesse composto del %? [ 5 nni] t 5. Se sppimo che il nostro cpitle inizile rddoppierà in 0 nni, qul è il tsso di interesse composto pplicto dll nostr bnc? [ 7% ] 6. Dopo l fecondzione, per scissione dell cellul mdre nel processo chimto mitosi, si hnno due cellule figlie ogni 0 ore. 6

229 - Esponenzili e logritmi - ) Qunte cellule si hnno dopo 5 giorni dll fecondzione? b) qunti giorni devono pssre dll fecondzione per vere circ cellule? 0 (circ un milione) [6 ; 5 giorni ] 7. )Un bnc pplic un tsso di interesse composto del % con cpitlizzzione d nno (ogni nno l interesse viene ggiunto l cpitle). Scrivi qunto risult il cpitle, prtendo d un cpitle inizile C 0 00 (euro), dopo 5 nni. b) Un ltr bnc pplic lo stesso tsso composto del % m con cpitlizzzione 6 mesi cioè ogni 6 mesi l interesse si somm l cpitle. In questo cso, sempre prtendo d 00 euro, qunto risult il cpitle dopo 5 nni? [circ ; circ 8 ] 8. Un copert misur 50 cm 80 cm ed è spess 0, cm. Ogni volt che l pieghi in due l su superficie si dimezz e rddoppi il suo spessore. Se devi metterl in un sctol 50 cm 0 cm 0 cm (0 c m ltezz dell sctol), qunte volte dovri ripiegrl? L copert strà nell sctol? (controll lo spessore) [ 6 piegture ; sì] 9. Abbimo bisogno di un prestito e confrontimo le proposte di due bnche: l prim ci propone un tsso composto del % con durt di 5 nni (cioè dovremo restituire qunto bbimo vuto in prestito con l interesse mturto in 5 nni), l second un tsso del % con durt 0 nni. Qul è l propost migliore?qunto dobbimo restituire ll prim bnc? E ll second? (Indic con C 0 il vlore inizile del prestito) [l prim;,80 C0 ;, 806 C0 ] 0. Il numero di btteri in un cert coltur rddoppi in 0 (0 minuti). Spendo che il numero inizile è N scrivi come risult il numero N (t ) di btteri presenti dopo t minuti. Dopo qunto tempo i btteri sono milione? t 0 [ N( t) 500 ; circ 9 cioè h 9 ] 7

230 - Sttistic - Sttistic Introduzione Il termine sttistic deriv d Stto perché è lo Stto che conduce i censimenti cioè delle indgini per conoscere il numero degli bitnti, l composizione dell popolzione per età, sesso,condizioni economiche (il censo ). Si sono poi sviluppte indgini sttistiche di vrio genere oltre i censimenti dello Stto. L sttistic nel suo sorgere ed evolversi non si discost di molto dl percorso ttuto d ltre scienze poiché inizi come ttività prtic, tes ll soluzione di problemi concreti, e viene poi sviluppt come disciplin scientific. D ttività di conteggio, enumerzione ed nche di clcolo di semplici medie ttute su rilevzioni effettute per scopi diversi si pss ll osservzione di proprietà di un insieme di dti, del qule si cerc di studirne i seguenti spetti: l vribilità degli stessi, l sintesi ttrverso vrie medie, l dipendenz o indipendenz di due crtteri. Lo sviluppo dell sttistic modern è ssocito i nomi di F. Glton (8-9), di K. Person (857-96) e di Fisher (890-96). Lo studio sttistico dei fenomeni riveste oggi grnde importnz per poter risolvere e studire molti problemi: d esempio uno studio sull vit medi di un popolzione può influenzre le decisioni prese dl governo in cmpo pensionistico; lo studio degli effetti di un frmco in vi di sperimentzione su un cmpione di pzienti può fr decidere se metterlo in commercio oppure no; in cmpo medico uno studio sttistico può servire individure le cuse dell insorgenz di lcune ptologie. Qundo si compie un indgine sttistic viene indgt l presenz di un cert crtteristic (crttere) ll interno di un cert popolzione. Il crttere considerto può mnifestrsi con modlità diverse e può essere: un crttere quntittivo se le sue modlità sono espresse d numeri (discreto se può ssumere un numero finito di vlori o l più un infinità numerbile o continuo se può ssumere tutti i vlori di un intervllo rele); un crttere qulittivo se le sue modlità non sono espresse d numeri. 8

231 - Sttistic - Tbell sttistic e su rppresentzione Esempio Supponimo di chiedere gli studenti dell B dell nno scolstico in corso qule sport prticno di più tr clcio, nuoto, bsket, pllvolo,dnz e tennis. L nostr popolzione sttistic è costituit dgli studenti dell B dell nno scolstico in corso. Il crttere indgto (sport prticto mggiormente) è di tipo qulittivo e le modlità considerte sono clcio, nuoto ecc. Per ciscun modlità indichimo il n degli studenti che hnno indicto quell modlità come sport mggiormente prticto: l frequenz (ssolut) di un modlità è il numero delle volte che quell dt modlità si present, mentre l frequenz reltiv è il rpporto tr l frequenz ssolut e il numero delle unità sttistiche, cioè degli studenti dell B. Supponimo di vere ottenuto l seguente tbell: Sport prticto n studenti dell B Frequenz reltiv Freq. Rel % (frequenz) clcio 5 5/8. nuoto 7 7/8=0,5 5% bsket 8 8/8 pllvolo 6 6/8. dnz /8.. tennis /8. Possimo rppresentre questi dti con: ) un digrmm brre in cui le bsi dei rettngoli distnziti corrispondono lle vrie modlità e le ltezze sono proporzionli lle frequenze n studenti clcio nuoto bsket pllvolo dnz tennis 9

232 - Sttistic - ) un istogrmm in cui i rettngoli sono ffincti n studenti clcio nuoto bsket pllvolo dnz tennis 0 ) un erogrmm in cui un cerchio viene suddiviso in settori circolri corrispondenti lle vrie modlità e mpiezz proporzionle ll frequenz reltiv (o percentule): ; % ; % 5; 8% 6; % 8; 8% 7; 5% clcio nuoto bsket pllvolo dnz tennis Not: per determinre l mpiezz α del settore corrispondente d un dt frequenz reltiv percentule f bst impostre l proporzione α : 60 =f : 00. Se per esempio f=5% ottenimo α =90. 0

233 - Sttistic - Esempio Considerimo l medi ottenut nello scrutinio finle degli lunni dell B del liceo scientifico in un dto nno scolstico e supponimo di vere i seguenti dti rggruppti per clssi di frequenz (l clsse 5-6 comprende gli studenti che hnno un medi finle m con5 m 6 ): quest volt il crttere esminto è un crttere quntittivo (discreto). n studenti "5-6" "6-7" "7-8" "8-9" "9-0" medi finle "7-8" 9% "9-0" % "8-9" 7% "5-6" 8% "6-7" % "5-6" "6-7" "7-8" "8-9" "9-0"

234 - Sttistic - Esempio Considerimo il n di studenti iscritti l primo nno del liceo scientifico nel nostro istituto negli nni dl 008 l 0 come riportto dll seguente tbell: nno scol. n studenti "008" 80 "009" 90 "00" 98 "0" "0" iscritti in prim "008" "009" "00" "0" "0" In questo cso si prl di serie storic e può essere utile rppresentrl con un digrmm crtesino per visulizzre l ndmento del fenomeno. 0 0 iscritti in prim "008" "009" "00" "0" "0" Not L rppresentzione che si sceglie per visulizzre un tbell di dti dipende nturlmente nche dl tipo di tbell: in questo cso il digrmm crtesino è sicurmente l rppresentzione più significtiv.

235 - Sttistic - Medi ritmetic, mod, devizione stndrd Per sintetizzre i dti di un tbell sttistic possimo usre indici : l medi ritmetic, l mod e l devizione stndrd (o scrto qudrtico medio). Vedimo un esempio. Esempio Supponimo di ver rilevto le seguenti temperture mssime nei vri giorni dei mesi di mrzo e luglio di un dto nno: Giorno Temp. M. Mrzo Temp. M Luglio

236 Definimo i seguenti indici : Progetto Mtemtic in Rete - Sttistic - l medi ritmetic è l somm di tutti i dti,...n divis per il numero dei dti cioè... n n Nel nostro cso per clcolrl possimo sommre tutte le temperture oppure determinre l frequenz di ciscun tempertur : se per esempio nel mese di Luglio l tempertur h frequenz, l tempertur 6 h frequenz, l tempertur 7 frequenz, l tempertur 8 frequenz possimo scrivere Ottenimo: medi _ ritmetic Temp m medi Temp m medi Mrzo Luglio 0, 9,6 l mod è il dto che h l mssim frequenz Temp mod Temp mod Mrzo Luglio 0 0 l devizione stndrd (o scrto qudrtico medio) è definit così ( )...( n ) n e ci dà un ide di qunto i dti sono vicini ll loro medi: se è piccolo i dti sono tutti vicini ll medi ritmetic, se invece è grnde sono dispersi. Nel nostro esempio bbimo: dev. Stndrd dev. Stndrd Mrzo Luglio,0, Osservimo quindi che Mrzo i dti sono più dispersi rispetto ll loro medi ritmetic rispetto l mese di Luglio.

237 - Sttistic - Not: se i dti vengono riportti in un foglio Ecel, bbimo disposizione le tre funzioni MEDIA, MODA DEV.ST.POP (dev. Stnd. su tutt l popolzione) che permettono di clcolrle utomticmente inserendo l intervllo dei dti d considerre cioè, reltivmente per esempio Mrzo, bsterà scrivere (se i dti di mrzo sono nelle celle b..b): =medi(b:b) =mod(b:b) =dev.st.pop(b:b) Esercizio : consider le seguenti misurzioni del dimetro di due tubi cpillri effettute con un clibro ed espresse in millimetri misur dimetro tubo dimetro tubo 5,5,8 5,6,7 5,,75 5,,7 5 5,,87 6 5,,7 7 5,5,7 8 5,,8 9 5,,76 0 5,9,78 5,,8 5,,76 5,,8 5,6,75 5 5,,8 6 5,,75 7 5,,8 8 5,,8 9 5,,7 0 5,6,7 Clcol l medi ritmetic delle due serie misure, l mod e l devizione stndrd. Qule delle due serie di misure è stt effettut in modo migliore cioè h l minore devizione stndrd? 5

238 - Sttistic - Tbelle doppi entrt Finor bbimo nlizzto tbelle in cui viene considerto un solo crttere di un dt popolzione (sttistic univrit): vedimo un esempio in cui vengono rilevti due crtteri, quntittivi X e Y (sttistic bivrit). Esempio Considerimo l tbell seguente reltiv d ltezze e pesi degli studenti di un clsse, riportimo i dti in un foglio elettronico e disegnimo il grfico (, ) corrispondente : possimo osservre che i punti seguono un ndmento linere cioè risultno grosso modo disposti lungo un rett. ltezz peso peso ltezz-peso ltezz Serie In generle se due crtteri X e Y di tipo quntittivo prendono i vlori, n e, n possimo clcolre l covrinz X definit nel modo seguente Y XY ( ) ( )...( n ) ( n n ) dove e rppresentno l medi ritmetic delle modlità con cui si presentno i due crtteri e n è il numero dei dti. 6

239 - Sttistic - Osservimo che il punto di coordinte (, ) divide il pino crtesino in quttro zone in cui i prodotti ( ) ( ) sono positivi o negtivi (vedi figur in cui è stto indicto con m e i nlogmente con m). i Se 0 signific che l mggior prte dei prodotti ( ) ( ) sono positivi e X, Y quindi i punti ( i, i ) si trovno soprttutto nelle zone I e III e l nuvol di punti h un form di tipo linere crescente; Se 0 invece l mggior prte dei prodotti ( ) ( ) sono negtivi e quindi X, Y ( i, i i punti ) cdono soprttutto nelle zone II e IV e l form dell nuvol di punti è di tipo linere decrescente; è vicin zero signific che i punti sono sprpgliti senz lcun regolrità Se X, Y oppure sono disposti secondo relzioni diverse d quell linere. i i i i Poiché si può dimostrre che X Y XY X Y (dove X e Y sono le devizioni stndrd di X e Y) XY si definisce il coefficiente di correlzione linere r che risult compreso tr - e. X Y 7

240 - Sttistic - Quindi: Se r 0 si trtterà di un correlzione dirett cioè i crtteri X e Y vrnno un relzione linere crescente, m solo se r è vicino il modello linere interpreterà bene l relzione tr X e Y Se r 0 si trtterà di un correlzione invers cioè i crtteri X e Y vrnno un relzione linere decrescente, m solo se r è vicino - il modello linere interpreterà bene l relzione tr X e Y Se r è vicino zero il legme tr X e Y è lontno d quello linere Se r è vicino oppure - si cerc l rett di regressione o rett interpolnte che più si vvicin i nostri dti. Not: l rett di regressione f ( ) m q srà quell rett che rende minim l somm dei qudrti delle differenze tr il vlore del dto che si è ottenuto in relzione ll modlità f ( i ) che si vrebbe sull rett. i i e il vlore 8

241 - Sttistic - Si può dimostrre che l rett di regressione pss per (, ) e m XY. X Tornimo l nostro esempio. Clcolimo il coefficiente di correlzione linere utilizzndo l funzione di Ecel =CORRELAZIONE( :;b:b ) e ottenimo (pprossimto due cifre decimli) 0,8 Quindi si trtt di un correlzione linere dirett e quindi possimo cercre l rett interpolnte (dett nche rett di regressione) cioè l rett che più si vvicin i punti del nostro grfico. Possimo usre un funzione presente nel foglio di clcolo Ecel: se scrivimo =REGR.LIN (b:b;: ) ottenimo 0,90, cioè l inclinzione dell rett che interpol i nostri punti. Per disegnre l rett di regressione bst cliccre con il tsto destro su un qulsisi punto del grfico e scegliere Aggiungi line di tendenz e scegliere (in questo cso) linere. ltezz-peso peso 50 0 Serie Linere (Serie) ltezz Possimo verificre che l rett interpolnte pss per l medi delle ltezze (7,7) e l medi dei pesi (6,6). 9

242 - Sttistic - Approfondimento ) Se tr i crtteri X e Y sospettimo (osservndo l distribuzione dei punti, ) )che vi si ( i i un dipendenz qudrtic cioè del tipo Y X possimo studire l dipendenz tr X e Y: se trovimo un correlzione linere tr X e Y è chiro che bbimo dimostrto che c è un dipendenz qudrtic tr X e Y. Esercizio Consider i dti dell seguente tbell riferiti i tempi e gli spzi rilevti d un sensore di moto disposto come nell esempio 6 m nel cso che l roti si inclint rispetto ll orizzontle e non veng impress nessun velocità inizile l crrello. tempo () Spzio () 0, 0,0 0, 0,07 0, 0,9 0, 0, 0,5 0,8 0,6 0,7 0,7 0,8, 0,9,58,95 Elbor i dti impostndo un foglio Ecel.Qule dipendenz trovi tr tempo (X) e spzio (Y)? mx ) Se invece tr X e Y pensimo che ci si un legme esponenzile cioè che si Y b possimo vedere se c è correlzione linere tr X e log Y oppure tr X e lny (logritmo in bse e ) o tr X e logy (logritmo in bse 0). Inftti se, per esempio, che Y mx Y b. mx q Y mx q e quindi ponendo log Y mx q llor vremo q b vremo un relzione del tipo Esercizio Consider i dti dell seguente tbell che indicno il numero di btteri rilevti l pssre delle ore in un cultur: tempo(ore) (X) n btteri (Y) Trsferisci i dti in un foglio di Ecel e cerc di cpire che legme c è tr X e Y. 0

243 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic Lbortorio di informtic Geometri nlitic con Geogebr GEOMETRIA ANALITICA CON GEOGEBRA Introduzione INTRODUZIONE Nello studio dell geometri nlitic può risultre interessnte utilizzre il softwre Geogebr Nello studio dell geometri nlitic può risultre interessnte utilizzre il softwre (geometri +lgebr). Geogebr (geometri + lgebr). Vedimo brevemente come si usre. può usre. Vedimo brevemente come si può Aprimo il progrmm: Aprimo il progrmm: comprirà un pino crtesino con dei pulsnti in lto che hnno funzioni simili quelle di comprirà un pino punti, crtesino dei pulsnti in ltoeche hnnoun funzioni similièpossibile quelle di inserire Cbri Cbri (disegnre rette,con circonferenze ecc.) in bsso rig dove (disegnre punti, coordinte di rette, punticirconferenze o equzioni.ecc. ) e in bsso un rig dove è possibile inserire coordinte di punti o equzioni.

244 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Se per esempio digito (,) nell finestr grfic compre il punto corrispondente : posso nche ssegnre un nome l punto, per es. B=(,), ltrimenti viene ssegnto utomticmente seguendo l ordine lfbetico (A, B, C ). Se digito = compre nell finestr grfic l rett corrispondente: per drle un nome bst digitre, per esempio, r : = ltrimenti il nome viene ssegnto utomticmente seguendo l ordine lfbetico (,b,c ). *Prov digitre coordinte di punti e equzioni di rette.. Slider Geogebr offre l possibilità di utilizzre quelli che vengono chimti slider che ltro non sono che prmetri che possono essere inseriti in un equzione e vriti :vrindo il vlore dello slider viene visulizzt l equzione corrispondente e quindi viene compreso il significto di quel prmetro. Crezione di uno slider Prim di inserire uno slider in un equzione dobbimo crerlo: ttivimo il pulsnte in lto in cui compre l scritt slider ; posizionmoci in un punto qulsisi del pino crtesino e fccimo clic con il mouse: comprirà un trttino e ci verrà chiesto di inserire il nome e il cmpo di vrizione dello slider (per esempio chimimolo m e sceglimo di frlo vrire tr -0 e 0 ). Inserimento dell equzione contenente lo slider creto Inserimo per esempio =m (in lcune versioni di Geogebr occorre mettere * per indicre l moltipliczione ) e osservimo che compre subito l rppresentzione dell rett per l origine corrispondente l vlore che viene dto inizilmente llo slider (ugule ). Per visulizzre come cmbi l rett l vrire di m ttivimo nel primo pulsnte in lto sinistr il comndo muovi. Posizionimoci sullo slider (comprirà un mnin) e trscinimo lo slider (cmbi il suo vlore): l rett per l origine cmbi e quindi ci rendimo conto che vrindo m vri l inclinzione dell rett. Possimo nche visulizzre insieme tutte le rette corrispondenti i vri vlori dello slider scegliendo, dopo essersi posizionti sull rett e premuto il tsto destro del mouse, l funzione trcci ttiv (in lcune versioni si trov trcci on ) : questo punto muovendo m comprirnno tutte le rette corrispondenti.

245 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Posso nche inserire un vlore dello slider digitndolo nell rig di inserimento in bsso. Possimo nche vedere utomticmente l vrizione dello slider con : Modific -proprietà fondmentle-nimzione ttiv. Come riportre un grfico ftto con Geogebr ll interno di un documento Se voglimo riportre un grfico ftto con Geogebr ll interno di un documento dobbimo procedere così: selezionre con il mouse l zon dell finestr grfic che ci interess; selezionre file-esport- esport l vist grfic negli ppunti (equivle d un crtl-c cioè d un copi); ndre nel documento dove voglimo inserire il grfico, posizionre il cursore nel punto estto e premere ctrl-v (contempornemente cioè incoll ).

246 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA RETTA Sched ) Studi l equzione generle dell rett *+b*+c=0 crendo gli slider, b, c e fcendoli vrire. Stmp degli esempi. ) Studi l equzione del fscio di rette = + k dopo ver creto lo slider k. Stmp il fscio. ) Studi l equzione del fscio di rette -=m*(-) dopo ver creto lo slider m. Stmp il fscio.

247 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA RETTA Sched Studi fsci di rette generti d due rette r e r combinndo le loro equzioni con un prmetro (slider) k. ) Per esempio consider k * ( ) 0 Osserv cos ccde qundo k 0 e qundo k. Se vessimo scritto k * ( ) ( ) 0 vremmo ottenuto lo stesso fscio? Qundo k cresce qule rett ci vvicinimo? Qule rett si ottiene per k = 0? Stmp il fscio. ) Costruisci un ltro fscio e fi delle osservzioni. Stmp i tuoi esempi. 5

248 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA CIRCONFERENZA Sched )Prov disegnre un circonferenz digitndo nell brr di inserimento l su equzione, per esempio, ^ +^ = ( per elevre l qudrto occorre usre ^). )Puoi costruire un circonferenz nche ttivndo i comndi : circonferenz dti il centro e un punto; circonferenz dti centro e rggio; circonferenz per tre punti (non llineti). Prov e controll l equzione che compre sinistr nell vist lgebr. Stmp le tue prove. ) Cre tre slider,b,c e inserisci l equzione generle dell circonferenz: * b * c 0 Prov vrire,b,c e fi le tue osservzioni stmpndo degli esempi (per esempio se =0, se b=0, se c=0 ) Osserv che non per tutti i vlori di,b,c, ottieni un circonferenz perché.. 6

249 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA CIRCONFERENZA Sched L uso degli slider permette di studire i fsci di circonferenze: possimo combinre l equzione di due circonferenze o di un circonferenz e di un rett. Quli tipi di fsci di circonferenze sono rppresentti dlle seguenti equzioni? Per tutti i vlori di k si hnno circonferenze reli? k * ( ) 0 k * ( ) 0 k * ( ) 0 k * ( ) 0 Stmp i vri fsci di circonferenze e inserisci le tue osservzioni. 7

250 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA LUOGHI DI PUNTI Sched ) Fissti due punti A e B determin il luogo dei punti P del pino che verificno l relzione PA PB AB Suggerimento: se per esempio fissimo un sistem di riferimento che bbi l origine in A, come sse l rett AB e come unità di misur l distnz AB vremo A(0;0) e B(;0) e quindi ponendo P(;) e impostndo l relzione vremo ( ) che sviluppt risult.. ) Fissti due punti A e B, per esempio A(0;0) e B(;0) determin il luogo dei punti P(;) del pino tli che PA PB k con k numero rele positivo. Suggerimento: creimo uno slider k e inserimo l equzione del luogo ( ) k Cos si ottiene l vrire di k? Vnno bene tutti i vlori di k positivi? 8

251 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA LUOGHI DI PUNTI Sched Dti tre punti A, B, C studimo il luogo dei punti P(;) che verificno l relzione PA PB PC k dove k è un numero rele positivo. Suggerimento: possimo fissre un sistem di riferimento in modo che A(0:0) B(;0) (prendendo come unità di misur l distnz tr A e B )e C(;b) con,b slider. Creimo nche lo slider k e inserimo l equzione del luogo: ( ) ( ) ( b) k Come risult il luogo l vrire di k? (osserv l equzione dell curv che compre nell finestr lgebr.) Stmp il luogo ottenuto. Se muovi C cos ccde? Vnno bene tutti i vlori di k positivi? C è un minimo vlore di k? Approfondimento Riesci generlizzre per un numero qulsisi di punti ssegnti A, B, C, D? Consider per esempio A(0,0), B(,0), C(0,) e D(,b) (,b slider): l vrire del qudriltero ABCD cos osservi? 9

252 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched Vedimo un metodo per disegnre l prbol di dto fuoco e dt direttrice. Creimo un punto F (rinominlo) e un rett d (rinominl). Prendimo un punto A sull direttrice (comndo punto su oggetto) e trccimo l rett r per A perpendicolre ll direttrice : trccimo l sse del segmento FA e intersechimo con l rett r individundo il punto P. P pprtiene ll prbol di fuoco F e direttrice d poiché è equidistnte d F e dll rett d. Se ttivimo l trcci di P e muovimo A ottenimo l prbol di fuoco F e direttrice d. 0

253 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Possimo nche usre il comndo luogo. Cncellre con modific Annull, scegli il comndo luogo, selezion P e poi A (poiché le vrie posizioni di P dipendono dlle vrie posizioni di A) e verrà immeditmente disegnt l prbol. Definizione di un mcro Possimo definire un mcro cioè un comndo che ci permetterà di vere l prbol di dto fuoco e direttrice semplicemente cliccndo su un punto-fuoco e su un rett-direttrice. Sceglimo Strumenti cre nuovo strumento : come oggetti finli selezionimo il luogo che bbimo definito, come oggetti inizili il fuoco F e l direttrice d (eliminimo con l crocett ltri elementi che vengono indicti). Premimo successivo (oppure nome e icon): dimo il nome prbol l nostro strumento e selezionimo fine (possimo se voglimo nche ssocire un immgine l nostro strumento, bst prim disegnre un prbol, esportrl come immgine, slvrl e poi sceglierl come icon ). Importnte: se vuoi che questo strumento veng memorizzto ricord di premere Opzioni Slv impostzioni prim di chiudere il progrmm. Provimo se funzion: clic sul nostro strumento, clic su un punto e su un rett

254 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched Vedimo nche un ltro modo per costruire per punti un prbol di fuoco F ssegnto e direttrice d ssegnt (colorl di rosso usndo proprietà-colore per distinguerl meglio). Possimo: trccire l rett r per F perpendicolre d (sse di simmetri); prendere un punto P su r (punto su oggetto) (rinominre il punto); intersecre l rett r con d: si ottiene Q (rinominre il punto); con lo strumento compsso selezionre i punti P e Q (per indicre l pertur PQ e poi il centro F: viene trccit un circonferenz di centro F e rggio PQ; intersecre rett r e circonferenz ottenendo due punti A e B (rinominre i punti) che, essendo equidistnti dl fuoco e dll direttrice, pprtengono ll prbol; ttivre l trcci di A e B e muovere P ottenendo così vri punti dell prbol. Prov usre il comndo luogo : selezion A e poi P (ottieni un rmo dell prbol) e poi ncor B e poi P (ottieni l ltro rmo): nscondi tutt l costruzione lscindo solo F e d. Se muovi fuoco o direttrice osserv come vri l pertur dell prbol. Stmp i tuoi esempi.

255 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - NOTA Quest costruzione può essere eseguit nche in modo più nlitico (utilizzndo cioè le equzioni di rette e circonferenze ). Per costruire per punti un prbol di fuoco per esempio F(0,) e direttrice l sse possimo: trccire un rett r prllel ll direttrice quindi di equzione = k; trccire l circonferenz di centro F e rggio k quindi di equzione ^+(-)^=k^ intersecre rett e circonferenz ottenendo due punti A e B che, essendo equidistnti dl fuoco e dll direttrice, pprtengono ll prbol; vrire l rett r ottenendo così vri punti dell prbol. Quindi con Geogebr possimo procedere così: creimo uno slider k; inserimo l rett = k; inserimo l circonferenz di centro F e rggio k cioè l equzione ^+(-)^=k^ intersechimo rett e circonferenz con il comndo intersezione di due oggetti (troveremo due punti A e B); ttivimo l trcci di A e B; muovimo lo slider k. Stmp il grfico ottenuto. Prov cmbire fuoco e direttrice, per esempio F(,0) e direttrice l sse e ripetere l costruzione Stmp i tuoi esempi.

256 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched ) Prov d inserire, dopo ver creto tre slider, v, v -v = *(-v)^ Prov vrire i vlori di, v, v. Fi le tue osservzioni e stmp degli esempi. ) Prov vedere l relzione tr l mpiezz dell prbol e il prmetro p (distnz fuocodirettrice). Dopo ver creto lo slider p (prendimolo positivo) inserisci l equzione: = /(*p)*^ Puoi nche disegnre fuoco e direttrice inserendo F=(0,p/) e = -p/. Prov muovere p: fi le tue osservzioni e stmp degli esempi.

257 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched Perché il fuoco dell prbol si chim così? Il motivo è legto d un fenomeno di ottic. Se fccimo incidere su uno specchio prbolico un rggio di luce prllelo ll sse dello specchio il rggio riflesso psserà sempre per il fuoco: in questo punto si concentrerà quindi molt energi luminos e per questo è stto chimto fuoco. Provimo verificrlo con Geogebr. Secondo l legge dell riflessione l ngolo di incidenz (tr il rggio incidente e l perpendicolre llo specchio ) è ugule ll ngolo di riflessione (tr il rggio riflesso e l perpendicolre llo specchio) e quindi l tngente t in P (punto di incidenz) ll prbol e l perpendicolre in P t dovrebbero risultre le bisettrici degli ngoli formti dl rggio incidente e dl rggio riflesso. Inserimo l prbol ^ (colorimol di rosso) ; creimo lo slider k e inserimo l rett =k (colorimol di blu); creimo il punto intersezione prbol-rett (P); inserimo F=(0,/) fuoco dell prbol e trccimo l rett r per P e F (colorimol di blu); trccimo le bisettrici delle rette =k e r (pulsnte bisettrici) (trtteggimole). Possimo vedere che le bisettrici sono effettivmente l tngente t ll prbol nel punto P e l su perpendicolre. Muovimo lo slider k: l proprietà risult sempre verifict! 5

258 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched 5 Il moto prbolico Se lncimo un corpo con velocità v0 (nel cmpo grvitzionle terrestre) inclint di un ngolo, il corpo compirà un triettori prbolic ottenut dll combinzione di un moto orizzontle rettilineo uniforme con velocità v0 vo cos con un moto verticle rettilineo uniformemente decelerto con velocità inizile v0 vo sin e decelerzione g 0m / s. ) Considerimo per esempio vo 0m / s e provimo visulizzre il moto prbolico del corpo inserendo, dopo ver creto gli slider (ngolo di inclinzione dell velocità vo e quindi tr 0 e 90 ) e t (tr 0 e, per esempio), il punto P di coordinte P (0 * cos( ) * t,0 * sin( ) * t 5 * t ^ ) Per vedere l triettori di P ttivimo l trcci di P e muovimo t. ) Provimo cercre, per un dto vlore di v0 (nel nostro cso 0 m / s ), per qule ngolo si h l mssim gittt. Per fr questo fissimo d tstier il vlore dell ngolo (non trscinndo il vlore dello slider): digitimo per esempio nell brr dell inserimento 0, muovimo il tempo t e vedimo come risult l triettori e quindi l gittt. Cmbimo d tstier il vlore di e verifichimo che l mssim gittt si ottiene per... 6

259 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Sched 6 Fsci di prbole Per ottenere un fscio di prbole con sse prllelo ll sse possimo combinre l equzione di due prbole con sse prllelo ll sse oppure l equzione di un prbol (con sse prllelo ll sse ) con l equzione di un rett r.. Prov per esempio d inserire, dopo ver creto uno slider k, l equzione del fscio generto dll prbol 0 e dll rett 0 : ^ +k*( )=0 Cos ottieni l vrire di k? Le prbole del fscio hnno un crtteristic comune? Si ottengono sempre prbole? Per qule vlore di k si ottiene l rett?. Prov inserire l equzione del fscio ottenuto combinndo 0 e. Prov d inserire l equzione del fscio ottenuto combinndo e Descrivi i fsci che ottieni specificndo per quli vlori di k non si ottengono prbole e tri un conclusione d qunto hi osservto. 7

260 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO Sched Considerimo l rco dell prbol di equzione con 0. Not: per disegnre solo l rco considerto devi usre il comndo curv[ k,k k, k,0,]. Si P un punto pprtenente ll rco OV con V vertice dell prbol e trccimo il rettngolo PQRS inscritto nel segmento prbolico OVA (vedi figur) Not: perché il rettngolo resti inscritto nel segmento prbolico qundo muovimo P, dobbimo costruirlo trccindo d P l prllel ll sse e intersecre con l prbol (punto Q), l perpendicolre per P ll sse e intersecre con l sse (punto S), l perpendicolre per Q ll sse e intersecre con l sse (punto R). Descrivimo il rettngolo ripssndo per i punti dopo ver selezionto poligono. Se selezionimo il comndo distnz o lunghezz e clicchimo sul rettngolo vremo l misur del perimetro. Possimo così verificre che il vlore minimo del perimetro è.e quello mssimo è...e che ci sono coppie di rettngoli diversi con lo stesso perimetro. 8

261 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO Sched Provimo disegnre con Geogebr il qudrto con il qudrto inscritto proposto negli Appunti in uno degli esempi di problem con discussione. Disegn il qudrto come successione di segmenti iutndoti con l grigli. Costruisci un punto A sul lto AB con il comndo punto su oggetto : per poter costruire i punti B, C, D in modo che BB ' AA' ecc. puoi usre lo strumento compsso prendendo come rggio AA.. All fine nscondi l costruzione e usndo il comndo poligono ripercorri il qudrto A B C D. Utilizz il comndo re e selezion il qudrto A B C D : verrà clcolt l re di A B C D. Se l costruzione funzion qundo muovi A tutto il qudrto A B C D dovrebbe cmbire restndo però inscritto nel qudrto ABCD. Muovi il punto A : l re di A B C D vri tr un vlore mssimo ugule.. un vlore minimo ugule. Esercizio: dto un rettngolo inscrivimoci un prllelogrmm (prendendo AH=BE=FC=DG) seguendo il procedimento usto in quest sched. Come vri l re del prllelogrmm inscritto? L re minim si h qundo AH=.. 9

262 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA ELLISSE Sched Costruzione dell ellisse di dti fuochi e dto sse mggiore Vedimo un metodo per costruire un ellisse di dti fuochi F e F e di dto sse mggiore, per esempio 0 ( F F 0 ): creimo un punto F e un punto F (rinominimoli) e trccimo un circonferenz di centro F e rggio 0. Creimo un punto A sull circonferenz ( con il comndo punto su oggetto ); trccimo l sse del segmento F A e intersechimolo con l rett per F e A: il punto P pprtiene ll ellisse di fuochi F e F e sse mggiore 0 poiché PF PF F A 0 Attivndo l trcci di P e muovendo A otterremo l ellisse: 0

263 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA ELLISSE Sched Prov inserire l equzione di un ellisse, per esempio ^+^/= Otterri l ellisse in figur: Prov definire uno slider (semisse sull sse ) e uno slider b (semisse sull sse )e d inserire ^/^+^/b^= Fcendo vrire gli slider. Stmp lcuni esempi.

264 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA ELLISSE Sched Costruzione dell ellisse di semissi ssegnti Possimo costruire un ellisse di semissi ssegnti e b (riferit i propri ssi di simmetri) seguendo questo procedimento: trcci l circonferenz di centro l origine O e rggio, per esempio 5, e poi l circonferenz di centro l origine O e rggio b, per esempio con il comndo circonferenz dti centro e rggio ; cre un punto A sull prim circonferenz utilizzndo il comndo punto su oggetto ; trcci un semirett uscente d O e pssnte per A, intersec quest semirett nche con l ltr circonferenz con il comndo intersezione di due oggetti : ottieni quindi il punto B; trcci l rett per A prllel ll sse e l rett per B prllel ll sse e intersecle individundo P; ttiv l trcci di P e muovi A sull circonferenz di rggio. Dovresti ottenere l seguente ellisse:

265 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - M perché con questo procedimento ottenimo proprio l ellisse di semissi e b? Consider l ngolo in figur: Abbimo che : P A cos P B b sen P cos e P sen e quindi, poiché tr seno e coseno di un ngolo vle l b relzione sen cos, vremo nche: M llor P P P P b b cioè il punto P pprtiene ll ellisse di semissi e b.

266 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA ELLISSE Sched Poiché l ellisse può essere definit nche come il luogo dei punti P del pino tli che, fissti un fuoco F e un direttrice dir si bbi PF e d ( P, dir ) con 0 e ( e è l eccentricità dell ellisse) possimo costruire per punti un ellisse, per esempio di fuoco F(0;) e direttrice l sse (=0), con un procedimento nlogo quello visto per l prbol. ) Supponimo per esempio di voler costruire un ellisse di eccentricità 0.5. Procedimo così: creimo uno slider k (vribile per esempio tr 0 e ); inserimo l rett = k; inserimo l circonferenz di centro F e rggio 0.5*k cioè l equzione ^+(-)^=(0.5*k)^ intersechimo rett e circonferenz (troveremo due punti A e B); ttivimo l trcci di A e B; muovimo lo slider k. Stmp il luogo che ottieni. b) Prov crere nche uno slider per l eccentricità e (ttenzione che e può vrire solo tr 0 e se vuoi ottenere delle ellissi) in modo che tu poss fissre l eccentricità di volt in volt nche inserendo e =.. d tstier (senz usre l funzione muovi) e poi muovere k per ottenere l ellisse con quell dt eccentricità. Stmp degli esempi. Cos si ottiene nei csi limite corrispondenti e = 0 e e =?

267 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA IPERBOLE Sched Costruzione dell iperbole di dti fuochi e dto sse trsverso Possimo costruire un iperbole di dti fuochi e dto sse trsverso, per esempio 8,con un procedimento nlogo quello utilizzto per l ellisse nell sched ellisse.: l unic differenz è che quest volt F F sse trsverso (8). Abbimo un costruzione come in figur: è chiro che P pprtiene ll iperbole di fuochi F e F poiché PF PF F A 8, essendo PF AP. Attivndo l trcci di P e muovendo A vremo l iperbole: 5

268 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA IPERBOLE Sched ) Inserisci l equzione di un iperbole riferit i propri ssi di simmetri. Per esempio ^-^/= Inserisci l equzione degli sintoti = = - e verific che l iperbole si vvicin d essi. Stmp il grfico. Inserisci un ltr equzione, mgri di un iperbole con sse trsverso l sse, e stmp il grfico. ) Cre due slider, b (semissi dell iperbole) e inserisci l equzione ^/^-^/b^= e l equzione degli sintoti = b/* e = -b/* Muovi gli slider e osserv come cmbi l form dell iperbole. ) Cre due slider,c e inserisci l equzione ^/^-^/(c^-^)= e disegn vertici A=(,0) A=(-,0) e fuochi F=(c,0) F=(-c,0). Muovendo solo lo slider c (cioè cmbindo l posizione dei fuochi e mntenendo costnte l posizione dei vertici), osserv come cmbi l form dell iperbole. Stmp qulche grfico e fi le tue osservzioni. 6

269 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA IPERBOLE Sched ) Inserisci l equzione di un iperbole equilter riferit i propri sintoti, per esempio *= Prov nche d inserire l equzione nell form =/ Stmp il grfico. ) Cre uno slider k e inserisci l equzione *=k oppure =k/ Muovi k e fi le tue osservzioni. ) Cre tre slider c, c, k e inserisci l equzione (-c)*(-c) = k Muovi gli slider e fi le tue osservzioni. Stmp qulche grfico. 7

270 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA IPERBOLE Sched Ricordimo che l iperbole può essere definit nche come il luogo dei punti P del pino tli che, fissti un fuoco F e un direttrice dir si bbi PF e d ( P, dir ) con e ( e è l eccentricità dell iperbole) e quindi possimo costruire per punti un iperbole, per esempio di fuoco F(0;) e direttrice l sse (=0), con un procedimento nlogo quello già visto per l prbol e l ellisse. ) Supponimo per esempio di voler costruire un iperbole di eccentricità. Procedimo così: creimo uno slider k; inserimo l rett = k; inserimo l circonferenz di centro F e rggio *k cioè l equzione ^+(-)^=(*k)^ intersechimo rett e circonferenz (troveremo due punti A e B); ttivimo l trcci di A e B; muovimo lo slider k. Stmp il luogo che hi ottenuto. b) Ripeti l costruzione precedente, m quest volt crendo nche uno slider e (eccentricità e quindi con vlori mggiori di se vuoi un iperbole) e inserendo quindi l circonferenz di rggio e*k. Assegn nche d tstier dei vlori diversi d e e poi muovi k come prim. Fi le tue osservzioni e stmp qulche luogo. c) Ripeti le costruzioni prendendo per esempio F(,0) e direttrice l sse. 8

271 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA CONICHE Sched Creimo sei slider, b, c, d, e, f ed inserimo l equzione generle di un conic: *^+b**+c*^+d*+e*+f=0 Muovi gli slider (senz però mettere,b,c contempornemente tutti uguli zero perché llor si ottiene chirmente un rett). Qundo si ottiene un prbol? Qundo si ottiene un ellisse? E un circonferenz? Qundo si ottiene un iperbole? Si possono ottenere coppie di rette? Stmp degli esempi e fi le tue osservzioni. 9

272 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA CONICHE Sched Ricordimo che un conic può essere definit nche come il luogo dei punti P del pino tli che, fissti un fuoco F e un direttrice dir, si bbi PF e d ( P, dir ) e che se se se prbol e 0 e ellisse iperbole e Fissto per esempio fuoco F(0;) e direttrice l sse (=0), cre uno slider e (vribile per esempio d 0 5) e inserisci nell brr di inserimento l equzione corrispondente. PF e d ( P, 0) e Vrindo l eccentricità bbimo ellissi, prbol, iperboli come negli esempi in figur. Stmp degli esempi. 0

273 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Sched Funzioni esponenzili Provimo disegnre con Geogebr il grfico di un funzione esponenzile. Comincimo con il digitre nell brr in bsso = ^ oppure = (/)^ e osservimone il diverso ndmento. In generle per visulizzre l funzione esponenzile di bse possimo crere lo slider (ttenzione : deve essere positivo) e inserire l funzione =^ Se ttivimo il pulsnte muovi e l trcci del grfico (clic con il destro sul grfico e trcci on ) vrindo l bse otterremo i vri grfici. Stmp qulche grfico l vrire dell bse indicndone le differenze.

274 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Sched Funzioni logritmiche Nel progrmm Geogebr (versione lmeno 5.0) possimo disegnre i grfici dell funzione logritmic in un qulsisi bse. Se digitimo nell brr di inserimento log compiono le vrie scelte di completmento: log() st per logritmo in bse e (che viene indicto con ln); se scrivimo log0() viene visulizzto il grfico di log0 (inftti per =0 si h =) m possimo disegnre il logritmo in bse qulsisi introducendol prim dell. Per esempio log(, ) corrisponde log. Stmp lcuni grfici e metti in evidenz le differenze. Cre uno slider e inserisci log(, ). Qule deve essere l intervllo di vrizione di? Osserv e stmp i grfici che ottieni l vrire dell bse, indicndone le differenze e fcendo le tue osservzioni.

275 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic STATISTICA Sched Aprimo il foglio di clcolo di Open Office e inserimo nelle celle per esempio i dti dell esempio degli Appunti Sttistic in cui sono riportti i dti reltivi llo sport prticto dgli studenti di un clsse (puoi nche cmbire dti fcendo un indgine sugli sport effettivmente prticti nell tu clsse). Se selezionimo le celle e poi sceglimo lo strumento grfico (icon istogrmm) possimo rppresentre i dti si con un grfico colonne (istogrmm) che con un grfico tort (vedi figur). M l frequenz ssolut non è però molto significtiv: molto più significtiv è l frequenz reltiv dei vri sport: per clcolrl dobbimo clcolre il rpporto tr numero di studenti che prticno un dto sport e numero totle di studenti dell clsse (8). Iinserimo nell cell C l formul =b/8 e poi estendimol fino C7 (trscinndo l crocett che compre qundo ci posizionimo con il cursore in bsso destr dell cell C): comprirnno le frequenze reltive (lscimo solo due decimli digitndo formto- celle decimli ). Possimo poi selezionre le celle -7 e poi (tsto CTRL) c-c7 e disegnre il grfico delle frequenze reltive (si come istogrmm che come tort).

276 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic -

277 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic STATISTICA Sched Aprimo il foglio di clcolo di Open Office e inserimo nelle celle per esempio i dti dell esempio degli Appunti Sttistic in cui sono riportti i dti reltivi lle temperture mssime registrte nei giorni di Mrzo e di Luglio di un dto nno. Clcolimo medi,mod e devizione stndrd utilizzndo le funzioni MEDIA,MODA,DEV.ST.POP Not: per clcolre l medi delle temperture di Mrzo devi scrivere =medi(b:b) se i dti di cui vuoi fre l medi sono nelle celle d b b ecc. Per vere risultti con solo un decimle bst scegliere Formto- celle- un decimle. Osservzione: l devizione stndrd delle temperture del mese di Luglio è minore rispetto l mese di Mrzo perché le temperture si discostno poco dl vlore medio. 5

278 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Lbortorio di informtic STATISTICA Sched Considerimo infine un tbell doppi entrt come nell esempio presentto negli Appunti ltezz-peso degli studenti di un clsse. Riport i dti in un foglio di clcolo (potresti nche fre un rccolt dti dei ltezz-peso dell tu clsse) e disegn il grfico, corrispondente. Vedimo che i nostri dti sono piuttosto llineti : se con il tsto destro fccimo clic sui punti del grfico e sceglimo ggiungi line di ndmento verrà disegnt l rett che meglio interpol i nostri dti cioè l rett che più si vvicin lle nostre coppie. 6

279 Progetto Mtemtic in Rete - Lbortorio di informtic - Possimo nche scrivere l equzione dell rett (chimt rett di regressione) e scegliere il formto con un solo decimle per i numeri che vi compiono. Esercizio : verific che l rett che interpol i dti pss per il punto M ; M dove con M si è indict l medi delle ltezze e con M l medi dei pesi. Esercizio : puoi nche trovre solo l inclinzione dell rett interpolnte i nostri dti che si trovno nelle celle :, b:b con l funzione regressione linere. Se digiti =regr.lin(b:b;:) otterri 0,9. 7