Appunti di geometria piana

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1 Appunti di geometri pin Tringoli rettngoli notevoli Tringolo rettngolo isoscele Il tringolo rettngolo isoscele si riconosce nce per gli ngoli cuti di 45 (fig. 1). Not l misur di uno qulunque dei suoi lti si riesce clcolre gli ltri come segue: d cui ovvimente d = l + l = l = l l = d = d Trccindo l digonle in un qudrto (fig. ) si ottengono due tringoli rettngoli isosceli. fig. 1 - qudrto, fig. - tringolo rettngolo isoscele Tringolo rettngolo con ngoli cuti di 0 e 60 Trccindo l ltezz in un tringolo equiltero (fig. ) si ottengono due tringoli rettngoli con ngoli cuti di 0 e 6O. Per riconoscere i cteti è sufficiente ricordre il teorem di geometri elementre secondo il qule in ogni tringolo d ngolo mggiore si oppone lto mggiore e vicevers. Il tringolo rettngolo con ngoli cuti di 0 e 6O risult ugulmente notevole in qunto not l misur di uno qulunque dei suoi lti si riesce clcolre gli ltri come segue: = l - l = 4 l = l d cui l = =

2 fig. - tringolo equiltero, fig. 4 - tringolo rettngolo con ngoli di 0 e 60 Teorem di Pitgor In ogni tringolo rettngolo, il qudrto di lto l ipotenus equivle l somm dei qudrti venti per lti i due cteti: BC = AB + AC I teorem di Euclide fig. 5 - teorem di Pitgor Per cirezz si premette ce il piede dell ltezz reltiv ll ipotenus divide l ipotenus in due prti ciscun delle quli corrisponde ll proiezione ortogonle di un cteto sull ipotenus: BH proiezione ortogonle del cteto AB HC proiezione ortogonle del cteto AC Ciò posto vle il I teorem di Euclide secondo il qule In ogni tringolo rettngolo, il qudrto di lto un cteto equivle l rettngolo ce per lti rispettivmente l proiezione dello stesso cteto sull ipotenus e l inter ipotenus : AB = BH BC ed nlogmente AC = CH BC II teorem di Euclide fig. 6 - equivlenz del primo teorem di Euclide Vle nce il II teorem di Euclide secondo il qule In ogni tringolo rettngolo, il qudrto di lto l ltezz reltiv ll ipotenus equivle l rettngolo ce per lti rispettivmente le proiezioni dei cteti sull ipotenus (vedi fig. 7):

3 AH = BH HC fig. 7 - equivlenz del secondo teorem di Euclide Relzioni notevoli in un tringolo rettngolo Regol prtic per ricvre l ltezz reltiv ll ipotenus: è sufficiente confrontre i due modi di clcolre l doppi re in un tringolo rettngolo. Seguendo l figur 5 si : S = AB AC } AB AC = BC AH AH = S = BC AH AB AC BC Relzione fr lti e rggio dell circonferenz inscritt Per il noto teorem dell tngenti d un circonferenz condotte d un punto esterno d ess secondo il qule i segmenti di tngenz sono isometrici, vlgono le seguenti relzioni scritte in se ll figur 8: AB = x + r AC = y + r BC = x + y fig. 8 - circonferenz inscritt in un tringolo rettngolo Corde Notevoli Si definiscono corde notevoli quelle ce risultno lti di poligoni regolri inscritti ll'interno di un circonferenz di rggio R le cui misure sono fcilmente determinili ricorrendo or i tringoli rettngoli notevoli (con ngoli di 0, 45 e 60 grdi) or ll sezione ure del rggio. L seguente tell rccoglie le principli crtteristice.

4 4 lto del corrispondente poligono Misur dell cord rispetto l rggio R ngolo l centro sotto cui è vist l cord ngolo ll circonferenz sotto cui è vist l cord l R l 4 R l 6 R 60 0 l 10 R suggerimento: fig. 9 - poligoni regolri e reltive corde Per risolvere un prolem geometrico ce necessit dell intervento dell lger conviene: ricvre le ipotesi con il linguggio dell trcci introdurre le incognite necessrie (un o più) trdurre le ipotesi medinte le incognite trsformndole in un o più equzioni (tnte qunte sono le incognite) risolvere l equzione (o eventulmente il sistem di equzioni criticre le soluzioni ottenute ll luce dell costruzione geometric e di eventuli prticolri Note ipotesi dell trcci. Il numero minimo di tringoli in cui si può suddividere un poligono di n lti è (n - ). Il numero di digonli ce si possono trccire in un poligono di n lti è n (n- ).

5 5 Formulrio figure pine Qudrto p = 4 l l = p A = l l = A 4 d = l + l = l = l l = d d Rettngolo p = ( + ) A = d = + = A = A d prllelogrmm p = ( + l) A = = A = A d 1 d romo p = 4 l l = p A = d 1 d d 1 + d = l d 1 d = l l r 4 d 1 = A d d = A d 1

6 6 d 1 d 1 d r d Tringolo p = + + c A = rggio dell circonferenz inscritt = A = A r = A p rggio dell circonferenz circoscritt R = c 4 A g g c c C 1 g i g c i C Tringolo rettngolo p = c 1 + c + i A = c 1 c oppure A = i i g C 1 i i C Trpezio p = ( l 1 + l ) A = ( 1+ ) ( 1 + ) = A = A ( 1 + )

7 7 1 d1 d d 1 d d 1 d pentgono S p = 5 l l l l = S p A = S p S p = A 5 = A S p O R B A O R B A esgono... poligono regolre di LLn lti S p = 6 l l l l = S p A = S p S p = A 6 = A S p e più in generle, se con n si indic il numero di lti del poligono regolre, si : S p = LLn l l l l = S p LLn A = S p S p = A = A S p = R - l l circonferenz e cercio c = ππ r r = c ππ A = ππ r per il settore circolre vle l proporzione: per il segmento circolre invece r = A set : A c = αα rd : ππ A seg = A set - A (AOB) A ππ

8 8 cord O r A dimetro O B settore circolre A O A segmento circolre O B Costruzione figure pine Formulrio figure solide cuo Appunti di geometri solid PA = l l PA l = 4 l l PA t = 6 l l V = l l l l = V SD = d + l l = l l = l l l l = SD d D d prllelopipedo PA = } PA l = S p PA t = PA l + PA

9 SD = d + = + } + 9 V = PA = V S PA = V D d d prism PA = S p PA l = S p PA t = PA l + PA V = S = V PA PA = V N.B. - Per potem di se di un prism si intende il rggio r dell circonferenz inscritt nel poligono di se. pirmide PA =... PA l = S p PA t = PA l + PA V = PA = V PA PA = V N.B. - Per potem di un pirmide si intende generlmente l'ipotenus del tringolo rettngolo i cui cteti sono l'ltezz dell pirmide ed il rggio r dell circonferenz inscritt nell se. r tetredro

10 10 PA = l l 4 PA l = PA f PA t = 4 PA f V = PA = V PA PA = V tronco di pirmide PA l = (S p 1 + S p ) PA t = PA l + A 1 + A V = A A = A 1 + A + A 1 A = A 1 +A + V A 1 A N.B. - Per ltezz, (potem ) di un tronco di pirmide si intende generlmente l differenz fr le ltezze (le poteme) delle due pilmidi ce lo generno per differenz. r dimostrzione cilindro A = ππ r A l = ππ r A t = A l + A V = A = V A A = V

11 11 cono PA = ππ r V = PA PA l = ππ r = V PA PA = V PA t = PA l + PA N.B. - Per ltezz, (potem ) di un tronco di cono si intende generlmente l differenz fr le ltezze (le poteme) dei due coni ce lo generno per differenz. r tronco di cono PA l = (c 1+c ) V = A A = ππ (R + r) PA t = PA l + A 1 + A =... = ππ R + r + R r r R dimostrzione L sfer e le sue prti PA = 4 ππ r r = PA 4 ππ

12 1 V = 4 ππ r r = V 4 ππ