Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

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1 Unità LA GEOMETRIA Lungezz dell circonferenz e re del cercio Misur dell circonferenz Il rpporto fr l misur c di un circonferenz e l misur d del suo dimetro è costnte ed è ugule π (si legge pi greco) L misur di un circonferenz si ottiene moltiplicndo l misur del dimetro per π Ricord: π =,4 è pprossimto per difetto meno di 00 c = d π, d cui: d = c π Per esempio, dt un circonferenz di dimetro d = 5 cm, per clcolre l lungezz dell circonferenz procedi così: circonferenz circumference circonférence circunferenci dimetro dimeter dimètre diámetro c = d π= 5 π cm (47, cm) Poicé il dimetro è il doppio del rggio, cioè d = r, si : c = πr, d cui: r = c π Per esempio, clcol il rggio di un circonferenz c = 4 π cm c 4 π r = = = cm π π pi greco pi pi pi grieg rggio rdius ryon rdio 8

2 Lungezz dell circonferenz e re del cercio Are del cercio L re di un cercio si ottiene moltiplicndo il qudrto dell misur del suo rggio per π: cercio circle cercle círculo = πr d cui: r = π Per esempio, clcol il rggio di un cercio vente l re = 5π cm 5 π r = = = 5 cm π π Are dell coron circolre L re di un coron circolre si ottiene sottrendo ll re del cercio mggiore l re del cercio minore rggio del cercio minore rggio del cercio mggiore coron circolre nnulus couronne circulire coron circulr coron circolre = πr πr Per esempio, per clcolre l re di un coron circolre limitt d due circonferenze venti i rggi, rispettivmente, di cm e 8 cm, procedi così: coron circolre = πr πr = π 8 π = 69π 64π = 05 π cm 9

3 Unità 4 LA GEOMETRIA I poliedri Poliedri Un poliedro è un figur solid il cui contorno è costituito d un numero finito di poligoni: i poligoni si dicono fcce; i lti dei poligoni si dicono spigoli; i vertici dei poligoni si dicono vertici; i segmenti ce congiungono due vertici non pprtenenti ll stess fcci si dicono digonli spigolo vertice fcci digonle poliedro polyedron polyèdre poliedro fcce fces fces crs L somm delle fcce lterli costituisce l superficie lterle; l somm di tutte le fcce, comprese le bsi, costituisce l superficie totle L misur dell estensione di un solido è il volume L unità di misur fondmentle del volume è il metro cubo (m ) spigoli edges rêtes rists superficie lterle lterl surfce surfce ltérle superficie lterl superficie totle totl surfce surfce totle superficie totl vertici vertices (sing vertex) sommets vértices volume volume volume volumen metro cubo cubic metre mètre cube metro cúbico digonli digonls digonles digonles 0

4 I poliedri 4 Ricord: p perimetro; ltezz; d digonle; re dell superficie lterle; t re dell superficie totle; volume Prism Un prism retto è un poliedro il cui contorno è costituito d due poligoni ce sono le bsi del prism e d tnti rettngoli qunti sono i lti del poligono di bse spigolo di bse prism retto rigt prism prisme droit prism recto ltezz Un prism si dice regolre se è retto e per bse un poligono regolre = p, d cui: p = ; = p t t = + b, d cui: = t b ; b = = b, d cui: b = ; = b Per esempio, clcol l re dell superficie totle e il volume di un prism retto bse qudrt, vente lo spigolo di bse di 7 cm e l ltezz di cm Si : (prism) regolre regulr régulier regulr b = = 7 = 49 cm ; = p = 7 4 = 6 cm ; t = + b = = 44 cm ; = b = 49 = 588 cm

5 LA GEOMETRIA A) Prllelepipedo rettngolo Un prllelepipedo rettngolo è un prism retto ce per bsi due rettngoli digonle d c prllelepipedo rettngolo rigt prllelepiped prllélépipède rectngle prlelepípedo rectángulo b dimensioni = p, d cui: p = ; = p t t = + b, d cui: = t b ; b = = b c, d cui: = ; b = ; c = b c c b d = + b + c Per esempio, dto un prllelepipedo rettngolo vente le dimensioni = 5 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, clcol l re dell superficie totle e il volume b = b = 5 4 = 0 cm ; = p = (5 + 4) 5 = 70 cm ; t = + b = = = 0 cm ; = b c = = 00 cm

6 I poliedri 4 B) Cubo Si dice cubo un prllelepipedo rettngolo ce le tre dimensioni congruenti cubo cube cube cubo digonle d spigolo = 4, d cui: = 4 t = 6, d cui: = t 6 =, d cui: = d d =, d cui: = Esempio: clcol l re dell superficie lterle, dell superficie totle e il volume di un cubo con lo spigolo = cm = 4 = 4 = 4 69 = 676 cm ; t = 6 = 6 = 6 69 = 04 cm ; = = = 97 cm

7 LA GEOMETRIA Pirmide Un pirmide è un poliedro il cui contorno è costituito d un poligono e d tnti tringoli qunti sono i lti del poligono venti tutti un vertice in comune Un pirmide si dice rett qundo il poligono di bse è circoscritto un circonferenz il cui centro coincide con il piede dell ltezz Un pirmide si dice regolre se è rett e per bse un poligono regolre pirmide pyrmid pyrmide pirámide V ltezz potem D A H r C B potem di bse = + r ; = r ; r = p =, d cui: p = ; = p t = + b, d cui: = t b ; b = t b =, d cui: b = ; = b Per esempio, un pirmide qudrngolre regolre l potem di 6 cm e l ltezz di 4 cm Clcol l re dell superficie totle e il volume r = = 6 4 = = 00 = 0 cm; l = r = 0 = 0 cm; p l = = = l = 0 = 400 cm ; b = + = = 440 cm ; t l b = = b 8 = 040 cm ; = 00 cm 4

8 LA GEOMETRIA I solidi di rotzione 6 Unità Solidi di rotzione Un solido di rotzione è generto dll rotzione complet di un figur pin intorno un rett, dett sse di rotzione A) Cilindro Un cilindro è un solido ce si gener dll rotzione complet di un rettngolo intorno uno dei suoi lti solido di rotzione solid of revolution solide de rottion sólido de rotción O A ltezz O r A sse di rotzione rottion xis xe de rottion eje de rotción rggio di bse = πr, d cui: r = ; = π πr t t = + b, d cui: = t b ; b = = πr, d cui: = ; r = πr π Per esempio, per clcolre l re dell superficie totle e il volume di un cilindro vente il rggio di bse di 8 cm e l ltezz di 0 cm, procedi così: cilindro cylinder cylindre cilindro = πr = π 8 0 = 0 π cm ; b = πr = 8 π = 64π cm ; t = + b = 0π + 64π = 448 π cm ; = b = 64π 0 = 80 π cm 5

9 LA GEOMETRIA B) Cono Un cono è un solido ce si gener dll rotzione complet di un tringolo rettngolo intorno l un suo cteto L ipotenus del tringolo rettngolo è dett potem del cono cono cone cône cono ltezz potem r rggio di bse = + r ; = r ; r = = πr, d cui: r = ; = π πr t = + b, d cui: = t b ; b = t π r =, d cui: = ; r = π r π Per esempio, clcol l re dell superficie totle e il volume di un cono vente il rggio di bse di 9 cm e l ltezz di cm = + r = + 9 = = 5 = 5 cm; = π r = π 9 5 = 5 π cm ; b = π r = 9 π = 8π cm ; t = + b = 5π + 8π = 6 π cm ; π r π 9 = = 4 = 4 π cm 6

10 I solidi di rotzione 6 C) Sfer Un sfer è un solido ce si gener dll rotzione complet di un semicercio intorno l proprio dimetro rggio sfer spere spère esfer O r L superficie sferic (S) è l insieme dei punti dello spzio ce nno l stess distnz r d un punto fisso O S= 4π r, d cui: r S = 4π superficie sferic spericl surfce surfce spérique superficie esféric = 4 π r, d cui: r = 4π Per esempio, clcol l re dell superficie sferic e il volume di un sfer vente il rggio r = 5 cm S= 4πr = 4π 5 = 900 π cm ; 4 4 = πr = π 5 = 4500 π cm 7