Triangoli rettangoli

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1 Tringoli rettngoli Teori in sintesi Teoremi sui tringoli rettngoli Teorem In un tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule quell dellipotenus moltiplict per il coseno dellngolo cuto esso dicente o per il seno dellngolo opposto P γ sen β cos γ c cos β sen γ β c H c tg β c ctg γ c tg γ ctg β Teorem In un tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule quell dellltro cteto moltiplict per l tngente dellngolo opposto o per l cotngente dellngolo cuto esso dicente Teorem dellre Lre di un tringolo è ugule l semiprodotto delle misure di due lti per il seno dellngolo tr essi compreso sen γ β c H 0 < γ < γ β < γ < c γ γ H Teorem dell cord L lunghezz di un cord di un circonferenz è ugule l prodotto del dimetro per il seno di uno qulunque degli ngoli ll circonferenz che insistono su uno dei due rchi determinti dll cord stess r sen 65

2 Tringoli rettngoli iettivo Risoluzione dei tringoli rettngoli sercizio risolto Indicndo con l misur dellipotenus, con e c le misure dei cteti, con β e γ le mpiezze degli ngoli opposti e c, risolvere i tringoli di cui sono dti i seguenti elementi: 5 β Utilizzndo l relzione sen β 5 sen si h:, 5 Utilizzndo l relzione c cosβ 5 cos, si h: c 5 Poiché β + γ, si h: γ 6 sercizi guidti Indicndo con l misur dellipotenus, con e c le misure dei cteti, con β e γ le mpiezze degli ngoli opposti e c, risolvere i tringoli di cui sono dti gli elementi indicti 6 Utilizzndo l relzione si h: senβ sen β, d cui: β e cos β Utilizzndo l relzione c cosβ, si h: c Poiché β + γ, si h: γ c 5 Utilizzndo l relzione c tg β, si h: tg β D cos β + sen β si ricv: cos β, sen β, d cui: cos γ, sen γ Utilizzndo il teorem di Pitgor o l relzione sen β, si h: Indicndo con l misur dellipotenus, con e c le misure dei cteti, con β e γ le mpiezze degli ngoli opposti e c, risolvere i tringoli di cui sono dti i seguenti elementi 7 6 γ β c 5 c c tg γ c 5 sen γ 5 66

3 Tringoli rettngoli iettivo Risoluzione di semplici prolemi sui tringoli rettngoli sercizio risolto Determinre lre e il perimetro di un tringolo rettngolo, spendo che lipotenus è lung 0 cm e che senβ, essendo β uno degli ngoli cuti del tringolo Utilizzndo l relzione senβ, si h: 0 0 cm Utilizzndo il teorem di Pitgor o l relzione c cos β 0 5, si h: c 0 5 cm Il perimetro è quindi Lre è cm p cm sercizi guidti Determinre lre di un romo di lto cm, spendo che un ngolo misur Il romo è costituito d tringoli rettngoli uguli di ipotenus lung e con un ngolo cuto β Utilizzndo l relzione sen β, si h: cm Utilizzndo l relzione c cos β, si h: c cm Lre del romo è dt d: c cm In un circonferenz di dimetro 8 cm, trccire l cord D perpendicolre l dimetro e tle che lngolo Determinre l lunghezz dell cord D e il lto del qudrto equivlente l qudriltero D Fcendo riferimento ll figur lto, si h che il tringolo è in Quindi: cos Il tringolo H è in H Quindi: H sen e D Il qudriltero D h re D cm Il lto del qudrto è dto d: l 8 cm D H 67 RS Liri Sp - Divisione Eduction, Milno

4 Tringoli rettngoli 5 Determinre lre e il perimetro di un tringolo rettngolo, spendo che lipotenus è lung 60 cm e che senβ essendo β uno degli ngoli cuti del tringolo 5, 6 Determinre lre e il perimetro di un tringolo rettngolo, spendo che lltezz reltiv l lipotenus è lung cm e che form con uno dei cteti un ngolo di coseno pri 5 7 In un tringolo isoscele lngolo l vertice è e il lto oliquo misur 6 cm Determinre lre e il perimetro del tringolo 8 L proiezione domr di un plo pintto verticlmente sul terreno è cm lcolre lltezz del plo spendo che i rggi cdono 56 con il terreno (utilizzre l clcoltrice) 9 Determinre i cteti di un tringolo rettngolo, spendo che lre vle 5 cm e che l tngente di uno dei suoi ngoli cuti è 0 In un tringolo isoscele, il coseno degli ngoli ll se vle e l se misur 6 cm 5 Determinre le misure delle tre ltezze del tringolo e l su re Determinre l misur delle digonli e il perimetro di un romo D, spendo che lngolo e che il punto di incontro delle digonli dist dl lto 0 cm 6 In un semicirconferenz di dimetro 0 cm e centro, è dt un cord D tle che sen D Trccit l tngente in D ll semicirconferenz, si il punto di incontro tr 5 l tngente e il prolungmento di lcolre il perimetro del tringolo D D In un circonferenz di dimetro cm è inscritto il qudriltero D Lngolo γ è tle che sen γ e il lto D cm Determinre il perimetro e lre del 5 qudriltero un punto mterile sono pplicte le forze di intensità F N e F 8 6 N tr loro perpendicolri Determinre l risultnte in modulo, direzione e verso 68

5 Tringoli rettngoli iettivo lcolre l re di un tringolo sercizio risolto Determinre lre di un prllelogrmm, spendo che le misure di due suoi lti consecutivi sono 5 e cm e che lngolo cuto tr essi compreso h l tngente ugule Per clcolre lre si utilizz l relzione sen γ, poi si moltiplic il vlore ottenuto per Spendo che tg γ 5 e che cos γ + sen γ, si ottiene cos γ e sen γ 5 Quindi lre del prllelogrmm è sen γ 5 0 cm sercizio guidto 5 Determinre lre del dodecgono regolre in funzione del rggio dell circonferenz circoscritt Si consider il dodecgono costituito d tringoli isosceli uguli, di lto r e ngolo l vertice Lre del dodecgono è pri volte lre di ogni tringolo, quindi si h: cm r 6 Determinre lre di un tringolo, spendo che le misure di due suoi lti consecutivi sono 9 e 0 cm e che lngolo cuto tr essi compreso h il coseno ugule 5 7 Determinre lre di un prllelogrmm, spendo che le misure di due suoi lti consecutivi sono e 8 cm e che lngolo tr essi compreso h il coseno ugule 7 8 Determinre in funzione del rggio dell circonferenz circoscritt, lre dellottgono regolre 9 Determinre lre del tringolo, spendo che 5 cm, 8 cm, cos, tg 0 L digonle cm del qudriltero D lo divide nel tringolo, rettngolo in e nel tringolo isoscele D, di se Spendo che D, clcolre lre e il perimetro del qudriltero 6 69

6 Tringoli rettngoli iettivo pplicre il teorem dell cord sercizio risolto In un circonferenz di centro e rggio r sono dte due corde consecutive lcolre lre del tringolo r e 6 r 5 Per clcolre lre, si utilizz l relzione sen γ Si h: sen γ sen ( + ), dove e sono gli ngoli cuti ll circonferenz che insistono sulle due corde ssegnte Utilizzndo l formul invers del teorem dell cord, si h: sen cos r r sen r 5 cos 5 ( ) sen γ sen ( ) ( ) + ( ) Lre è quindi: + 6 r r r Determinre l lunghezz di un cord di un circonferenz di rggio r 5 cm, spendo che sen 7, essendo un punto dell circonferenz 5 In un circonferenz di centro e rggio r è dt l cord 6 r Determinre lngolo ll circonferenz che insiste sull cord 5 In un circonferenz di centro e rggio r è dt l cord 5 r Determinre le funzioni goniometriche dellngolo convesso Determinre il lto del dodecgono regolre inscritto in un circonferenz di rggio 6 cm 5 In un circonferenz di centro e rggio r è dt l cord, sull qule si costruisce un tringolo equiltero, non contenente il centro dell circonferenz, l cui re vle r Determinre lngolo ll circonferenz che insiste sull cord 6 Determinre il perimetro dellottgono regolre in funzione del rggio dell circonferenz circoscritt 7 In un circonferenz di centro e rggio r sono dte due corde consecutive 5 r e r lcolre lre del tringolo 70

7 Tringoli rettngoli iettivo 5 pplicre i teoremi studiti prolemi di geometri pin PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) 8 In un semicirconferenz di centro e dimetro r, trccire l tngente condott d e considerre su ess un segmento D r ongiunto D con, si M lintersezione tr il segmento D e l semicirconferenz lcolre il perimetro e lre del tringolo M pplicre il teorem dei tringoli rettngoli per determinre lngolo D sservre che il tringolo M è rettngolo pplicre il teorem dell cord o dei tringoli rettngoli e clcolre M e M lcolre lre e il perimetro D M 9 In un trpezio D si h: D D, cos D 7 e cos D Determinre lre e il perimetro del trpezio 5 5 Ricordre che in un trpezio gli ngoli dicenti i lti oliqui sono due due supplementri Indicre con H e DK le ltezze del trpezio; pplicre il teorem dei tringoli rettngoli d DK e clcolre H DK e K pplicre il teorem dei tringoli rettngoli H e clcolre e H Determinre K + D + H lcolre re e perimetro 0 In un semicirconferenz di centro e dimetro r è inscritto un trpezio isoscele D I lti oliqui sono tli che D r Determinre lre e il perimetro del tringolo D pplicre il teorem dell cord per determinre le funzioni goniometriche di D sservre che il tringolo D è rettngolo e dedurre le funzioni goniometriche di D lcolre l lunghezz dell cord D Indicre con H e DK le ltezze del trpezio; clcolre D r K dopo ver risolto il tringolo rettngolo DK Determinre il perimetro del tringolo D Determinre lre: oppure D D sen D, essendo D D H D In un circonferenz di centro e rggio r sono dte tre corde consecutive r, r, D r Dimostrre che i punti e sono dimetrlmente opposti, clcolre lre del qudriltero D e determinre l lunghezz dell cord 5 D 7

8 Tringoli rettngoli pplicre il teorem dell cord per determinre le funzioni goniometriche degli ngoli in figur indicti con β, β, γ sservre che β è complementre di β e quindi è un dimetro Di conseguenz, γ D è complementre di γ lcolre lre del tringolo, rettngolo in sservre che γ D D perché ngoli ll circonferenz che insistono sull stess cord D lcolre lre del tringolo D con il teorem dellre Determinre D con il teorem dell cord γ γ β β γ D Teori in sintesi Geometri nello spzio Teorem delle tre perpendicolri Si r un rett perpendicolre l pino e si P il suo piede; se d P si conduce l perpendicolre n un qulunque rett s del pino, questultim risult perpendicolre l pino individuto d r e d n s U n Q r R P V Posizione reltiv tr due rette nello spzio incidenti omplnri prllele Non complnri o sgheme Posizione reltiv tr rett e pino Secnti un punto in comune nessun punto in comune Prlleli l rett gice sul pino Posizione reltiv tr due pini Secnti un rett in comune coincidenti Prlleli nessun punto in comune I solidi Principio di vlieri Due solidi sono equivlenti se: ppoggiti llo stesso pino hnno l stess ltezz; le loro sezioni ottenute con pini prlleli quello di ppoggio sono equivlenti 7

9 Tringoli rettngoli Prism Figur solid Prllelepipedo uo Pirmide D E E c v E c E H D H D h V d d D D F G p F r r K H ltezz G Definizione Si chim prism l regione di spzio delimitt di due poligoni D e D, detti si, e di prllelogrmmi,, detti fcce lterli Un prism si dice retto se il vettore v è perpendicolre l pino, regolre se le si sono poligoni regolri Si chim prllelepipedo un prism vente per si due prllelogrmmi Un prllelepipedo retto che h per si due rettngoli si chim prllelepipedo rettngolo Si chim cuo un prllelepipedo rettngolo che h gli spigoli uguli onsiderto su un pino un poligono D e preso un punto V, si definisce pirmide di vertice V e se D l prte dellngoloide VD che, rispetto l pino, gice dll stess prte del vertice V Un pirmide si dice rett se h per se un poligono circoscriviile un cerchio il cui centro coincide con il piede dellltezz S l p h S t S l + S S h S l p h S t S l + S S h S l S t 6 d S l p S t S t + S S h Formule d + + c h + r ilindro r r Dt un rett, dett sse di rotzione, il luogo delle rette prllele d e d ess equidistnti si chim superficie cilindric circolre; ciscun delle rette prllele prende il nome di genertrice e l distnz di tli rette dllsse è il rggio S l r h S t r h + r r h ono V h r p Fisst un semirett di origine V, si chim superficie conic circolre di sse e semipertur (ngolo cuto) il luogo delle semirette uscenti d V che formno con un ngolo h + r S l r h S t r h + r r h Sfer r Si definisce superficie sferic di centro e rggio r il luogo dei punti dello spzio che hnno distnz d ugule r S t r r 7

10 Tringoli rettngoli iettivo 6 pplicre i teoremi studiti prolemi di geometri solid PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) È dt un pirmide rett se qudrt D di lto 8 cm e spigolo lterle cm Determinre: le funzioni goniometriche degli ngoli V e V, essendo V il vertice e il centro di se; qule ngolo è mggiore; c il volume e lre dell superficie totle dell pirmide Il tringolo V è rettngolo in pplicre il teorem dei tringoli per clcolre cosv V Si H il punto medio di Si osservi che il tringolo VH è rettngolo in H; clcolre cosv H V onfrontre i vlori ottenuti Determinre lltezz dell pirmide lcolre il volume Determinre lltezz VH dell fcci lterle lcolre lre dell superficie totle È dt un pirmide rett se tringolre equilter di lto 6 cm e spigolo V cm Determinre: le funzioni goniometriche dellngolo V, essendo il centro di se; il vlore dellngolo V; c il volume dell pirmide D V sservre che in un tringolo equiltero si h h, essen- V do h lltezz del tringolo equiltero sservre che il tringolo V è rettngolo in, clcolre V pplicre il teorem dei tringoli per senv V V Dedurre il vlore dellngolo V lcolre il volume È dto un prllelepipedo di dimensioni 0 cm, F cm, FG cm Si G l digonle del prllelepipedo Risolvere il tringolo G Determinre lltezz reltiv ll se G c lcolre il volume di un cuo di lto pri K H G K Il tringolo G è rettngolo in lcolre il vlore di G e di G pplicre il teorem dei tringoli per sen G E F pplicre il teorem dei tringoli l tringolo GK per determinre K D lcolre il volume del cuo 7

11 Tringoli rettngoli 5 In un semisfer è inscritt un pirmide vente per se un tringolo equiltero inscritto nel cerchio mssimo Si h che V 6 cm, essendo V il vertice dell pirmide, e cosv 7, essendo il centro di se 5 Determinre il volume dell pirmide sservre l figur sezione ottenut con un pino ortogonle ll se e pssnte per il vertice Determinre, prtire d cosv 7, le funzioni goniometriche dellngolo ll 5 V circonferenz VE che insiste sull cord V pplicre il teorem dell cord per determinre il rggio dell sfer Determinre il lto del tringolo equiltero pplicndo il teorem dell cord e quindi lre del tringolo di se sservre che il tringolo VE è rettngolo pplicre il teorem dei tringoli l tringolo rettngolo VH, essendo H il piede dellltezz dell pirmide lcolre il volume dell pirmide H E 6 Determinre il volume del solido ottenuto dll rotzione complet del tringolo scleno ; ttorno l lto, spendo che lre del tringolo è S 7 cm, 5 cm e che sen 7 5 pplicre il teorem dellre per determinre pplicre il teorem dei tringoli l tringolo rettngolo H, essendo H il piede dellltezz condott d Determinre l misur del rggio r H Il solido ottenuto è un solido composto d due coni di se coincidente lcolre il volume del solido di rotzione H 75

12 Tringoli rettngoli PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) 7 Si P un punto dellrco del qudrnte di centro e rggio r, M il punto medio del rggio e N il punto sul rggio per cui si h N r Studire in funzione di x PM lre del qudriltero MPN Determinre per qule vlore di x tle re è mssim Posto x PM, imporre le limitzioni su x Studire i csi limite pplicre il teorem dellre i tringoli MP e NP ( MPN) Per fcilitrsi, trccire il grfico dell funzione f ( x) r Determinre il mssimo di f(x) 8 Sull semicirconferenz di centro e dimetro r, determinre un punto P tle che, dett H l su proiezione sul dimetro, si i: H + PH r; H + PH k r Posto x P, imporre le limitzioni su x Studire geometricmente i csi limite pplicre il teorem dei tringoli rettngoli d P e PH e determinre H, PH Risolvere lequzione H + PH r Discutere lequzione prmetric H + PH k r 9 Sull semicirconferenz di centro e dimetro r, si conduce l cord Indicte con H l proiezione di sul dimetro e con K l proiezione di sull tngente ll circonferenz condott d, studire in funzione di x il perimetro del rettngolo HK Determinre per qule vlore di x tle perimetro è mssimo iettivo 7 pplicre i teoremi studiti prolemi con grfici, ricerc di mssimo e minimo, discussione Posto x, imporre le limitzioni su x Studire i csi limite pplicre il teorem dell cord per determinre e dei tringoli rettngoli H per determinre H, H lcolre il perimetro p (H + H) e trccirne il gr- Per fcilitrsi, studire l funzione fico Determinre il mssimo di f(x) p r f ( x) H K 76

13 Tringoli rettngoli ttività di sportello iettivi tempo previsto: or e 0 minuti Punti iettivo : risoluzione dei tringoli rettngoli iettivo : risoluzione di semplici prolemi sui tringoli rettngoli iettivo : clcolre lre di un tringolo iettivo : pplicre il teorem dell cord Denotndo con l misur dellipotenus, con e c le misure dei cteti, con β e γ le mpiezze degli ngoli opposti e c, risolvere il tringolo rettngolo per cui si h: 0 sen γ Determinre lre e il perimetro di un tringolo rettngolo spendo che lltezz reltiv llipotenus è lung 0 cm e che un cteto form con lipotenus un ngolo di coseno pri 5 Determinre lre di un tringolo, spendo che le misure di due suoi lti consecutivi sono e 0 cm e che lngolo tr essi compreso h tngente ugule 5 Determinre il rggio dell circonferenz circoscritt l tringolo, spendo che cm e cos 5 / / / / iettivo 5: pplicre i teoremi studiti prolemi di geometri pin 5 Determinre lre e il perimetro del tringolo isoscele cutngolo che h se 8 5 cm e rggio dell circonferenz circoscritt d esso r cm 9 / 77

14 Tringoli rettngoli Verific conclusiv tempo previsto: ore rgomenti Quesiti Punti Risoluzione Dto il tringolo equiltero, di lto l, condurre per, poligono esternmente l tringolo, un rett r tle che, indicte con H e K le proiezioni di e su r e posto K x, si i H + K l / Discussione Generlizzre l relzione precedente e studire H + K kl / Risoluzione onsiderre sul prolungmento del lto D, dll prte di D, poligono del qudrto D di lto l, un punto P tle che cos P Si T il punto di intersezione del segmento P con il lto D lcolre lre e il perimetro del qudriltero TD / ppliczione ll geometri dello spzio Il rettngolo D è tle che l rett che congiunge i punti medi dei lti più lunghi, D, lo divide in due rettngoli simili quello dto Determinre l lunghezz dei lti minori del rettngolo / Sull rett condott perpendicolrmente l pino del rettngolo nel punto medio del lto D, prendere un punto V in modo che il pino dei punti V,, formi con il pino del rettngolo dto un ngolo di coseno lcolre il volume dell pirmide di vertice V e se D / 78

15 Tringoli qulunque Teori in sintesi Teoremi sui tringoli Teorem dei seni In un tringolo le misure dei lti sono proporzionli i seni degli ngoli opposti γ c β c sen senβ sen γ In un tringolo il rpporto tr le misure di due lti è ugule l rpporto tr i seni degli ngoli essi opposti: sen sen β Teorem delle proiezioni In un tringolo qulunque l misur di un lto è ugule ll somm dei prodotti delle misure degli ltri due lti per il coseno dellngolo che ciscuno di questi form con il primo cos γ + c cos β cos γ + c cos c cos β + cos Teorem del coseno o di rnot In un tringolo il qudrto dell misur di un lto è ugule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due, diminuit del doppio prodotto delle misure di questi due lti per il coseno dellngolo d essi compreso + c c cos + c c cos β c + cos γ 79

16 Tringoli qulunque iettivo pplicre il teorem dei seni sercizio risolto Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: 7 γ cos 5 β β Si ricv sen 5 Si ricv γ ( + β) Si determin cos γ cos ( ( + β) ) cos( + β) cos cos β+ sen senβ Si determin sen γ sen ( ( + β) ) sen ( + β) sen cos β+ cos sen β Si pplic il teorem dei seni per determinre sen γ sen β Si pplic il teorem dei seni per determinre sen γ sen Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:, cos, β 5 Determinre le funzioni goniometriche dellngolo del tringolo cutngolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:,, β 6 Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:,, β Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: +, β, γ 5 Determinre gli elementi incogniti del tringolo ottusngolo, essendo, β, γ le mpiez- ze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:,, 6 80

17 Tringoli qulunque iettivo pplicre il teorem del coseno sercizio risolto Determinre l lunghezz del lto e il seno degli ngoli β e γ e del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: γ β Si pplic il teorem del coseno per determinre: + cos Si pplic il teorem dei seni per determinre senβ 7 7 Si pplic il teorem dei seni per determinre sen γ 7 lcuni consigli utili Negli esercizi proposti di seguito potrà cpitre di dover clcolre funzioni goniometriche di ngoli meno noti, d esempio:, 7 In tl cso si ricorre lle formule di isezione, ottenendo: sen nlogmente per gli ltri csi cos Determinre e sen β del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: 0,, 7 Determinre e β del tringolo cutngolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:,, 8 RS Liri Sp - Divisione Eduction, Milno

18 Tringoli qulunque 8 Tenendo conto delle telle reltive gli ngoli, determinre, e β del tringolo, es- sendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: 6 +, 6, γ 9 Determinre, e γ del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:, 6, β 7 0 Determinre cos β del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che:, 7, 6 PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) Si un tringolo tle che, e che Determinre perimetro e re del qudrto costruito sul lto 6 Determinre trmite il teorem del coseno pplicto l tringolo lcolre il perimetro e lre del qudrto di lto Si un tringolo isoscele di se, e tle che e che Si r l rett 6 perpendicolre d condott d, e D il punto in cui tle rett intersec l semirett condott d esternmente l tringolo e formnte con un ngolo D Determinre il perimetro del qudriltero D Determinre gli ngoli ÂD e D Determinre D trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo D Determinre D trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo D Determinre trmite il teorem sui tringoli rettngoli (tringolo H dove H è lltezz su ), oppure trmite il teorem del coseno pplicto l tringolo lcolre il perimetro del qudriltero D come somm di,, D, D 8 iettivo Risolvere prolemi di geometri pin trmite i teoremi sui tringoli qulunque

19 Tringoli qulunque In un prtit di sell lesterno destro () lnci l pll in prim se () e l prim se ln- ci l pll l ricevitore () Spendo che m, 7 m e che 05 7, determinre qunto vree percorso in meno l pll se lesterno destro () lvesse lncit direttmente l ricevitore () Usre l clcoltrice scientific pprossimndo il risultto meno di 0 Esterno centro Esterno sinistro mpo esterno Esterno destro Interse Second se m Terz se Dimnte Lncitore 8, m Prim se ttitore Ricevitore 7 m Determinre trmite il teorem del coseno pplicto l tringolo lcolre l differenz tr l somm + e Si un tringolo rettngolo in tle che e Determinre il perimetro del 6 tringolo D, dove D è il punto di intersezione del segmento con l semirett condott d e formnte con un ngolo D Determinre D trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo D Determinre D trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo D lcolre il perimetro del tringolo D come somm di, D, D 8

20 Tringoli qulunque Teori in sintesi Ulteriori teoremi sui tringoli Formule di riggs In un tringolo le funzioni goniometriche degli ngoli si possono ottenere dlle misure dei lti,, c e dl semiperimetro p: sen ( p ) ( p c) cos c β ( p ) ( p c) β sen cos c γ ( p ) ( p ) γ sen cos p ( p ) c p ( p ) c p ( p c) Formul di Erone In un tringolo lre è dt d: γ p ( p ) ( p ) ( p c) c β Rggio dell circonferenz inscritt nel tringolo r ( p ) tg β γ ( p ) tg ( p c ) tg p Rggio dell circonferenz circoscritt l tringolo R c 8

21 Tringoli qulunque iettivo Risolvere prolemi di geometri solid trmite i teoremi sui tringoli qulunque PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) 5 Un prism retto h per se un tringolo cutngolo, tle che 6, e Determinre lre dell superficie lterle e il volume, spendo che lltezz del pri- sm è Determinre sen trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo Determinre trmite il teorem dei seni pplicto l tringolo lcolre il perimetro del tringolo lcolre lre dell superficie lterle del prism lcolre lre di se pplicndo l formul dellre lcolre il volume del prism 6 Un pirmide rett, di vertice V, h per se il tringolo, rettngolo in, l cui re è, dove è un lunghezz ssegnt Si s inoltre che e che il pino dell fcci V dell 5 pirmide form col pino dell se un ngolo γ tle che sen γ lcolre lltezz dell pirmide Verificto che ess è V, clcolre l distnz del vertice dl pino dell fcci V 5 (Esme di Stto sessione suppletiv 00) Determinre,, trmite il teorem dei tringoli rettngoli e il teorem dellre pplicti l tringolo Ricordre che in un pirmide rett il piede dellltezz cde nel centro dell circonferenz inscritt nel tringolo di se Determinre il rggio di tle circonferenz r p Determinre lltezz dell pirmide V trmite il teorem dei tringoli rettngoli pplicto l tringolo VT, essendo T il punto di tngenz dell circonferenz inscritt con il lto lcolre l distnz del vertice dl pino dell fcci V, d esempio utilizzndo l formul invers del volume: K V ( V) 85

22 Tringoli qulunque iettivo 5 pplicre i teoremi studiti prolemi con studio di funzione PRLEMI SVLTI PER PUNTI (D MPLETRE LGERIMENTE) 7 In un qudrto D vente un lto di lunghezz, considerre sull digonle D un punto P in modo d determinre, posto x ÂP, l funzione f ( x) P + P Studire i csi limite lcolre in prticolre il vlore ssunto dll funzione per x 6 Determinre sen P sen x + sen x + Determinre P trmite il teorem dei seni Determinre trmite il teorem dei seni Studire i csi limite P, P D e determinre i corrispondenti vlori di f(x) Determinre Determinre f ( x) P + P f 6 8 Dopo ver determinto gli elementi incogniti del tringolo, in cui 5,, 6 ctg, clcolre lre ondott l semirett che d incontri il segmento nel pun- to H, posto x H, determinre l funzione f ( x) H + H lcolre il vlore ssunto dll funzione nei csi limite Giustificre l monotoni dell funzione f(x) entro lintervllo di vriilità dellincognit Determinre sen e cos, not ctg Determinre sen sen + sen Determinre trmite il teorem dei seni Determinre trmite il teorem dei seni lcolre lre del tringolo Studire i csi limite H, H e determinre i corrispondenti vlori di f(x) Determinre H trmite il teorem dei seni Determinre H trmite il teorem dei seni Determinre f ( x) H + H Giustificre l monotoni dell funzione f(x) nellintervllo di vriilità dellincognit trmite considerzioni geometriche 86

23 Tringoli qulunque ttività di sportello iettivi tempo previsto: or e 0 minuti Punti Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: iettivo : pplicre il teorem dei seni β 6 γ γ 7 β / iettivo : pplicre il teorem del coseno Determinre gli elementi incogniti del tringolo, essendo, β, γ le mpiezze rispettive degli ngoli di vertici,,, spendo che: β / iettivo : risolvere prolemi di geometri pin trmite i teoremi sui tringoli qulunque Si un tringolo equiltero di lto cm, D il punto su tle che D cm ed E il punto medio di Determinre il perimetro e lre del tringolo DE Determinre inoltre il rggio dell circonferenz circoscritt l tringolo DE / 87

24 Tringoli qulunque Verific conclusiv tempo previsto: ore rgomenti Quesiti Punti Risoluzione di tringoli Il tringolo h l se 8 cm Inoltre, cos e cos β Stilire se il tringolo è ottusngolo / lcolre lre e il perimetro del tringolo / c Determinre l lunghezz delle medine del tringolo / ppliczione ll geometri solid Il tringolo h il lto 0 cm Inoltre, cos e tgβ lcolre lre dell superficie totle del solido generto dll rotzione complet di intorno d / ppliczione llo studio di funzioni Il tringolo isoscele cutngolo h l se 6 e sen γ Risolvere il tringolo / 5 Si P un punto del lto, M il punto medio di e si P x P + PM + M Determinre l funzione f ( x) Studire i csi limite / c Determinre il vlore di x per cui l funzione ssume vlore minimo / 88