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1 Sessione Suppletiv PNI 006

2 Sessione Suppletiv PNI 006

3 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione y y h sse di simmetri prllelo ll sse delle scisse, vertice in V '' (, ) ed incontr l sse delle ordinte nei punti V ' (0,0) e P (0,). I punti in comune tr le due si ottengono risolvendo il sistem: y y 4 y ( ) ( ) ( )( ) ± 0 0,, 5 I punti in comune srnno llor : V ' (0,0), V '' (,), A Sotto vengono entrmbe rppresentte: 5, 5 5, B, 5

4 Sessione Suppletiv PNI 006 b) L re d determinre è rppresentt nell figur sottostnte: Innnzitutto dobbimo determinre l relzione che permette di definire l rco di prbol V P, per cui dobbimo esplicitre l prbol di equzione y y come funzione clssic y g(). Ess può essere così riscritt: y y y y 0 y ± e dl momento che l rco di prbol V P si trov l di sopr dell sse di simmetri y, esso è definito dll funzione Per cui A 0 y in [-,0]. 0 ( ) d ( ) d ( ) 0 c) L ngolo sotto cui le due prbole si secno nell origine V (0,0) è l ngolo sotto cui si secno le due tngenti lle due prbole in V (0,0). Essendo l prbol y tngente in V (0,0) l tngente d ess nel punto stesso è l sse delle scisse di equzione y 0. L tngente ll prbol prbol y y in V (0,0) h equzione y m. Or l rco V V dell y y è rppresentto dll funzione y visto che esso si trov l di sotto dell sse di simmetri cui l tngente è ' y. Per cui m y'(0) ( ) y. Si noti l figur sottostnte: 0 0 4, per 4

5 Sessione Suppletiv PNI 006 L ngolo α sotto cui si secno le tngenti in V (0,0) soddisf ll equzione d) Innnzitutto l prbol di equzione tn ( 80 α ) tn( α ) α 6 '54' ' y y può essere riscritt come ( ) y y y ' Per cui ttrverso l trsformzione ess viene trsformt in ( y ') '. Or se y' y ' y pplichimo un ulteriore trsformzione del tipo l prbol ( y ') ' viene trsformt in y' y. In conclusione l trsformzione d pplicre per trsformre p in p e vicevers è y y e) y L isometri trovt nel punto d) può essere riscritt come y equzione y rppresent l rett dei punti uniti. y y per cui l rett di 5

6 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) Il fscio di curve può essere riscritto nche nel seguente modo: y k 0 ( y ) k 0 Si not che il fscio non viene scritto l vrire del prmetro k come combinzione linere di due differenti curve, per cui due curve qulsisi del fscio non hnno lcun punto in comune. In ltro modo se prendimo k k', 0 le due curve k k' y, y non hnno lcun punto in comune perché y y k ', contrrimente qunto supposto. k Vedimo or che esiste un unico punto di flesso. Bisogn clcolre le derivte: y y I II ( ) ( ) Or y Inoltre y k 4 I ( k ) II ( ) 0 k per cui y ( k) è un mssimo se k < 0 ed è un minimo se k > 0 II ( ) ed è l' unico per le considerzioni ftte. 8k 0 k per cui F -k,- è un flesso tngente obliqu 9k per cui-k,- b) Clcolimo or l tngente inflessionle in funzione del prmetro k: ess h equzione y con 9 m k m y ( k ) ( k ) y 9k 7k I 7k ( k ) per cui l y 7k tngente divent : k L tngente dt nell trcci può essere riscritt nel seguente modo : y 7 per cui dl confronto, il vlore opportuno del prmetro k lo si ricv dl sistem seguente: 4k 6

7 Sessione Suppletiv PNI 006 7k k 7 k k ± - Per cui il vlore ccettbile è k - in corrispondenz del qule l curv divent y c) Studio dell curv y Dominio: 0 (,0) ( 0, ) Intersezioni sse : y 0 Intersezioni sse y: non ce ne sono Positività: y > 0 > 0 > 0 dl momento che nel dominio di definizione per cui y > 0 > è sempre positivo Asintoti verticli: lim f(), lim f() per cui 0 è sintoto verticle Asintoti orizzontli: y 0, inftti lim f ( ) 0 Asintoti obliqui: non ce ne sono ± Crescenz e decrescenz: essendo k l funzione presenterà un mssimo in, per le 4 considerzioni ftte in precedenz. Flessi: unico flesso, 9 Il grfico è sotto riportto: 7

8 Sessione Suppletiv PNI L rett tngente in A(,0) h equzione: y m - I ( ) con m y ( ) per cui l tngente divent y Clcolo dell ltro punto di intersezione: ( ) 0 ± per cui l'ltro punto è B (, ) d) Il dimetro AB h lunghezz: AB 4 4 per cui il rggio è r mentre il punto medio del dimetro AB è C(0,-). L equzione dell circonferenz è or fcile d determinre ed è: ( 0) ( y ) r ( y ) Rppresentimo su un unico grfico qunto trovto sinor: 8

9 Sessione Suppletiv PNI 006 e) Per l re d trovre fccimo uno zoom dell regione di interesse: Quindi l re d trovre è somm dell re del tringolo BCD e dell re sottes dll curv nell intervllo [,], cioè essendo DB, BC 6 si vrà: 9 9

10 Sessione Suppletiv PNI ln ln ln *6 9 d d AREA Un modo lterntivo è considerre l re sottes come l somm dell re sottes dll curv in [,] e d quell sottes dll tngente inflessionle in [,9], cioè: ln ln 6 ln 54 ln d d d d AREA

11 Sessione Suppletiv PNI 006 QUESTIONARIO ) Si consideri l figur sottostnte: L prbol considert h l sse delle scisse come sse di simmetri per cui h equzione y con > 0. Per come illustrt l figur soprstnte i punti A,B,C,D,V hnno coordinte generiche: A (0, b), B (0, b), C ( b, b), D ( b, b), V ( b,0). Or il volume V non è ltro che il volume del cilindro di figur di rggio di bse b ed ltezz indicto con b per cui V ' 4 π hr πb, mentre y l prte di grfico dell prbol con ordint positiv, si h b b 4 π πb V ' V '' π d per cui. 0 V '' 0 ) L equzione sin( ) cos( ) sin( ), cos( ) sin()cos( ). Quindi l rispost estt è A. ) 0 0 non h lcun soluzione in [,π ] 0 visto che Si h lim f ( ) lim f ( ) 0 e fornimo due modi per dimostrrlo. In prticolre dimostreremo che lim f ( ) 0 perché poi nlogmente si dimostrerà lim f ( ) sin Sostituzione t. In tl cso lim sin lim 0 t t sin( t) notndo il grfico dell figur y t ( t) 0 e ciò è di fcile evidenz,

12 Sessione Suppletiv PNI 006 Teorem dei crbinieri sin sin essendo > 0 per cui per il teorem dei crbinieri lim lim ( ) 0 lim sin Anlogmente lim f ( ) 0. L rispost estt è quindi C. 4) L funzione 0 y è definit per > 0 ln. Inoltre y e f ( g( )) con f ( ) e, g( ) ln. Or f ( ), g( ) per > 0 sono entrmbe derivbili, llor nche l funzione d essi compost srà derivbile, e per il teorem di derivzione delle funzioni composte ' '( ) '( ( )) ln y g f g e. 5) L proposizione invers si enuncerebbe: Se un funzione di vribile rele, definit in un intervllo chiuso e limitto [,b], è ivi integrbile, llor è ivi nche continu Quest proposizione è evidentemente fls perché un controesempio è fornito dlle funzioni costnti trtti del tipo

13 Sessione Suppletiv PNI 006 H y f ( ) K H < c c < b l qule non è continu in c dl momento che lim f ( ) H K lim f ( ) m è ivi integrbile in qunto per l proprietà dditiv degli integrli si h b f ) d f ( ) d f ( ) d Hd 6) c b c c ( b )( H K ) ( Kd H ( b ) K( b ). Nell mbito dei numeri reli R, c c d b c ln k come evidentemente si dimostr clcolndo le derivte delle funzioni ln( ),ln( ) che forniscono come risultto. Se restringimo l nlisi d R l d ln( ) k risult essere corrett. 7) Si consideri l ottedro sotto rppresentto. Esso è costituito d un qudrto di bse di lto l e d fcce che sono tringoli equilteri. Si AO l rett perpendicolre condott d A l qudrto di bse BEDC.

14 Sessione Suppletiv PNI 006 l Per costruzione e simmetri OH, mentre AH, essendo l ltezz del tringolo equiltero AEC di lto l srà l AH. Or il tringolo AOH è rettngolo per cui OH OH AH cos ( α ) cos( α ) α Ar cos 54 44' AH d cui α *54 44' 09 8' 8) Ricordimo che un prbol è il luogo dei punti che hnno l stess distnz dl fuoco e d un rett chimt direttrice. Cioè considerndo l figur sottostnte PHPF. Un similitudine present due proprietà sostnzili: trsform rette perpendicolri in rette perpendicolri e conserv le distnze. Questo signific che se si indicno con F, P ed H i P' F' PF trsformti secondo l similitudine e d l nuov direttrice, si h P' F' P' H ' ; P' H ' PH inoltre per l proprietà dell trsformzione di rette perpendicolri in rette perpendicolri, nche l rett P H srà perpendicolre ll direttrice d del nuovo luogo geometrico. Questo luogo però, viste le due proprietà or dimostrte ( P ' F' P' H, P' H ' perpendicolre d ) non è ltro che un prbol. 9) Si A l evento { pllin NON di plstic ner} Sppimo che P( A) P( A) dove A { pllin di plstic ner} A e si indichi con P (A) l su probbilità. Innnzitutto le plline nere sono essendo presenti 6 plline binche, cui vnno tolte quelle di vetro nere, ottenendo Per cui utilizzndo l interpretzione frequentist dell probbilità, cioè intes come rpporto tr csi fvorevoli e totli, si h 50 P ( A) P( A) 50 0) Affinché il crtoncino rimsto si dello stesso colore estrtto, il crtoncino può essere estrtto d due delle tre buste. Per cui utilizzndo l interpretzione frequentist dell probbilità, cioè intes 4

15 Sessione Suppletiv PNI 006 come rpporto tr csi fvorevoli e totli, si h che l probbilità richiest è p. 5