Superfici di Riferimento (1/4)

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1 Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie deve: rppresentre nel miglior modo possibile l rele form dell superficie terrestre; essere esprimibile ttrverso un formulzione mtemtic semplice. Qulunque punto P di mss m posto sull superficie terrestre è sottoposto delle forze Forz Centrifug Forz di Attrzione Grvitzionle f m m r mm F G d m mss del punto P; ω velocità ngolre; r distnz del punto P dll sse di rotzione; G costnte di Grvitzione Universle; M mss dell Terr; d distnz del punto P dl centro di mss terrestre. L risultnte delle due forze è l forz di grvità, vribile d punto punto. L direzione dell forz di grvità è fondmentle nell prtic opertiv in qunto definisce l verticle per il punto; L insieme delle linee di forz del cmpo di grvità definiscono il cmpo grvitzionle che mmette un potenzile grvitzionle W; W fornisce un serie infinit di superfici, chimte equipotenzili, con l proprietà di vere l verticle in ogni punto normle ll superficie stess.

2 Superfici di Riferimento (/4) Geoide Supponendo l mss terrestre costituit d un liquido in quiete (ssenz d moti e correnti), ess si disporrebbe secondo un delle superfici equipotenzili (W costnte) scelt in modo d essere pssnte per un determinto punto in un determinto istnte. W x, y, z G x y c T dm r Di compless trttzione nlitic perché richiede l conoscenz dell legge di distribuzione dell mss ll interno dell Terr Quot Ortometric Lunghezz dell line di forz compres tr l superficie equipotenzile pssnte per il punto P e il geoide Sferoide Superficie che si otterrebbe supponendo un distribuzione dell mss simmetric rispetto ll sse di rotzione terrestre. Risult complesso definire lcuni sistemi di coordinte su tle superficie

3 Superfici di Riferimento (3/4) Ellissoide Superficie ottenut dll rotzione ttorno ll sse terrestre di un ellisse di semisse mggiore e semisse minore b. Espressione Anlitic x y z b 1 Schiccimento Prim Eccentricità e b b Ellissoide α Helmert (1906) m 1/98,3 Hyford (1909) m 1/97

4 Superfici di Riferimento (4/4) Coordinte Ellissoidiche Consentono di definire l posizione di un punto rispetto ll superficie dell ellissoide. Ltitudine Longitudine ngolo di inclinzione φ formto dll normle n pssnte per un punto P ed il pino equtorile ngolo diedro λ formto tr un pino di riferimento pssnte per l sse di rotzione ed il pino pssnte per il punto P e l sse di rotzione Quot Ellissoidic distnz fr il punto P e l superficie di riferimento, misurt lungo l normle n pssnte per il punto Meridini Insieme dei punti sull superficie di riferimento crtterizzti d ugule longitudine. Il meridino di riferimento (λ = 0) è quello pssnte per Greenwich. Prlleli Insieme dei punti sull superficie di riferimento crtterizzti d ugule ltitudine. Il prllelo di riferimento (φ = 0) è quello pssnte per l equtore.

5 Ondulzione del Geoide In un punto generico P dell superficie fisic terrestre, l verticle (ossi l tngente ll line di forz pssnte per P) generlmente non coincide con l normle ll ellissoide pssnte per P. Devizione dell Verticle Ondulzione del Geoide L ngolo formto tr verticle e normle ll ellissoide in un punto P. Differenz tr quot ellissoidic e quot geodetic di un punto P.

6 Rggi Principli di Curvtur È possibile definire dei rggi di curvtur che crtterizzno l superficie in un determinto punto P. I due rggi di curvtur fondmentli sono individubili tglindo l superficie ellissoidic con le due sezioni normli principli per P. Primo Rggio di Curvtur Grnnormle rggio di curvtur ρ del meridino pssnte per un punto P sull superficie, individuto secndo l ellissoide con il pino meridino pssnte per P. 1 e 1 e sin 3 rggio di curvtur ottenuto secndo l ellissoide con un pino contenente l normle ll ellissoide e perpendicolre l pino del meridino. N 1 e sin Rggio del Prllelo pssnte per P r N cos cos 1 e sin Rggio dell Sfer Locle R 1 e 1 e sin N È l superficie sferic che meglio pprossim quell ellissoidic nell intorno del punto P

7 Geodetic Line congiungente due punti A e B sull superficie ellissoidic, che gode dell proprietà di vere, in ogni punto, l normle coincidente con l normle ll superficie. Rppresent l minim distnz tr due punti su un superficie: è un rett nel cso di un superficie pin; è un rco di cerchio mssimo nel cso di superficie sferic. Dti due punti A, B sull superficie ellissoidic, si considerno: il pino П A contenente l normle per A e il punto B; il pino П B contenente l normle per B e il punto A; Si individuno le sezioni normli come le intersezioni tr i due pini e l ellissoide. L geodetic è un curv compres tr le due sezioni normli. Tr i prlleli, solo l equtore è un geodetic; Qulunque meridino è un geodetic.

8 Sistemi di Coordinte Geodetiche Polri Le coordinte del punto P sono espresse, rispetto d un origine O, ttrverso l lunghezz s dell rco di geodetic congiungente P d O e l ngolo α tr l geodetic e il meridino pssnte per O. Geodetiche Ortogonli Le coordinte del punto P sono espresse, rispetto d un origine O, ttrverso l lunghezz dell rco di geodetic Y congiungente P P (ortogonle l meridino in P ) e l lunghezz dell rco di geodetic X = OP. Sono ll bse dell crtogrfi ctstle itlin, che present diverse emnzioni (origini) sul territorio Crtesine Le coordinte del punto P sono espresse, rispetto d un origine O, ttrverso l tern ortogonle crtesin individut dl sistem di riferimento scelto. Utilizzto nell mbito dell geodesi spzile (GPS ed ltre tecniche) nche per orientre ellissoidi di riferimento vlidi livello globle

9 Relzione tr Coord. Ellissoidiche e Crtesine Punto sull superficie x r cos N cos cos y r sin N cos sin z 1 e sin 1 e sin N 1 e sin Sistem fcilmente invertibile. Si clcol ω d x e y, poi φ d z e un tr x e y. r z r x y N hcos N hsin Ne N hcos N h z 1 1 rctn r 1 e N1 1 e sin 1 sin 1 cos Ne tn N h Punto con quot h x y z N h N h cos cos cos sin N 1 e hsin 1. Si determin l distnz r del punto rispetto ll sse Z;. Si clcol il rpporto z/r e si pone h 0 = 0 per clcolre un primo vlore φ 1, cui corrisponde un vlore N 1 ; 3. Con N 1 e φ 1 si determin un nuovo vlore h 1 dll r; 4. N 1 e h 1 si sostituiscono in z/r per determinre h e il procedimento viene ripetuto itertivmente sin qundo l differenz tr due vlori consecutivi di N è opportunmente piccol.

10 Soluzioni Approssimte dell Ellissoide Nei clcoli topogrfici è possibile pprossimre l rele form dell Terr con le tre superfici: ellissoidic, sferic e pin. Ciò comport un semplificzione in termini nlitici. Srà possibile scegliere un delle tre superfici di riferimento in relzione : estensione rele del rilievo; precisione richiest. Misur di Distnze Precisione mssim rggiungibile di 1 mm / 1 km (10 6 ) si in plnimetri che in quot Misur di Angoli Precisione mssim rggiungibile di 0,1 ( 0, rd) Cmpo Geodetico Cmpo Topogrfico distnz entro l qule l differenz reltiv tr le coordinte di un punto sull sfer locle tngente ll origine e le stesse coordinte sull ellissoide di riferimento non super il vlore di distnz entro l qule l differenz reltiv tr le coordinte di un punto su un pino tngente ll origine e le stesse coordinte sull ellissoide di riferimento non super il vlore di km in plnimetri 10-0 km in ltimetri 15 km in plnimetri 100 m in ltimetri