Elementi grafici per Matematica

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1 Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni Definizione Esempi Verificre iniettività e suriettività dl grfico L rett Esempi in Economi: l normlizzzione e il regime dell interesse semplice L prbol Alcuni grfici notevoli Esempi in Economi: il regime dell interesse composto....9 Grfico dell funzione invers.... Grfici ottenuti medinte trsformzioni elementri Equzioni Equzioni di o grdo Equzioni di o grdo Sistemi di equzioni Altri tipi di equzioni Risoluzione grfic di equzioni Il metodo di bisezione Il metodo itertivo Esempi in Economi: determinzione del tsso di un rendit Disequzioni Disequzioni di o grdo Disequzioni di o grdo Sistemi di disequzioni Altri tipi di disequzioni Derivte Interpretzione geometric di f `() Interpretzione geometric di f ``() Esempi Integrli Integrli definiti Interpretzione geometric del teorem fondmentle del clcolo integrle Esempi Bibliogrfi Indice nlitico... 6 Alberto Zorzi //. Ringrzio il prof. Andre Ellero per i commenti e le correzioni.

2 Sistemi di coordinte crtesine Nel seguito si esminno oggetti geometrici del pino quli: punti, rette, curve, ecc. Inizimo dll oggetto più semplice, il punto, e come primo obiettivo vedimo come identificre (cioè come dre un nome ) i punti di un rett ed i punti di un pino. Sistemi di coordinte crtesine sull rett Per identificre i punti di un rett fissimo: un punto O dell rett (detto origine), un verso (indicto con un frecci) ed un unità di misur (cioè un esempio di segmento di lunghezz ). Allor, ogni punto P dell rett può essere identificto dll su distnz d O, pres con segno mggiore o minore di zero second che P sti destr o sinistr di O (se l rett è orientt verso destr come nel disegno) P il numero è detto coordint di P. L origine, il verso e l unità di misur fissti sull rett costituiscono un sistem di coordinte crtesine per l rett. Sistemi di coordinte crtesine nel pino Per identificre i punti del pino il metodo che si utilizz è sostnzilmente nlogo quello dottto per identificre i punti di un crt geogrfic dove ciscun punto è individuto d due distnze: l longitudine (distnz tr il punto e il meridino di Greenwich) e l ltitudine (distnz tr il punto e l equtore). Nel cso del pino si fissno due rette (dette ssi crtesini ortogonli e che corrispondono l meridino di Greenwich e ll equtore) tr loro ortogonli e ciscun dott di un proprio sistem di coordinte crtesine; inoltre le due rette devono intersecrsi nelle rispettive origini. Allor, ogni punto P del pino è identificto dlle sue distnze ed y dlle due rette, prese con segni concordi lle coordinte delle proiezioni P e P y sulle rispettive rette: y P y P P y Per convenzione un sse (detto sse delle scisse ed indicto in genere con ) è disegnto orizzontlmente ed orientto verso destr, mentre l ltro (detto sse delle ordinte ed indicto in genere con y ) è disegnto verticlmente ed orientto verso l lto:

3 I numeri ed y sono detti le coordinte del punto P; e y sono detti rispettivmente l sciss e l ordint di P. Per indicre che il punto P h le coordinte e y si scrive P = (, y ). I due ssi crtesini costituiscono un sistem di coordinte crtesine (ortogonli) per il pino. Osservzioni: ) è importnte l ordine in cui sono specificte le coordinte (per convenzione si specific sempre prim l sciss e poi l ordint); d esempio, le coppie (,5) e (5,) rppresentno due punti diversi ) due punti sono distinti se e solo se hnno lmeno un coordint divers 3) ci sono infinite scelte di possibili sistemi di coordinte crtesine ortogonli per il pino e in genere uno stesso punto h coordinte diverse in sistemi diversi ( meno che il punto non si il centro dell rotzione che trsform un sistem nell ltro) 4) medinte un sistem di coordinte d ogni punto P del pino si può ssocire un unic coppi di numeri (le coordinte di P) e, vicevers, d ogni coppi di numeri è ssocito un unico punto del pino 5) l corrispondenz tr punti del pino e coppie (ordinte) di numeri consente, oltre che l identificzione dei punti, nche di trttre i punti numericmente. Ad esempio, note le coordinte di due punti è fcile clcolre l loro distnz (medinte il teorem di Pitgor): se d esempio P (,6) e ( 5,) = P llor l loro distnz è dt d: (5 ) + ( 6) = 5 = 3

4 Grfici di funzioni Nel seguito, slvo vviso esplicito contrrio, si trttno funzioni del tipo f : A R, con A R ; l legge dell funzione è indict con f() = espressione oppure con y = espressione (d esempio f ( ) = 5 oppure y = 5).. Definizione Un modo per rppresentre grficmente un funzione è quello di disegnrne il grfico: il grfico di un funzione f : A R è l insieme f ( ) l delle coppie di numeri ( ), vrire di nel dominio A; per disegnre il grfico di un funzione se ne riportno tutti i punti nel pino ottenendo ottenendo un disegno del tipo seguente: Se A e B sono due insiemi non vuoti, llor si h un funzione f() d A B (e si scrive f: A B) se è definit un legge che d ogni elemento A ssoci un unico elemento f( ) B. Gli insiemi A e B sono detti rispettivmente dominio e codominio di f(), mentre l insieme Im(f)={f(): A} è detto immgine di f(). f() (, f( )) f( ) Siccome l prim coordint di un punto del grfico è rppresent (per convenzione) un vlore del dominio, llor nel disegno del grfico di un funzione f (), il dominio (indicto con Dom(f)) è rppresentto sull sse mentre l immgine (indict con Im(f)) è rppresentt sull sse y. Per disegnre gli insiemi Dom(f) e Im(f) è sufficiente proiettre l line del grfico di f () sugli ssi come illustrto: y y f() f() Dom(f) Im(f) Il procedimento in certi csi si può estendere nche funzioni in cui il dominio o l immgine non sino insiemi limitti, quli d esempio l funzione esponenzile (pr..7) e l funzione logritmo (pr..9 b)). 4

5 . Esempi ) Vedimo come disegnre il grfico di un semplice funzione. Si f : R R con legge f ( ) = + 6 ; sceglimo dl dominio dei vlori per, d esempio = 3,,, 5, e li riportimo nell prim colonn di un tbell; nell second colonn scrivimo i corrispondenti vlori f () delle ordinte: f() Ogni rig dell tbell rppresent un punto del grfico dell funzione; riportndo i punti su un sistem di ssi crtesini e trccindo un line che li unisc si ottiene: b) il procedimento descritto per disegnre il grfico di un funzione (scegliere dei punti ed unirli) h dto un risultto corretto nel cso dell esempio precedente: si trttv di un rett ed i quttro punti utilizzti erno più che sufficienti (ne bstvno ). M, se d esempio l funzione fosse 3 stt: f : R R con f ( ) = 6 + 6, scegliendo i vlori di sciss = e = 4 si ottengono i punti (, 6) e ( 4,6) che uniti dnno un rett (quell trtteggit) che non è il grfico dell funzione (indicto dll line non trtteggit): D ltr prte non si possono riportre tutti i punti del grfico perché in questo cso (come nche nell mggior prte di quelli trttti in seguito) sono infiniti. Occorre dunque un metodo più sofisticto per disegnre degutmente nche grfici di funzioni che non sino semplici rette; 5

6 un procedimento migliore (che consider le trsformzioni coinvolte nell descrizione dell legge dell funzione) è illustrto nel prgrfo.. c) non tutti i grfici sono necessrimente grfici di funzioni; non lo è d esempio il seguente: inftti, esiste un rett prllel ll sse y che intersec il grfico in più punti; dunque, esiste un vlore del dominio cui sono ssociti più vlori del codominio, contrddicendo l richiest di univocità presente nell definizione di funzione d) un funzione f () è dett crescente se ll umentre del vlore di ument nche quello di f () : se cioè, per qulsisi coppi di elementi ed del dominio, se < llor f ( ) f ( ). Se invece f ( ) < f ( ) o f ( ) f ( ) o f ( ) > f ( ), llor l funzione è dett rispettivmente strettmente crescente, decrescente e strettmente decrescente. f( ) f( ) funzione crescente f( ) f( ) funzione decrescente L definizione si estende in modo ovvio qulsisi sottoinsieme del domino. e) un punto del dominio dell funzione f () è detto punto di mssimo ssoluto di f (), se in l funzione ssume il vlore mssimo, se cioè f ( ) f ( ) per ogni pprtenente Dom(f) (e dunque f ) è il mssimo per l insieme Im(f)). ( Se invece f ( ) f ( ) solo per i punti del dominio contenuti in un qulsisi intervllo perto contenente, llor è detto un punto di mssimo locle (o reltivo) di f (). In modo nlogo si possono dre le definizioni di punto di minimo ssoluto e punto di minimo locle (o reltivo). Nell esempio seguente i punti di mssimo o di minimo dell funzione f () sono: - mssimi locli: e 3 - minimo ssoluto: 6

7 - minimi locli: 4 e 6 - mssimi ssoluti: 5 e 7 Im(f) f() Dom(f) 7

8 .3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico Ci proponimo di verificre se un funzione è iniettiv o suriettiv nlizzndone il grfico. In generle, un funzione non è iniettiv se esistono lmeno due vlori del dominio con immgini uguli. Allor, ricordndo che il dominio è L funzione f: A B è iniettiv se per ogni coppi di elementi, A si h f( ) f( ) se. L funzione f: A B è suriettiv se Im(f)=B. Un funzione è biiettiv se è iniettiv e suriettiv. rppresentto sempre sull sse ed il codominio sull sse y, un funzione non è iniettiv se esiste un rett prllel ll sse che ne intersec in più punti il grfico. Vicevers, il grfico di un funzione iniettiv intersec qulsisi rett prllel ll sse in l mssimo un punto: y f() 3 non è iniettiv: f( )= f( )= f( 3 )= y è iniettiv In generle, un funzione strettmente crescente è certmente iniettiv perché fissti due elementi distinti del dominio, quello mggiore corrisponde l immgine mggiore e quindi le immgini sono distinte. Idem per le funzioni strettmente decrescenti. Nel cso invece dell suriettività, un funzione non è suriettiv se esiste un vlore del codominio che non è immgine di nessun vlore del dominio. Dunque, un funzione non è suriettiv se esiste un rett prllel ll sse (con ordint un vlore y pprtenente l codominio) che non ne intersec il grfico. Vicevers, se qulsisi rett di questo tipo intersec il grfico, l funzione è suriettiv. Ad esempio, supponendo che il codominio si il trtto di sse y rppresentto, si h: y non è suriettiv è suriettiv 8

9 .4 L rett Si è visto che utilizzndo un sistem di coordinte crtesine ortogonli i punti del pino possono essere identificti medinte coppie di numeri. Vedimo or come identificre le rette del pino. Evidentemente, per identificre un rett non srà sufficiente un coppi di numeri: inftti un rett è costituit d infiniti punti e quindi di coppie di numeri gliene dovremmo ssocire infinite. Come fre? Osservimo innnzi tutto che un rett non è sempre il grfico di un funzione: non lo è se è prllel ll sse y; trttimo prim questo cso. º cso: rette prllele ll sse y Considerimo, d esempio, l rett r prllel ll sse y e che intersec l sse nel punto di sciss 7: è costituit d tutti e soli i punti del pino che hnno sciss ugule 7, cioè d tutti e soli i punti (, y) tli che = 7. Dunque, i punti dell rett sono tutti e solo quelli con coordinte (, y) che sono soluzioni dell equzione = 7 (ttenzione: si trtt di un equzione in due vribili, il ftto che l y non compi signific semplicemente che ll y si può ssegnre qulsisi vlore). In definitiv d un rett bbimo ssocito un equzione che h come soluzioni esttmente le coppie (ordinte) di numeri che rppresentno punti dell rett; diremo che = 7 è l equzione dell rett r. r h equzione = 7 7 In generle:.l equzione di un rett prllel ll sse y e di sciss c h equzione = c. º cso: rette non prllele ll sse y Anche in questo cso, come nel precedente, cerchimo di ssocire d un rett un equzione in due vribili che bbi come soluzioni tutte e sole le coppie di numeri che sono coordinte di punti dell rett. Trttndosi di un rett non prllel ll sse y il suo grfico rppresent il grfico di un funzione e perciò ci spettimo di trovre un equzione del tipo: y = qulcos (che trttndosi di un funzione potremmo nche scrivere nell notzione equivlente: f() = qulcos ). Nel cso più semplice in cui l rett si prllel ll sse si ottiene, nlogmente l cso precedente, che:.l equzione di un rett prllel ll sse e di ordint c h equzione y = c. Per determinre invece l equzione di un rett r non prllel gli ssi, innnzi tutto individuimo l rett fissndone due punti distinti P = (, y) e P = (, y ). Sceglimo poi un terzo punto P = (, y) e cerchimo le condizioni che devono soddisfre le sue coordinte ffinché pprteng ll rett. 9

10 P r P P A B y y y Come è evidente dl disegno, P pprtiene ll rett se e solo se i tringoli P AP e P BP hnno i lti prlleli, cioè se e solo se i due tringoli sono simili, o equivlentemente, se e solo se vle l PB P B seguente proporzione tr i loro lti: =. P A P A Osservndo che PB = y y, P A = y y, P B = e P A =, sostituendo si ottiene: l equzione di un rett non prllel gli ssi e pssnte per i punti ( ) e ( ) y.. y Ricvndo l y si h: y y =, y, y è: y y y y y = + y (che h significto solo se, se cioè m l rett non è prllel ll sse y); sostituendo m e q lle espressioni indicte si ottiene l: q.equzione esplicit dell rett: y = m + q che rppresent un generic rett non prllel ll sse y; il numero m è detto coefficiente ngolre e q ordint ll origine. I numeri m e q hnno un prticolre significto geometrico. Vedimo prim il significto geometrico di q: se nell equzione y = m + q si pone =, si trov y = q e quindi il punto (, q) pprtiene ll rett. Dunque:.q rppresent l ordint del punto in cui l rett di equzione y = m + q intersec l sse y. y = m + q q

11 Per qunto rigurd invece il significto geometrico di m, supponimo di vere due rette distinte con uguli coefficienti ngolri, m diverse ordinte ll origine, di equzioni y = m + q e y = m + q. Se le due rette vessero un punto (, y ) in comune, llor le sue coordinte dovrebbero essere un soluzione per entrmbe le equzioni, si dovrebbe cioè vere: y = m + q e y = m + q, che sottrtte membro membro dnno q = q, contrddicendo l ipotesi che le ordinte ll origine fossero diverse. Dunque, le due rette non possono vere un punto in comune e devono perciò essere prllele. Vicevers, procedendo in modo nlogo si può dimostrre che due rette con differenti coefficienti ngolri hnno un punto in comune e perciò non sono prllele. Perciò, in definitiv, si h che:.le rette di equzioni y = m + q e y = m + q sono prllele se e solo se m = m Ad esempio, sono prllele tutte le rette di coefficiente ngolre : y = + y = + y = y = - - Vedimo or come vri l inclinzione di un rett (sempre non prllel ll sse y) l vrire del coefficiente ngolre m. Dto che ci interess solo l inclinzione dell rett, possimo per semplicità supporre di mntenere q = ; llor l rett h equzione y = m e pss per i punti, m, e l vrire di m l inclinzione vri come indicto: (,) e ( ) m diminuisce m ument (,m) y = m m = - m = - m = -/ m = m = m = / m (,) m = m =

12 L ultimo disegno (in cui tutte le rette pssno per uno stesso punto e ciò che vri è il coefficiente ngolre m) ci suggerisce che per individure un rett si possono specificre un suo punto ed il coefficiente ngolre. E fcile verificre il seguente risultto: l equzione dell rett pssnte per il punto (, y ) e di coefficiente ngolre m è:.( y y ) = m( ) Osservzioni: ) in generle, ogni equzione di primo grdo in due vribili + by + c = con, b e c costnti e e b non entrmbe nulle, rppresent l equzione di un rett; inftti, se b è nullo si h un rett prllel ll sse y, ltrimenti l equzione si può scrivere in form esplicit y = m + q (oppure con notzione equivlente: f ( ) = m + q ). Vicevers, ogni rett h un equzione di questo tipo.

13 Come si f: ) dti l equzione di un rett ed un punto verificre se il punto pprtiene ll rett: se d esempio l equzione è y = ed il punto è ( 4,3), il punto pprtiene ll rett se e solo se le sue coordinte costituiscono un soluzione dell equzione; per verificre se si trtt di un soluzione bst sostituire le coordinte lle vribili e si ottiene: = ; siccome l equzione è verifict, il punto pprtiene ll rett. Con lo stesso procedimento si può 3,4 non pprtiene ll rett perché: = 3 controllre che invece ( ) ) dt l equzione di un rett disegnrne il grfico: se d esempio l equzione è + 9 y + =, per disegnrne il grfico è sufficiente conoscerne due punti; per individurli bst, d esempio, fissre un vlore per un coordint, sostituire il vlore scelto nell equzione e ricvre il vlore dell ltr coordint. In genere il vlore che si sceglie è zero (per risprmire conti): per = si ottiene y =, mentre per y = si h 9 =, dunque i due punti sono, e (,). Nturlmente, se l rett pss per l origine il 9 secondo punto ndrà cercto inizilizzndo un coordint con un vlore diverso d zero 3) dte le equzioni di due rette verificre se le rette sono prllele: se d esempio le equzioni sono 4 + 6y + = e 3 y = +, llor le rette corrispondenti sono prllele se e solo se hnno i coefficienti ngolri uguli. I coefficienti ngolri delle due rette si ottengono scrivendo le rispettive equzioni in form esplicit (cioè ricvndo l y ) e si trov y = e y = ; i coefficienti ngolri sono i numeri che moltiplicno l vribile ed in entrmbi i csi vlgono, dunque le due rette 3 sono prllele 4) dti due punti (distinti) scrivere l equzione dell rett che vi pss: se i due punti hnno diverse scisse e diverse ordinte, d esempio (,5) e (,), llor si sostituiscono le loro coordinte nell equzione dell rett pssnte per due punti e si ottiene y =, che semplifict divent y = + ; si può verificre se l equzione è corrett controllndo se effettivmente i due punti pprtengono ll rett. Se invece i due punti hnno l stess sciss e sono d esempio (,5) e (,), llor l equzione dell rett è = 5) dti un punto P ed un numero m scrivere l equzione dell rett pssnte per P e con coefficiente ngolre m: se d esempio il punto è ( 8, ) ed m = 7, llor sostituendo nell equzione di un rett pssnte per un punto e di coefficiente ngolre dto si ottiene y = Anche in questo cso si può fre l verific 3

14 .5 Esempi in Economi: l normlizzzione e il regime dell interesse semplice Esminimo due esempi di ppliczioni del concetto di rett in economi; si osservi che in entrmbe le ppliczioni presentte il concetto di rett è legto quello di proporzionlità. ) Normlizzre i ftturti di un insieme ziende Si suppong di disporre dei ftturti di lcune ziende, d esempio pprtenenti d uno stesso settore produttivo. Per spere se il ftturto F di un ziend specific si colloc tr quelli mggiori o tr quelli minori rispetto gli ltri ftturti esminti, occorre confrontre F con il ftturto minimo e con quello mssimo. Per evitre di ripetere questo confronto ogni volt che si leggono i dti, si può ssocire ciscun ftturto F un vlore n(f) compreso tr ed (detto vlore normlizzto) e tle che l ftturto minimo F min corrispond mentre l ftturto mssimo F m corrispond. In questo modo, se d esempio n ( F ) =. 9 (se cioè l ftturto F corrisponde il vlore normlizzto.9) llor sppimo che il ftturto F è piuttosto vicino l ftturto mssimo, senz bisogno di confrontre F con ltri ftturti. Si trtt or di stbilire il vlore normlizzto per ciscun ftturto, cioè: qul è il vlore normlizzto n(f) d ssocire d un generico ftturto F? Siccome d ogni ftturto preso in esme ssocimo un unico vlore normlizzto, si h un funzione con dominio l insieme dei ftturti F presi in esme e codominio l insieme dei vlori, F, normlizzti n(f). Il grfico di quest funzione dovrà pssre per i punti ( F ) e ( ) (dto che si è supposto che si n ( F min ) = e n ( F m ) = ); supponendo che tle grfico si un min m vlori normlizzti n(f) rett si h: F min F F m ftturti Inoltre, dll formul dell equzione dell rett pssnte per due punti si ottiene: n( F) F Fmin = (ttenzione: le vribili ed y sono sostituite rispettivmente dlle Fm Fmin vribili F ed n(f)), cioè: F Fmin n( F) =, F F m che è l formul cerct e fornisce un proporzionlità tr n (F) e F Fmin (l proporzionlità è grntit proprio dll ver scelto l rett come grfico dell funzione). Le considerzioni ftte vlgono per l normlizzzione di qulsisi ltro tipo di dto. min 4

15 b) Il regime dell interesse semplice Si suppong di investire un determint somm di denro C (cpitle) e che l investimento grntisc ll investitore un interesse I proporzionle ll mmontre C del cpitle ed l tempo t per cui il cpitle è impiegto. Allor l interesse I è dto dll legge: I = ict dove il numero i rppresent un costnte di proporzionlità dipendente dl tipo di investimento. Si dice llor che l interesse è sottoposto l regime dell interesse semplice. Al vrire del tempo t e mntenendo costnte il cpitle C, l funzione che fornisce l interesse I è un rett di coefficiente ngolre ic ed ordint ll origine null. Supponendo che si i >, l funzione I(t) h un grfico del tipo seguente: I I(t) t Si osservi che l costnte i coincide con l interesse se C = e t =, dunque i rppresent l interesse corrispondente d un cpitle unitrio impiegto per un tempo unitrio ed è detto tsso unitrio di interesse. 5

16 .6 L prbol Si è visto che un equzione di o grdo del tipo y = m + q h come grfico un rett (cioè, l rett è costituit di punti le cui coordinte sono le soluzione dell equzione); se invece l equzione è di o grdo (rispetto ll ), si ottiene llor il grfico di un prbol. Ad esempio, y = è l equzione di un prbol ed il suo grfico è: y = L equzione di un generic prbol è y = + b + c con, b e c costnti e (ltrimenti si otterrebbe l equzione di un rett). E evidente che l equzione di un prbol rppresent un funzione f ( ) = + b + c di dominio R ed immgine [,+ ). Vedimo lcuni esempi: 4 y = y = + y = Ogni prbol h un punto di ordint minim, o mssim, detto vertice; nel primo esempio l prbol h un minimo ed è dett convess, mentre negli ltri due h un mssimo ed è dett concv. Per verificre se un prbol è convess o concv, bst controllre il segno del coefficiente dell equzione generle: se è > è convess, ltrimenti è concv; inftti, negli esempi vle rispettivmente 3, 9 e -. Ciò dipende dl ftto che nel secondo membro dell equzione generle il termine h un vlore prepondernte rispetto gli ltri due se è bbstnz grnde in modulo (cioè non tenendo conto dell eventule segno meno): inftti, 6

17 rccogliendo b c si ottiene + b + c = + + e ll umentre di (in modulo) l espressione tr prentesi tende l vlore ; inoltre il segno di è ugule l segno di. Le prbole con grfico simmetrico rispetto ll sse y (come y = ) hnno il coefficiente b nullo; nzi, ffinché si b =, bst che esist un numero per cui l prbol ssum lo stesso vlore si in che in : inftti, sostituendo si h + b + c = b + c e dunque b =. 7

18 .7 Alcuni grfici notevoli Di seguito sono dti le definizioni ed i grfici di lcune funzioni di prticolre importnz. L funzione modulo (o vlore ssoluto) se E definit nel seguente modo: =, ed il suo grfico è: se < y = Nelle clcoltrici e nei progrmmi di clcolo per computer l funzione modulo è indict in genere con bs, d esempio bs ( ) indic. L funzione r (r rele > ) Si sono già visti i csi r =, r = ed y = (prbol) e y = = (invers di unico digrmm i grfici di lcune funzioni r =, e si ottengono rispettivmente: y = (rett), y = se r y = per :, vedi ) di.9); rissumimo in un 5 y = y = y = y = 5 y = 8

19 L funzione esponenzile E definit nel seguente modo: y =, dove è un numero detto bse e tle che: > e ; l vribile è dett esponente. Se > il grfico è: y = ( > ) per convincersene bst d esempio disegnre lcuni punti del grfico di y =. E interessnte osservre che si trtt di un funzione strettmente crescente e che se decresce llor ssume vlori sempre più piccoli m comunque mggiori di zero (perciò l rett y = è dett un sintoto orizzontle per l funzione esponenzile). Se invece < il grfico si può ricvre d questo medinte un trsformzione elementre (il reciproco) come illustrto nell esempio ) del prgrfo. sulle trsformzioni elementri. In genere come bse dell funzione esponenzile è utilizzto il numero e =.788 (costnte di Nepero). Nelle clcoltrici e nei progrmmi di clcolo per computer l funzione esponenzile è indict in genere con ep; d esempio ep() indic e. L funzione esponenzile è evidentemente un biiezione tr R e (, + ) e perciò è invertibile; il grfico dell su invers (logritmo) è ottenuto in b) del prgrfo.9 sulle funzioni inverse. L funzione pvimento (o prte inter) Restituisce il più grnde intero minore o ugule del numero dto, d esempio il pvimento di.7 è e si scrive.7 =, mentre.7 = 3 ; se il numero è un intero llor il suo pvimento coincide col numero stesso, d esempio =. A volte l funzione pvimento di è indict nche con [ ]. Il grfico di è: y = 9

20 L funzione mntiss (o prte decimle) Restituisce l prte decimle del numero dto, d esempio l mntiss di.7 è.7 e si scrive mntiss (.7) =.7. Siccome ogni numero è dto dll somm dell su prte inter e dell su prte decimle, si h che = + mntiss() e dunque mntiss( ) =. Utilizzndo quest equzione come definizione dell funzione mntiss si ottiene d esempio: mntiss (.7) =.7 ( 3) =.3; l mntiss di un numero è sempre (essendo per ogni numero ). Il grfico di mntiss() è: y = mntiss () E interessnte notre che c è un prte del grfico di lrghezz che si ripete periodicmente, perciò l mntiss è un funzione periodic di periodo ; inftti per qulsisi numero vle l relzione: mntiss ( + ) = mntiss( ). A volte per l mntiss di un numero si us nche l notzione: { }.

21 .8 Esempi in Economi: il regime dell interesse composto Un utilizzo importnte dell funzione esponenzile in economi è dto dl regime dell interesse composto: si suppong di investire euro (cpitle inizile) l tsso del 5% nnuo (tsso d interesse); ciò signific che dopo un nno l mmontre del cpitle srà dto di euro più l interesse mturto, cioè: + = +, dunque dopo un nno il 5 cpitle inizile è stto moltiplicto per il fttore + (detto fttore di cpitlizzzione). Se oltre l cpitle inizile viene investito nche l interesse mturto (ed il tsso d interesse rimne costnte), llor dopo due nni il cpitle srà quello dopo un nno moltiplicto sempre per 5 5 +, cioè + ; in generle, dopo nni il cpitle srà: 5 +. Indicndo con C () l funzione che dà il cpitle dopo nni, con C i il cpitle inizile e con i il tsso d interesse, l formul ottenut divent: C ( ) = C i + i ( ) si trtt cioè di un funzione dt dll moltipliczione tr l costnte di bse + i. C i e l funzione esponenzile Utilizzndo i dti precedenti, l funzione C 5 ( ) = + h il seguente grfico: C() e, per esempio, il cpitle mmont euro dopo 8 nni.

22 .9 Grfico dell funzione invers Ci ponimo il seguente problem: noto il grfico di un funzione, qul è il grfico dell funzione invers? Vedimo qulche esempio per illustrre un procedimento che rispond l quesito. ) L funzione rdice qudrt Premettimo innnzi tutto che un funzione non è sempre invertibile: è invertibile se e solo se è biiettiv e dunque un funzione non è invertibile se non è iniettiv oppure non è suriettiv. Ad esempio, l funzione f : R [, + ) con legge y = è suriettiv, m non iniettiv e dunque non è invertibile; se però restringimo il domino ll insieme [,+ ) e mntenimo l stess legge, ottenimo un nuov funzione g () biiettiv e perciò invertibile: f() = h dominio R: non è invertibile g() = h dominio [,+ ): è invertibile Dom(g) Or, dl grfico di g () voglimo ricvre quello dell su invers g ( ). Tr un funzione e l su invers ciò che cmbi è il ruolo degli insiemi che rppresentno dominio e codominio: il dominio ed il codominio di g () diventno rispettivmente il codominio ed il dominio di ( g ). Allor, dto che (per convenzione) il dominio si rppresent sull sse orizzontle ed il codominio su quello verticle, per ottenere il grfico di g ( ) bsterà scmbire gli ssi nel grfico di g () rendendo orizzontle l sse verticle e, vicevers, verticle quello orizzontle. Ruotndo di 9 o intorno ll origine e in verso ntiorrio il sistem di ssi crtesini ed il grfico di g (), ottenimo: Dom(g)

23 Ci simo qusi, c è però il problem che (sempre per convenzione) l sse orizzontle deve puntre destr, quindi ruotimo il grfico di 8 o intorno ll sse y e finlmente ottenimo il grfico di ( ) che è l funzione rdice qudrt: g y = Dominio ed immgine di,+ (quindi non si può fre l rdice qudrt di un numero < e il risultto dell rdice qudrt è sempre ). Siccome le funzioni y = e y = sono un l invers dell ltr, entrmbe le loro y = coincidono con l insieme [ ) composizioni forniscono l funzione identic: ( ) = e =. b) L funzione logritmo In modo nlogo ll esempio precedente, si può ottenere il grfico dell funzione invers dell funzione esponenzile y = (descritt nel prgrfo.7 dei grfici notevoli), dett funzione logritmo ed indict con: y = log (l notzione log si legge logritmo in bse di ); per > le due rotzioni prtire dl grfico dell funzione esponenzile dnno: y = ( > ) = log ( > ) y L funzione logritmo è dunque un biiezione tr (, + ) e R e nturlmente l sintoto orizzontle y = dell funzione esponenzile è diventto l sintoto verticle = per l funzione logritmo. Inoltre l funzione logritmo è strettmente crescente. 3

24 Nel cso < si procede in modo nlogo (in questo cso l funzione logritmo è strettmente decrescente). Notzioni: se l bse è il numero e (costnte di Nepero), log e si scrive nche log oppure ln. Si osservi che log = per qulsisi bse. Dto che le funzioni y = e y = log sono un l invers dell ltr, l loro composizione dà l funzione identic e si ottengono le seguenti identità: log = e log = 4

25 . Grfici ottenuti medinte trsformzioni elementri Vedimo or come ottenere, in modo indictivo ed certe condizioni, il grfico di un funzione prtire d quello di un ltr funzione. Più precismente, se f () è un funzione di grfico noto e g () è ottenut d f () medinte un trsformzione elementre (d esempio, sommndo un costnte), llor si può ottenere un grfico indictivo di g () prtire d quello di f (). Di seguito sono riportti lcuni esempi di trsformzioni elementri: per ogni rig il primo rppresent un grfico noto, il secondo ed il terzo sono due sue trsformzioni elementri. f ( ) = (.3) / f ( ) (.) (.) f ( ) (.) f ( ) = (.) f ( + ) (.3) f ( ) + f() f() - f()+ ( ) (3.) f ( ) = (3.) f ( ) (3.3) f () 7 f() f() f() 5

26 ( = + (4.) f ) f (4.) f ( ) (4.3) f( ) f() f() - f() -f( ) ( = (5.) f ) 3 f (5.) (5.3) f ( ) f() / f() f() Osservimo innnzi tutto che con l notzione f ( ) si indic l funzione compost ottenut pplicndo prim y = e poi y = f (). Quindi, d esempio, f ( ) è ottenut pplicndo prim y = e poi y = f (), mentre, vicevers, f () è ottenut pplicndo prim y = f () e poi y =. Anlizzimo or più in dettglio le trsformzioni proposte: ) / f ( ) h come dominio quello di f () privto dei punti in cui l funzione si nnull; se d esempio f ( ) =, llor l funzione y = / (dett iperbole equilter) non è definit in zero, inoltre l rett = è dett sintoto verticle per f (), mentre y = è dett un sintoto orizzontle ) il grfico di f ( + k) corrisponde d un trslzione rispetto ll del grfico di f () di k sinistr (risp. destr) se k > (risp. k < ); inftti, f ( + k) clcolt in k ssume vlore f (). Invece, f ( ) + k corrisponde d un trslzione rispetto ll y di k verso l lto (risp. verso il bsso) se k > (risp. k < ) 3) il grfico di f ( ) è ottenibile d quello di f () medinte un rotzione di 8 o rispetto ll sse y; inftti, f ( ) clcolt in ssume vlore f (). Invece, f () corrisponde d un rotzione rispetto ll sse 6

27 4) l definizione ed il grfico dell funzione modulo sono descritti nel prgrfo.7 dei grfici f h lo stesso grfico di f () per ( f ( ) = f () se ), notevoli; l funzione ( ) mentre per < h come grfico quello di f () per ruotto di 8 o rispetto ll sse y ( ( ) ) f = f ( se < ). Nel cso di f () il modulo è invece pplicto l vlore dell ordint e dunque il grfico coincide con quello di f () dove f ( ) e con quello di f () dove f ( ) < (e quindi il grfico di f () è ruotto di 8 o rispetto ll sse ) 5) se k è un costnte non null, l funzione f (k) clcolt in ssume vlore f () k ; invece, nel grfico di kf () tutte le ordinte del grfico di f () sono moltiplicte per k (in questo cso se k = llor kf () è l funzione costnte null) I grfici ottenuti con questo metodo sono in lcuni csi solo indictivi, per ottenere dei risultti migliori (ed vere nche ltre informzioni quli mssimi e minimi dell funzione) occorre il concetto di derivt di un funzione (prgrfo 5). Esempi: ) dl grfico di con >, ricvre il grfico per il cso < : è sufficiente osservre che = e che se < llor > ; dunque il grfico di per < è ottenibile pplicndo l trsformzione elementre reciproco l grfico dell funzione esponenzile con bse > (descritto nel prgrfo.7 dei grfici notevoli) e si ottiene: y = ( < < ) In modo simile, dl grfico di log log con > (descritto in pr..9 b)) si può ottenere quello di, cmbi però l trsformzione elementre coinvolt: log log log = = = log, ecceter. log log b) qulsisi prbol è ottenibile d y = medinte trsformzioni elementri: si è visto che un generic prbol h equzione y = + b + c (con ) e che il suo grfico non è necessrimente simmetrico rispetto ll sse y, con il vertice nell origine degli ssi ed orientto verso l lto, come invece quello di y =. Ci si può dunque spettre che per 7

28 trsformre il grfico di y = in quello di un qulsisi ltr prbol sino necessrie le seguenti trsformzioni elementri: l moltipliczione per un costnte k (d esempio per rendere l prbol convess o concv), un trslzione di k rispetto d ed un ltr trslzione di k 3 rispetto d y. Perciò le tre trsformzioni d pplicre prtire d y = sono: k f ( ), f ( + k ) e f ( ) + k3. Applicndo le trsformzioni si ottiene: + kk + kk k3 y = k + ; ffinché quest prbol coincid con l prbol k = y = + b + c devono coincidere i rispettivi coefficienti, si deve cioè vere: kk = b ; kk + k3 = c b l del sistem soluzione dà i vlori delle costnti nelle trsformzioni: k =, k = e b k3 = c 4 + c) determinre il grfico di y = dove è un costnte > : + occorre innnzi tutto trsformre lgebricmente l legge dell funzione in modo che sino riconoscibili le trsformzioni elementri che l generno prtire d un funzione di grfico noto: y = = = + ; quest si può ottenere pplicndo nell ordine le seguenti trsformzioni prtire dll funzione y = : f ( ) +, / f ( ), ( ) f ( ) e f ( ) +. I grfici ottenuti pplicndo successivmente le trsformzioni sono: y = y = + y = + y = + y =

29 Lo stesso risultto lo si srebbe ottenuto pplicndo le trsformzioni f ( +), ( ) f ( ) e f ( ) + ll funzione y =. d) utilizzre le trsformzioni elementri per dedurre l formul risolutiv di un equzione di o grdo: le trsformzioni elementri possono essere sfruttte per ricvre l not formul che dà le rdici di un equzione di secondo grdo; per i dettgli si rimnd l prgrfo 3. sulle equzioni di secondo grdo e) funzioni pri e funzioni dispri: in lcuni csi un trsformzione elementre può ricondurre ll funzione di prtenz; può d esempio ccdere che si bbi f ( ) = f ( ) per ogni pprtenente l dominio di f () ; si dice llor che f () è un funzione pri. Un funzione pri h il grfico simmetrico rispetto ll sse y e quindi per disegnrlo bst conoscerne solo un prte, quell per oppure per ; l ltr prte è ottenibile ribltndo l prim prte rispetto ll sse y. f(-) = f() Dom(f) f() - f() 6 3 Esempi di funzioni pri: 7,, 4, 3 e,. In generle, sono funzioni pri i polinomi costituiti d monomi di grdo pri; inoltre, se f () è un qulsisi funzione definit per, llor ( ) f è pri ed è definit su tutto R. Se invece pplicndo le trsformzioni f ( ) e f () si riottiene l funzione di prtenz, se cioè f ( ) = f ( ) per ogni pprtenente l dominio di f (), llor si dice che f () è un funzione dispri. Un funzione dispri h un grfico simmetrico rispetto ll origine e quindi per disegnrne il grfico bst conoscerne solo un prte: per oppure per ; l ltr prte è ottenibile ribltndo l prim prte rispetto ll sse e rispetto ll sse y. f(-) = -f() Dom(f) - -f() f() 9

30 3 4 Esempi di funzioni dispri: 8 3, 9,, 7 9 dispri i polinomi costituiti d monomi di grdo dispri. 3 e,. In generle sono funzioni f) funzioni periodiche: nell esempio precedente si sono esminte le funzioni che restno invrite se sottoposte lle trsformzioni elementri f ( ) (funzioni pri) oppure lle trsformzioni f ( ) e f () (funzioni dispri). Esminimo or, invece, le funzioni che restno invrite se sottoposte d un trslzione rispetto d : fissto un numero k, un funzione f () con dominio R è dett periodic di periodo k se f ( ) = f ( + k) per ogni. Quindi nel grfico dell funzione c è un trtto di curv che continu ripetersi: f() = f( + k) Dom(f) f() f(+k) +k k Un esempio di funzione periodic è l funzione mntiss descritt nel prgrfo.7. 3

31 3 Equzioni Si è già visto che d ogni rett ed d ogni prbol è ssocit un equzione; vedimo or invece come interpretre geometricmente e risolvere per vi grfic un generic equzione. 3. Equzioni di o grdo Vedimo qul è il significto geometrico delle soluzioni di un equzione di primo grdo, nlizzndo prim il cso in un vribile. Un equzione di primo grdo in un vribile h l spetto: = b, con e b numeri reli; risolverl signific determinre quei numeri (se esistono) che sostituiti ll rendono ver l uguglinz. L equzione = b può essere scritt come b = e quest si ottiene dll equzione b = y ponendo y = ; dunque, le soluzioni di b = corrispondono lle scisse delle soluzioni del tipo (,) di b = y. Siccome i punti di ordint null sono quelli dell sse, le soluzioni di b = sono le scisse dei punti in cui l rett y = b intersec l sse. Se llor l rett y = b h coefficiente ngolre non nullo e quindi intersec in un unico b punto, l sse (cioè b = h solo l soluzione b = ) : y = - b b/ Se invece =, llor l equzione dell rett divent y = b, dunque un rett prllel ll sse, e perciò: se b non ci sono intersezioni (cioè b = non h soluzioni), mentre se b = l rett coincide con l sse e ci sono infinite intersezioni (cioè b = h come soluzione qulsisi vlore di ). Nel cso invece di due vribili, l equzione di primo grdo ssume l spetto: + by + c = ; in questo cso ciscun soluzione non è un numero, m un coppi ordint di numeri e, come bbimo già visto, se e b non sono entrmbi nulli llor l equzione h infinite soluzioni che rppresentno tutti e soli i punti di un rett nel pino. 3. Equzioni di o grdo Anche qui, come per le equzioni di primo grdo, cerchimo un interpretzione geometric delle soluzioni di un generic equzione e successivmente (con lcune considerzioni geometriche) ricvimo l not formul che dà le soluzioni di un equzione di secondo grdo. Un generic equzione di secondo grdo è del tipo: + b + c =, con ; se è un soluzione di + b + c =, è soluzione di y = + b + c (e vicevers). Siccome, llor ( ) le soluzioni (,) sono i punti in cui l prbol y = + b + c intersec l sse, llor: 3

32 le soluzioni di + b + c = sono le scisse dei punti in cui l prbol y = + b + c intersec l sse. E evidente che un prbol può intersecre in, oppure punti l sse, quindi, indicndo con (,) e (,) le coordinte delle eventuli intersezioni, si possono vere i seguenti tre csi: = soluzioni soluzione nessun soluzione M qunto vlgono e? Se l equzione è del tipo + c = (se cioè mnc il termine b ) i conti li sppimo fre: c c =, e se (ltrimenti non si può fre l rdice qudrt e quindi l prbol non c c intersec l sse ) llor = e =. In questo cso l prbol y = + c ssocit ll equzione è simmetric rispetto ll sse y, è cioè del tipo: Se invece l prbol y = + b + c, ssocit ll equzione + b + c =, non è simmetric,, sono le intersezioni rispetto ll sse y, llor ci riconducimo l cso precedente: se ( ) e ( ) dell prbol con l sse, pplichimo ll prbol l trslzione di vlore + rispetto ll + (vedi ) di.)) che l rend simmetric (inftti le due intersezioni e infine i due vlori trovti pplichimo l trslzione "oppost di vlore +. I conti sono i seguenti: è il punto medio tr e ), clcolimo 3

33 + - pplicndo l trslzione di vlore (rispetto d ) ll prbol y = + b + c si ottiene: { ( ) } ( + ) + y = b + + b + c. Quest prbol deve vere il 4 coefficiente di nullo dto che ssume lo stesso vlore (zero) in e (vedi il prgrfo.6 b sulle prbole), dunque: ( + ) + b = e + = b - l equzione dell prbol divent perciò: y = + c e le scisse delle sue intersezioni 4 con l sse sono: = ± b 4c - pplicndo l trslzione di vlore + rispetto d si ottiene infine: + b 4c b b 4c b + b 4c = ±, cioè = e = ; queste espressioni si possono clcolre (cioè l prbol intersec l sse ) se e solo se b 4c, inoltre se vle l uguglinz c è un sol intersezione. Il numero b 4c è detto discriminnte (in genere è indicto con l letter grec, delt miuscol) e indic qunti sono i numeri reli soluzione dell equzione: se > due soluzioni, se = un soluzione e se < non ci sono soluzioni. Questi tre csi corrispondono rispettivmente i tre csi in cui l corrispondente prbol y = + b + c intersec in, o punti l sse. Osservzioni sulle equzioni: ) un equzione in un vribile, d esempio = h come soluzione un numero (, nturlmente) se è risolt in R; se invece l stess equzione è risolt in R (se cioè l equzione è vist come un equzione in due vribili in cui l y non compre e quindi può ssumere qulsisi vlore) h infinite soluzioni, le coordinte dei punti dell rett prllel ll sse y e di sciss. L osservzione si può estendere d equzioni di grdo superiore: d esempio, = 9 h le due soluzioni = ± 3 se è risolt in R, mentre se è risolt in R h come soluzioni le coordinte dei punti delle due rette = 3 e = 3. Nturlmente il dove risolvere un equzione dev essere un dto del problem. 33

34 3.3 Sistemi di equzioni y = + Un sistem di equzioni è d esempio: ; che si trtti di un sistem lo si riconosce y = dll presenz dell prentesi grff che st d indicre che ci interessno le soluzioni comuni delle equzioni presenti nel sistem. Nell esempio l prim equzione rppresent un rett e l second un prbol, llor risolvere il sistem h il significto geometrico di determinre i punti comuni lle due curve (le soluzioni sono (,) e ( 3,7) e si possono determinre con il metodo di sostituzione): Qunto detto per l esempio è generlizzbile d un qulsisi sistem di equzioni: risolvere un sistem signific determinre i punti comuni lle curve rppresentte dlle equzioni presenti nel sistem. 3.4 Altri tipi di equzioni Vedimo qulche ltro tipo di equzione; le soluzioni sono determinte sfruttndo i risultti dei prgrfi precedenti. ) equzioni esponenzili: + considerimo l equzione: 9 =. Innnzi tutto, si trtt di un equzione esponenzile perché ll esponente c è un espressione in cui compre l vribile. Per risolverl cerchimo di eliminre l esponenzizione, cioè trsformimo l equzione in un ltr equzione equivlente (cioè con le stesse soluzioni) in cui non compi più l funzione esponenzile; quest trsformzione si ottiene componendo l funzione esponenzile con l su funzione invers, l funzione logritmo. Siccome l funzione logritmo è iniettiv, se e sono entrmbi >, si h che: = se e solo se + log = log. Dunque, =, se e solo se log log = ; cioè +9 = (perché log y = y e log = ) e perciò = 9 b) equzioni logritmiche: considerimo l equzione: log 3 ( ) = ; è un equzione logritmic perché l rgomento del logritmo è un espressione in cui compre l vribile. 34

35 Si osservi innnzi tutto che h senso cercre le soluzioni solo tr i vlori di per cui primo e secondo membro sono clcolbili, quindi l rgomento del logritmo dev essere >, cioè > ; perciò eventuli soluzioni che non pprtengno questo insieme vnno scrtte. Le soluzioni si ottengono procedendo in modo nlogo lle equzioni esponenzili: trsformimo l equzione in un ltr equivlente che non si logritmic, pplicndo l funzione esponenzile (invers del logritmo) d entrmbi i membri. Siccome l funzione esponenzile è iniettiv, si h che: = se e solo se = ; quindi log 3 ( ) = se e log ( ) solo se 3 3 = 3, cioè = 9 e =. 3.5 Risoluzione grfic di equzioni Si suppong di voler risolvere d esempio l equzione log = ; non si s come clcolre le soluzioni in modo estto, m esistono dei procedimenti che forniscono dei vlori pprossimti. Uno di questi procedimenti è di tipo grfico: si considerino i due membri dell equzione come due funzioni distinte f ( ) = log e f ( ) = ; se è un soluzione dell equzione, llor f ( ) = f ( ) e perciò il punto (, f( )) pprtiene si l grfico di f ( ) che di f ( ). E vicevers, le scisse dei punti d intersezione dei due grfici sono soluzioni dell equzione. Dunque, le soluzioni dell equzione sono tutte e sole le scisse dei punti d intersezione dei grfici delle funzioni f ( ) e f ( ). Disegnndo i grfici di f ( ) e f ( ) è evidente che l equzione h un unic soluzione compres tr e : f f Si osservi che l scelt di f ( ) ed f ( ) non è unic; d esempio si srebbe potuto scegliere nche f ( ) = log + e f ( ) =, m in questo cso f ( ) srebbe stt più difficile d disegnre. Spere che è compreso tr e può non essere sufficiente; per ottenere un migliore pprossimzione si possono d esempio utilizzre i procedimenti descritti nei due prgrfi successivi. 3.6 Il metodo di bisezione Riprendimo l esempio del prgrfo precedente: ci proponimo di pprossimre meglio l soluzione dell equzione log =. Sino f ( ) = log, f ( ) = e g ( ) = f ( ) f ( ) = log + ; dunque g ( ) =. 35

36 + Se pprossimimo (, ) con =. 5 (vlore medio di e ), commettimo un errore che è l distnz di d.5; siccome (,.5] oppure [.5, ), l errore è minore dell lunghezz di ciscuno di questi due segmenti, cioè minore di =. 5 ; grficmente, se d esempio fosse (,.5], si vrebbe inftti: Siccome. 5 (inftti g (.5) =.945 ), per migliorre ncor l pprossimzione dobbimo spere se (,.5) oppure se (.5,) ; dto che g (.5) =.945 <, llor (.5,) per il teorem degli zeri, dto che: ().5,, g (.5) < e g ( ) >..5 + Perciò un ulteriore pprossimzione di è =. 75 e l errore è minore di =. 5 (l lunghezz del segmento inizile è stt dimezzt due volte). Per migliorre ncor l pprossimzione di bst ripplicre il procedimento. In definitiv, d ogni ulteriore rippliczione del procedimento (cioè, d ogni iterzione del r + s procedimento) l lunghezz del generico intervllo [ r, s] si dimezz e tr i due intervlli r, r + s e, s si sceglie quello in cui g () ssume vlori di segno opposto negli estremi, in modo d vere l grnzi (per il teorem degli zeri) che l intervllo conteng lmeno un soluzione di r + s g ( ) =. Nturlmente, se in un iterzione si trov che g = (eventulità piuttosto rr), llor è stto determinto in modo estto ed il procedimento si rrest. b L errore commesso dopo n iterzioni (se e b sono gli estremi dell intervllo inizile) è <. n Nell esempio, dopo 7 iterzioni si ottiene: errore b g è continu in [ ] + b + b g.5 <.5.75 > > > < < < 36

37 Il vlore.5546 pprossim con un errore minore di = Si lsci come esercizio il clcolo di 5 =.3667: si trtt cioè di risolvere (per > ) l equzione = 5, perciò g ( ) = 5 e come intervllo inizile si può prendere d esempio [,3], dto che < <

38 3.7 Il metodo itertivo Vedimo un ltro procedimento per ottenere un vlore pprossimto dell soluzione di log =. Ricvndo nell equzione si ottiene = log, si inoltre h( ) = log. Fissimo =. 5 e clcolimo i vlori = h( ). 5945, = h( ) e così vi, dunque ogni nuovo vlore = = è l immgine trmite h () del precedente, cioè: + = h( ). Fcendo i conti si ottiene: n n n n I vlori,,, 3, si vvicinno sempre di più l vlore di, per intuirne l rgione bst disegnre i grfici di y = e y = h() : y = h() y = h( ) = h( ) = Il metodo però non sempre funzion: se d esempio si volesse clcolre l rdice qudrt di 5, 5 risolvere cioè l equzione = 5 per, riscrivendo l equzione come = (e perciò 5 5 h( ) = ) llor, fissto un qulsisi si vrebbe = h( ) = e = h( ) =. Quindi non si otterrebbe nessun pprossimzione di 5. (In questo cso l ostcolo può essere ggirto perturbndo l equzione 5 + = 5 : + = 5 + e quindi = ; si lscino come esercizio i + conti per pprossimre 5 ; il grfico di h () è ottenuto nell esempio c) di.). In definitiv questo metodo di pprossimzione richiede qulche conto in meno (il clcolo dell medi) rispetto l metodo di bisezione, m non grntisce né il risultto, né un vlutzione dell errore commesso. 38

39 3.8 Esempi in Economi: determinzione del tsso di un rendit Si suppong di investire un cpitle C in regime di interesse composto (pr..8): qule dev essere il tsso nnuo d interesse i in modo d ottenere gli importi R, R ed R 3 rispettivmente dopo, e 3 nni? Fissimo lcune nomenclture: gli importi R, R ed R 3 ottenuti ( fronte del cpitle investito) costituiscono un rendit e sono detti rte dell rendit; il cpitle C è detto vlore ttule dell rendit. Vedimo come determinre il tsso d interesse. L rt R corrisponde l cpitle mturto (in regime di interesse composto) dopo nno l tsso i ed prtire d un certo cpitle inizile C (detto vlore ttule di R ), dunque: R = C( + i) e perciò C = R ( + i) ; nlogmente, per R 3 ed R 3 si ottiene C = R ( + i) e C 3 = R3 ( + i). Siccome l somm di C, C e C 3 (vlori ttuli delle rte) deve coincidere con C (vlore ttule 3 dell rendit), si deve vere C = C + C + C = R ( + i) + R ( + i) + R ( + i e perciò, 3 3 ) 3 3 moltiplicndo per ( + i) : C ( + i) R ( + i) R ( + i) R3 =. Infine, ponendo u = + i (fttore di cpitlizzzione) l equzione divent: 3 Cu R u R u R = () Or, il problem consiste nel determinre l soluzione u dell equzione, corrispondente l tsso incognito i dell rendit; poiché u = + i e < i <, dev essere < u < ; un volt clcolto u si h i u. = Per determinre l soluzione u dell equzione di terzo grdo () possimo utilizzre il metodo di bisezione (pr. 3.6) pplicto ll intervllo [, ], supposto che nell intervllo [, ] l equzione () bbi solo l soluzione u. Osservzione: per verificre che l equzione () h solo l soluzione u nell intervllo [, ] si può disegnre il grfico dell funzione rppresentt dl primo membro dell (). Vedimo un esempio numerico: supposto che il vlore ttule C dell rendit si di 4 euro e che le rte vlgno rispettivmente R = 9, R = ed R 3 = 3 euro, llor l equzione () divent (semplificndo per ): 3 4u 9u u 3 = (),, il metodo di bisezione dà: u. 83 e quindi e dopo iterzioni, prtire dll intervllo ( ) i.83 (cioè circ un tsso del.83 %). L errore commesso è minore di.97, cioè circ un millesimo, che non è un precisione molto elevt trttndosi di cpitli dell ordine del milione di euro. Il disegno del grfico rppresentto dl primo membro dell () è ricvto nell esempio b) del prgrfo

40 4 Disequzioni Come si è ftto per le equzioni, cerchimo nche per le disequzioni di interpretrle e risolverle per vi grfic. 4. Disequzioni di o grdo Anlizzimo prim il cso in un vribile. Un disequzione di primo grdo in un vribile h l spetto: b (con e b numeri reli); nturlmente, il simbolo di disuguglinz potrebbe nche essere uno tr i seguenti: <, > o ; le considerzioni riportte di seguito possono essere estese in modo ovvio nche questi csi. Riscrivimo l equzione come b e considerimo l equzione dell rett y = b ; se è un soluzione dell disequzione, llor b e perciò, b è un punto dell rett y = b, con ordint mggiore o ugule zero; vicevers, ogni punto dell rett con ordint h come sciss un soluzione dell disequzione. Dunque, le soluzioni di b rppresentno le scisse dei punti dell rett y = b che hnno ordint e, second che il coefficiente ngolre si > oppure <, si h: y = - b > y = - b < b/ soluzioni: b / soluzioni: b / b/ Nel cso in cui si =, llor l equzione dell rett divent y = b e quindi, se b tutti i punti dell rett hnno ordint, se invece b > nessuno; nel primo cso qulsisi è un soluzione, mentre nell ltro cso non ci sono soluzioni. Se invece le vribili sono due, l disequzione di primo grdo h l spetto + by + c ; vedimo di rppresentre grficmente le soluzioni (che, essendoci vribili, in questo cso non sono numeri, m bensì coppie ordinte di numeri). c c Se b l disequzione si può scrivere y e ponendo m = e q = divent b b b b y m + q ; or, un qulsisi punto P = (, y ) è soluzione dell disequzione se le sue coordinte verificno l disequzione, se cioè è vero che y m + q ; siccome il punto Q =, m + q y pprtiene ll rett y = m + q, ciò signific che P h l stess sciss di Q m ordint mggiore o ugule, dunque P st sopr ll rett. Allor, le soluzioni di y m + q sono tutti i punti del pino che stnno sopr l grfico dell rett y = m + q, (compresi i punti dell rett perché nel 4

41 simbolo dell disuguglinz c è nche l ugule); nel disegno l insieme delle soluzioni è evidenzito in grigio: soluzioni di: y m + q y m + q y = m + q Se invece l disequzione fosse stt y m + q, llor le soluzioni srebbe stte i punti sotto l con y m + q grfico dell rett rett, cioè i punti ( ), y. Esempi: ) per risolvere 5 y + >, innnzi tutto riscrivimo l disequzione lscindo l primo membro solo l y: y < 4 ; llor, le soluzioni sono i punti sotto l grfico dell rett y = 4, esclusi i punti dell rett stess (che perciò è disegnt trtteggit) dto che il simbolo dell disequzione è < (e non ): b) è interessnte osservre le disequzioni del tipo + k in cui compre solo l vribile, d esempio + 7 : se considert come disequzione in un vribile (e perciò risolt in R) dà come soluzioni i numeri 7, mentre, se è invece considert come disequzione in due vribili (e perciò risolt in R ) dà come soluzioni i punti del pino con sciss 7, cioè: =

42 Anche in questo cso, come per le equzioni, il dove risolvere l disequzione dev essere un dto del problem. 4. Disequzioni di o grdo Nel cso di un vribile, un disequzione di secondo grdo h l spetto: + b + c ( ); se è un soluzione dell disequzione, llor il punto, + b + c pprtiene ll prbol di equzione y = + b + c ed h ordint mentre, vicevers, ogni punto dell prbol con ordint h come sciss un soluzione dell prbol. Dunque, le soluzioni di + b + c sono le scisse dei punti dell prbol y = + b + c che hnno ordint. Si hnno llor tre possibilità, second che l prbol intersechi in, oppure punti l sse e questi tre csi si possono riconoscere dl segno del discriminnte dell equzione + b + c = (vedi il prgrfo 3.). Dunque, le soluzioni di + b + c nel cso > (concvità rivolt verso l lto) sono: Cso > : > = < = soluzioni: o soluzioni: ogni soluzioni: ogni Se invece <, llor l prbol y = + b + c soluzioni di + b + c sono: h l concvità rivolt verso il bsso e quindi le Cso < : > = < = soluzioni: e soluzioni: = soluzioni: nessun 4

43 In modo nlogo si possono ottenere le soluzioni per le disequzioni di secondo grdo con disuguglinze di tipo, < oppure >. Nel cso di disequzioni con due vribili vlgono le stesse considerzioni ftte per le disequzioni di primo grdo. Esminimo lcuni esempi per le curve note, evidenzindo in grigio l insieme delle soluzioni e trtteggindo le linee delle curve qundo i loro punti non sono soluzioni. Esempi: ) considerimo un disequzione di secondo grdo e in due vribili del tipo: y b c ; se l primo membro si lsci solo l y si ottiene y + b + c, che ssomigli qulcos di già noto: sostituendo con = divent l equzione di un prbol. Allor, utilizzndo le stesse rgomentzioni viste per le disequzioni di primo grdo, si trov che le soluzioni di y + b + c sono i punti del pino che stnno sotto l grfico dell prbol y = + b + c. Ad esempio, le soluzioni di y sono: - 3 b) se nell ultim disequzione scmbimo le vribili, ottenimo l nuov disequzione y + y + 3 ; d ess corrisponde l equzione = y + y + 3 le cui soluzioni sono ottenute dlle soluzioni di y = scmbindo le due coordinte: d esempio, (,) e ( 3,) diventno rispettivmente (, ) e (,3). Dunque, il grfico di = y + y + 3 si ottiene d quello di y = nello stesso modo in cui si ricv dl grfico di un funzione il grfico dell su invers (prgrfo.9); le soluzioni di y + y + 3 sono: 3 - c) l disequzione y ppre un po insolit rispetto lle precedenti; osservimo innnzi tutto che non ci possono essere soluzioni con sciss null, perciò possimo supporre e 43

44 dividere per in modo d ottenere solo l y l primo membro. Trttndosi però di un disequzione, occorre tenere conto del segno: se >, llor l disequzione divent y, ltrimenti se < si h y. Siccome l curv y = è un iperbole equilter (vedi ) di.), le soluzioni sono: d) l disequzione 4 h un sol vribile e dunque può essere risolt si in R che in R : nel primo cso le soluzioni sono i numeri o, mentre nel secondo cso (e perciò se considert come disequzione in due vribili) si ottengono i punti del pino con sciss o : - Si procede in modo nlogo se l disequzione contiene solo l vribile y; d esempio y < 9 (risolt in R ) h come soluzioni i punti con ordint 3 < y < 3:

45 4.3 Sistemi di disequzioni Come per le equzioni, nche nel cso delle disequzioni risolvere un sistem signific trovre le soluzioni comuni. Le soluzioni di un sistem di disequzioni si ottengono risolvendo seprtmente ciscun disequzione e successivmente fcendo l intersezione delle soluzioni trovte. Si nel cso dei sistemi in un vribile che in quello in due vribili, l intersezione delle soluzioni è effettut grficmente. Vedimo un esempio per ciscun cso: < ) risolvere il sistem ; l prim disequzione è di secondo grdo ed h soluzioni > e < 3, l second è invece sempre soddisftt se il primo membro è clcolbile, se cioè l rgomento dell rdice è (vedi ) di prgrfo.9). Dunque, il sistem divent > e < 3 e le disequzioni dnno le soluzioni: 3 infine intersecndo si ottiene e < 3 y > ) risolvere il sistem y ; l prim disequzione è soddisftt se numertore e y denomintore hnno lo stesso segno, quindi le soluzioni sono dte dll unione delle soluzioni dei y < y > seguenti due sistemi: y > y < e si ottiene: y y - 45

46 4.4 Altri tipi di disequzioni Come per le equzioni, vedimo lcuni ltri tipi di disequzioni; nche in questo cso le soluzioni sono ottenute sfruttndo i risultti dei prgrfi precedenti. ) disequzioni esponenzili: considerimo l disequzione esponenzile: 3 < 5. Come si è ftto per le equzioni esponenzili, per risolvere l disequzione l trsformimo in un ltr disequzione equivlente (cioè con le stesse soluzioni) che non si esponenzile (cioè priv di un espressione esponenzile l suo interno) pplicndo l funzione logritmo d entrmbi i membri dell disequzione. Siccome l funzione logritmo è strettmente crescente (se l bse è >), llor (se ) < se e solo se log < log ; dunque 3, <, 5 se e solo se log3 3 < log3 5 ; cioè < log 3 5 e < + log 3 5. Se invece l bse dell funzione esponenzile è < come d esempio nell disequzione 3 < 5, llor l corrispondente funzione logritmo è strettmente decrescente e perciò: < se e solo se log log log 3 > 3 log 3 >. In questo cso si ottiene: < e quindi > + log 5 3 > se e solo se b) disequzioni logritmiche: per risolvere l disequzione logritmic log 5 ( + ) occorre cercre le soluzioni solo tr i vlori di per cui primo e secondo membro sono clcolbili, quindi l rgomento del logritmo log 5 ( + ) dev essere > ed è perciò necessrio risolvere il sistem:. + > L second disequzione dà <. Per risolvere l prim disequzione si procede invece come per le disequzioni esponenzili: si trsform l disequzione in un ltr disequzione equivlente, che però non si più logritmic, pplicndo l funzione esponenzile d entrmbi i membri dell disequzione. Siccome l funzione esponenzile è strettmente crescente (se l bse è >), llor < se e solo se < ; dunque log 5 ( + ) se e solo se log ( ) ; cioè + 5 e 3. Anche in questo cso, come per le disequzioni esponenzili, il simbolo dell disequzione si inverte se l bse è <. 46

47 5 Derivte Si è visto che il grfico di un funzione può essere disegnto per punti (prgrfo.) oppure medinte trsformzioni elementri (prgrfo.), m se si desider disegnre un grfico più ccurtmente e spere in prticolre dove l funzione cresce, decresce o h dei mssimi o dei minimi locli, occorre uno strumento mtemtico più sofisticto: l derivt. 5. Interpretzione geometric di f `() Ci ponimo il seguente problem: dt un funzione f () per quli vlori di l funzione cresce, decresce o h dei mssimi o dei minimi locli? Supponimo che l funzione f () si definit in un intervllo e bbi un grfico dotto in ogni punto di rett tngente; llor, se m è il coefficiente ngolre di un generic rett tngente e ricordndo come vri il coefficiente ngolre m di un rett l vrire dell inclinzione dell rett m = m > m = m < m > f() (pr..4), si ottiene: m = cioè: - se m > f () è strettmente crescente - se m < f () è strettmente decrescente - m = nei punti del grfico di f () che sono di mssimo o di minimo P =, è un generico punto del grfico di f (), qunto vle il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico in P? Disegnimo un generic rett r pssnte per P e per un ltro punto Q = (, f ( ) ) (diverso d P) del grfico dell funzione; sino inoltre: t l rett tngente in P l grfico, m il coefficiente ngolre di t ed m r il coefficiente ngolre di r. M come clcolre m? Se cioè ( f ( )) t Q r f P f( ) f() 47

48 Se si vvicin llor Q tende d vvicinrsi P e perciò l rett r tende coincidere con l rett t; dunque il coefficiente ngolre m r di r tende l vlore del coefficiente ngolre m di t. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Siccome m r = (vedi.4), llor si h che: m = lim. Il vlore m del limite è indicto con f ( ) ed è detto derivt (o derivt prim) di f() nel punto ; si dice inoltre che f () è derivbile in. Dunque: f ( ) è il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico di () ' ' f nel punto ( f ( )), Al vrire di, f '( ) rppresent un nuov funzione (ottenut d f () ) che fornisce le seguenti informzioni sul grfico di f () : - se f '( ) > f () è strettmente crescente - se f '( ) < f () è strettmente decrescente - f '( ) = nei punti del grfico di f () che sono di mssimo o di minimo quindi, noto il segno di f '( ) (cioè noto per quli vlori di si h f '( ) >, f '( ) < oppure f '( ) = ) si s dove f () cresce, decresce oppure potrebbe (si ved l osservzione ) più sotto) vere dei mssimi o dei minimi. Utilizzndo tle interpretzione geometric simo in grdo, noto il grfico di f (), di disegnre un grfico indictivo di f '( ) : f ()= f ()> f ()< f ()> f ()= f ()< f ()> f ()= f() f ()= f () 48

49 Osservzioni: ) si è visto grficmente che negli intervlli in cui f '( ) >, f () è strettmente crescente; non vle però il vicevers: d esempio l seguente funzione f () è strettmente crescente nell intervllo [, b], m f '( ) = : f() f ( ) = b 3 Un cso del genere si verific d esempio per l funzione f ( ) = nel punto = (l verific può essere ftt svolgendo i clcoli come indicto in 5.3) ) i vlori di per cui si h f '( ) = non sono necessrimente tutti punti di mssimo o di minimo (vedi l definizione in e) di.); d esempio per l funzione dell osservzione ) si h f '( ) =, m non è punto né di mssimo né di minimo 3) possono esistere dei punti di mssimo o di minimo in cui l derivt prim non si nnull; d esempio per l seguente funzione f () definit in, ] : [ 3 f() 3 Dom(f) il punto è un punto di mssimo ssoluto, m f '( ) ; nlogmente 3 è un punto di mssimo locle m f '( 3 ). Ciò dipende dl ftto che e 3 sono punti di frontier per il dominio di f (), cioè punti tli che ogni intervllo perto che li contiene, contiene si punti del dominio si punti che non pprtengono l dominio. Invece, l derivt prim si nnull certmente nei punti di mssimo o di minimo che sono punti interni del dominio (cioè, punti per i quli esiste un intervllo perto che li contiene e che si su volt contenuto in Dom(f)), come d esempio. 49

50 5. Interpretzione geometric di f ``() In 5. si è visto che il segno dell derivt prim f '( ) consente di stbilire dove l funzione f () cresce o decresce; m nel trtto in cui l funzione è (d esempio) crescente l concvità potrebbe essere rivolt verso l lto oppure verso il bsso come illustrto nel disegno (nel primo cso si dice che l funzione è convess, nell ltro che è concv): funzione convess funzione concv Come distinguere questi due csi? Si è visto che l derivt prim f '( ) di un funzione f () è su volt un funzione; se nche f '( ) è derivbile, llor l su derivt è dett derivt second di f () ed è indict con f ''( ). Or, se f () è convess, llor l su derivt prim f '( ) è crescente (perché il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico di f () ument l crescere di ); dunque l derivt di f '( ), che è f ''( ), dev essere. Procedendo nlogmente si trov che se f () è concv llor f ''( ) : f() convess f() concv f () f () f () f () Dunque, noto il segno di f ''( ) (noti cioè i vlori di per cui si h f ''( ) >, f ''( ) < oppure f ''( ) = ) si s dove f () è convess oppure concv: - se f ''( ) > f () è convess - se f ''( ) < f () è concv 5

51 5.3 Esempi ) dt un funzione f (), per clcolre l su derivt f '( ) non è in genere necessrio clcolre il limite contenuto nell definizione di derivt, m bst conoscere le derivte delle funzioni elementri e le regole di derivzione (le une e le ltre ottenibili pplicndo l definizione di derivt). Le derivte di lcune funzioni elementri e le principli regole di derivzione sono indicte nello specchietto lto. Ad esempio, l 4 derivt di f ( ) = si clcol pplicndo le regole di derivzione 6) e 5) e le derivte ) e ), e si ottiene: 6) 4 '( ) = (7 )' + = ( )' + ( 3) ' 5) Alcune derivte e qulche regole di derivzione: ) f() = k (k R) f () = ) f() = n f () = n n- 3) f() = ( > ) f () = log 4) f() = log ( > ) f () = / ( log ) 5) (k f()) = k f () (k R) (deriv. del prod. per un cost.) 6) (f() + g()) = f () + g () (derivt dell somm) 7) (f() g()) = f ()g() + f()g () (derivt del prodotto) 8) f(g()) = f (g()) g () (derivt dell funzione compost) f 7( )' ( ) ' + (3) ' = 7( )' ( )' = 8 b) disegnimo il grfico dell funzione rppresentt dl primo membro dell equzione () dell esempio 3.8: 3 f ( ) = dominio: l funzione f () è definit su tutto R - crescenz, decrescenz, mssimi e minimi: clcolimo innnzi tutto l derivt prim: f '( ) = 8 ; per spere dove f () cresce o decresce bst conoscere il segno di f '( ) (pr. 5.), bst cioè risolvere l disequzione di secondo grdo (pr. 4.): 8 si trov: oppure e dunque il segno di f '( ) è rppresentto sinteticmente 4 5 dl seguente digrmm, in cui i + ed i - indicno rispettivmente dove f '( ) > e dove f '( ) < : f () /4 cioè, f () è strettmente crescente se <, strettmente decrescente se < < e ncor strettmente crescente se > Inoltre = è punto di mssimo locle e f =, mentre = è di minimo locle e f =. 5 5 Si osservi che f '( ) > nell intervllo (, ), dunque f () è strettmente crescente in tle intervllo e perciò il grfico di f () intersec in l mssimo un punto l sse ; cioè, l equzione f ( ) = h l mssimo un soluzione in (, ) (come nticipto nell esempio in 3.8) ) /5 ) 5

52 - concvità: per spere dove f () è concv o convess occorre studire il segno di f ''( ) (pr. 5.); l derivt second è: f ''( ) = 4 8 ed il suo segno è dto dll soluzione di: che dà ; dunque, il segno di f ''( ) è: 4 f () perciò l funzione è concv per < e convess per >. I punti come = in cui l funzione pss, l crescere di, d concv convess (o vicevers) sono detti punti di flesso - grfico: tenendo presenti i risultti dei punti precedenti e dto che f () tende + (risp. ) se tende + (risp. ) (e per convincersene bst rccogliere 3 in f () ), il grfico di f () è: 3/4 5

53 6 Integrli Anche in questo prgrfo prtimo d un problem geometrico: determinre (sotto certe condizioni) l re di un figur pin. Per il clcolo delle ree utilizzimo gli integrli e perciò vedimo prim un breve descrizione del concetto di integrle e successivmente un procedimento che consente di clcolre gli integrli utilizzndo un collegmento tr il concetto di integrle e quello di derivt. 6. Integrli definiti Si suppong che f () si un funzione continu e > nell intervllo [ b], ; llor l notzione b f ( ) d si legge: integrle definito (o integrle) d b di f () e rppresent l re (evidenzit in grigio nel disegno) compres tr l sse ed il grfico di f () nel trtto dell intervllo [, b]. Se invece f () è,, llor b f ( ) d è il numero corrispondente ll re compres tr l funzione e l sse, m con segno negtivo: < in [ b] b f ( ) d > b f ( ) d < I numeri e b sono detti estremi di integrzione e [, b] è detto intervllo di integrzione. Per gli integrli vlgono, tr le ltre, le seguenti proprietà (per ogni c [, b] ): c c ) f ( ) d = (cioè, l integrle è nullo se gli estremi di integrzione coincidono) c b b ) f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d, che grficmente si può interpretre nel seguente modo: c c f ( ) d b c f ( ) d 53

54 Per clcolre un integrle definito si potrebbe pprossimre l re corrispondente utilizzndo delle figure geometriche di cui sppimo clcolre bene l re (d esempio con dei rettngoli). Il procedimento che ci interess fornisce invece un risultto estto (cioè, non pprossimto) ed è illustrto nel prossimo prgrfo. 6. Interpretzione geometric del teorem fondmentle del clcolo integrle Di seguito descrivimo un procedimento per il clcolo degli integrli bsto sul collegmento (piuttosto inspettto) tr il concetto di integrle e quello di derivt. Supponimo che () b f si un funzione continu nell intervllo [, ]; si [, b] e clcolimo l integrle f ( t) dt (si osservi che ll interno dell integrle si utilizz t come nome dell vribile perché è già usto come nome di un estremo di integrzione); il clcolo dell integrle dà un numero che possimo riportre in un sistem di coordinte ccostto l sistem di coordinte con il grfico di f () (con,, 3 e 4 sono indicti i punti in cui f () intersec l sse ): f ( t) dt f ( t) dt Ad ogni vlore di nell intervllo [ b] funzione (dett funzione integrle) definit in [ b], è perciò ssocito il numero f ( t) dt ; dunque, si h un F ( ) = f ( t) dt,, che indichimo con F () e che h l legge: Vedimo come vri l funzione F () : - se = gli estremi di integrzione coincidono e dunque F ( ) = 54

55 - se (, ) llor l crescere di l re rppresentt d f ( ) > nell intervllo ( )) e perciò F () ument - se ( ),, f ( t) dt ument (perché llor F( ) = f ( t) dt = f ( t) dt + f ( t) dt e l ultimo integrle diminuisce ll umentre di perché f ( ) <, dunque F () diminuisce - in modo nlogo si trov che F () ument negli intervlli (, 3 ) e ( 4,b) (in cui f ( ) > e quindi l integrle dà contributi >), mentre F () diminuisce nell intervllo ( 3, 4 ) (in cui f ( ) < e quindi l integrle dà contributi <) Rissumendo queste osservzioni ottenimo un grfico indictivo di F () : b F() b dunque dove f ( ) > F () cresce, dove f ( ) < F () decresce e nei punti di minimo o di mssimo di F () si h f ( ) =, dunque f () si comport come l derivt di F () e in effetti si può dimostrre che: F '( ) = f ( ) questo risultto è detto teorem fondmentle del clcolo integrle e F () è dett un funzione primitiv di f (). Or, il clcolo dell integrle d c f ( t) dt per un generico intervllo[ d] c, contenuto in [ b],, divent: d c d c f ( t) dt = f ( t) dt f ( t) dt = F( d) F( c) 55

56 (per l proprietà ) descritt in 6. e per l definizione di F () ). Dunque, in definitiv, il clcolo dell integrle definito d c f ( t) dt si è ridotto d un sottrzione tr i vlori di F () negli estremi di integrzione; perciò, per clcolre l integrle d c f ( t) dt bst conoscere l funzione F () primitiv di f (). In effetti v bene un qulsisi primitiv di f () perché le primitive di un stess funzione differiscono per un costnte (risultto che non dimostrimo) e dunque l differenz F( d) F( c) è l stess per qulsisi primitiv F (). Notzioni: l differenz ( d) F( c) funzione primitiv ed in quli punti v clcolt. F si scrive nche [ ] d c F ( ) in modo d indicre qul è l 56

57 6.3 Esempi ) Supponimo che f () si un funzione continu; si è visto (pr. 6.) che per clcolre b l integrle definito f ( ) d occorre conoscere lmeno un primitiv di f (), cioè lmeno un funzione l cui derivt si f (). M conoscere un primitiv F () di f () equivle conoscere l insieme di tutte le primitive di f () (inftti tutte le ltre sono del tipo F ( ) + k con k costnte qulsisi); siccome l insieme di tutte le primitive di f () è indicto con f ( ) d ed è detto l integrle indefinito di f (), llor per clcolre un integrle definito per f () bst conoscere tle insieme, cioè clcolre l integrle indefinito di f (). Vedimo un esempio: siccome l derivt di è, llor è un primitiv di e le ltre primitive sono del tipo + k con k costnte; dunque, l integrle indefinito di f ( ) = è d = + k. Il clcolo di un integrle indefinito utilizzndo si ottiene, gli in integrli genere, e conoscendo le regole ess gli integrli delle funzioni elementri e le regole di integrzione (lcuni integrli e qulche regol di integrzione sono riportti nel riqudro). Ad esempio l integrle precedente di può clcolre nel seguente modo: 4) ) d = d = + k = + k. b) or, clcolto l integrle indefinito per f ( ) =, simo in grdo di clcolre qulsisi 7 integrle definito per l stess funzione, d esempio d e si ottiene: 7 Gli integrli (indefiniti) di lcune funzioni elementri: ) n d = n+ / (n+) + k (se n ) ) d = / log + k 3) / d = log + k Alcune regole di integrzione: 4) k f() d = k f() d (k R) 5) (f() + g()) d = f() d + g() d d = 7 [ ] = 7 = 49 In questo cso il risultto può essere verificto, inftti l integrle clcolto rppresent l re di 7 4 un tringolo di bse 7 ed ltezz 4 e perciò di re = 49, vlore che coincide col risultto dell integrle: f() = 7 = 49 d 57

58 Si osservi che se invece gli estremi di integrzione fossero stti 7 e (nziché e 7), llor l re del tringolo srebbe stt l stess, m l integrle vrebbe dto come risultto 49, essendo l funzione minore di zero nell intervllo di integrzione (inftti il grfico di f ( ) = st l di sotto dell sse nell intervllo ( 7,) ): f() = 7 d = 49 58

59 Bibliogrfi ] R. Cournt, H. Robbins Che cos è l mtemtic? Boringhieri, 985 ] A. Bsso. P. Pinc Appunti di Mtemtic Finnziri Cedm, 59

60 Indice nlitico sciss; ssi crtesini; codominio; 4 coefficiente ngolre; coordinte; 3 A C D derivt second; 5 derivte; 47 interpretzione geometric; 47 discriminnte; 33 disequzioni esponenzili; 46 logritmiche; 46 disequzioni di primo grdo in vribile; 4 in vribili; 4 disequzioni di secondo grdo in vribile; 4 in vribili; 43 dominio; 4 equzioni esponenzili; 34 logritmiche; 34 equzioni di primo grdo in vribile; 3 in vribili; 3 equzioni di secondo grdo formul risolutiv; 3 in vribile; 3; 34; 46 fttore di cpitlizzzione; 7 funzione concv; 5 convess; 5 crescente; 6 decrescente; 6 definizione; 4 dispri; iniettiv; 8 integrle; 54 pri; periodic; 3 primitiv; 55 strettmente crescente; 6 strettmente decrescente; 6 suriettiv; 8 funzione esponenzile grfico per <<; grfico per >; 5 E F funzione logritmo; 9 funzione mntiss; 6 funzione pvimento; 5 funzione rdice qudrt; 8 grfico dell funzione invers; 8 di un funzione; 4 immgine; 4 integrle definito; 53 integrle indefinito; 57 integrli; 53 interesse composto; 7 interesse semplice; 5 iperbole equilter; 9 modulo; 4 normlizzzione; 4 numero e; 5 ordint; ordint ll'origine; prbol; 6 equzione generle; 6 punto interno; 49 punto di flesso; 5 frontier; 49 mssimo ssoluto; 6 mssimo locle; 6 minimo ssoluto; 6 minimo locle; 6 rte di un rendit; 39 rendit; 39 rett; 9 equzione esplicit; equzione generle; risoluzione di equzioni metodo di bisezione; 35 metodo itertivo; 38 soluzione grfic; 35 G I M N O P R 6

61 sistem di coordinte per il pino; per l rett; sistemi di disequzioni; 45 sistemi di equzioni; 34 S tsso di un rendit; 39 trslzioni; 9 T V vlore ssoluto; 4 vlore ttule di un rendit; 39 6