Esponenziali e logaritmi

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1 Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite: 0 ( ) 0 0 Csi prticolri :,, per ogni R 0 0,, per ogni R Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi vlgono nche per esponenti reli: Se > 0, per ogni, pprtenenti R vle : 5 ( ) : ( b) b Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con > 0 fissto, R Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv) Si distinguono tre csi: > : funzione crescente : > > : funzione costnte : per ogni R 0 < < : funzione decrescente : > <

2 0 0 < < > > > I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo : b, con > 0 e b > 0 è l' incognit dell' equzione Un'equzione esponenzile del tipo b può essere impossibile, indetermint o determint : impossibile se indetermint se determint se b 0, oppure b e esempio : oppure 5, b esempio: > 0,, b > 0 esempio : 5 b bse dell eponenzile e del ritmo b Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b

3 Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile b : se e b si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, si eguglino gli esponenti : 8 se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi : Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >0, deve essere b>0, inoltre vlgono i csi prticolri: Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ( R R, > 0) ) ) c b ) b (, b, c > 0) formul di cmbimento di bse nei ritmi c I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse 0oppure in bse e, 78: indic il 0, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche ritmo nturle o neperino Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo : L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R Si distinguono due csi: 0, poichè, poichè ( R ( R, con > 0 e fissto, R > : funzione crescente : > > 0 < < : funzione decrescente : > < 0 R R, > 0), > 0) 0 I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte ( ) essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : 0 < < > > > EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi

4 L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con > 0 e b R > 0 è l' incognit dell' equzione L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione ritmic conviene: (qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A( ) B( ), pplicndo le proprietà dei ritmi determinre le soluzioni dell'equzione A ( ) B( ) eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili Esempi Risolvimo l'equzione: 8 6 Osservimo che: e Quindi è possibile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi Risolvimo l'equzione: 5 7 Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse 0) del primo e del secondo membro: ( ) 7 5 Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 5 7 Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 5 7 Isolndo ottenimo: 7 5 (*) In lterntiv potevmo isolre, ottenendo: 7 5 Prendendo il ritmo in bse di entrmbi i membri si h: Utilizzndo l formul di cmbimento di bse ) si riottiene (*) Risolvimo l'equzione: 6 Osservimo che: L'equzione ssegnt è equivlente : b

5 Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero Possimo moltiplicre per entrmbi i membri, ottenendo: ( ) E' evidente l struttur di equzione lgebric di II grdo nell'incognit Risolvendo tle equzione (può essere utile introdurre un vribile usiliri più evidente l ntur di equzione di secondo grdo) si h: oppure d cui: oppure Risolvimo l'equzione ritmic: ( ) ( ) Imponimo le condizioni di esistenz sui ritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: > 0 > > 0 > > > 0 > 0 cioè ll vribile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di per rendere Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei ritmi e osservndo che : Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente: 9 57 Il vlore è minore di, quindi non è comptibile con le condizioni di esistenz L'unic soluzione dell'equzione è dt d: ±, 57 z Esercizi Tenendo presente che, scrivi le seguenti potenze sotto form di rdice: ) ) 5 b) b) Scrivi le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) ) 9 7 b) b) 56 5 Risolvi le seguenti equzioni esponenzili: ) ) b) b) n m m n

6 c) c) d) d) e) e) f) f) g) g) h) h) i) i) j) j) 5 0 Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: ) ) b) b) c) c) d) d) e) e) f) f) [ ] [ 0] 9 [ ] [ ] ( ) [ 9] 5 ( ) 5 ( ) ( ) 5 [ ] ( ) [ 6] ( ) ( ) 8 9 ( ) 7 5 5

7 Esempio Risolvere l seguente equzione ritmic Per prim cos, occorre ricordre che, nell'insieme dei numeri reli, non esiste il ritmo con rgomento negtivo o nullo, pertnto l'incognit dell'equzione dt può ssumere solo vlori che rendono positivi gli rgomenti dei ritmi che compiono nell'equzione stess Ne segue che l'insieme di esistenz dei ritmi è dto dlle soluzioni del sistem di disequzioni: L'equzione ritmic è definit quindi nell'insieme L funzione ritmic è biettiv, l'uguglinz dei due ritmi si h llor se e solo se sono uguli i due rgomenti Di conseguenz l'equzione dt equivle Si ottiene: con soluzione ccettbile poiché Esempio Risolvere l seguente equzione ritmic Determinimo l'insieme di esistenz: L soluzione dell'equzione ritmic v cerct nell'insieme Applicndo le proprietà dei ritmi, si ottiene ed uguglindo gli rgomenti, d cui (osserv che non è necessrio porre l condizione sul denomintore perché bbimo già posto > ) soluzione non ccettbile perché Osservzione In lcuni csi può risultre difficile determinre l'insieme di esistenz dei ritmi, nel qule si cerc l soluzione dell'equzione, ttrverso il sistem In tl cso è possibile risolvere direttmente l'equzione "degli rgomenti" quindi verificre direttmente che quest si effettivmente nche l soluzione dell'equzione ritmic Esempio Risolvere l seguente equzione ritmic Unic condizione di esistenz del ritmo è che si positivo Ponendo, e sostituendo nell'equzione dt, si ottiene:

8 Sostituendo nuovmente: L soluzione è pertnto 5 (soluzione ccettbile) Esempio Risolvere l seguente equzione ritmic Unic condizione di esistenz del ritmo è che si positivo Applicndo il teorem del cmbimento di bse si h: quindi l'equzione dt divent Esempio 5 Risolvere l seguente equzione ritmic soluzione ccettbile Ponendo le condizioni sull bse si h Applicndo il teorem del cmbimento di bse si ottiene: quindi l'equzione divent: Anche qui non è necessrio porre (perché?) e bbimo soluzione ccettbile