a con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in
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- Livia Grosso
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1 Funzione esponenzile Dto un numero rele >0, l funzione si chim funzione esponenzile di bse e f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore dell bse. Fccimo subito notre come l scelt dell bse condizion il comportmento dell funzione esponenzile : se vessi con >1 vrei un numero esprimibile medinte frzione con numertore mggiore del denomintore. Quindi n d con n>d, d ciò si evince che ll umentre di il numertore divent sempre più grnde del denomintore e di conseguenz il numero (rpporto tr n e d) divent sempre più grnde. 3 Per esempio, dto Se prendo =2 si h ( 2,25). Se prendo =3 si h ( 3,375). 4 8 Quindi ll umentre del vlore di, l funzione cresce. se vessi con positivo m <1 vrei un numero esprimibile medinte frzione con denomintore mggiore del numertore. Quindi n d con d>n, d ciò si evince che ll umentre di il denomintore divent sempre più grnde del numertore e di conseguenz il numero (rpporto tr n e d) divent sempre più piccolo. 2 Per esempio, dto Se prendo =2 si h ( 0,444). Se prendo =3 si h ( 0,296) Quindi ll umentre del vlore di, l funzione decresce.
2 Quindi rissumimo i due csi con l usilio dei grfici: Funz. con bse mggiore di 1 Dominio 0; Codominio Crescenz/decrescenz Funz Crescente in Concvità/convessità Strettmente convess in Funz. con bse 0 < < 1 Dominio 0; Codominio Crescenz/decrescenz Funz Decrescente in Concvità/convessità Strettmente convess in Not che in entrmbi i csi 0 1 Un esempio per cpire l importnz nell osservre il vlore dell esponente durnte un esercizio!!! Se ho >1 2 1 > 0 =1 Se ho 0<< =1 < 0
3 Not che se prendo un vlore negtivo, ( ) 0 comunque si scelt l bse >0. Fccimo un esempio con 2 e 2 : ( ) ( ) 0 L funzione esponenzile è l funzione invers dell funzione logritmic inftti vle l seguente condizione: log con e 0; : 3. ( ) 4. ( b) b 5. ( : b) : b ( ) 1 1 n m m n PROPRIETA DEGLI ESPONENZIALI
4 Funzione logritmic L funzione logritmic log f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore dell su bse. Inftti possimo distinguere i diversi due grfici: Funz. log con bse mggiore di 1 Dominio 0; Codominio Crescenz/decrescenz Funz Crescente in 0; Concvità/convessità Strettmente concv in 0; Funz. log con bse 0 < < 1 Dominio 0; Codominio Crescenz/decrescenz Funz Decrescente in 0; Quindi di grfici si deduce che: se l bse del logritmo è mggiore di 1, il logritmo di un numero mggiore di 1 è positivo mentre il logritmo di un numero minore di 1 è negtivo. se l bse del logritmo è 0 < < 1, il logritmo di un numero mggiore di 1 è negtivo mentre il logritmo di un numero minore di 1 è positivo. Un esempio per cpire l importnz dell bse!!! Se ho >1 Concvità/convessità In entrmbi i csi il log 1=0 e il log =1. Strettmente convess in log2 0 >1 0; Se ho 0<<1 log <<1
5 L funzione logritmic è l funzione invers dell funzione esponenzile inftti vle l seguente condizione: Il logritmo in bse di è 1: log con 0;+ e Il logritmo di 1 è, in qulsisi bse, 0: PROPRIETA DEI LOGARITMI Vle l' identità: Il logritmo del prodotto di due numeri è ugule ll somm dei logritmi dei due numeri: Il logritmo di un quoziente è ugule ll differenz tr i logritmi del dividendo e del divisore: Il logritmo dell'inverso di è l'opposto del logritmo di : Il logritmo di un numero elevto ll'esponente k è ugule l prodotto dell'esponente per il logritmo del numero: Conseguenz dell precedente proprietà, il logritmo dell rdice k di è ugule l quoziente tr il logritmo e k: Cmbimento di bse: Se b,, e k ( reli positivi) con b 1 e k qulsisi 1: L formul precedente si trsform nel modo seguente: e segue dll relzione Dll formul del cmbimento di bse, ponendo k =, si ricv l relzione seguente:
ESPONENZIALI E LOGARITMI
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