Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE II

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1 Ingegneri Elettric Politecnico di Torino Luc Crlone ControlliAutomticiI LEZIONE II

2 Sommrio LEZIONE II Sistemi lineri e proprietà di unicità Concetto di Stilità Stilità intern ed estern Criterio di Routh Esempi ed esercizi numerici

3 Sistemi lineri e proprietà di unicità u(t) Sistem x(t) y(t) u: ingressi del sistem y: uscite del sistem x: stti del sistem Grndezze terminli Grndezze interne l sistem

4 Sistemi lineri e proprietà di unicità RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-STATO-USCITA u(t) Sistem x(t) y(t) D LEZIONE I: per descrivere l struttur intern del sistem si utilizzno relzioni mtemtiche del tipo: xɺ ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t)

5 Sistemi lineri e proprietà di unicità RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO Un secondo tipo di rppresentzione per sistemi lineri, si ottiene trsformndo nel dominio di Lplce xɺ( ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) y( t) = Cx( t) + Du( t) sx ( s) x(0) = AX ( s) + BU ( s) Y ( s) = CX ( s) + DU ( s)

6 Sistemi lineri e proprietà di unicità RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO sx ( s) x(0) = AX ( s) + BU ( s) Y ( s) = CX ( s) + DU ( s) Y s C si A x C si A B D U s 1 1 ( ) ( ) = (0) + [ ( ) + ] ( ) Rispost lier Rispost forzt

7 Sistemi lineri e proprietà di unicità RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO Y ( s) s + s + + s + = [ C( si A) B + D] = n m U ( s) s s s m m 1 1 m m n n 1 + n FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (fdt) Esempio di fdt: Y ( s) 2s + 1 = U s s s 2 ( ) 5 6

8 Sistemi lineri e proprietà di unicità RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO Le rdici del numertore prendono il nome di zeri m Y ( s) m s + s + + s + = W ( s) = n m n U ( s) s + s + + s + m 1 m n 1 n Le rdici del denomintore prendono il nome di poli

9 Sistemi lineri e proprietà di unicità u(t) Sistem x(t) y(t) Sistemi deterministici e cusli godono dell proprietà di unicità: L evoluzione dell uscit prtire d un certo istnte t 0 dipende univocmente dll evoluzione dell ingresso e dl vlore ssunto dllo stto ll istnte t 0

10 Concetto di Stilità Dll proprietà di unicità, si evince l importnz di studire gli effetti che piccole perturzioni, su ingressi e stto inizile, hnno sull uscit del sistem. u(t) Sistem x(t) y(t) Effetti sull uscit Perturzione dell ingresso Perturzione dello stto inizile

11 Concetto di Stilità Il comportmento del sistem fronte di queste perturzioni definisce le proprietà di stilità del sistem. Considerndo un sistem in equilirio si possono vere i seguenti comportmenti: equilirio instile equilirio stile equilirio sintoticmente stile

12 Concetto di Stilità Esempio: equilirio instile Pendolo inverso Perturzione dell ingresso

13 Concetto di Stilità Esempio: equilirio stile Pendolo idele Perturzione dell ingresso

14 Concetto di Stilità Esempio: equilirio sintoticmente stile Pendolo rele Perturzione dell ingresso

15 Stilità intern ed estern Si distinguono due concetti di stilità: STABILITA INTERNA: reltiv l comportmento interno e riferit ll evoluzione dello stto Studi l effetto che un perturzione sull condizioni inizili h sullo stto Reltiv RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-STATO-USCITA STABILITA ESTERNA: riferit l comportmento ingresso-uscit Studi l effetto che un perturzione in ingresso h sull uscit Reltiv RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

16 Stilità intern ed estern STABILITA INTERNA: Il sistem è: xɺ ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) Asintoticmente stile: tutti gli utovlori di A hnno prte rele negtiv. Stile: tutti gli utovlori di A hnno prte rele non positiv e gli utovlori prte rele null hnno molteplicità unitri. Instile: esiste lmeno un utovlore di A con prte rele positiv o con prte rele null e molteplicità mggiore di uno.

17 Stilità intern ed estern Not: Clcolo degli utovlori dell mtrice A Gli utovlori dell mtrice A sono le rdici di: 1 n n p( λ ) = det( λ I A) = nλ + n 1 λ Il polinomio precedente prende il nome di polinomio crtteristico dell mtrice A.

18 Stilità intern ed estern STABILITA ESTERNA: m Y ( s) m s + s + + s + = W ( s) = n m n U ( s) s + s + + s + m 1 m n 1 n Il sistem è: Stile: tutti i poli di W(s) hnno prte rele negtiv. Instile: lmeno un polo di W(s) h prte rele non negtiv.

19 Stilità intern ed estern Relzione tr stilità intern ed estern: Stilità intern (sintotic) Stilità estern L stilità intern è dunque un condizione più sever di quell di stilità estern. I concetti sono equivlenti se nell trsformzione dll form in vriili di stto ll rppresentzione trmite funzione di trsferimento non si hnno cncellzioni zeripoli.

20 Criterio di Routh Permette di vlutre il numero di rdici con prte rele non negtiv di un polinomio Dl momento che i fini dell stilità cont solo il segno dell prte rele, il criterio di Routh, permette di determinre se il sistem è stile senz clcolre tutti gli utovlori/poli Può essere pplicto l polinomio crtteristico dell mtrice A (stilità intern) o l denomintore dell fdt (stilità estern) Per pplicre il criterio è necessrio costruire l cosiddett tell di Routh

21 Criterio di Routh Polinomio crtteristico: n p( λ ) = λ + λ + + Costruzione tell di Routh: n n 1 n 1 0 PASSO 1: inserire coefficienti del polinomio n n 1 n n 2 n 4 n 1 n 3 n 5

22 Criterio di Routh PASSO 2: completre l second rig n n 1 n 2 n n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n 2 n 2 = 1 n n 2 n 1 n 1 n 3 n n 1 n 2 n n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n 2 n 4 n 4 = 1 n n 4 n 1 n 1 n 5

23 Criterio di Routh PASSO 3: completre tutte le righe fino quell numert con zero n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 n n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n 2 n 4 cn 3 n n 2 n 4 c n 1 n 3 n 5 n 2 n 4 c n 3 n 5 c c n 3 n 5 = = 1 n 1 n 3 n 1 n 2 n 4 1 n 1 n 5 n 1 n 2 n 6

24 Criterio di Routh PASSO 4: vlutre stilità Il sistem nlizzto è sintoticmente stile se tutti gli elementi dell prim colonn dell tell di Routh sono dello stesso segno. NOTA: per semplificre i clcoli si può moltiplicre un rig dell tell di Routh per un costnte positiv senz influenzre il segno degli elementi dell prim colonn CASI PARTICOLARI: Il primo elemento di un rig dell tell è nullo Il Sistem non è sintoticmente stile vedi esercizi

25 Esempi ed esercizi numerici