STABILITA DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CRITERIO DI ROUTH ESERCIZI

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1 STABILITA DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CRITERIO DI ROUTH ESERCIZI

2 U( ) + Stilità dei itemi in retrozione G( ) Y ( ) G( ) N ( ) G DG ( ) W ( ) G( ) NG ( ) 1 + G( ) D ( ) + N ( ) G G Nel co di un itemi G() in retrozione, l tilità del item ciclo chiuo, ovvero l poizione dei poli di W(), dipendono i di poli che dgli zeri di G(). Un item G() tile un volt chiuo in retrozione può rimnere tile oppure diventre intile. Lo teo vle nel co in cui G() i intile. Neceità di determinre lmeno l poizione nel pino compleo delle rdici del polinomio crtteritico ocito W(): ( ) D ( ) + N ( ) G Per vlutre l tilità di W() è quindi necerio introdurre dei criteri che dino informzioni ull PARTE REALE dei poli di () G

3 Criteri di Stilità Dto un polinomio (crtteritico): ( ) +,..., + + n n 1 n n 1 1 o Si vuole indgre circ l loczione nel pino compleo delle ue n rdici Metodi numerici per clcolre ESPLICITAMENTE le rdici (Ex. mtl) Criteri per determinre e le n rdici hnno tutte prte rele < enz dover riolvere un eq. di grdo n TEOREMA: condizione NECESSARIA ffinché le rdici di () ino tutte prte rele negtiv è: ) Tutti i coefficienti i di () ino lo teo egno ) Neun coefficiente i nullo (potree eere l limite di tilità e qulche coefficiente è nullo). ( ) ( + p )...( + p )( + σ jω )( + σ + jω )...( + σ jω )( + σ + jω )... 1 h n n n n Supponendo tutti i poli tili, viluppndo i prodotti, i deduce che e le prti reli dei poli ono tutte < tutti i coefficienti di () ono poitivi

4 Tell di Routh n n 1 n n n 4 n 1 n 3 n 5 n.. n n 4 n 6 n 3 c c c.. n 3 n 5 n z Criterio Routh n n 1 n ( ) + +,..., n n 1 n 1 o n n Clcolo dei coefficienti n n 1 n 3 TEOREMA (criterio di Routh): d ogni VARIAZIONE di egno che preentno i termini dell PRIMA colonn dell tell, coniderti in equenz, corriponde un rdice con prte rele poitiv, d ogni PERMANENZA un rdice con prte rele negtiv. c n 3 n 1 n 1 n 3 n n 4 n n 4 c n 5 n n 1 n 5 n n 6 n 4 n 1 n 5 L condizione dettte dl teorem ono i NECESSARIE che SUFFICIENTI : Il polinomio () è intotic tilite e e olo e non i hnno vrizioni di egno nell prim colonn dell tell di Routh. Nel co in cui i ino degli zeri nell prim colonn dell tell il TH. i può ncor pplicre medinte opportune etenioni. n 1 n

5 Eempio P 4 3 ( ) (9 6 3) / 3 3 ( 1 3) / 3 1 c 1 ( ) / 3 3 c (3 3 ) / 3 d ( ) / 3 1 Si tudino le vrizioni di egno dell prim rig: (ttenzione: le vrizioni devono eere vlutte correndo gli elementi dell prim colonn in MODO CONTIGUO) Due vrizioni di egno P() h due rdici prte rele poitiv root([ ]) p i p i p i p i

6 Eempio Nell cotruzione dell tell di Routh, tutti gli elementi di un qulunque rig poono eere moltiplicti per un cotnte poitiv enz che queto modifichi il numero di vrizioni di egno. (8 15) c 1 (9 14) d root([ ]) p i p i p i p i

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8 Il criterio di Routh è molto utile per lo tudio di prolemi di tilità condiziont, qundo cioè UNO o PIU coefficienti del polinomio crtteritico è vriile (prmetri lieri). Progetto di un controllore Proporzionle pplicndo il criterio di Routh U + E K Y P( ) L FDT ciclo chiuo è W ( ) K P( ) W ( ) 1 + K P( ) K ( + K) 4 3 ( ) ( + K)

9 4 3 ( ) ( + K) Cond: neceri + K > K > 4) 3) ) 1) ) K + > 48 8K > < K < 8 Il item è tile per 8

10 Eempio Prolem di tilità prmetric D 3 ( ) (1 + ) 8 > < > > 1 condizione neceri 1+ > > 1 Si h quindi tilità intotic e: 1 < < 8 Co uccede per 8? Co uccede per 1?

11 Co uccede l limite di tilit (8) e i ggiunge un perturzione? 3 D( ) (1 + ) 8 η + perturzione D η 3 ( ) η / η + η 1 3 η / η η > η < < < 8 In ccordo con qunto prim determinto vrizioni ol. con prte rele poitive vrizioni 4 ol. con prte rele negtiv Commento: l limite di tilità un piccol vrizione prmetric può fr diventre il item i intoticmente tile che intile (le rdici oltrepre l e imm.)

12 U + Determinre i vlori del gudgno proporzionle K ce rendono tile il item ciclo chiuo (tilità di W() ) E D K P( ) 3 ( ) ( + ) + ( + + 1) 4 3 D( ) Per l condizione neceri: > Y P( ) P( ) N( ) W ( ) 1 + P( ) D( ) ( + ) / 1 / / 1 > > / > 4 > > 4 > > 4 Regione di intotic tilità

13 Determinre i vlori del gudgno K ce tilizzno il item ciclo chiuo: U + E / Y U + G( ) Y Prolem dell riduzione degli chemi locchi 1) Si clcol l f.d.t. del olo loop interno (1 + ) G( ) 1+ G( ) (1 + ) 1+ G( ) 1 + ( ) + (1 + ) + 1+ ) Si clcol l f.d.t. compleiv G ( ) (1 + ) (1 + ) W ( ) W ( ) 1+ + (1 + ) + + (1 + ) G ( ) W ( ) + + ( + + 1) + + U W ( ) ( ) + ( + + 1) + + Y

14 Clcolo dei vlori di K per i quli il item è intoticmente tile ( ) + ( + + 1) + + Condizioni necerie: > 1, > 1± j + > ( + 1) > 1 < 1 > Cotruzione dell tell Routh > > < > + > 1 Il item è tile e e olo e: < 1 > Not: nel co prticolre in cui il polinomio e del econdo ordine llor l condizione neceri (tutti i coeff. Concordi) è nche SUFFICIENTE!

15 Eempio: progetto di un controllore tilizznte PI (proporzionle+integrle ) Per l tilità è necerio che: i p > > 3 p STABILITA intotic i p > 3 1 p > i 3 6 i