Legge dei grandi numeri e significato probabilistico della distribuzione normale

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1 Legge dei grndi numeri e ignificto probbilitico dell ditribuione normle Sppimo che l quntità f()d rppreent un indictore dell frione di miure che cdono tr e + d in un dto eperimento qundo l vribile X egue l ditribuione f(). Più in generle, l indicione del numero di miure che cdono tr due vlori e b può eere vlutto dll integrle definito di f(): b f d L integrle rppreent dunque l frione di miure che ci i pett di trovre nell intervllo dto, dopo ver effettuto un numero N molto elevto di miure.

2 In ltre prole, poimo nche dire che f()d è l probbilità che un ingol miur di di un riultto compreo fr e + d e che b f d è l probbilità che un miur cd tr = e = b. Al concetto fiico di frequen corriponde quindi il concetto mtemtico di probbilità. Queto ftto è coneguen del eguente potulto di ntur perimentle, chimto legge empiric del co, o legge dei grndi numeri: Al crecere del numero delle prove, l frequen di un evento tende diventre ugule ll u probbilità

3 Qundo le miure di un grnde fiic eguono un ditribuione normle (e ciò vviene e gli errori ono ccidentli), l integrle di Gu permette di vlutre l probbilità che un prticolre vlore dell miur cd in un intervllo (, b) b f d b f, ( )d 1 b e d p( b )

4 È utile eprimere l funione di Gu e l integrle trmite l vribile tndrdit dimenionle che eprime l ditn dell vribile dl vlore tteo in unità di σ. L funione normle tndrd f, ( ) f 0,1 ( ) 1 e Con quet otituione, l probbilità con e b b p( b ) b f d

5 Si definice Funione di riprtiione (o funione di ditribuione cumultiv) dell ditribuione f() l integrle F t dt che rppreent l probbilità che l vribile bbi un vlore fino. f

6 Funione di riprtiione (o funione di ditribuione cumultiv) F f t dt F()

7 L probbilità che cd in un dto intervllo i può eprimere trmite differene di vlori di F(): p( b f b) p( d f d F F b b ) b f d

8 D oervre che, per l immetri dell funione di ditribuione normle, F() gode dell proprietà F 1 F Vlori tbulti di f() e dell corripondente funione cumultiv F() ono riportti nelle tbelle

9 Vribile guin tndrdit - vlori di F()

10 Vribile guin tndrdit - vlori di F() Per = 1.74 F() =

11 Ad eempio, dlle tbelle i ricv: ) ( ) ( ) ( b p p b p 1 1 b b ) 1 (... F F F p

12 Problem: Determinre il vlore di tle che l probbilità di trovre il «vlore vero» entro l intervllo [, ] i ugule un determinto vlore (1 α), con 0 α 1. Ovvero fiimo (1 α) e cerchimo tle che p ( ) p( ) 1 (1 α) -

13 (1 α) (1 α) è detto livello di confiden il corripondente intervllo [, ] intervllo di confiden (o di fiduci) Il limite uperiore dell intervllo di fiduci in unità tndrdite è detto vlore critico.

14 L probbilità che cd fuori dll intervllo (di confiden) p( ) 1(1 ) (divi fr le due code) Pertnto il vlore critico è indicto con α/ e l intervllo di confiden [ α/, α/ ] (1 α) E: (1 α) = 95% =0.95 α = 5% = 0.05 α/ =.5% = 0.05 α è chimto livello di ignifictività α/ Livello di ignifictività l 5 % ccetto che ci i un probbilità del 5 % che cd fuori l intervllo [ α/, α/ ]

15 Stim di confiden per l medi Supponimo di vere un cmpione ( 1,,, N ) con medi tndrd cmpionri dell medi e deviione Fiimo un livello di ignifictività α (e. 5%) (livello di confiden 95%). N Qul è l intervllo di confiden per il vlor vero X? trovre α/ tle che definire l intervllo. p ) p( ) 1 (

16 N X Coniderimo Deve eere: / / / / N X N X N / /

17 Eempio 1 Stbilimo un livello di ignifictività α (= 0.05) Il livello di confiden rà: 1-α (= 0.95=95%) Qule è intervllo di confiden per il vlore pettto X l livello di ignifictività tbilito? In ltre prole: qul è l intervllo in cui cde il vlore pettto X con un probbilità del 95%? p ( / / ) F( / ) 1 F( ) 1 / 0.975

18 F( ) 1 / / F Qule è il vlore di per cui? Vribile guin tndrdit - vlori di F()

19 F( ) 1 / / F Qule è il vlore di per cui? Dlle tbelle riult: / 1.96 / X / N N 1.96 X N N Intervllo di confiden l 95%

20 Eempio Si e Determinre l probbilità che X i compreo fr Ponimo 10 X 3 e 3 Per X 3 X Per X p( 3 X 3) p( ) p( 1.5) F(1.5) 1

21 p( 3 X 3) p( ) p( 1.5) F(1.5) 1 Vribile guin tndrdit - vlori di F()

22 p( 3 X 3) p( ) F(1.5) 1 ( ) %

23 Eempio 3 Note e Determinre l probbilità che eeguit un ulteriore miur quet i compre fr e Ponimo E i procede come nel co precedente! Per Per 3 1 ) / ( ) / ( ) / / ( ) ( F p p X p

24 Comptibilità con un vlore egnto Supponimo che l miur di un grnde X bbi dto il vlore N Voglimo confrontre il riultto dell miur con il vlore tteo X, il cui vlore upponimo di conocere. Il riultto è ccettbile e l dicrepn tr vlore miurto e vlore noto è l di otto di un vlore di ignifictività tbilito (d eempio un o due deviioni tndrd o olitmente l 5% o l 10 % di ignifictività)

25 Ad eempio, i X = 0.00 mm = 0.04 mm = 0.13 mm N = * X oi l tim dell grnde miurt ( ) differice dl vlore di riferimento (X) più di tre deviioni tndrd. Inoltre: F(3.1) = p( 3.1) = F(3.1) 1 = = 99.81% (1-) p( 3.1) = 1 p( 3.1) = = 0.19% ()

26 L probbilità che differic d X per 3.1 o più deviioni tndrd è dunque dello 0.%, cioè irrgionevolmente piccol, l dicrepn è ignifictiv e l miur ottenut inccettbile, eendo livello di ignifictività (0.%), etremmente bo. L miur è ccettbile l 5% e il livello di ignifictività è uperiore 5%, ccettbile l 10% e il livello di ignifictività è uperiore 10%,.

27 Se invece foe X = 0.00 mm = 0.01 mm σ = 0.13 mm N = oi l tim di X differice meno di un deviione tndrd. Poiché F(0.77) = p( 0.77) = F(0.77) 1 = = 55.87% p( 0.77) = 1 p( 0.77) = = 44.13%

28 L probbilità che differic d X per più di 0.77 deviioni tndrd è dunque del 44%, cioè rgionevolmente grnde per poter ccettre l miur. L miur è inftti ccettbile i l 5% m nche l 10% eendo il livello di ignifictività uperiore l 10% Quindi l miur è ccettbile qundo, fito p( *) 1(F( *) 1) F( *)

29 livello di confiden (1 α) livello di ignifictività (α) vlore critico ( α/ ) 68.7% 31.73% 1 90% 10% % 5% % 4.55% 99.73%.7% 3

30 Comptibilità di due vlori miurti Un ltro co d interee rigurd il confronto tr due cmpioni di miure dell te grnde fiic che hnno prodotto differenti time cu di errori e che i uppone eguno l ditribuione normle. Un primo cmpione i cotituito d N miure i con vlore medio e deviione tndrd ; il econdo d M miure y i con vlore medio e deviione tndrd y. y L comptibilità tr le due differenti miure corriponde determinre l ccordo un fito livello di confiden (e quindi di ignifictività) medinte y * y N M Le miure ono comptibili ccettbile qundo, fito p( *) 1(F( *) 1) F( *)