Positivo Negativo Non Gravidanza falso-positivo vero-negativo
|
|
- Luca Bonetti
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 1 Cpitolo 2. Ipotesi e test sttistici. Distriuzione t. Vriilità dell medi ed errore stndrd. Test t per cmpioni indipendenti e ppiti. Limiti fiducili dell medi. Grndezz del cmpione. I test sttistici Il termine test è sinonimo di prov, verific, ccertmento, ecc. Tutti i test (test di grvidnz, test elettorle, test di mmissione, test sttistico, ecc.) si sno sull verific di un cert condizione ipotizzt. L verific non vviene in modo diretto, m ttrverso l vlutzione di fenomeni strettmente correlti con l condizione ipotizzt. Pertnto, poiché mnc l evidenz dirett, non vremo certezz m solo un fiduci più o meno grnde nel ftto che l condizione esist. Le proposizioni di questo rgionmento sono normlmente sottointese, nscoste nelle pieghe dell nostr mente. Ad esempio, dire test di grvidnz vuol dire:. verificre l condizione di grvidnz ttrverso. due ipotesi mutulmente esclusive: grvidnz sì / grvidnz no c. non in modo diretto, es. riconoscendo l'emrione, m vlutndo un fenomeno strettmente correlto con l condizione di grvidnz (l positività di un rezione per le gondotropine corioniche HCG nelle urine). Quindi l'esito del test non d certezz, m solo un fiduci vlutile in termini di proilità. Nell'esempio citto, il test per le HCG - per qunto ffidile - può essere influenzto dlle condizioni dei regenti (es., ml conservti), dell'miente (es., tempertur fuori rnge), del cmpione iologico (es., lterto), ecc. Per cui potremo vere i seguenti risultti: Risultto del test Condizione rele ignot Positivo Negtivo Non Grvidnz flso-positivo vero-negtivo Grvidnz vero-positivo flso-negtivo Si definisce sensiilità o potenz di un test l frequenz di risultti veri-positivi specificità del test l frequenz di veri-negtivi l frequenz di flsi-positivi (detti nche errori del 1 tipo) l frequenz di flsi-negtivi (detti nche errori del 2 tipo) e inoltre ipotesi zero (H0) o ipotesi null(hn), l ipotesi di non novità o di non vrizione ipotesi 1 (H1) o ipotesi lterntiv (HA), l ipotesi di novità o di vrizione
2 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 2 Specificità e α sono complementri. Sono quindi complementri veri-negtivi e flsi-positivi. Inftti se un test è sempre giustmente negtivo sulle donne non grvide (100% di veri-negtivi) non segnlerà mi positività sulle stesse donne per errore (0% di flsi-positivi). Sensiilità e β sono complementri. Sono quindi complementri veri positivi e flsi negtivi. Inftti se un test è sempre giustmente positivo sulle donne grvide (100% di veri-positivi) non segnlerà mi negtività sulle stesse donne per errore (0% di flsi negtivi). Quindi dire che un test è specifico è come dire che h un ss proilità di flsi positivi, come nche che α è piccolo. Dire che un test è sensiile è come dire che h un ss proilità di flsi negtivi, come nche che β è piccolo. Rissumendo possimo indicre: Risultto del test Condizione H0: Non Grvidnz G- rele ignot H1: Grvidnz G+ Positivo T+ Negtivo T- totle qunti qunti 100% flsi positivi veri negtivi dei csi di non errore α specificità grvidnz T+/G- T-/G- T+/G- + T-/G- qunti veri positivi sensiilità T+/G+ qunti flsi negtivi errore β T-/G+ 100% dei csi di grvidnz T+/G+ + T-/G+ Un test per essere uono deve possedere si un'lt specificità che un'lt sensiilità. Non h lcun senso un test ltmente sensiile m niente specifico (come d esempio un test sempre positivo nel cso di grvidnz m nche positivo nel cso di non grvidnz). Anlogmente non h lcun senso un test ltmente specifico m niente sensiile (d esempio, un test sempre negtivo in cso di non grvidnz, m nche negtivo in cso di grvidnz). Cmimo esempio ed immginimo il risultto di indgini di polizi crico di un sospetto. Immginimo nche che le indgini rccolgno un serie di indizi m non delle prove così sicure che rivelino con certezz l colpevolezz o l innocenz dell indgto (nche se il confine estto tr indizio e prov rest soggettivo). Notre che in inglese il termine tril signific si processo giudizirio che esperimento controllto. Possimo considerre nche in questo cso i quttro risultti:
3 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 3 Risultto delle indgini Indizi grvi Condnnto Indizi lievi Assolto Condizione rele ignot Innocente flso-positivo vero-negtivo Colpevole vero-positivo flso-negtivo Le mggiori differenze rispetto ll'esempio precedente rigurdno: le conseguenze del risultto del test: qui si trtt di lscire in liertà o mndre in prigione un individuo l ripetiilità del test: l indgine di polizi non può essere ripetut con disinvoltur, può durre mesi e costre molti soldi (mentre un test di grvidnz può essere ripetuto diverse volte senz eccessivo sforzo) Questi ultimi spetti impongono l giudice di considerre con estrem ttenzione tutti i ftti prim di emettere il verdetto. Considerimo or il ftto che gli indizi possono essere più o meno lievi o più o meno grvi. In ltre prole gli indizi possono essere di qulsisi genere. Possimo quindi considerre un scl che rppresenti l grvità degli indizi. Ciò ci consente di nlizzre meglio il cso del giudizio cosiddetto grntist e quello del giudizio cosiddetto sommrio. Il giudizio grntist tende d emettere condnn solo nel cso in cui esistno grvissimi indizi. Il giudizio sommrio invece tende d emettere condnn nche nei csi in cui gli indizi sino semplici sospetti. Queste diverse decisioni fnno vrire l frequenz di flsi positivi (cioè innocenti condnnti). Il giudizio grntist limit l mssimo il rischio di condnnre un innocente mentre il giudizio sommrio non si preoccup troppo di tle prolem. In tl modo il giudizio grntist comport un umento di flsi negtivi (cioè colpevoli ssolti) mentre il giudizio sommrio riduce tle rischio. Per decidere qule metodo si il migliore occorre porsi il quesito: l'errore che si commette condnnndo un innocente è pri quello che si commette ssolvendo un colpevole? Tutte le persone di uon senso sono in grdo di ffermre che, tr le due, è meglio ssolvere un colpevole che condnnre un innocente.
4 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 4 risultto delle indgini = grvità degli indizi ❿❾❽❼❻❺❹❸❷❶⓿ condnn ssoluzione sogli di decisione di un giudizio grntist Condizione rele ignot Innocente Colpevole α piccolo β grnde risultto delle indgini = grvità degli indizi ❿❾❽❼❻❺❹❸❷❶⓿ condnn ssoluzione sogli di decisione di un giudizio sommrio Condizione rele ignot Innocente Colpevole α grnde β piccolo Or occorre considerre nche che i metodi per dimostrre l colpevolezz sono diversi di metodi per dimostrre l innocenz. Ad es., un impront dimostr l colpevolezz, un lii dimostr l innocenz, ecc. ecc. Quindi, essendo diversi i metodi sono nche diversi gli errori α e β. Potremmo prdosslmente vere si α che β grndi (se simo un po tonti e sceglimo dei metodi sgliti) oppure si α che β piccoli (se invece simo rvi). Ecco perché α e β, cioè specificità e sensiilità, sono stnz indipendenti. In effetti quell line verticle che sepr le due colonne dell tell dovree essere un line di spessore vriile, che lsci liertà di vere α e β più o meno mpi. E quindi ene utilizzre i migliori metodi che riducono si l'errore di 1 tipo (α) che quello di 2 tipo (β). Per questo il giudice deve essere estremmente scrupoloso, ttento e pziente nel vlutre tutti gli elementi del processo. Tuttvi, l termine del dittimento, possono restre dei dui. Occorre quindi decidere qule tipo di errore si più grve e qule livello di rischio si vogli ccettre: più
5 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 5 grnzi per l'innocente può significre più rischio che un colpevole si ssolto, e vicevers. Questo è il difficile mestiere del giudice. Tutto è più semplice qundo è queste vlutzioni sono frontte in form quntittiv col supporto dell sttistic. Anlizzimo quindi i possiili risultti di un esperimento di lortorio. Risultto dell'esperimento Positivo Negtivo Condizione rele ignot Trttmento non efficce Trttmento efficce flso-positivo fls scopert o errore di 1 tipo vero-positivo ver scopert vero-negtivo nessun novità flso-negtivo scopert mnct o errore di 2 tipo L post in gioco è il riconoscimento di un scopert (ed eventuli finnzimenti, nnunci congressi, onori, ecc. ecc.). Domnd: qundo può si può riconoscere un scopert? Rispost: il risultto positivo di un esperimento può essere ccettto qundo l proilità che si positivo per cso (fsullo o flso-positivo, vlutto d α) è minore del 5%. Se α è ugule o mggiore del 5% è opportuno rinuncire l riconoscimento dell scopert. Se poi il ricerctore crede nell su ipotesi, potrà ffinre le tecniche e migliorre l esperimento in modo d giungere d un conclusione più mtur. Un scopert fsull non compromette solo l crediilità del ricerctore, m comport un serie di grvi conseguenze in termini di perdit di slute (es., nuovi frmci che non curno), dnri (investimenti per produrre i frmci fsulli, poi riconosciuti e nditi dl commercio) e perdit di tempo (il lvoro di ltri ricerctori ingnnti dlle informzioni sglite). Al proposito è interessnte citre il cso di un trsmissione televisiv in cui si discutev sull ntur umn o lien di un cdvere mostrto steso su un letto in un vecchio filmto. Il cdvere mostrv crtteristiche ntomiche tipiche m comunque riferiili certe ptologie genetiche. Nessun ltro dto - iochimico, microscopico, ecc. - er disponiile oltre le immgini. Senz entrre nel merito del modo in cui l trsmissione er condott, l situzione propost in TV può essere ffrontt con l logic di un test. Due sono le ipotesi: Ipotesi null: essere umno. Poché sppimo come è ftto un essere umno, possimo esttmente vlutre l proilità che qulcos si un essere umno = possimo vlutre l proilità dell'ipotesi null.
6 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 6 Ipotesi lterntiv: essere lieno non-umno. M poiché non conoscimo fftto gli esseri lieni (non imo il modello del mrzino, del venusino, ecc.) non possimo vlutre direttmente l proilità che qulcos si un essere lieno = non possimo vlutre direttmente le proilità fvore dell'ipotesi lterntiv. Or, stndo qundo visto e qunto ffermto d ptologi e genetisti, esistev qulche duio sull cus delle nomlie presenti nel cdvere, m non sul ftto che si trttsse di un uomo. Se vessero invitto un esperto di sttistic (o semplicemente uno studente iscritto l 2 nno di Medicin) l questione si sree risolt dicendo che non è lecito rifiutre l ipotesi null e quindi credere l mrzino sinché l'ipotesi null gode ncor di un proilità superiore o ugule l 5%. Nel cso specifico l proilità fvore dell'uomo er en più lt, potrei dire oltre il 95%. Per cui c è d suggerire gli ufologi di studire un po di sttistic prim che vengno i mrzini insegnrl loro. Proilità che si trtti di un uomo (immginndo di conoscere tutte le nomlie degli esseri umni, pur senz sper null degli lieni): 100% 95% 90% 80% 70% 10% 8% <5% Conclusione: uomo uomo uomo uomo uomo uomo uomo lieno Nel cso del ricerctore è stnz semplice osservre i fenomeni ttrverso mezzi e strumenti che forniscono misure quntittive oggettive. Questo consente l nlisi dell distriuzione dei dti, dei prmetri sttistici e l vlutzione dei flsi positivi e dei flsi negtivi. Lo schem del test sttistico è molto simile quello sinor considerto. Anche in sttistic conoscimo l distriuzione dei dti previst dell'ipotesi null, mentre ignorimo in prte o in tutto quell previst dll'ipotesi lterntiv. Per il ricerctore medico o iologo, L'ipotesi null è l'ipotesi dello scettico, quell che neg il risultto, ttriuendo le differenze osservte ll nturle vriilità dei fenomeni o l cpriccio del cmpionmento. L'ipotesi null mntiene le ttuli conoscenze negndo l novità, l scopert, il dto. L'ipotesi lterntiv sostiene invece che le differenze esistono e non sono ttriuiili ll nturle vriilità o l cso. L'ipotesi lterntiv sostiene l novità.
7 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 7 Risultto del test sttistico se < 5% H0 rifiutt Dto significtivo se >= 5% H0 ccettt Dto non significtivo Condizione rele ignot H0 H1 flso-positivo errore I tipo vlutto con α vero-positivo nessun errore vero-negtivo nessun errore flso-negtivo errore II tipo vlutto con β Occorre mntenere l'ipotesi null fino che le prove o i dti in nostro possesso non sino tli d costringerci rifiutrl (come ogni soggetto è ritenuto innocente sino che non si dimostri il contrrio). Concedimo quindi fiduci ll'ipotesi null, rifiutndol solo qundo l'evidenz dei risultti si mcroscopic, cioè qundo l proilità di flsi-positivi α si minore del 5%. Qundo α<0.05 il risultto del test è detto sttisticmente significtivo e si rifiut l'ipotesi null. Meglio ncor se α <0.01, o α<0.001 ecc. In tl cso l proilità di sglirci nel riconoscere l scopert è inferiore 1 cso su 100, o 1 cso su 1000, ecc. Si prl di risultto ltmente significtivo. I test sono sempre condotti sull'ipotesi null perché voglimo privilegire l evidenz dei flsi-positivi rispetto i flsi-negtivi. Nessun vlore β (proilità di flsi negtivi) per qunto lto, consente di rifiutre l'ipotesi null qundo α si mggiore o ugule Tuttvi qundo si consider qulcos in dirett relzione con l slute dell uomo occorre prendere soprttutto considerzione il rischio di flsi-negtivi e soglie diverse dl 5%. Considerimo d esempio il moro dell cosiddett mucc pzz: non vi sono ncor dti sttisticmente significtivi circ il ftto che il moro dell mucc poss contgire l uomo (quindi, potremmo dire che α >5%). Tuttvi, ci può essere un certo rischio che il dto negtivo si flso (es., β>50%). Pertnto occorre rgionre su due inri: quello scientifico che per or non h dimostrto l contgiosità del moro e quello snitrio che, in ttes di dti scientifici più rousti, non consente di correre rischi.
8 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 8 Rissumendo: All se di ogni test vi sono due ipotesi lterntive: H0 e H1. Il test verte sull proilità di H0 (). Per decidere se rifiutre o ccettre H0 occorre quindi vlutre. A questo punto......ogni test clcol l su specific sttistic, es. t, r, F, q, z, t, c 2, ecc. Il vlore dell sttistic clcolt, confrontto con l su distriuzione (vedi: tell e vlori critici) consente di ottenere.
9 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 9 L sttistic t di Student In precedenz imo imprto stimre l vriilità dei dti medinte il prmetro dell devizione stndrd stimre l vrizione di un singolo dto rispetto ll medi medinte l stndrdizzzione: z = x - m s Prllelmente, livello di medie, or doimo stimre l vriilità delle medie di vri cmpioni rispetto ll medi ver dell popolzione medinte il prmetro dell devizione stndrd delle medie stimre l vrizione dell medi di un singolo cmpione rispetto ll medi ver dell popolzione medinte l stndrdizzzione: t = medi del cmpione medi ver dell popolzione devizione stndrd dell medi (del cmpione) Vriilità delle medie ed errore stndrd Se si vesse l possiilità di estrrre un certo numero di cmpioni d un stess popolzione, si troveree che ogni cmpione h un medi divers: Queste medie, nche se diverse e ottenute d cmpioni di differente numerosità, sono tutte stime dell stess medi dell popolzione. Esiste pertnto un vriilità dell medi del cmpione (d'or in poi dett medi cmpionri) ttorno ll ver medi dell popolzione che è per lo più sconosciut. Tle vriilità è stimile come devizione stndrd dell medi o errore stndrd, scritto col simolo s m (devizione stndrd dell medi) o con le lettere ES (errore stndrd) o SE (stndrd error) o SEM (stndrd error of the men). Bisogn ssolutmente specificre devizione stndrd dell medi per non confondersi con l devizione stndrd delle osservzioni. D questo punto di vist il termine di errore stndrd è meno miguo, nche se meno pproprito. Disponendo di diversi cmpioni potremmo clcolre le rispettive medie e quindi stimre l loro devizione stndrd, esttmente come potremmo clcolre l devizione stndrd di un cmpione di dti. In prtic invece disponimo qusi sempre di un solo cmpione, spesso nche piccolo, per cui sree impossiile clcolre l devizione stndrd dell medi in se ll vriilità di differenti medie. L medi clcolt è nche l'unic di cui disponimo. A questo punto ci
10 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 10 vengono in soccorso i mtemtici con un formul in grdo di stimre l devizione stndrd dell medi s m in se i dti di un solo cmpione: s m = s n Dll formul si ricv che l devizione stndrd dell medi vri col vrire dell grndezz del cmpione (n). Questo si comprende ene considerndo il ftto che un medi ottenut d 1,000,000 dti è senz'ltro più ffidile di un ottenut d 100 dti. In termini sttistici, dicimo che l devizione stndrd di un medi ottenut d un cmpione di 1,000,000 è molto più piccol dell devizione stndrd di un medi ottenut d un cmpione di soli 10 dti. A questo punto, distinguimo ene tr l devizione stndrd delle osservzioni del cmpione (s), che è un crtteristic dell popolzione, invrinte rispetto ll numerosità o grndezz del cmpione (n), e l devizione stndrd dell medi (s m ), che è un crtteristic del cmpione che dipende dll numerosità del cmpione (n). Per questo, qundo vlutimo un medi doimo sempre tener conto dell dispersione dell popolzione e dell grndezz del cmpione d cui imo trtto l medi. Quindi, second dell numerosità del cmpione (es., n=10, 20, 30, 100) l medi h un divers vriilità come indicto nel grfico:
11 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 11 Il test t di Student Il test sttistico che sggi l differenz tr due medie è il test t di Student. Le ipotesi ll se del test sono due: l'ipotesi null, che sostiene che le due medie provengno d cmpioni estrtti dll stess popolzione e quindi l loro differenz si ttriuiile cuse ccidentli inerenti l cmpionmento e/o lle misurzioni. l'ipotesi lterntiv, che sostiene che le due medie sino diverse in qunto rppresentno cmpioni provenienti d popolzioni diverse (nturli o sperimentli). Come si vlut l proilità di flsi-positivi? Occorre innnzi tutto un prmetro in grdo di vlutre l vrizione dell medi. Il ftto che s m, l devizione stndrd dell medi, vri in funzione di n, f sì che nche t dipend d n. Nei cmpioni numerosi (n>=100) t è distriuito in modo qusi normle ed h quindi gli stessi vlori critici di z (±1.96 di sciss includono il 95% dell're). Nei cmpioni più piccoli i vlori di t che includono l stess re sono più grndi proprio perché l distriuzione è più dispers. L tell riport i vlori critici di t per i diversi grdi di liertà. I grdi di liertà di t corrispondono i grdi di liertà del denomintore s m. Nel nostro cso il denomintore h n-1 grdi di liertà. Osservndo l tell, con 100 grdi di liertà imo meno di 5 proilità su 100 (p<0.05) di ottenere un medi cmpionri tnto divers dll medi dell popolzione d produrre un t superiore In ltre prole, un t superiore 1.96 cpit per cso meno di 5 volte su cento. Le proilità scendono ll'1% (0.01) per un t superiore 2.58.
12 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 12 grdi di liertà zon dell non-significtività α (rischio di flsi positivi) sogli critic zon dell significtività Notre che l'ultim rig dell tell h gli stessi vlori dell distriuzione normle. Questo vuol dire che per infiniti grdi di liertà l distriuzione t è identic ll distriuzione normle z. Nell prtic t si consider normlmente distriuito qundo i grdi di liertà sono >=100.
13 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 13 Ogniqulvolt si vlut t isogneree indicrlo come t p,gdl dove p st per il livello di proilità scelto (in genere 0.05 o 0.01) e gdl st per i grdi di liertà. Noi continueremo scrivere comunque semplicemente t =... intendendo però il vlore di t che corrisponde d un certo livello di proilità con determinti grdi di liertà. Il ftto di vere un tell d intervlli (se t super... llor p<...) nziché il vlore estto di p per ogni vlore di t clcolto dipende dl ftto che imo tr le mni un foglio e non un computer. E' impossiile fr stre in un tell i vlori di p per tutti i vlori di t per tutti i grdi di liertà. Il computer è invece in grdo di clcolre il vlore estto di p per ogni vlore di t clcolto. Comunque l perdit di informzione derivnte dll'uso dell tell è minim.
14 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 14 I cso: medie di due cmpioni indipendenti Si dicono cmpioni indipendenti (o non ppiti) quelli formti d individui diversi. Sono invece detti ppiti i cmpioni costituiti dgli stessi individui vlutti o osservti in tempi diversi (prim e dopo un cert prov) o in condizioni diverse (con o senz un certo trttmento). Il disegno sperimentle che utilizz cmpioni ppiti è senz'ltro più efficce di quello sto su cmpioni non ppiti o indipendenti. Tuttvi non sempre è possiile pplicrlo, si per prolemi prtici, di fttiilità, si per prolemi etici connessi con l sperimentzione clinic su pzienti. Il test t per cmpioni indipendenti o non ppiti è dto dl rpporto: differenz tr due medie t = = errore stndrd delle differenze tr le medie m s m m m = m m S + S n n n + n 2 + n n L'espressione l numertore non è tnto l differenz tr le due medie qunto l medi delle differenze tr i dti dei due gruppi, presi 2 2 (nche se le due espressioni dnno risultti equivlenti). Allo stesso modo, l espressione l denomintore non è tnto un pool dei due errori stndrd, m piuttosto l'errore stndrd di quest medi delle differenze tr i dti dei due gruppi. L formul sfrutt l proprietà che l vrinz delle (di tutte le possiili) differenze tr i dti di due popolzioni corrisponde ll somm delle due rispettive vrinze: s = s + s Poiché nel nostro csi ci si riferisce distriuzioni di medie: s s + s m m = m m d cui: s s + s m m 2 m m 2 = Dentro l rdice possimo sostituire i due termini ponendo vrinz dell medi = qudrto dell devizione stndrd dell medi = qudrto dell (devizione stndrd del cmpione diviso rdice di n), cioé: s s = ( sm) = = n 2 2 m 2 2 Il denomintore dell formul del t pertnto divent: s n 2 2 s s sm m sm s = + m = + n n e così v ene. E' meglio però osservre che secondo l'ipotesi null H0 i due cmpioni provengono dll 2 2 stess popolzione, per cui s e s sreero sono stime dell stess vrinz dei dti dell medesim popolzione. Pertnto, è meglio sostituire ciscun delle due devizioni stndrd con un unic stim comint: somm devinze S S scom 2 + = = somm grdi di liertà n + n 2 Quindi, sostituendo e semplificndo, il denomintore dell formul del t divent finlmente:
15 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg s s sc sc sm m sm s = + m = + = + = n n n n n ( ) om om sc om n + n n = S + S n n n + n + 2 n n L formul si semplific molto se i cmpioni sono ilnciti (qundo n = n ). Quell espost è preferiile perché generlizzt. Le ipotesi del test t per cmpioni indipendenti sono: H0: differenz tr le due medie = 0 H1: differenz tr le due medie 0 Si entr in tell con n + n 2 grdi di liertà. Poiché imo deciso di rifiutre l'ipotesi null che sostiene che le due medie provengno dll stess popolzione e d ccogliere l'ipotesi lterntiv solo qundo il rischio di flso-positivo è minore del 5%, riterremo l differenz non significtiv se il vlore di t non srà superiore quello tulto per α=0.05 (detto sogli critic di significtività). Solo qundo il vlore di t supererà tle vlore l differenz srà ritenut significtiv. A questo punto l proilità di sglirci, nell'ccettre l'ipotesi lterntiv, è minore del 5%.
16 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 16 test t per cmpioni non-ppiti (nche non ilnciti) H0: differenz tr medie=0 frequenz del ttito crdico in gruppi di nimli diversi (dti di pur fntsi) topi inchi topi neri n=6 n=5 m=68.33 m=78.40 S= S= t=2.138 gdl=9 p=0.061 (non significtivo) t = m topi neri m topi inchi S topi neri + S topi inchi n topi neri n n + n 2 + n n topi neri topi inchi topi neri topi inchi topi inchi = = = Il vlore di p=0.061 è stto fornito dl clcoltore. In mncnz di clcoltore, si confront il t clcolto (vlore ssoluto) con quello tulto per il livello minimo di significtività del 95% (α=0.05) con 9 grdi di liertà, che è pri Poiché il t clcolto non super il t tulto si conclude che i vlori di frequenz di ttito crdico nei topi inchi e neri provengono dll stess popolzione e che l differenz riscontrt è ttriuiile lle normli fluttuzioni dei cmpioni.
17 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 17 II cso: medie di due cmpioni ppiti Il test t per cmpioni ppiti è dto dl rpporto: t differenz medi = errore stndrd dell differenz medi L'errore stndrd delle differenze si clcol come itulmente. Le ipotesi del test t per cmpioni ppiti sono: H0: differenz medi = 0 H1: differenz medi 0 Si entr in tell con n-1 grdi di liertà, ove n è il numero di coppie di dti. test t per cmpioni ppiti (necessrimente ilnciti) H0: differenz medi=0 frequenz del ttito crdico negli stessi tleti (dti di pur fntsi) prim di un cors dopo un cors differenze n=6 coppie di dti m= s m =3.896 t= gdl=5 p=0.03 (significtivo) medi delle differenze t = errorestndrd delle differenze = = Il vlore di p=0.03 è stto fornito dl clcoltore. In mncnz di clcoltore, si confront il t clcolto con quello tulto per il livello minimo di significtività del 95% (α=0.05) con 5 grdi di liertà, che è pri Poiché il t clcolto super il t tulto si conclude che l cors h modificto l distriuzione dei vlori di frequenz di ttito crdico, determinndone un significtivo incremento.
18 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 18 Esercizi Test t per cmpioni non-ppiti gruppo A gruppo B x A (x A -medi A ) 2 x B (x B -medi B ) 2 n A = S A = n B = S B = m A = m B = GDL = n A + n B - 2 = t = differenz trdue medie errorestndrd delle differenze trle medie = m S + S n + n - - m 2 n n + n n t = = t = H0: differenz tr le medie = 0 p = (vedi tell) risultto signifivtivo?
19 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 19 Test t per cmpioni ppiti con / prim senz / dopo differenze (d) (d medi d ) 2 n (coppie di dti) = m d = S d = s d 2 = s d = s md = t = medi delle differenze errorestndrd delle differenze = = t = H0: differenz medi = 0 p = (vedi tell) risultto signifivtivo?
20 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 20 Ultime considerzioni Nel test t l'ordine delle medie (-, -) è irrilevnte in qunto l distriuzione t è simmetric. Pertnto si prescinde dl segno. Nell tell del t sono riportti solo i vlori ssoluti. Poiché il test t vlut differenze tr medie, è pplicile solo condizione che i dti sino distriuiti normlmente ed ino vrinze uguli. Tuttvi si dice nche che il test t è rousto, è cioè in grdo di reggere nche in cso di piccole irregolrità rispetto queste norme. Lo schem seguente esemplific diverse situzioni: medie diverse, vrinze uguli: test t pplicile medie uguli, vrinze diverse: test t superfluo (t=0) test per l'omogeneità delle vrinze medie diverse, vrinze diverse: test t non pplicile (v. ltri test, es. Welch) test per l'omogeneità delle vrinze Se......le vrinze sono diverse m le distriuzioni sono comunque normli (condizione dett di eteroschedsticità) si deve pplicre un test t modificto che pss sotto il nome di test di Welch (o test t per vrinze diseguli)...le distriuzioni non sono normli si deve sempre pplicre un test nonprmetrico, es. il test di Wilcoxon (vedi cp. 8). L dozione del corretto tipo di test è fondmentle. Anche Excel (Microsoft) comprende tr le sue ppliczioni., oltre il test t di Student, il test di Welch ed il test di Wilcoxon. Controllte. Un'ultim vvertenz. Se nell'mito dello stesso studio si effettuno diversi test t tr diverse medie, il rischio glole di flsi positivi ument. Per cui il test t non è dtto qundo si pinific un esperimento con molti gruppi o trttmenti d confrontre tr loro. Per questo tipo di nlisi esistono deguti test che mntengono per tutti i confronti pinificti un vlore glole di α<0.05. L rgomento srà trttto nel prossimo cpitolo.
21 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 21 Limiti fiducili dell medi Avendo clcolto l medi di un cmpione di n osservzioni, ci interess spere qunto quest medi può differire dll medi non not dell popolzione, per un certo livello di proilità scelto d noi. Per fr questo cerchimo nell tell delle distriuzioni t l rig per gli n-1 grdi di liertà e l colonn per il livello di proilità p. In corrispondenz di n-1 e p leggeremo un vlore di t, che possimo indicre con t p,n-1. A questo punto possimo dire che, d un certo livello di proilità p, l medi dell popolzione è compres nell'intervllo medi cmpionri ± t s m. Questo è nche detto intervllo fiducile o intervllo di confidenz. Attenzione: il livello di proilità si riferisce ll proilità di str fuori di limiti fiducili (l proilità di trovre un vlore di t ugule o mggiore...). Ad es. il livello di proilità 0.05 (5%) consente di clcolre i limiti fiducili entro i quli si troverà l medi ver nel 95% dei csi, mentre nel 5% dei csi ess srà fuori dell'intervllo. p in ltre prole è il rischio che si vuole correre. In definitiv i limiti fiducili (LF) sono quindi: LF = m ± t s m Esempio, vendo un medi m=40, con s m =5 e n=21, scelto il livello di proilità di 0.05, si trov in tell il corrispondente vlore di t=2.09. Quindi i limiti fiducili dell medi srnno: LF = 40 ± = Con un proilità di sglire 5 volte su 100, diremo che l medi ver è compres tr e Grndezz del cmpione (metodo prmetrico) L numerosità del cmpione è spesso nche dett grndezz del cmpione (per dire numerosità, in inglese si us il termine size che in itlino si trduce con grndezz ). Qunti dti occorre prendere per ottenere un uon medi, cioè un medi rppresenttiv? Spesso il prolem deriv dl ftto di vere troppi o troppo pochi dti d processre. Nel primo cso, perderemmo un scco di tempo vlutrli tutti; nel secondo cso, un scco di soldi per viggire o per fre costosi esperimenti supplementri. Il prolem può essere degutmente ffrontto medinte l distriuzione t. Se inftti si prte dl presupposto di voler ottenere un medi i cui limiti fiducili sino contenuti entro d es. il 5% del vlore stesso dell medi, possimo trovre un'eguglinz tr l'espressione generle: LF = m ± t s m e l nostr opzione che i LF sino pri l 5% dell medi (sopr e sotto): LF = m ± 0.05 medi Dlle due espressioni si evidenzi che
22 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 22 t s = 0.05 m m M poiché sppimo che: s s m = n possimo scrivere: s t = 0.05 m n D cui ottenimo finlmente: 2 2 t s n = m Ovvimente, tle procedimento implic l'esecuzione di uno studio pilot per stimre in prim pprossimzione l medi e l devizione stndrd. Grndezz del cmpione (metodo grfico) Un metodo lterntivo è quello di fre uno studio pilot, controllndo il comportmento dell medi l crescere del numero di dti. L medi è di volt in volt riclcolt (si dice ppunto medi fluttunte o medi ggiornt o medi moile) dopo 2, 3, 4, 5... ecc. osservzioni. Succede che l medi clcolt per poche osservzioni vri ruscmente. Poi si stilizz per un semplice ftto di inerzi. A questo punto doimo stilire qule è l numerosità che consente di ottenere un medi ffidile. Per questo considerimo il primo punto del grfico oltre il qule le oscillzioni sono ppen un decimo (o un ventesimo, o ncor meno) dell'inter nd di oscillzione registrt ll'inizio del trccito. Oppure considerimo il primo punto del grfico oltre il qule le oscillzioni non superno del 10% o del 5% l medi stilizzt con l mssim numerosità (i due criteri si equivlgono). Rintrccito questo punto, trovimo in sciss il vlore di n che utilizzeremo nelle successive ppliczioni.
23 Diz - Appunti di Sttistic - AA 2001/ edizione 29/11/01 Cp. 2 - Pg. 23 Esercizio Costruire il grfico dell medi ggiornt dell seguente serie di dti: 4, 15, 6, 3, 7, 8, 2, 5, 8, 16, 3, 7, 6, 4, 9, 12, 5, 6, 8, 10, 9, 3, 12, 8, 9, 6, Un volt definit l medi stile utilizzndo tutti i dti, trccire l nd di confidenz del 10% sopr e sotto l medi stile vlutre qule è il numero minimo di dti l cui medi non esc dll nd di confidenz trccit
si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
Dettagli3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
Dettaglilim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)
Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)
DettagliIntroduzione all algebra
Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di
DettagliIl lemma di ricoprimento di Vitali
Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per
DettagliAUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità
DettagliEsercizi sulle serie di Fourier
Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre
DettagliIntegrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.
Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
DettagliSiano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
DettagliIl volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro
Dettagli( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per
Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un
DettagliIng. Alessandro Pochì
Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll
Dettagli1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =
Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008
ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli
DettagliAcidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli:
Acidi Deboli Si definisce cido debole un cido con < 1 che risult perciò solo przilmente dissocito in soluzione. Esempi di cidi deboli: Acido cetico (H OOH) 1.75 1-5 Acido scorbico (vitmin ) 1 6.76 1-5.5
DettagliNome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
DettagliIl calcolo letterale
Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere
DettagliLa parabola. Fuoco. Direttrice y
L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino
Dettagli" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6
CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione
DettagliCapitolo 2. Il problema del calcolo delle aree
Cpitolo 2 Il prolem del clcolo delle ree Introduzione Il prolem del clcolo delle ree nsce più di 2000 nni f qundo i greci tentrono di clcolre le ree con un metodo detto di esustione. Tle metodo può essere
DettagliEquivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali
Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero
DettagliDaniela Tondini
Dniel Tondini dtondini@unite.it Fcoltà di Medicin veterinri CdS in Tutel e benessere nimle Università degli Studi di Termo 1 IDICI DI FORMA Dopo ver nlizzto gli indici di posizione e di vribilità di un
DettagliMetodi statistici per l analisi dei dati
Metodi sttistici per l nlisi dei dti Introduzione In ogni esperimento, possono essere presenti diversi fttori di disturo che mplificno l vriilità presente nei dti. In genere, si definisce fttore di disturo
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di
DettagliIl calcolo letterale
Appunti di Mtemtic Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici espressioni numeriche. Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere e sviluppre
Dettaglia con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in
Funzione esponenzile Dto un numero rele >0, l funzione si chim funzione esponenzile di bse e f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore
DettagliTeoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :
Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se
DettagliImparare: cosa, come, perché.
GIOCO n. 1 Imprre: cos, come, perché. L pprendimento scolstico non è solo questione di metodo di studio, m di numerose situzioni di tipo personle e di gruppo, oppure legte l contesto in cui pprendimo.
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
DettagliIl calcolo letterale
Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici espressioni numeriche. Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere e sviluppre le regole di quello
Dettaglin volte m volte n+m volte n volte n volte n volte } = a n + n + n = a n m
Corso di Potenzimento.. 009/010 1 Potenze e Rdicli Dto un numero positivo, negtivo o nullo e un numero intero positivo n, si definisce potenz di se ed esponente n il prodotto di n fttori tutti uguli d
Dettaglicorrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in
Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino
DettagliCapitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
DettagliCOME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia
COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze
DettagliMetodi statistici per l analisi dei dati
Metodi sttistici per l nlisi dei dti Introduzione l Design Definizione Per fctoril design si intende un cmpgn sperimentle in cui le misure sono eseguite per tutte le possiili cominzioni dei livelli dei
DettagliFUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:
FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,
DettagliManuale Generale Sintel Guida alle formule di aggiudicazione
MANUALE DI SUPPOTO ALL UTILIZZO DELLA PIATTAFOMA SINTEL GUIDA ALLE FOMULE DI AGGIUDICAZIONE Pgin 1 di 21 AGENZIA EGIONALE CENTALE ACQUISTI Indice 1 INTODUZIONE... 3 1.1 Cso di studio... 4 2 FOMULE DI CUI
DettagliElettronica dei Sistemi Digitali Il test nei sistemi elettronici: guasti catastrofici e modelli di guasto (parte I)
Elettronic dei Sistemi Digitli Il test nei sistemi elettronici: gusti ctstrofici e modelli di gusto (prte I) Vlentino Lierli Diprtimento di Tecnologie dell Informzione Università di Milno, 26013 Crem e-mil:
DettagliFacoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.
Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione
DettagliPOTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
DettagliUNITÀ DI GUIDA E SLITTE
UNITÀ DI GUIDA E SLITTE TIPOLOGIE L gmm di unità di guid e di slitte proposte è molto mpi. Rggruppimo le guide in fmiglie: Unità di guid d ccoppire cilindri stndrd Si trtt di unità indipendenti, cui viene
DettagliLa parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.
L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI
ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle
DettagliRAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2
APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
DettagliB8. Equazioni di secondo grado
B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere
DettagliIl Primo Principio della Termodinamica non fornisce alcuna indicazione riguardo ad alcuni aspetti pratici.
Il Primo Principio dell Termodinmic non fornisce lcun indiczione rigurdo d lcuni spetti prtici. l evoluzione spontne delle trsformzioni; non individu cioè il verso in cui esse possono vvenire. Pistr cld
DettagliIl problema delle aree. Metodo di esaustione.
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.
DettagliLiceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ
DettagliTitolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:
Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w
DettagliSuccessioni di funzioni
Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già
DettagliIL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:
IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è un scrittur in cui compiono operzioni tr numeri rppresentti, tutti o in prte, d lettere. Per clcolre il vlore numerico di
DettagliVariabili Casuali e Distribuzioni di Probabilità Definizione: VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI PROBABILITÀ
Vriili Csuli e Distriuzioni di Proilità Un vriile csule X è un vriile numeric il cui vlore misurto può cmire ripetendo lo stesso esperimento di misur X può essere un vriile continu o discret 1 Esempi di
DettagliFigura 47: i ponti termici possono essere causati da discontinuità dei materiali o da discontinuità geometriche.
Prestzioni PONTI TERMICI Normlmente il clcolo delle dispersioni termiche di un edificio viene svolto considerndo che le temperture interne ed esterne sino costnti (Regime Termico tzionrio). Questo signific
Dettagli1 Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)
1 Lvoro sperimentle (di Cludi Sortino) Prtendo d un nlisi epistemologic del prolem, ho preprto un test che ho successivmente proposto due quinte clssi di un istituto industrile. QUESTIONARIO SULL INTEGRAZIONE
DettagliTassi di cambio, prezzi e
Tssi di cmbio, prezzi e tssi di interesse 2009 1 Introduzione L relzione tr l ndmento del livello generle dei prezzi e i tssi di cmbio: l Prità dei Poteri di Acquisto Le relzione tr i tssi di cmbio e i
DettagliVerifica di Fisica 04/12/2014 Argomenti trattati durante il corso:
Liceo Scientifico Augusto Righi, Cesen Corso di Fisic Generle, AS 2014/15, Clsse 1C Verific di Fisic 04/12/2014 Argomenti trttti durnte il corso: Grndezze fisiche: fondmentli e derivte Notzione scientific
Dettagli1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati
Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste
DettagliIL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:
IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono
DettagliRegime di sconto commerciale. S = sconto ; K = somma da scontare ; s = tasso di sconto unitario V a = valore attuale ; I = interesse ; C = capitale
Regime di sconto commercile Formule d usre : S = sconto ; K = somm d scontre ; s = tsso di sconto unitrio V = vlore ttule ; I = interesse ; C = cpitle s t = st i t st = st S t Kst V K st () () ; () ( )
DettagliAMMORTAMENTO PERDITE ESERCIZIO
AMMORTAMENTO PERDITE ESERCIZIO PERDITA D ESERCIZIO OLTRE 1/3 C.S. L società Alf sp C.S. 500.000,00 nell nno 200x rilev un perdit di 410.000,00. L ssemble dei soci deliber l riduzione del cpitle socile
DettagliVERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte
DettagliArea di una superficie piana o gobba 1. Area di una superficie piana. f x dx 0 e quindi :
Are di un superficie pin o go Are di un superficie pin L're dell superficie del trpezoide si B ottiene pplicndo l seguente formul: f d [] A T e risult 0 [, ] è f f d 0 e quindi : [] f d f d f d f d c Nel
DettagliESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO
Esercizio : ESERCIZI DI CALCOLO UMERICO Formule di qudrtur Costruire l ormul di qudrtur interpoltori del tipo d ( ) ( ) ( ) clssiicndol e determinndone l ordine di ccurtezz polinomile Mell Per costruzione
DettagliMETODO VOLTAMPEROMETRICO
METODO OLTAMPEOMETCO Tle etodo consente di isrre indirettente n resistenz elettric ed ipieg l definizione stess di resistenz : doe rppresent l tensione i cpi dell resistenz e l corrente che l ttrers coe
DettagliRendite (2) (con rendite perpetue)
Rendite (2) (con rendite perpetue) Esercizio n. Un ziend industrile viene vlutt ttulizzndo i redditi futuri dell gestione l tsso del 9% con inflzione null. I redditi prospettici vengono stimnti nell misur
Dettagli14 - Integrazione numerica
Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 4 - Integrzione numeric Anno Accdemico 205/206 M. Tumminello, V.
Dettagli13 - Integrali Impropri
Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 3 - Integrli Impropri Accdemico 25/26 M. Tumminello, V. Lcgnin,
DettagliPropagazione degli Errori e regressione lineare. Note e consigli d uso. -Termine covariante -- estrapolazione e/o interpolazione
Propgzione degli Errori e regressione linere Note e consigli d uso -Termine covrinte -- estrpolzione e/o interpolzione Qundo devo usre il termine di covrinz nell propgzione? Qundo l errore delle vriili..
Dettagli13. EQUAZIONI ALGEBRICHE
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più
DettagliIntegrale definito. Introduzione: il problema delle aree
Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,
DettagliDefinizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se
Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione
DettagliCALCOLO NUMERICO. Francesca Mazzia. a.a. 2008/2009. Integrazione. Dipartimento Interuniversitario di Matematica. Università di Bari
CALCOLO NUMERICO Frncesc Mzzi Diprtimento Interuniversitrio di Mtemtic Università di Bri.. 2008/2009 Integrzione () 29 mggio 2009 1 / 18 Integrzione Problem: pprossimre integrli definiti del tipo: f (x)dx,
DettagliBREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE
BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE Per esprimere gudgni e ttenuzioni, nonché cifre di rumore e rpporti segnle-rumore si usno frequentemente le unità logritmiche. Come risultto, l grndezz in questione
Dettagli30 quesiti. 1 Febbraio 2011. Scuola... Classe... Alunno... Copyright 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna
verso LA RILEVAZIONE INVALSI SCUOLA SECONDARIA DI secondo GRADO PROVA DI Mtemtic 30 quesiti Febbrio 0 Scuol... Clsse... Alunno... e b sono numeri reli che verificno quest uguglinz: Qunto vle il loro prodotto?
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico
DettagliFORMULE DI AGGIUDICAZIONE
Mnule di supporto ll utilizzo di Sintel per stzione ppltnte FORMULE DI AGGIUDICAZIONE gin 1 di 18 Indice AZIENDA REGIONALE CENTRALE ACQUISTI - ARCA S.p.A. 1 INTRODUZIONE... 3 1.1 Mtrice modlità offert/modlità
DettagliVariazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo
Istituto di Antropologi dell Regi Università di Rom Vrizioni di sviluppo del lobo frontle nell'uomo pel Dott. SERGIO SERGI Libero docente ed iuto ll cttedr di Antropologi. Il problem dei rpporti di sviluppo
DettagliMisure ed incertezze di misura
Misure ed incertezze di misur Misurzione e Misur Misurre signiic quntiicre un grndezz isic chimt misurndo trmite un processo (misurzione) il cui risultto detto misur. L misur deve poter essere ripetut
DettagliESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI
Indice cpitolo Insiemi ed elementi di logic... 7 8 Insiemi... Operzioni con gli insiemi... 8 Introduzione ll logic... 9 Connettivi e tvole di verità... Espressioni proposizionli... 0 Predicti e quntifictori...
DettagliStatistica. Lezione 6
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante
Dettaglia cura di Luca Cabibbo e Walter Didimo
cur di Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 pumping lemm proprietà di chiusur dei linguggio regolri notzioni sul livello degli esercizi: (*) fcile, (**) non difficile
Dettagli3. Il calcolo a scuola (2): l uso della calcolatrice 1
Didttic 3. Il clcolo scuol (2): l uso dell clcoltrice 1 Ginfrnco Arrigo 57 1. Clcoli con un sol operzione L prim cos d insegnre d un giovne llievo che voglimo educre ll uso corretto dei moderni mezzi di
DettagliCORSO DI RAGIONERIA A.A. 2013/2014
CORSO DI RAGIONERIA A.A. 2013/2014 MODULO A LEZIONE N. 10 LE SCRITTURE CONTABILI Il lesing IL CONTRATTO DI LEASING Il lesing è un contrtto tipico (non previsto dl Codice Civile) per mezzo del qule l ziend
DettagliEsercizi di Informatica Teorica Pumping lemma e proprietà di
04-pumping-lemm-regolri-01 Esercizi di Informtic Teoric Pumping lemm e proprietà di chiusur per i linguggi regolri 1 Pumping lemm per linguggi regolri richimi pumping lemm: se L è un linguggio regolre
DettagliCALCOLO NUMERICO. Francesca Mazzia. Integrazione. Dipartimento Interuniversitario di Matematica. Università di Bari
CALCOLO NUMERICO Frncesc Mzzi Diprtimento Interuniversitrio di Mtemtic Università di Bri Integrzione 1 Integrzione Problem: pprossimre integrli definiti del tipo: f(x)dx, Sceglimo n + 1 punti nell intervllo
DettagliVediamo quindi l elenco dei limiti fondamentali, il cui risultato daremo per noto d ora in avanti e lo utilizzeremo ogni volta che sarà necessario.
. I iti fondmentli Non bisogn pensre l clcolo di un ite come se si trttsse dvvero di eseguire un operzione mtemtic: in reltà non esiste lcun lgoritmo. L procedur si regge invece su questi due pilstri:
DettagliAppunti di Matematica 1 - I polinomi - Polinomi. I vari monomi che compongono il polinomio si chiamano termini del polinomio.
ppunti di Mtemtic Polinomi Un polinomio è un somm lgebric di monomi. Esempio: b ; y y ; b c sono polinomi. I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche
Dettagli2 Generalità sulle matrici
2 Generlità sulle mtrici 21 Definizione e csi prticolri Definizione 21 Mtrice n m Un mtrice n m è un tbell rettngolre di n righe e m colonne i cui elementi sono numeri reli (o complessi) indicizzti con
DettagliEsercizi estivi per la classe seconda
Esercii estivi per l clsse second ) Risolvere le seguenti disequioni: [nessun soluione] R f) R i) l) n) ) Risolvere i seguenti sistemi di disequioni: ) Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituione:,,,
Dettagli26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di
Dettagli5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Esercizi 5.3. Si f : R R un funzione continu, e supponimo che f bbi sintoti obliqui per ±. Provre che f è uniformemente continu in R.. Esibire un funzione f : R R limitt e di clsse C, m non uniformemente
Dettagli