Propagazione degli Errori e regressione lineare. Note e consigli d uso. -Termine covariante -- estrapolazione e/o interpolazione

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1 Propgzione degli Errori e regressione linere Note e consigli d uso -Termine covrinte -- estrpolzione e/o interpolzione

2 Qundo devo usre il termine di covrinz nell propgzione? Qundo l errore delle vriili.. non è indipendente tr loro undo cioè un sovrstim o sottostim di implic un sovrstim o sottostim di llor l relzione di propgzione degli errori nell ipotesi di un funzione due vriili e divent: 1 Covrinz N dove i i

3 Qundo devo usre il termine di covrinz nell propgzione? L covrinz stim in che proporzione fluttu ssieme. 1 Covrinz i i N - Se le osservili fluttuno in modo indipendente il prodotto degli scrti si nnull posto che N si sufficientemente grnde - Se le osservili non fluttuno in modo indipendente il prodotto degli scrti h segno definito così d rendere σ non null e volte non trscurile rispetto σ e σ - nel cso in cui N numero di misure si piccolo llor vl l pen fre un prov ftelo nelle relzioni non nello scritto meno che non si richiesto - Clcolo ipotizzndo l non correlzione - Clcolo ipotizzndo l mssim correlzione - e chimto errore mssimo - Se l mssim correlzione modific il risultto dell propgzione llor vle l pen di considerre il termine covrinte

4 Not: Se ci fosse l mssim correlzione tr le incertezze delle osservili llor Le incertezze uindi si sommno! Si può dimostrre uindi che vle sempre uest disuguglinz Covrinz 0 0

5 Quindi: Clcolo ipotizzndo l non correlzione Clcolo ipotizzndo l mssim correlzione errore mssimo Nel cso ci fosse un differenz sostnzile tr i due vlori llor il contesto fisico e/o l nlisi dti specific mi dirà se posso ritenere i dti correlti o in generle cos riportre come errore sperimentle Cnnelli pg. 111

6 Not Importnte Nell propgzione degli errori posso usre si l devizione stndrd che l devizione dll medi. Il risultto srà ovvimente un devizione stndrd o un devizione dll Medi Il contesto e/o l oiettivo dell operzione di propgzione errori vi dirà cos usre. Ovvimente il risultto ottenuto vrà un significto completmente differente

7 Posso stimre se gli errori su e sono indipendenti tr loro? 1 Clcolte l covrinz Riflettete sull fisic del sistem che stte studindo - Esempio: - Avete un serie di coppie dti sperimentli che devono seguire un ndmento linere i.e. l lunghezz del pendolo L e il suo periodo l udrto T - Avete estrtto di dti sperimentli i coefficienti di un rett coefficiente ngolre ± e termine noto ± d esempio con un regressione linere = + d esempio L = T + - Volete estrpolre il vlore dell rett o nel punto o e volete nche vere un stim dell errore sull vostr estrpolzione - d esempio l lunghezz che deve vere un pendolo per oscillre con un periodo di 5 s - Notte che or le vriili con incertezz sono e non e

8 Allor il vlore dell vriile o è dto d 0 = 0 + d esempio L = 5 + L errore si dovrà clcolre con l propgzione degli errori In uesto cso però le osservili e termine noto e coefficiente ngolre sono correlte perche estrtte d dti sperimentli in ltr prole se cmi un deve cmire nche l ltr opportunmente per riprodurre i dti sperimentli. L relzione per l devizione stndrd su o Attenzione uindi che l covrinz si clcol prtire di dti sperimentli con i uli vete estrtto il prmetro coefficiente ngolre e termine noto. Nel cso del pendolo prtire di periodi e dlle lunghezz misurte. Quindi: 0 o 0

9 Estrpolzione - Interpolzione L procedur di clcolo dell vriile Y non misurt è dett interpolzione undo il vlore dell è compreso tr due vlori di X misurti. E dett invece estrpolzione undo il vlore dell X è ll esterno dei vlori misurti Il vlore dell Y estrpolt/interpolt si ottiene pplicndo l relzione linere Più compless risult l estrzione dell incertezz dell osservile interpolt/estrpolt Y inftti: - Il punto di prtenz sono le coppie di misure i i - d ueste coppie di misure sono stti estrtti i prmetri - d uesti prmetri voglimo or estrrre un Y 0 interpolt o estrpolt prtire d un determint o - d uesti prmetri voglimo or estrrre l corrispondente - posso usre l propgzione degli errori - Attenzione che stvolt l errore di e uello di sono correlti perche sono estrtti d un medesimo dtset.

10 Estrpolzione - Interpolzione Devo usre il termine di covrinz nell relzione di propgzione degli errori Eseguendo un certo mmontre di conti si rriv ll relzione più semplice: Quindi come già prennuncito l errore sull Y interpolt/estrpolt NON è l estrtt di dti sperimentli o dll regressione linere m ulcos di più complesso ; cov N i i

11 Esempio

12 E tutto Chiro? Dovreste ver chiri i seguenti rgomenti: Propgzione degli errori Qundo usre l covrinz nell propgzione degli errori