16 Stadio amplificatore a transistore

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1 16 Stdio mplifictore trnsistore Si consideri lo schem di Figur 16.1 che riport ( meno dei circuiti di polrizzzione) uno stdio mplifictore relizzto medinte un trnsistore bipolre nell configurzione d emettitore comune. V cc R c y(t) R c =1kΩ u(t) ~ R g R g =1:8kΩ Fig Si fcci inoltre riferimento l circuito equivlente ibrido crtterizzto, nel punto di lvoro prescelto, di vlori riportti in Figur B r bb b C b c C r bb = 2 Ω r b e =5kΩ r b e C b e r ce C b e = 1 pf g m V b C b c =1pF Fig E g m =4mA=V r ce = 2 kω Per tle sistem 1) Si determini un modello nello spzio degli stti ssumendo come ingresso il segnle fornito dl genertore e come uscit l tensione sul collettore; 2) Si clcoli l funzione di trsferimento reltiv l modello precedente, l rispost in frequenz ed in fse; 3) Si determini l rispost impulsiv, quell d un grdino di mpiezz unitri ed il tempo di slit. SOLUZIONE 1 1 Considerndo i vlori ssegnti e pssndo d un notzione più comptt si ottiene il circuito equivlente di Figur 16.3.

2 TEORIA 16.2 DEI SISTEMI: ESERCIZI ED APPLICAZIONI u(t) Fig i 1 i3 i 5 i 7 C 2 R i 2 i 4 1 x i 6 2 R 2 C 1 R 3 x 1 g m x 1 y(t) R 1 =2kΩ R 2 =5kΩ C 1 = 1 pf C 2 =1pF g m =4mA=V R 3 ' 1kΩ Nel circuito precedente si sono indicte con i 1 ;...;i 7 le correnti nei vri rmi e con x 1 ed x 2 le tensioni i cpi dei due condenstori. Le relzioni che è immeditmente possibile scrivere sono le seguenti i 1 = u x 1 R 1 i 1 = i 2 + i 3 i 2 = x 1 R 2 i 3 = i 4 + i 5 i 4 = C 1 ẋ 1 i 5 = C 2 ẋ 2 i 5 = i 6 + i 7 i 6 = g m x 1 i 7 = x 1 x 2 R 3 y = R 3 i 7 : Assumendo come vribili di stto x 1 ed x 2 ed eliminndo le correnti dlle relzioni precedenti si ottengono le seguenti equzioni dx 1 dt = 1 dx 2 dt = 1 C 2 g m x 1 + x 2 + R 1 R 2 R 3 R 3 C 1 g m + 1 x 1 1 x 2 R 3 R 3 C 2 C 1 y = x 1 x 2 : 1 u R 1 C 1

3 STADIO AMPLIFICATORE A TRANSISTORE 16.3 Il modello nello spzio degli stti cercto è quindi descritto dll seguente tern di mtrici 41:7 1 5 A =1 7 B = C = : 2 1 L funzione di trsferimento del sistem è dt d G(s) 1 1 =C si A B (s +1 8 ) 1 7 = :111 9 (s +4: ) s 2 +5: s (5s )1 6 = s 2 +5: s : Sostituendo j! ll vribile compless s si ottiene l rispost frequenzile G(j!)=1 6 (2:26111! 2 1: )+j(1: ! 2 )!! 4 +2: ! 2 +4: il cui modulo, dto d p 1 6 (2:2611 1! 2 1: ) 2 +(1: ! 2 ) 2! 2! 4 +2: ! 2 +4: ; h l ndmento riportto, in db, in Figur Fig db khz L rgomento di G(j!) è dto d rg G(j!) 1 (1: ! 2 )! = rctg 2:2611 1! 2 1:411 25

4 TEORIA 16.4 DEI SISTEMI: ESERCIZI ED APPLICAZIONI ed h l ndmento riportto in Figur Fig khz 3 1 L rispost ll impulso di Dirc pplicto l tempo è dt d W (t) =Ce At B: È quindi necessrio, per ottenere tle rispost, clcolre l mtrice di trnsizione e At che, nel cso in esme, può essere espress nell form e At = I + 1 A ove i coefficienti e 1 possono essere clcolti medinte l espressione e 1 t = e 2t : Sostituendo 1 e 2 i vlori precedentemente clcolti si ottiene =1:264 e 1t :264 e 2 t 1 =1: e 1t 1: e 2 t W (t) = : : = 3: e 1t +4: e 2t : L ndmento nel tempo dell rispost impulsiv è riportto in Figur Fig V µs

5 STADIO AMPLIFICATORE A TRANSISTORE 16.5 L rispost d un grdino di mpiezz unitri può essere considert come l integrle dell rispost ll impulso di Dirc. Tle rispost è quindi dt d y(t) = Z t W () d = 3:89117 e 1t + 4: e 2t + c ove l costnte c può essere ottenut imponendo l condizione inizile y()= che fornisce il vlore Si ottiene quindi l espressione c = 28:571 : y(t) =28: :656 e 1t :85 e 2 t che h l ndmento riportto in Figur V -15 Fig µs Per ricvre il tempo di slit, definito come il tempo necessrio perché l rispost l grdino pssi dl 1% l 9% del vlore di regime, srà sufficiente porre y(t 1 )=28:571 1 :1 y(t 9 )=28:571 1 :9 nell espressione dell rispost l grdino ricvndo i corrispondenti vlori del tempo dti d t 1 =:8 µs t 9 =1:68 µs : Ne segue che il tempo di slit è dto d t s = t 9 t 1 =1:6 µs :

6 TEORIA 16.6 DEI SISTEMI: ESERCIZI ED APPLICAZIONI OSSERVAZIONI 1 Si noti che si è considerto un crico purmente resistivo. Qulor si fosse considert nche un cpcità di crico si srebbe ottenuto un modello del terz ordine. I poli del modello sono 1 = 1: = 5: : Il sistem è quindi sintoticmente stbile e l su frequenz di tglio srà determint d 1. b 1 L mtrice di Vndermonde che si è invertit per determinre i coefficienti del polinomio interpolnte utilizzto per il clcolo di e At risult, nel cso in esme, lqunto mlcondiziont (il numero condizionnte vle 5: ). È necessrio, in tli csi, effetture i clcoli con un numero deguto di cifre significtive e controllre l ccurtezz dei risultti ottenuti. Si noti che l impulso di Dirc non è fisicmente relizzbile e, comunque, il circuito in esme non vrebbe un comportmento linere in presenz di un tle ingresso. Si osservi, l rigurdo, l scl dottt sul grfico che riport l rispost impulsiv. L ndmento dell rispost clcolt pprossim tuttvi quell del circuito d impulsi di mpiezz limitt e di durt finit purché trscurbile rispetto lle costnti di tempo del sistem. L scl dottt per l sse dei tempi nel grfico dell rispost impulsiv consente di vlutre degutmente l ndmento complessivo, che si esurisce in pochi microsecondi, m comprime eccessivmente l prte inizile dell rispost. Espndendo l scl 2 volte per visulizzre meglio tle prte si ottiene il grfico riportto in Figur Fig V ns Si può così vedere come l rispost impulsiv non ssum ll istnte inizile vlore nullo come ci si potrebbe spettre considerndo lo stto inizile del sistem dto d x() =. Tle pprente nomli è dovut lle prticolri crtteristiche dell impulso di Dirc che, dl punto di vist mtemtico, non pprtiene ll clsse delle funzioni m quell delle distribuzioni e consente

7 STADIO AMPLIFICATORE A TRANSISTORE 16.7 l trnsizione istntne dello stto di un sistem dinmico dl vlore d un vlore finito. L espressione dell rispost impulsiv mostr come lo stto l qule viene istntnemente portto il sistem coincid con l mtrice B nei sistemi d ingresso singolo (come quello in esme) o, più in generle, con l colonn di B corrispondente ll ingresso l qule è stto pplicto l impulso. Essendo l impulso di Dirc identicmente nullo per ogni vlore di t>, l inter rispost impulsiv non è ltro che l rispost liber del sistem prtire dllo stto inizile l qule il sistem è stto portto. Nel cso in esme tle stto inizile è x() = e, conseguentemente, il vlore inizile dell rispost è dto d y() = Cx() = : I due modi del sistem in esme, entrmbi sintoticmente stbili, sono ssociti poli molto diversi. Il modo ssocito 2 determin l rpid vrizione inizile dell rispost impulsiv, dell durt di qulche nnosecondo; quello ssocito 1 determin invece l fse successiv dell rispost, dell durt di pochi microsecondi. Si noti infine che l conoscenz dell rispost impulsiv consente di determinre l rispost di un sistem, prtire dllo stto zero, qulunque funzione di ingresso trmite l integrle di convoluzione y(t) = Z t W (t ) u()d : Tle espressione viene tlvolt utilizzt per determinre l rispost di un sistem sull bse dell sol misur dell rispost impulsiv rilevt sperimentlmente. Ciò risult prticolrmente vntggioso per i sistemi prmetri distribuiti che drebbero luogo modelli nello spzio degli stti di dimensione infinit.