APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

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1 APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e α R. Se 0 V e 0 W sono i vettori nulli di V e di W, ovvimente risult f(0 V ) = 0 W Se un vettore v V è combinzione linere di p vettori v, v 2,,v p V con coefficienti, 2,, p, llor il vettore f(v) W immgine di v è combinzione linere dei vettori f(v ), f(v 2 ),,f(v p ) secondo gli stessi coefficienti, cioè f(v) = f( v + 2 v 2 +,, p v p ) = f(v ) + 2 f(v 2 ) + + p f(v p ). In prticolre se V h dimensione finit n e B = { u, u 2,, u n } è un bse di V, llor il vettore f(v), immgine di un v di V, è combinzione linere delle immgini dei vettori dell bse B con coefficienti che coincidono con le coordinte di v rispetto B, cioè se v = x u + x 2 u x n u n f(v) = f(x u + x 2 u 2 +,,x n u n ) = x f(u ) + x 2 f(u 2 ) + + x n f(u n ). Dt f: V W un ppliczione linere di V in W, l insieme degli elementi di W che sono immgini di lmeno un elemento di V si dice immgine dell ppliczione e si indic con f(v) o con Im f. Si dimostr che Teorem L immgine f(v) di un ppliczione linere f: V W è un sottospzio vettorile di W. Si f: V W un ppliczione linere di V in W; si definisce nucleo di f e si denot con Ker f l insieme di tutti gli elementi di V che hnno per immgine il vettore nullo 0 W, cioè Ker f = {x V : f(x) = 0 W } Si dimostr che Teorem Il nucleo di un ppliczione linere f: V W è un sottospzio vettorile di V. Sino dunque V e W due spzi vettorili di dimensione rispettivmente n ed m e sino B = {u, u 2,,u n } e B = {w, w 2,,w m } due bsi di V e W.

2 Se f: V W un ppliczione linere di V in W; si possono rppresentre i vlori di ogni f(v j ) come f(v j ) = j w + 2j w mj w m Quindi l mtrice m n costituit d tutti gli ij (i =, 2,, n; j =, 2,, n) è quell delle coordinte dei vettori f(v j ) W rispetto ll bse B per j =, 2,, n. Ess si dice mtrice ssocit d f rispetto lle bsi B e B ; esplicitmente l mtrice ssocit ll ppliczione f è 2 A = m 2 22 m2 n 2n mn Risult inoltre che dim Im f = r(a), dove A è un mtrice ssocit d f; dim Ker f = dim V dim Im f. ESEMPI 2 5 Se si consider l mtrice A = d ess è ssocit l ppliczione linere f: R R 2 tle che f(x, x 2, x ) = (x + 2x 2 + 5x, x + x 2 - x ) vendo considerto come bsi di R e R 2 le bsi cnoniche. Vicevers se si consider l ppliczione linere f: R 4 R tle che f(x, x 2, x, x 4 ) = (2x x + x 4 ; x 2-7x + x 4 ; x x 2 + x + 5x 4 ) d ess è ssocit l mtrice 2 0 Determinre quli delle seguenti ppliczioni sono lineri:. f : R 2 R tle che f (x, y) = (x + y, 2x y, y x) ; 2. f 2 : R R 2 tle che f 2 (, b, c) = ( + 2b c, b c);. f : R 2 R 2 tle che f (, b) = ( 2, + b); 4. f 4 : R R tle che f 4 (x, y, z) = (x, y, z) + (, 0, ); 5. f 5 : R R tle che f 5 (v) = 2v; 6. f 6 : R 2 R 2 tle che f 6 (x, y) = (x - y, x + y + ) 0 Soluzione. Si trtt di verificre che (x, y), (z, w) in R 2 e λ, µ in R risulti f (λ(x, y) + µ (z, w)) = λ f (x, y) + µ f (z, w) 7 5 2

3 Quindi si h f (λ(x, y) + µ (z, w)) = f (λx + µ z, λy + µ w) = = (λx + µ z + λy + µ w, 2λx + 2µ z - λy - µ w, λy + µ w - λx - µ z ) = = λ( x + y, 2x y, y x) + µ( x + y, 2x y, y x) = λ f (x, y) + µ f (z, w) f è linere 2. Anlogmente si procede per dimostrre che l f 2 è linere. Considerte le terne (, b, c) e (x, y, z) in R e λ, µ in R si h f 2 (λ(, b, c) + µ (x, y, z)) = f 2 (λ + µ x, λb + µ y, λc + µ z ) = = (λ + µ x + 2λb + 2µ y - λc - µ z, λ + µ x - λb - µ y - λc - µ z ) = = λ( + 2b c, b c) + µ( x + 2y z, x y z) = = λ f 2 (, b, c) + µ f 2 (x, y, z) f 2 è linere.. L f non è linere. A tle fine considerimo le coppie (, 0) e (, ) e fccimo vedere che f ((, 0) + (, )) f (, 0) + f (, ) Si h f ((, 0) + (, )) = f (2, ) = (4, ) e f (, 0) + f (, ) = (, ) + (, 2) = (2, ) d cui (4, ) (2, ). 4. L f 4 non è linere. Inftti considerte le terne (-,, 0) e (0, -2, ) si h f 4 ((-,, 0) + (0, -2, )) = f 4 (-, -, ) = (-, -, ) + (, 0, ) = (0, -, 2) f 4 (-,, 0) = (-,, 0) + (, 0, ) = (0,, ) f 4 (0, -2, ) = (0, -2, ) + (, 0, ) = (, -2, 2) quindi f 4 (-,, 0) + f 4 (0, -2, ) = (0,, ) + (, -2, 2) = (, -, ) cioè f 4 ((-,, 0) + (0, -2, )) = (0, -, 2) (, -, ) = f 4 (-,, 0) + f 4 (0, -2, ). Inoltre per essere linere dovrebbe essere f 4 (0, 0, 0) = (0, 0, 0) invece risult f 4 (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (, 0,) = (, 0,). 5. L f 4 è un endomorfismo. Inftti considerti v e w di R e λ, µ in R risult f 5 (λv + µ w) = 2λv + 2µw = λ(2v) + µ(2w) = λ f 5 (v) + µ f 5 (w).

4 6. L f 6 non è linere. Inftti considert l coppi (0, 0) si h f 6 (0, 0) = (0, ) (0, 0). Si dt l ppliczione linere f: R R tle che f(x, y, z) = (-x + 2y + z, x 4y 6z, x + z) determinimo l mtrice ssocit ll ppliczione f rispetto ll bse cnonic di R. Si h f(, 0, 0) = (-,, ); f(0,, 0) = (2, -4, 0); f(0, 0, ) = (, -6, ). Quindi l mtrice ssocit ll ppliczione f è: A = Si dt l ppliczione f: R R tle che f(, b, c) = ( + b, 2c, 2 - b 2 ) provre che l f non è linere. Considerimo v(, 2,0) e w(, 2, 0); si h f(v + w) = f((, 2, 0) + (0,, 2)) = f(,, 2) = (4, 4, -8); inoltre f(v) = f(, 2, 0) = (, 0, -) f(w) = f(0,, 2) = (, 4, -) d cui f(v) + f(w) = (, 0, -) + (, 4, -) = (4, 4, -4) (4, 4, -8) = f(v + w). Si f: R R 2 l ppliczione linere tle che f(, 0, 0) = (, ) f(0,, 0) = (, 0) f(0, 0, ) = (, ) ) determinre l mtrice A ssocit d f e le equzioni di f rispetto lle bsi cnoniche di R ed R 2 ; b) trovre un bse e l dimensione di Im f e di Ker f. Soluzione ) L mtrice ssocit d f rispetto lle bsi cnoniche è 0 Se v(x, y, z) è il generico vettore di R, posto f(v) = (x, y ) le equzioni dell f rispetto lle bsi cnoniche sono: x = x + y + z y = x + z 2 b) poichè Im f è generto dlle immgini dei vettori dell bse cnonic di R, si h Im f = ((, ), (, 0), (,)) = R 2 llor un bse di Im f è {(,), (, 0)} e l dim Im f = 2 = r(a)

5 Per definizione Ker f = {v = (x. y, z) : f(v) = (0, 0)}, quindi un vettore v = (x, y, z) Ker f se e solo se le sue coordinte rispetto ll bse cnonic soddisfno il sistem linere x + y + z = 0 x + z = 0 Allor il Ker f è il sottospzio vettorile costituito dlle soluzioni del sistem. Tle sistem mmette soluzioni del tipo (h, 0, -h) h R, quindi un bse di Ker f è {, 0, -} e dim Ker f =. 5