APPLICAZIONI LINEARI

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1 APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte le segueti proprietà: ) (v 1 + v 2 ) = (v 1 ) + (v 2 ) v 1, v 2 V; b) (α v) = α (v) α K, v V. TEOREA Si :V W u ppliczioe liere. Allor: (1) (0 V ) = 0 W ; (2) ( v) = (v); (3) ( 1 v v r v r ) = 1 (v 1 ) + 2 (v 2 ) + + r (v r ) DIOSTRAZIONE (1) (0 V ) = (0 v) = 0 (v) = 0 W ; (2) ( v) = (( 1) v) = 1 (v) = (v); (3) Poichè ( 1 v v 2 ) = ( 1 v 1 ) + ( 2 v 2 ) = 1 (v 1 ) + 2 (v 2 ) cilmete ( 1 v v r v r ) = 1 (v 1 ) + 2 (v 2 ) + + r (v r ) 2. NUCLEO E IAGINE DI UN APPLICAZIONE LINEARE. Si : V W u ppliczioe liere tr due spzi vettorili V, W (su u cmpo K). Si chim ucleo dell ppliczioe l isieme di vettori v V tli che (v) = 0 W. Il ucleo dell ppliczioe si idic co Ker ( KERNEL dell ppliczioe ): Ker = {v V : (v) = 0 W }. Si chim immgie dell ppliczioe l isieme di vettori w W che soo immgii di vettori di V. L immgie dell ppliczioe si idic co Im o co (V): Im = {w W : v V, (v) = w}. Poichè (0 V ) = 0 W, segue 0 V Ker, 0 W Im. TEOREA Si :V W u ppliczioe liere. Allor Ker è u sottospzio di V. DIOSTRAZIONE Dobbimo dimostrre che: 1) 0 V Ker ; 2) v 1, v 2 Ker v 1 + v 2 Ker ; 3) α K, v Ker αv Ker. 1) 0 V Ker poichè (0 V ) = 0 W. 2) Sio v 1, v 2 Ker, llor: (v 1 ) = 0 W, (v 2 ) = 0 W. Poiché (v 1 + v 2 ) = (v 1 ) + (v 2 ) = 0 W + 0 W = 0 W v 1 + v 2 Ker ;

2 3) Si α K, v Ker. Poiché (α v) = α (v) = α 0 W = 0 W αv Ker. TEOREA (di crtterizzzioe delle ppliczioi lieri iiettive) Si :V W u ppliczioe liere. è iiettiv Ker = {0 V }. DIOSTRAZIONE Se è iiettiv llor Ker = {0 V }. Itti, se v Ker, o può essere v 0 V poiché srebbe (v) = (0 V ) = 0 W e l o srebbe iiettiv. Duque Ker = {0 V }. Se Ker = {0 V } llor è iiettiv. Sio v 1, v 2 V co v 1 v? 2 (v 1 ) (v 2 ). Itti, se osse (v 1 ) = (v 2 ) llor (v 1 ) (v 2 ) = 0 W, duque (v 1 v 2 ) = 0 W v 1 v 2 Ker essedo Ker = {0 V } v 1 v 2 = 0 V e quidi v 1 = v 2, cotro l ipotesi v 1 v 2 TEOREA Si : V W u ppliczioe liere. Allor Im è u sottospzio di W. DIOSTRAZIONE Dobbimo dimostrre che: 1) 0 W Im ; 2) w 1, w 2 Im w 1 + w 2 Im ; 3) α K, w Im αw Im. 1) 0 W Im poichè (0 V ) = 0 W. 2) Sio w 1, w 2 Im, esistoo llor v 1, v 2 V tli che (v 1 ) = w 1, (v 2 ) = w 2. Cosiderimo v 1 + v 2 i V. poiché (v 1 + v 2 ) = (v 1 ) + (v 2 ) = w 1 + w 2, si h w 1 + w 2 Im 3) Si α K, w Im. Essedo w Im, esiste i V u v tle che (v) = w. Cosiderimo α v. Poiché (α v) = α (v) = α w α w Im. Si :V W u ppliczioe liere. Se l è biuivoc, llor ess è dett isomorismo di V i W e i due spzi V, W soo detti isomori. Evidetemete, se è biuivoc ess è iiettiv e suriettiv ((V) = W). I tl cso, teedo coto dei teoremi precedeti, si h: TEOREA :V W è u isomorismo se e solo se Ker = {0 V } e Im = W. (dim V = dim W è u isomorismo)

3 3. PROPRIETA RELATIVE A GENERATORI, INSIEI LIBERI, BASI Si :V W u ppliczioe liere tr due spzi vettorili V, W (su u cmpo K). TEOREA 1) Se v 1, v 2,, v r geero V llor (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) geero (V) ( geertori di V corrispodoo geertori di (V)): V = L(v 1, v 2,, v r ) (V) = L((v 1 ), (v 2 ),, (v r )); 2) Se (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) soo liermete idipedeti llor v 1, v 2,, v r soo liermete idipedeti (vettori idipedeti di W provegoo d vettori idipedeti di V) ((A NON E DETTO CHE A VETTORI INDIPENDENTI CORRISPONDANO VETTORI INDIPENDENTI)). DIOSTRAZIONE 1) Suppoimo che v 1, v 2,, v r sio dei geertori di V: duque ogi vettore v V è combizioe liere di v 1, v 2,, v r. Dobbimo dimostrre che (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) geero (V): duque ogi vettore dell immgie è combizioe liere di (v 1 ), (v 2 ),, (v r ). Si, quidi, w (V) v V: (v) = w : v V v = 1 v v r v r Duque (v) = ( 1 v v r v r ) w = 1 (v 1 ) + 2 (v 2 ) + + r (v r ) 2) Suppoimo (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) liermete idipedeti. Dobbimo dimostrre che v 1, v 2,, v r soo liermete idipedeti. Cosiderimo l equzioe: x 1 v 1 + x 2 v 2 + +x r v r = 0 V e vedimo per quli vlori degli sclri x 1, x 2,, x r ess è veriict. Si h: x 1 v 1 + x 2 v x r v r = 0 V (x 1 v 1 + x 2 v x r v r ) = (0 V ) = 0 W x 1 (v 1 )+x 2 (v 2 )+ +x r (v r ) = 0 W D quest, essedo (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) liermete idipedeti, segue x 1 = 0, x 2 = 0,, x r = 0. Se l è iiettiv le impliczioi del teorem precedete si possoo ivertire: TEOREA Si :V W iiettiv. Si h: 1) Se (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) soo geertori di (V) llor v 1, v 2,, v r soo geertori di V; 2) Se v 1, v 2,, v r soo liermete idipedeti llor (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) soo ch essi liermete idipedeti. DIOSTRAZIONE 1) Suppoimo che (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) geero (V), dobbimo dimostrre che V=L(v 1,v 2,, v r ), ossi che ogi vettore di V è combizioe liere di v 1, v 2,, v r. Si v V. Cosiderimo (v). Si h: (v) = 1 (v 1 ) + 2 (v 2 ) + + r (v r ) (v) = ( 1 v v r v r ) (per l iiettività dell ) (1) v = 1 v v r v r. (1) Se iiettiv: (v 1 ) = (v 2 ) v 1 = v 2

4 2) Cosiderimo l equzioe: x 1 (v 1 )+x 2 (v 2 )+ +x r (v r ) = 0 W e vedimo per quli vlori degli sclri ess è veriict. Si h: x 1 (v 1 )+x 2 (v 2 )+ +x r (v r ) = 0 W (x 1 v 1 +x 2 v 2 + +x r v r ) = 0 W (per l iiettività dell ) x 1 v 1 +x 2 v 2 + +x r v r =0 V (essedo v1, v2,, vr li. id.) x 1 = 0, x 2 = 0,, x r = 0. Abbimo, duque, l seguete situzioe: Si :V W u ppliczioe liere v 1, v 2,, v r soo geertori di V (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) soo geertori di (V) se è iiettiv (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) soo v 1, v 2,, v r soo liermete idipedeti liermete idipedeti Si h, quidi, il seguete teorem: se è iiettiv TEOREA Si :V W iiettiv. Allor: 1) {v 1, v 2,, v r } è u bse di V se e solo se (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) è u bse di (V) = Im ; 2) dim V = dim Im. DIOSTRAZIONE L 1) segue di teoremi precedeti. L 2) segue dll 1). Più i prticolre: TEOREA Si :V W u isomorismo llor: 1) (v 1, v 2,, v r ) è u bse di V se e solo se (v 1 ), (v 2 ),, (v r ) è u bse bse di W; 2) dim V = dim W. 4. RELAZIONE TRA dim V, dim Ker, dim Im Si :V W u ppliczioe liere tr due spzi vettorili V, W (su u cmpo K). TEOREA Si V iitmete geerto. Allor: dim V = dim Ker + dim Im

5 5. ISOORFISO TRA GLI SPAZI V DI DIENSIONE E K TEOREA Si V u spzio vettorile di dimesioe. Esiste, llor, u isomorismo r V e K Se v V è u quluque vettore di V e B = { v 1, v 2,, v } u bse di V, llor v = 1 v v v e tle modo di scomporre v, come combizioe liere di v 1, v 2,, v, è uico. Cosider l ppliczioe ϕ : V K tle che v V è ϕ(v) = ( 1, 2,, ), si dimostr che tle ppliczioe ϕ è liere e biuivoc, pertto è u isomorismo. 6. APPLICAZIONI LINEARI E ATRICI Si :V W u ppliczioe liere tr due spzi vettorili V, W (su u cmpo K), co dim V = e dim W = m. Si B = { v 1, v 2,, v } u bse di V, C = { w 1, w 2,, w m } u bse di W. E possibile deiire u mtrice m, ssocit ll ppliczioe, rispetto lle bsi B, C, el modo seguete: per ogi vettore v i B, determiimo il corrispodete (v i ) W. Essedo C u bse di W, oguo di questi vettori si può scrivere come combizioe liere di w 1, w 2,, w m. Si h, quidi: v 1 (v 1 ) = 11 w w m1 w m = ( 11, 21,, m1 ) v 2 (v 2 ) = 12 w w m2 w m = ( 12, 22,, m2 ) v (v ) = 1 w w m w m = ( 1, 2,, m ) L mtrice: B,C 11 m1 12 m2 1 = K m, m si dice mtrice ssocit ll ppliczioe rispetto lle bsi B,C. Osservimo che l prim colo dell mtrice è ormt dlle compoeti del vettore (v 1 ) rispetto ll bse C, l secod colo è ormt dlle compoeti del vettore (v 2 ) rispetto ll bse C,, l ultim colo è ormt dlle compoeti del vettore (v ) rispetto ll bse C. Si u mtrice m. Sio V e W due spzi vettorili di dimesioe rispettivmete, ed m. Sio, iie, B, C due bsi, l u di V, l ltr di W. E possibile ssocire d u ppliczioe liere : V W, che si dirà ssocit d rispetto lle bsi B, C, el seguete modo: si v V e sio x 1, x 2,, x le compoeti di v rispetto B; cioè: v = x 1 v 1 + x 2 v x v (x 1, x 2,, x ) B.

6 Il vettore (v) è quel vettore di W le cui compoeti (y 1, y 2,, y m ) C soo determite el modo seguete: y 1 = 11 x x x y 2 = 21 x x x y m = m1 x 1 + m2 x m x essedo = m m2 1 2 m Duque, v (x 1, x 2,, x ) B (y 1, y 2,, y m ) C dove y 1, y 2,, y m soo determite i modo che m m2 L ppliczioe così deiit si idic co 1 2 m B,C. x x x 1 2 = y y y APPLICAZIONI LINEARI EDIANTE LE IAGINI DEI VETTORI DI UNA BASE Si B = (v 1, v 2,, v ) u bse di V. Suppoimo sio ssegti, secodo u cert legge, i vettori (v 1 ), (v 2 ),, (v ). I tl cso è deiit u ppliczioe liere g : V W, estesioe dell tutto V. TEOREA Se B = { v 1, v 2,, v } è u bse di V e w 1, w 2,, w soo vettori di W, l ppliczioe : B W tle che (v 1 ) = w 1, (v 2 ) = w 2,, (v ) = w deiisce, i modo uico, u ppliczioe liere di V i W DIOSTRAZIONE Si v V, co v = x 1 v 1 + x 2 v x v. Si può deiire: (v) = (x 1 v 1 + x 2 v x v ) = x 1 (v 1 ) + x 2 (v 2 ) + + x (v ). Si veriic cilmete che tle ppliczioe di V i W è liere ed è uic perché è l scomposizioe di v come combizioe liere di v 1, v 2,, v. 8. STUDIO DI Ker E Im Si :V W u ppliczioe liere. Per deiizioe Ker = {v V : (v) = 0 W }. Se B è u bse di V, C u bse di W, B, C l mtrice ssocit ll ppliczioe, rispetto B,C, posto X = (x 1, x 2,, x ) B llor Ker è l isieme dei vettori X tli che (X) = 0 W, ossi (x 1, x 2,, x ) B = (0, 0,, 0).

7 I modo equivlete, Ker è l isieme dei vettori X tli che B, C * X = 0 ossi le cui compoeti rispetto B soo soluzioi del sistem omogeeo ssocito lle mtrice B, C. Ricordimo, ioltre, che dimv = dim Ker + dim Im. Duque: dim Ker = dim V r essedo r il rgo (2) dell mtrice ssocit ll ppliczioe, rispetto B, C. 9. ENDOORFISO U ppliczioe liere di V i se stesso ( : V V ) si dice edomorismo. Si :V V u edomorismo ello spzio vettorile V su u cmpo K, diremo che λ K è u utovlore di se veriic quest proprietà: v V, v 0 V : (v) = λv, v si dice utovettore di ssocito ll utovlore λ. de Allor: v utovettore di ssocito ll utovlore λ (v) = λv λ (v) = (v) λv = 0 l isieme degli utovettori ssociti λ è il ucleo di λ deiito d λ (v) = (v) λv per cui è u sottospzio di V, chimto utospzio di ssocito ll utovlore λ e si deot co V λ V λ = Ker λ. 10. ENDOORFISO SEPLICE Si :V V u edomorismo deiito su V e si, ioltre, dim V =. Si dice che è u edomorismo semplice se mmette u bse di utovettori: semplice (o digolizzbile) de B = { v 1, v 2,, v } di utovettori, bse di V. Si dimostr che utovettori o ulli ssociti d utovlori distiti soo liermete idipedeti; d cui segue che, se il poliomio crtteristico (3) h rdici distite i K, esiste u bse di V ormt d utovettori di ed, i tl cso, si dice che è semplice. Si V = K e λ, utovlore di, si u rdice di molteplicità r del poliomio crtteristico di. Sppimo che dim V λ = ρ(() λi). Si dimostr che 1 dim V λ r. TEOREA U edomorismo :V V è semplice se e solo se esiste u bse B di V tle che B, B è digole. (2) Dt u mtrice A( m), il umero r, 0 r mi(,m), si dice rgo di A se esiste lmeo u miore di ordie r o ullo, e se tutti i miori di ordie mggiore di r soo ulli. (3) Si chim poliomio crtteristico il determite dell mtrice () λi

8 DIOSTRAZIONE Se è semplice, llor esiste u bse B = { v 1, v 2,, v } di V di utovettori. Duque: (v 1 ) = λ 1 v 1 λ 1 v 1 = λ 1 v v v (λ 1, 0,, 0) E (v 2 ) = λ 2 v 2 λ 2 v 2 = 0 v 1 + λ 2 v v (0, λ 2, 0,, 0) E (v ) = λ v λ v = 0 v v λ v (0, 0,, λ ) E (dove λ 1, λ 2,, λ o soo tutti ecessrimete distiti), λ 0 0 llor B,B gli utovlori dell ) 1 = 0 λ2 0 è u mtrice digole (e sull digole ppioo 0 0 λ Si :V V e si B = { v 1, v 2,, v } u bse di V tle che B, B è digole, λ 0 0 cioè: B,B 1 = 0 λ λ Per deiizioe: (v 1 ) = λ 1 v v v = λ 1 v 1 (v 2 ) = 0 v 1 + λ 2 v v = λ 2 v 2 (v ) = 0 v v λ v = λ v llor v 1, v 2,, v soo tutti utovettori è semplice. Ricordimo che u mtrice qudrt K, si dice digolizzbile se è simile d u mtrice digole. I ltre prole: è digolizzbile de P K,, P ivertibile: P -1 P = D (mtrice digole). TEOREA Si A = K, e si : K K l edomorismo ssocito d A. llor si h: A è digolizzbile se e solo se è semplice. DIOSTRAZIONE Itti: se è semplice si {v 1, v 2, v } u bse di K ormt d utovettori di e si P l mtrice vete per coloe v 1, v 2, v (P è ivertibile) llor D = P -1 AP è digole e gli elemeti di D soo gli utovlori di, ripetuti ciscuo co l su molteplicità (PD = AP). Vicevers se A è digole è ovvio che è semplice.

9 TEOREA è semplice teor 1) tutte le rdici del poliomio crtteristico di soo i K; 2) dim V λ = r λ (l molteplicità di λ) (ovvero, ρ(a λi) = r λ ). DIOSTRAZIONE Bst predere come bse ormt d utovettori l isieme F uioe delle bsi di ciscu utospzio E, F è u mtrice digole, cioè: λ1 0 0 co λ 1 ripetuto r 1 volte λ 2 ripetuto r 2 volte 0 λ2 0 λ m ripetuto r m volte ed r 1 + r r m = 0 0 λm Si V u K-spzio vettorile e : V V u edomorismo de λ K, λ u utovlore di v V, v 0 V : (v) = λv λ utovlore 11x x = λx1 h soluzioi o ulle; 1x1 + + x = λx ossi, se e solo se il determite del sistem liere omogeeo (11 - λ)x x = 0 1x1 + + ( - λ)x = 0 è ullo λ utovlore di λ è rdice dell equzioe i T: T T 2 A TI = = 0 dove A = (); T tle determite si chim poliomio crtteristico di A o di (4) ed è di grdo. Per cui, gli utovlori di soo le rdici del poliomio crtteristico di che pprtegoo K. (4) Sio A e B le mtrici ssocite rispetto lle bsi F ed H rispettivmete. Si dimostr che A e B ho lo stesso poliomio crtteristico.