se ne costruisca un altra s 1 L operazione che fa passare dalla prima successione alla seconda è detta serie e si indica con il
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- Faustina Puglisi
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1 07 SERIE NUMERICHE Dt l succssio,,...,,... s costruisc u ltr s, s,..., s,... tl ch: s... s... s... L oprzio ch f pssr dll prim succssio ll scod è dtt sri si idic co il simbolo k. k Gli k si dicoo trmii dll sri, mtr gli s si chimo somm przili -sim dll sri. Studir u sri quivl studir l succssio s. I prticolr si h: lim s s l sri si dic covrgt d s è dtt somm dll sri l sri si dic divrgt positivmt l sri si dic divrgt gtivmt l sri si dic o rgolr o idtrmit L ssr covrgt, divrgt, o rgolr si dic crttr dll sri. OSSERVAZIONE Il crttr di u sri o cmbi s modifico u umro fiito di trmii. ESEMPI. Dt l sri co pr ogi turl, si h: s s s3 3 3 s volt Sgu ch lim s, pr cui l sri positivmt.. Dt l sri, si h: co pr ogi turl è divrgt
2 Robrto Mi s s 0 s3 3 s s quidi o sist il lim s, prché si trovo du sottosuccssioi strtt d lim 0 k sk k k lim 3. Dt l sri, si h: s s. Sgu ch l sri s s3 3 3 s o è rgolr. s tli ch (somm di trmii i progrssio ritmtic) Sgu ch lim s, pr cui l sri è divrgt positivmt. SERIE TELESCOPICHE U sri b b b b 3 b b b b S si dic tlscopic s risult: è u sri tlscopic si h: s... b b b b b b... b b b b Pr cui lim s lim b b b lim b Sri umrich 5
3 Robrto Mi Quidi s l succssio b. covrg b, l sri. divrg, l sri 3. o è rgolr, l sri h com somm divrg o è rgolr. s b b ESERCIZIO Studi il crttr dll sri (dtt sri di Mgoli) SERIE GEOMETRICHE U sri dl tipo. si h., si h si dic sri gomtric di rgio. Studimo il crttr. S... quidi l sri divrg 3 s... quidi: s, quidi l sri covrg pr lim s s, quidi l sri divrg positivmt pr s, quidi l sri o è rgolr pr ESEMPIO , 3 0,3 0,03 0, Eucimo, sz dimostrrl, l sguti proposizioi: CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY è covrgt p 0 ' p p : s s... Sri umrich 53
4 Robrto Mi CONDIZIONE NECESSARIA PER LE SERIE CONVERGENTI è covrgt lim 0 Sgu ch lim 0 o è covrgt, ossi o è divrgt o o è rgolr LA SERIE ARMONICA E LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA. L sri è dtt sri rmoic. Applicdo il critrio di Cuchy, si può dimostrr ch ss è divrgt, pur tddo zro il limit dl suo trmi grl. Iftti, prso p, il critrio di Cuchy o è soddisftto risultdo: s p s... p L sri è dtt sri rmoic grlizzt. Si può dimostrr ch s p p covrg, mtr s p l sri divrg. l sri SERIE RESTO E RESTO -SIMO DI UNA SERIE Dt l sri sri p p, cosidrimo l sri ottut d ss trscurdo i primi trmii, cioè l. Qust uov sri è dtt sri rsto dll sri dt. Ossrvimo ch l du sri ho lo stsso crttr, prché diffriscoo pr u umro fiito di trmii. I prticolr, s l sri dt è covrgt, llor ch l sri rsto srà covrgt l su somm prd il om di rsto -simo dll sri. OSSERVAZIONI. S. S 3. S b b si h soo sri covrgti c, llor soo covrgti l sri c c b b è u sri divrgt c 0 è u sri idtrmit c 0, llor è divrgt l sri c, llor è idtrmit l sri c c Sri umrich 54
5 Robrto Mi 4. S 5. S è covrgt è covrgt b è divrgt, llor l sri b b è idtrmit, llor l sri b è divrgt è idtrmit 6. L sri somm di du sri trmb divrgti o trmb idtrmit può ssr covrgt o divrgt o idtrmit. ESEMPIO Sio dt l sri idtrmit l loro somm è l sri b... b... ; ch è covrgt. SERIE A TERMINI POSITIVI U sri si dic trmii positivi s 0 pr ogi turl. U sri trmii positivi o covrg o divrg positivmt (ciò dipd dl ftto ch l succssio dll somm przili è mooto crsct quidi h limit dto dl suo strmo suprior). CRITERI DI CONVERGENZA E DIVERGENZA PER SERIE A TERMINI POSITIVI Sio b du sri trmii positivi. ) S b dfiitivmt b covrgt covrgt divrgt b divrgt b) S sistoo du umri rli positivi h k tli ch h k dfiitivmt, llor b b soo trmb covrgti o trmb divrgti. c) S lim l 0 b llor b soo trmb covrgti o trmb divrgti Sri umrich 55
6 Robrto Mi d) S lim 0 b b covrgt covrgt divrgt b divrgt ) S lim b covrgt b covrgt b divrgt divrgt f) Critrio dll ordi di ifiitsimo Dt l sri s trmii positivi, s è ifiitsimo l sri covrg s lim l 0 l sri divrg s s lim 0 l sri covrg s s lim l sri divrg s g) Critrio dl rpporto Dt l sri h) Critrio dll rdic Dt l sri trmii positivi, s lim trmii positivi, s lim l l sri covrg l l l sri divrg l ull si può dir l l sri covrg l l l sri divrg l ull si può dir ESEMPI ) Studi il crttr dll sri si Sri umrich 56
7 Robrto Mi Risult si pr ogi turl, quidi l sri dt è miort dll sri covrgt (sri rmoic grlizzt co p ) prtto covrg ch ss. ) Studi il crttr dll sri Risult lim lim lim 3 covrg. 3) Studi il crttr dll sri Risult lim lim lim ch è, quidi l sri dt, quidi l sri dt divrg. 4) Vrific ch il critrio dl rpporto o può forir iformzioi circ il crttr dll sri. 5) Studi il crttr dll sri Applicdo il critrio dl rpporto si h: covrg pr ogi rl positivo., co 0! lim lim lim 0, quidi l sri!! 6) Studi il crttr dll sri, co 0, procddo com ll smpio 5. Voldo, ivc, pplicr il critrio dll rdic, si h: s 0 l sri covrg s l sri divrg lim lim lim lim s ull si può dir co il critrio, m, i qusto cso, si otti l sri rmoic grlizzt co p ch covrg 7) Studi il crttr dll sri pplicdo o il critrio dl rpporto o qullo dll rdic. Sri umrich 57
8 Robrto Mi SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO U sri ( ), co 0 pr ogi turl, si dic sgi ltri o trmii ltrti. Pr l sri trmii ltrti vl il sgut critrio di covrgz: CRITERIO DI LEIBNIZ Si ( ) u sri trmii ltrti. ) è dcrsct ( ) è covrgt ) lim 0 ESEMPIO L sri ( ), dtt sri rmoic sgi ltri, è covrgt pr il prcdt critrio. Iftti: ) ) lim lim 0 OSSERVAZIONE S ( ) è u sri trmii ltrti covrgt, si può dimostrr ch s s, ch forisc u stim dll rror ch si commtt prddo com vlor pprossimto di s l somm -sim s. ESEMPIO Dt l sri ( ), dopo vr vrificto ch ss covrg pr il critrio di Libiz, clcol! l rror δ ch si commtt s si sostituisc ll somm s l somm przil s 0. Risult: ) ) lim lim 0! Pr cui l sri ( ) covrg.! Pr quto rigurd l rror si h s s! Sri umrich 58
9 Robrto Mi ASSOLUTA CONVERGENZA E SEMPLICE CONVERGENZA U sri si dic ssolutmt covrgt s è covrgt l sri è covrgt, mtr divrg l sri covrgt. Sussist il sgut TEOREMA ssolutmt covrgt covrgt, llor l sri. S, ivc, si dic smplicmt Il vicvrs di qust proposizio o vl. Iftti l sri rmoic sgi ltri covrgt, m o ssolutmt covrgt (è quidi smplicmt covrgt). ( ) è ULTERIORI SERIE A TERMINI POSITIVI Sio b du umri rli P() Q() du poliomi. Voglimo studir il crttr dll sri trmii positivi P( ). Q( ) b. Suppodo 0, b 0, distiguimo divrsi csi:. P( ) 0, Q( ) 0 b P( ) P( ) Q( ) Q( ) Q( ) P( ) ch covrg s solo s Q( ) P( ) b. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) P( ) P( ) Q( ) ch divrg b b c. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) b ch covrg s solo s Q( ) Q( ) Q( ) Q( ) Sri umrich 59
10 Robrto Mi d. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) ch divrg b b Q( ). Suppodo 0, b 0, distiguimo divrsi csi:. P( ) 0, Q( ) 0 b P( ) P( ) Q( ) Q( ) Q( ) P( ) ch covrg s solo s Q( ) P( ) b. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) P( ) P( ) Q( ) ch divrg b b c. P( ) 0, Q( ) 0 b P( ) P( ) Q( ) Q( ) Q( ) P( ) ch covrg s solo s Q( ) P( ) d. P( ) 0, Q( ) 0 b b P( ) P( ) ch covrg s solo s P( ) Q( ) P( ) 3. Suppodo 0, b 0, distiguimo divrsi csi:. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) P( ) Q( ) Q( ) Q( ) P( ) ch covrg s solo s Q( ) P( ) b. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) P( ) Q( ) Q( ) ch divrg, ssdo P( ) Q( ) 0 Sri umrich 60
11 Robrto Mi c. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) ch covrg s solo s Q( ) Q( ) Q( ) Q( ) d. P( ) 0, Q( ) 0 P( ) Q( ) Q( ) Q( ) ch divrg, ssdo Q( ) 0 4. Suppodo 0, b 0, si h: P( ) ch covrg s solo s Q( ) P( ) Q( ) Q( ) P( ) Sri umrich 6
Successioni numeriche
08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es. 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl
dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone
![dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone](/thumbs/88/116569794.jpg "dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone")
INTEGRALI IMPROPRI L tori dll'itgrzio di u fuzio f cotiu i u itrvllo ciuso itto [ ] si può stdr sostitudo l'ipotsi di cotiuità i [ ] dll fuzio f co qull dll ittzz I tl cso si ffrot il prolm dll'itgrzio
x ; sin x log 1 x ; 4 0 0,0.
.. Pr quli vlori dl prmtro l sri S (i uzio dl prmtro ). q ch covrg s solo s q. q Ricordimo ch pr q è q q q q q h soluzio pr tli vlori l sri covrg S E' u sri gomtric di rgio covrg? Pr tli vlori sprimi l
Serie. 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: e n n + e n. n 3 n2 n e n 2 sin 1 n n log n. e 1 n. ( 2 + sin n 4. n + 1. sin(sin 1 n ) 10) 11)
Sri. Studiar il carattr dll sguti sri: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) =4 + ( ) 3 si log ( + si 4 + log λ, λ > 0 si(si )! ( si λ, λ R cos(π) . Stabilir pr quali valori dl paramtro ral λ covrg la sri
1 Studio di funzioni, sviluppi di Taylor e serie
Studio di fuzioi, sviluppi di Taylor sri. Esrcizi. Sia fx = x +. Dtrmiar l isim di dfiizio. Studiar il sgo. Calcolar i iti agli strmi dll isim di dfiizio. Dir s ci soo asitoti. Dtrmiar l isim di cotiuità
Serie Numeriche e Convergenza Puntuale di Serie di Funzioni
Sri umrich sri di fuzioi Sri Numrich Covrgza Putual di Sri di Fuzioi Suto- Il lavoro coti la risoluzio di alcui srcizi sullo studio dl carattr di sri umrich sulla covrgza putual di sri di fuzioi. Gli srcizi
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI. a n := 2n + 3 3n 7. n n cos 2 n + 2. (3) Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI VALENTINA CASARINO Esrcizi pr il corso di Aalisi Matmatica, Iggria Gstioal, dll Iovazio dl Prodotto, Mccaica Mccatroica, Uivrsità dgli studi di Padova) ) Vrificar, attravrso
FUNZIONI REALI TRASCENDENTI FRT. 1. Potenza a esponente reale
FRT FUNZIONI REALI TRASCENDENTI Potz spot rl Sppimo ch l fuzio rdic qudrt di è l'ivrs dll rstrizio dll fuzio ll'itrvllo [ 0 + [ mt l fuzio rdic cubic di è l'ivrs dll fuzio I modo o possimo iir l fuzio
I LIMITI DI FUNZIONI - CALCOLO
Autor: Erico Mfucci - // I LIMITI DI FUNZIONI - CALCOLO Dopo vr studito l tori di iti, dobbimo dsso vdr com si clcolo. Storicmt il clcolo di iti vi smplificto d u procsso ch prd il om di ritmtizzzio dll
( a) 1 a + Es. Data la funzione:
Es. Dt l uzio: ' ' ( Esrcizi Complmtri. A( ( b. Dtrmir pr quli vlori di b l uzio mmtt u puto di mssimo d u puto di miimo pr quli vlori l uzio o mmtt tli puti.. Dtrmir i vlori di b i modo ch l uzio prsti
Università di Camerino Corso di Laurea Fisica Indirizzo Tecnologie per l Innovazione Appunti di Calcolo Prof. Angelo Angeletti
Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti Formula di Taylor Si ricordrà ch l quazio dlla tagt ad ua curva di quazio y f() i u puto è data
1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi Soluzioni 1. arctan(n), n N
- Estrmo suprior d strmo ifrior di isimi Soluzioi Dato l isim A = { 7 arcta, N calcolar strmo suprior d strmo ifrior, spcificado s siao rispttivamt massimo miimo. Studiamo sparatamt pr pari d dispari.
SUCCESSIONI IN R esercizi. R. Argiolas. lim = n
SUCCESSIONI IN R srcizi R. Argiols L? Qust piccol rccolt di srcizi sull succssioi l cmpo di rli è rivolt tutti gli studti dl corso di lisi mtmtic I, m è prcisr fi d or ch possdr svolgr gli srcizi di qust
Rap a p p o p r o to o I n I c n r c em e e m n e t n al a e Def. rapporto incrementale nel punto x incremento h Nota:
Rpporto Icrmtl α Δ Δy y m tα y. Il rpporto icrmtl dll uzio l puto rltivo d u icrmto è il coicit olr dll sct l rico dll uzio i puti di sciss d Not: Nll smpio rico è riportto > m, i rl, può ssr c tivo. rivt
Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 4
Corso di laura i Fisica - Ao Accadmico 07/08 Aalisi Matmatica I Soluzioi dl tutorato 4 A cura di David Macra Esrcizio ( i) Domiio di dfiizio: La fuzio o è dfiita s è tal ch l argomto sotto radic sia gativo,
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE-SOLUZIONI
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE-SOLUZIONI Esrcizio ( (i + + + Razioalizziamo: ( + + + ( + + + + ( + + + + [ ( ( ] ( + ( + + + + + + + [ ( + [( + ] ( ] + ( + ( + + + + ( + [( + ] ( + + + ( + ( + Dividiamo
( ) ε > 0, δ 0. +, con 1. ) si può centrare in c prendendo δ = min { δ1, , δ > 0. I c. c R un punto di I e f una funzione definita in \{ }
Alcu cosidrazioi sulla dfiizio di limit Alcu cosidrazioi sui limiti di fuzioi Itori di u puto U itoro (complto) di u puto è u qualsiasi itrvallo aprto cui il puto apparti Esmpi: (,3) è u itoro di [,3)
ln( t + ) dt, calcolare i punti critici di F(x) e
Prova scritta di Aalisi Matmatica I (VO) or 6/0/0 ) Dfiizio di fuzio cotiua i u puto classificazio di puti di discotiuità Utilizzado la dfiizio dir pr quali valori di k è cotiua i =0 la sgut fuzio l 0
Esercizi per il corso Matematica clea
Esrcizi pr il corso Matmatica cla Dail Ritlli ao accadmico 008/009 Lzio : Succssioi Sri gomtrica Esrcizi svolti. Provar ch: + ) /. Provar ch: + ) + ) 0. Provar ch: + 4. Provar ch 5. Provar ch + ) + ) 4
LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
Limiti di successioni - svolgimenti
Limiti di succssioi - svolgimti Scrivrmo a b quado a b =. Calcoliamo qusto it, raccoglido il fattor al umrator al domiator. Si ha 2 + 2 4 = + 2 2 3! 4 3!. Iazitutto, ricordiamo ch Ioltr, si ha utilizzado
03 FUNZIONI ELEMENTARI
03 FUNZIONI ELEMENTARI I qusto paragrafo dfiiamo l più usuali fuzioi di ua variabil, a partir dall quali, co l oprazioi algbrich la composizio di fuzioi, si ottrrao la maggior part dgli smpi ch icotrrmo.
g ( x )dx e se ne dia l interpretazione geometrica.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sssio Ordiaria 9 PIANO NAZIONALE INFORMATICA Problma Sia f la fuzio dfiita da Dov è u itro positivo....!! I. Si vrifichi ch la drivata di è:!. Si dica s la fuzio f ammtt
, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +...
. serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)
APPUNTI DI FISICA. Gli errori
APPUNTI DI FISICA Gli rrori Abbiamo misurato la larghzza dllo stsso baco più prso d ogua più volt. Dall' sprimto ffttuato abbiamo costatato ch l misur ottut soo diffrti, ciò ci fa comprdr ch o riuscirmo
x x e o 1 < x < e 3 ; log x DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 21 + ; 2) ; 8) 9 ) 3logx - < 5 ; DISEQUAZIONI IRRAZIONALI:
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE ) 5 5 < ) > (8) (6) ) log( ) log( 6) 5. 5) < log ( ) 6) log < 7) < 8) 7 7 < 7 9 ) log - < 5 log RISULTATI: ) > - / ) < - o > ) / < o 5 5) / 6) < - o > 7)
&1 Generalità Def. 1.1 Se V e V sono due spazi vettoriali su K, dicesi applicazione lineare di V in V' ogni applicazione. f : V V
CAP 4 - APPLICAZIONI LINEARI & Grlità D S V V soo d spi ttorili s K dicsi pplicio lir di V i V ogi pplicio : V V ch riic l sgti codiioi: V : h K V : h h Si dic i tl cso ch è comptibil co l oprioi di somm
punto di accumulazione per X. Valgono le seguenti
4 I LIMITI Si f : X R R u fuzioe rele di vribile rele. Si puto di ccumulzioe per X. Vlgoo le segueti DEFINIZIONI ( ε ( ε ε ( ε ε. ( ε { } lim f( = l R : > I I ' X I : f( l I I ' X
Chimica fisica superiore. Modulo 1. Recupero di matematica. Sergio Brutti
Chimi fisi suprior Modulo Rupro di mtmti Srgio Brutti Numri omplssi U umro omplsso è u sprssio mtmti ostituit d 3 lmti ( umri rli, l uità immgiri i: i i dfiiio R Im Dti du umri omplssi: Algr di s i id
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ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA Euciar dimostrar il torma di Lagrag Dir s è f ( ) applicabil alla fuzio ( ) ll itrvallo [,] motivado la risposta Euciar
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ANALISI DI FOURIER. Segnali Tempo Discreti:
AALISI DI FOURIER Sgali Tmpo Discrti: - Trasformata Discrta di Fourir -Squza priodica - Taratura dgli assi frquziali - TDF di ua squza fiita - Campioamto i Frquza - Algoritmi fft: srcitazioi Matlab -Zro
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04//205 Clcolo itegrle per fuzioi di u vriile Clcolo itegrle Itegrle defiito Si f:[,] R, limitt ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 0 = 2 3 4 5 = Costruimo l somm di Cuchy-Riem S f f Dove l suddivisioe dell itervllo [,]
Es. Data la funzione:
Es. D l uzio: Esrcizi Complmri. A b. Drmir pr quli vlori di b l uzio mm u puo di mssimo d u puo di miimo pr quli vlori l uzio o mm li pui.. Drmir i vlori di b i modo ch l uzio prsi u mssimo rlivo co ordi
APPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte
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c) Calcolare la probabilità P{N 120 = 36, N 180 = 48} = b) Calcolare la probabilità condizionata P{M 120 = 6 N 120 = 36} =
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(labeling) si ottiene così l insieme a n ordinato (codominio della funzione f ) : Primo termine. Termine Generale
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Funzione esponenziale e logaritmo. Proprietà di esponenziale e logaritmo.
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