Nome Cognome classe 5D 16 Dicembre VERIFICA di MATEMATICA PROBLEMA

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1 Nom Cognom cls D 6 Dicmr 8 VERIFICA di MATEMATICA PROBLEMA Considr l unzion, studin l ndmnto trccin il grico proil punti: Di l dinizion di unzion inittiv Sull dl grico proil ch hi trccito, l unzion è inittiv? punti Dtt r d s l rtt tngnti l grico dll unzion rispttivmnt ni punti A;- B; dtto P il loro punto di intrzion, dtrmin l r dl tringolo APB punti: c dl grico dll unzion dduci, nz rn lo studio, qullo di g punti: QUESITI Scgli risolvi tr i gunti qusiti ciscuno punti: Dtrmin i vlori di prmtri inché risulti : Dtrmin i vlori di prmtri inché l unzion continu in R Pr i vlori trovti, trcci il grico dll unzion sin <, si ln Di l dinizion di drivt di un unzion spciicn il signiicto gomtrico Dt l unzion ln dtrmin i punti in cui l rtt d ss tngnt orm un ngolo di con il mis positivo dll Di l dinizion di unzion continu in un punto o, quindi considr l unzion ln d indic è continu in o ; in cso contrrio spciic il tipo di sin < discontinuità Dt l micirconrnz di dimtro AB r cntro O, considr sull rtt d ss tngnt in A, un punto C si D l intrzion di OC con l micirconrnz stss Posto DAˆ O trov l sprssion dl rpporto r l r di tringoli OAC ADC Clcol il it di tl sprssion pr ch corrispond gomtricmnt D A 6 Pr ciscun dll gunti richist scrivi un unzion ch l soddisi: unzion con sintoto oliquo con coicint ngolr m sintoto vrticl di quzion unzion con discontinuità di spci in k, k Z c unzion ch si un ininito dl primo ordin pr, m ch non mmtt sintoto oliquo

2 Soluzioni vriic dicmr Prolm: Considr l unzion, studin l ndmnto trccin il grico proil Dominio l condizion di sistnz è ch il dnomintor si divrso d ± -,6,6, il dominio è dunqu l insim: ; ; ; D Studio dl gno intrzioni con gli ssi: < Intrzion con l s dll ordint: Limiti gli strmi dl dominio d vntuli sintoti: ± prché ± quindi è un sintoto orizzontl ± prché sono i vlori ch nnullno il dnomintor, m non il numrtor Pr stilir il gno dll ininito si srutt lo studio dl gno già tto Quindi ± sono du sintoti vrticli

3 Di l dinizion di unzion inittiv Sull dl grico proil ch hi trccito, l unzion è inittiv? Un unzion si dic inittiv ogni vlor di Codo min io mmtt l mssimo un controimmgin, cioè vlori distinti di corrispondono vlori distinti di L unzion trccit non è inittiv Dtt r d s l rtt tngnti l grico dll unzion rispttivmnt ni punti A;- B; dtto P il loro punto di intrzion, dtrmin l r dl tringolo APB Pr dtrminr l quzion dll rtt tngnt d un unzion in un suo punto si srutt l drivt prim ch rpprnt il coicint ngolr di tl rtt L unzion è rtt quindi si utilizz l rgol di 6 drivzion di un quozint: ' Si h quindi ch r è l rtt pssnt pr A;- con coicint ngolr m, quindi - mntr s è l rtt pssnt pr B; con coicint ngolr m, quindi - Il loro punto di intrzion è P,-, quindi il tringolo srà dgnr dunqu di r null c dl grico dll unzion dduci, nz rn lo studio, qullo di g Il grico richisto è qullo di g, quindi si ottin prndndo tutti i punti dl grico di con sciss positiv più i corrispondnti simmtrici risptto ll s dll ordint Qusito : dtrmin i vlori di prmtri inché risulti :

4 Osrvimo ch si può scrivr, inché il it vng è quindi ncssrio ch Con, non si può più usr l sintotico pr il clcolo dl it, prché si scrivr sintotico, occorr quindi rzionlizzr: Ainché l ultim sprssion tnd qundo è ncssrio ch il coicint dll numrtor si nullo, cioè Altro modo di giungr ll stss conclusion è qullo di trovr l sintoto oliquo dll unzion, ricordndo l dinizion di sintoto oliquo cioè ch mq è sintoto oliquo q m si vrà: m -q Qusito : dtrmin i vlori di prmtri inché l unzion < ln sin, si continu in R Pr i vlori trovti, trcci il grico dll unzion Ricordndo l dinizion di unzion continu in un punto, l condizioni d porr sono: ln sin, cioè ln quivlnt l sistm: ln ln ln ln, con tli vlori l unzion divnt: ln sin ln L unzion è dinit trtti, il grico corrispondnt ll ngtiv si ottin trslndo vrso l lto di ln il grico dll unzion no, mntr pr l positiv si dilt vrticlmnt di si trsl sinistr di il grico dll unzion ln

5 Qusito : di l dinizion di drivt di un unzion spciicn il signiicto gomtrico Dt l unzion ln dtrmin i punti in cui l rtt d ss tngnt orm un ngolo di con il mis positivo dll scis L unzion drivt di un unzion è il it dl rpporto incrmntl sist inito, cioè h h h ', tl it rpprnt il coicint ngolr dll rtt tngnt l grico dll unzion nl gnrico punto di sciss Utilizzndo l rgol di drivzion dl prodotto dll somm è possiil drivr l unzion dt: ln ln ' Ricordndo ch il coicint ngolr i un rtt è l tngnt goniomtric dll ngolo ch l rtt orm con il mis positivo dll scis, l richist dl prolm si può trdurr nll quzion: tn ln Qusito : di l dinizion di unzion continu in un punto o, quindi considr l unzion < sin ln d indic è continu in o ; in cso contrrio spciic il tipo di discontinuità Un unzion è continu in un punto Qusto signiic ch D dvono sistr initi, sr uguli tr loro l vlor ch l unzion ssum in Pr stilir è continu in, è ncssrio clcolr i iti dstro sinistro: m ln I F riscrivo quindi l unzion in modo d potr usr il it notvol: [ ] ln ln ln sin I F riscrivo quindi l unzion in modo d potr usr i iti notvoli: sin sin

6 Poiché i iti dstro sinistro sono initi, m divrsi si h un discontinuità di spci Qusito : dt l micirconrnz di dimtro AB r cntro O, considr sull rtt d ss tngnt in A, un punto C si D l intrzion di OC con l micirconrnz stss Posto DAˆ O trov l sprssion dl rpporto r l r di tringoli OAC ADC Clcol il it di tl sprssion pr ch corrispond gomtricmnt D A Limitzioni: l ngolo l cntro vri d qundo A,D, C coincidono qundo l rtt tngnt è prlll d OD, C di congunz < D Dll trigonomtri: / AO AC - r AOC AO r ADC AD AC sin AD sin A O B è quindi ncssrio dtrminr solo AD AD r cos ctto dl tringolo rttngolo ABD l unzion d dtrminr dll qul clcolr il it è quindi: AO AD sin cos sin Qusito 6: pr ciscun dll gunti richist scrivi un unzion ch l soddisi: unzion con sintoto oliquo con coicint ngolr m sintoto vrticl di quzion pr mpio unzion con discontinuità di spci in k, k Z pr mpio tn unzion tngnt diltt orizzontlmnt di c unzion ch si un ininito dl primo ordin pr, m ch non mmtt sintoto oliquo pr mpio cioè un ininito dl primo ordin più un ininito di ordin inrior Si osrv ch, quindi m m, quindi non c è sintoto oliquo