Rapporto Incrementale Def. rapporto incrementale nel punto x incremento h Nota:

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1 Rapporto Incrmntal + α Δ= Δ m tan +. Il rapporto incrmntal dlla unzion nl punto rlativo ad un incrmnto è il coicint anolar dlla scant al raico dlla unzion ni punti di ascissa d + Nota: Nll smpio raico è riportato > ma, in nral, può ssr anc nativo.

2 rivata. rivata dlla unzion in un punto intrno dll insim di dinizion è: : : : d d S sist FINITO. La unzion è dtta drivabil nl punto. Nl caso in cui il prdtto it sia ininito si dirà c la drivata è ininita in. Es. Calcolar la drivata di = in = d in un nrico punto.

3 rivata in un punto unzion drivata Pr la drivata in un punto si pnsa issato il punto p.s o, si costruisc il rapporto incrmntal si ttua l oprazion di it quando l incrmnto tnd a zro. Ossrviamo c il it è ttuato sull incrmnto non sul punto in cui calcoliamo la drivata, il qual riman isso non dipndnt dalla variabil su cui è ttuato il it. Il valor dl it quindi dlla drivata non dipnd, ovviamnt, né da com ciamiamo la variabil c rapprsnta l incrmnto o Δ né dipnd,com risultato,dall incrmnto il risultato dl it non contin cioè né né Δ. Possiamo allora crar una rlazion tra il punto prcdntmnt issato in cui calcoliamo la drivata dlla unzion d il valor stsso dl it cioè dlla drivata S indiciamo nricamnt tal punto con, avrmo la rlazion: Qusta rlazion è, in nral, una unzion a cui si da il nom di drivata prima dlla unzion si indica con. :

4 Siniicato Gomtrico + α Δ= Δ : La drivata dlla unzion nl punto rapprsnta il coicint anolar dlla rtta tannt al raico dlla unzion nl punto di ascissa. + Equazion rtta tannt al raico dlla unzion nl punto di ascissa. Fascio di rtt pr, m Si pon m 4

5 Siniicato Gomtrico Es. Scrivr l quazion dlla rtta tannt al raico dlla unzion = in = 5

6 Siniicato Gomtrico :iprbol Es. Mostrar c l ara dl trianolo ottnuto dalla rtta tannt ad una iprbol quilatra dai punti di intrszion dlla tannt con li assi cartsiani a smpr ara uual a. P, Q, Q P Nota: curva simmtrica risptto alla bisttric I-III 6

7 lo c a a rivat Funzioni Elmntari a a a ln a a lo a sn cos cos sn ln arcsn arccos arctan tan tan 7

8 8 Rol di rivazion SOMMA PROOTTO In particolar s =c c c Proprità di linarità dlla drivata NOTA. rivazion di polinomi: razi alla proprità di linarità è una drivazion trmin a trmin QUOZIENTE Proprità di additività Proprità di omonità Proprità di additività Proprità di omonità

9 9 Cnno imostrativo rivata Somma di Funzioni Torma Proprità di additività im. ] [

10 Cnno imostrativo rivata Prodotto di Funzioni Torma im. Passando al it si ottin l assrto.

11 Cnno imostrativo rivata Rapporto di Funzioni Torma im. Passando al it si ottin l assrto.

12 Applicazioni rivazion di polinomi QUOZIENTE cos cos cos cos ] [tan sn sn sn 4 6 rivazion di radici cos tan cos cos sn PROOTTO ] [ ] [ ] [

13 rivazion unzion modulo Applicazioni s [ ] s [ ] non è drivabil in =. La unzion sinum [sn] così dinita: sn : pr pr N rapprsnta la drivata sn sn pr pr

14 Calcolo rivat Funzioni Elmntari c c c n n n n n n n n n n n n n 4

15 Calcolo rivat Funzioni Elmntari lo a lo a lo a lo a lo a lo a a a a a a ln a a sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 5

16 Calcolo rivat Funzioni Elmntari cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos 6

17 Funzion Esponnzial con bas Si parta dalla ncssità di crcar una unzion c abbia l sunti du proprità: a b ab Costruzion sri sponnzial!... n n!...!... n n! ! n! 7

18 Fnomni naturali dscritti dalla Funzion Esponnzial cadimnto Radioattivo t N t N t ln dtta costant di tmpo d è il tmpo ncssario a ridurr la quantità inizial di circa il 6,%. 8

19 Fnomni naturali dscritti dalla Funzion Esponnzial 9 Crscita Popolazion Battrica n duplicazio di tmpo Considriamo una coltura di battri in prsnza di onti insauribili di cibo snza antaonisti. Indicando con il numro di battri prsnti all istant t = sapndo c la popolazion raddoppia oni du or tmpo di duplicazion, qual sarà la popolazion dopo si or? t t Tasso di variazion discrto unitario 4,4%.44 t t t t t t opo quanto tmpo la popolazion triplica? ln ln lo t 4,4%.44 Partndo dal tmpo t, dopo un intrvallo τ la popolazion raddoppia? t t t t t

20 Crscita Popolazion Battrica Fnomni naturali dscritti dalla Funzion Esponnzial Poniamo t k Tasso di variazion Istantano t k t t k t t k k k t Tasso di variazion Tasso di variazion ririto all unità di tmpo: Tasso di variazion istantano : k k ln k k t k t t opo quanto tmpo la popolazion raddoppia? t t

21 Intrss Composto Fnomni bancari dscritti dalla Funzion Esponnzial Capital C, Intrss I tasso di intrss, i, Montant M M M C M C I C i C i C C I C i C C i C i Montant ad intrss composto discrto annuo M C i n n Montant ad intrss composto discrto convrtibil In qusto caso li intrssi maturano k volt durant lanno M n C i k nk

22 Intrss Composto Fnomni bancari dscritti dalla Funzion Esponnzial Montant ad intrss composto continuo nk i M n C C k k i n

23 rivata Funzion Composta Torma Sia = la unzion composta di d. Sia drivabil in drivabil in allora è drivabil in val: [ ] ln ln ln ln ln ln ln

24 rivata Funzion Composta: smpi sin cos sin ln p ln ln ln p 4 sin cos sin sin ln

25 rivata Funzion Composta: smpi ln ln pr ln sn sn sn ln sin lnsin lnsin sin lnsin sin sin cos 5

26 Calcolo rivat Funzioni Invrs Si considri =p, la unzion invrsa è ln. Ess anno il raico simmtrico risptto alla bisttric dl primo trzo quadrant. Si considri la rtta tannt al raico ln in =. A;ln ln Pr simmtria, la rtta tannt al raico di p, nl punto Bln;, simmtrico di A risptto alla bisttric I-III quadrat, c a quazion: Avrà raico simmtrico risptto alla bisttric I-III. ln NOTA: u rtt con coicint anolar opposto passanti pr l oriin sono simmtric risptto alla bisttric I-III li anoli c ormano con l ass sono complmntari. Qual è la rlazion tra i coicinti anolari dll tannti? B NOTA: ln p ln A ln 6

27 Calcolo rivat Funzioni Invrs Funzioni Invrs arcsin sin arcsin arcsin arcsin cos sin arcsin arctan tan arctan arctan arctan tan tan arctan 7

28 Funzioni Invrs Calcolo rivat Funzioni Invrs arccos arccos Oppur si considri c cos arccos cos sin arccos arccos arccos arcsin E si applicino l rol di drivazion. arccos arcsin arccos ;, arcsin ; cos sin sin k 8

29 d d d d Calcolo rivat Funzioni Invrs Libniz Attnzion:L du drivat sono calcolat in punti divrsi!!! t arct ; R d d d d t sin ; ; arcsin cos sin d d d d cos cos sin arccos cos d d d d sin ; ; 9

30 d d d d Calcolo rivat Funzioni Invrs Libniz Attnzion:L du drivat sono calcolat in punti divrsi!!! La rola può ssr applicata pr calcolar la drivata dlla unzion invrsa snza c di qusta s n conosca la orma splicita La unzion è invrtibil è strttamnt monotona crscnt su tutto R, sia la unzion, invrsa si calcoli con == ; ;

31 rivabilità Continuità Torma S una unzion :AR è drivabil in,punto intrno dl campo di sistnza, allora tal unzion è continua in Essr drivabil è condizion suicint pr ssr continua in un punto ma non ncssaria. Es. La unzion = è continua ma non drivabil in =. Esistono il it dstro sinistro ma non sono uuali.. rivata stra. rivata Sinistra Aincé una unzion sia drivabil in un punto dvono sistr init drivata dstra sinistra dvono ssr uuali.

32 rivabilità Continuità: dimostrazion Torma S una unzion :AR è drivabil in,punto intrno dl campo di sistnza, allora tal unzion è continua in im. da cui su la continuità dlla unzion in

33 Punti Anolosi. Un punto si dic anoloso s in tal punto la unzion sist, è continua, sistono init la drivata dstra sinistra ma ss non sono uuali. Nota: In un punto anoloso la unzion non è drivabil. Un punto anoloso assomilia una discontinuità a salto di I spci pr la unzion drivata prima. Si tna conto tuttavia c la unzion non è ivi drivabil dunqu la unzion drivata non sist in tal punto.

34 4 Punti Anolosi: smpio Es. La unzion è continua in = Tannt dstra Tannt sinistra

35 Flssi a Tannt Vrtical /. Un punto si dic lsso a tannt vrtical s in sso la unzion sist, è continua, sistono ininit la drivata dstra sinistra d anno sno uual. Flsso a tannt vrtical discndnt Flsso a tannt vrtical ascndnt Es. Flsso a tannt vrtical discndnt 5

36 Flssi a Tannt Vrtical / Flsso a tannt vrtical ascndnt Es. Flsso a tannt vrtical ascndnt 6

37 Punti Cuspidali. Un punto si dic cuspidal o cuspid s in sso la unzion sist, è continua, d sistono ininit la drivata dstra sinistra ma anno sno opposto. Nota: In un punto cuspidal la unzion non è drivabil. Un punto cuspidal rapprsnta una discontinuità di II spci dlla drivata prima. Es. Cuspid vrso il basso Cuspid vrso l alto sn Nota: 7

38 8 rivat Succssiv. rivata Sconda ata una unzion c ammtt drivata prima nll intorno di un punto, si dinisc drivata sconda il sunt it s sist inito Analoamnt si diniscono drivata trza, drivata quarta iv così via. Pr il calcolo ci si comporta applicando in succssion l rol di drivazion: Es. Calcolar la drivata prima, sconda trza dlla sunt unzion

39 9 Esrcizio su rivabilità Es. trminar s sistono valori rali di paramtri a,b in modo c la sunt unzion sia continua drivabil in R b a Continuità a b b Continuità b b? 4 b a a a 4 b b rivabilità b a Soluzion: pr a=b=- la unzion data risulta ssr continua drivabil su tutto R 4