NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2010/2011 Calcolo 1, Esame scritto del
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- Floriano Bini
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1 NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laura in Fisica, A.A. 00/0 Calcolo, Esam scritto dl Data la funzion f(x = x +x, a dtrminar il dominio (massimal di f ; b trovar tutti gli asintoti di f ; c trovar tutti i massimi minimi locali di f ; d tracciar un grafico qualitativo di f. Data la funzion f(x = x ln ( cosx, a calcolar, in x 0 = 0, il polinomio di Taylor di ordin 6 di f ; b calcolar il limit f(x + x3 lim x 0 3 sin(x 5.
2 3 Calcolar una primitiva dlla funzion ( (sin x arctg(cos x f(x = ( cosx. 4 Sia data la funzion f(x, y = (x y + x. a Trovar i massimi minimi rlativi di f. b Data la forma diffrnzial ω = f x calcolar l intgral curvilino dlla funzion y = π sin x x + π pr x dx + f y dy, γ ω dov γ è la curva data dal grafico [ 0, π ].
3 Soluzioni: : a f(x è dfinita pr ogni x R pr qual ha snso x + x. Prciò il x dominio di f è R\ { } = (, (, +. b Pr trovar gli asintoti vrticali calcoliamo i sgunti limiti : lim f(x = 0 = = 0, x 0 lim f(x = +0 = + = +. x +0 Risulta ch f ha limit sinistro 0 in x =, ma la rtta x = è un asintoto vrtical da dstra. La prima condizion pr l sistnza di un asintoto obliquo pr x + è l sistnza dl limit finito f(x m + = lim x + x. Ma f(x lim x + x = lim x + (x x+x x ( x = lim x + x x = + di consgunza f non ha asintoto obliquo (in particolar, orizzontal pr x +. Pr x invc abbiamo x+ lim f(x = lim x x x = = 0. Di consgunza y = 0 è asintoto orizzontal di f pr x. c Pr trovar gli intrvalli di monotonia gli xtrmi locali di f, dobbiamo prima calcolar la sua drivata : f (x = x +x (x + (x (x + x (x = x +x x x (x = x 3 +x (. (x
4 Risulta ch i zri di f sono 0, , +, Cosicché f risulta ad ssr f è > 0 in (,, f è < 0 in (, (, +, f è > 0 in ( +,+. strttamnt crscnt in (, ], strttamnt dcrscnt in [, in (, + ], strttamnt crscnt in [ +, +. In particolar, 0, è un punto di massimo local f( = 3, , mntr +, è un punto di minimo local f( + = , Rimarchiamo ch l stnsion di f ad una funzion continua a sinistra su R, indicata con la stssa lttra f, ha la drivata sinistra in f s ( = lim >x f(x x = lim >x t= x = lim t + t t+3 t = 0. x x +x Riportiamo il comportamnto di f di f nlla sgunt tablla : x + + f f 0 ր 3 ց 0 + ց 3+ ր + d Usando l informazioni di cui sopra, è facil tracciar il grafico di f : 4
5 y = 0 è asintoto orizzontal di f pr ( x. Il grafico di f sal da 0 fino al punto di massimo local, 3 ( 0, 4,, 9, nl qual ha tangnt orizzontal, poi scnd in (, 0, dov ammtt smirtta tangnt orizzontal a sinistra. Succssivamnt, il grafico di f scnd a dstra dll asintoto ( vrtical x = dall infinito fino al punto di minimo local +, 3+ (, 4, 339, 8, nl qual ha tangnt orizzontal, poi sal a + in +. Commnti sui punti di flsso di f. Guardando il grafico di f ci accorgiamo ch attorno al punto di massimo local f dv ssr concava, mntr avvicinando da sopra l asintoto orizzontal y = 0 pr x, f dv divntar convssa, in modo simil, avvicinando da sopra il punto (, 0, nl qual ha tangnt orizzontal, dv divntar pur convssa. Prciò tra dovrbb sistr almno un punto di transizion da convssità a concavità, cioè un punto di flsso, tra dovrbb sistr almno un punto di transizion da concavità a convssità, cioè un altro punto di flsso. In qusti commnti ci proponiamo di idntificar tutti i punti di flsso di f. A qusto fin calcoliamo la sconda drivata di f : f (x = d ( x +x ( dx (x = x +x ( ( 4 + (x (x 3 = x +x ( 4 (x + 4 (x (x 3 = x +x ( (x 4 4(x + 4(x + 4. (x 4 Risulta ch il sgno di f (x coincid con il sgno dl polinomio P(x = (x 4 4(x + 4(x + 4 = ( (x + 4(x. 5
6 Chiaramnt, P(x > 0 pr x >. Pr studiar il sgno di P in (, ci convin il cambio di variabil t = x così ch P(x = Q(t := ( t + 4t. Ora dobbiamo studiar il sgno di Q nll intrvallo (, 0. A qusto fin troviamo gli intrvalli di monotonia di Q : La drivata di Q è Q (t = (t t + 4 = 4(t 3 t + = 4(t (t + t risulta il tabllo di comportamnto t Q Q + ց 5 5 ր +5 5 ց 5 ր + Di consgunza Q cambia sgno du volt : una volta in un a tra 5, da + in, d un altra volta in un b tra 5 + 5, da in +. Si vrifica subito ch, 3 < a <, : Q(, 3 =, 64 > 0, Q(, = 0, 7344 < 0. Similmnt, 0, 7 < b < 0.6 : Q( 0, 7 = 0, 599 < 0, Q( 0, 6 = 0, 896 > 0. Cosicché f ha du punti di flsso, a + b +, ch vrificano, 3 < a + <, < < 0 < 0, 3 < b + < 0, 4 <, f è convssa in (, a +, f è concava in (a +, b +, f è convssa in (b +,, f è convssa in (, +. 6
7 : a Il polinomio di Taylor di ordin 6 di f in x o = 0 sarà il prodotto di x con il polinomio di Taylor di ordin 5 di g(x = ln ( cosx in x o = 0. Il polinomio di Taylor di ln ( cosx tramit calcolo dirtto. Calcoliamo l prim cinqu drivat di g. Poiché g (x = ( sin x = tgx, cos x così g (k+ (x = (tgx (k, il calcolo dll prim cinqu drivat di g si riduc al calcolo dll prim quattro drivat di tgx. Ma (tgx = cos x = + tg x implica (tgx = (tgx(tgx = tgx + (tgx 3 poi, succssivamnt, (tgx = (tgx + 6(tgx (tgx = + 8(tgx + 6(tgx 4, (tgx (4 = 6(tgx(tgx + 4(tgx 3 (tgx Risultano = 6tgx + 40(tgx 3 + 4(tgx 5. g(0 = 0, g (0 = 0, g (0 =, g (0 = 0, g (4 (0 =, g (5 (0 = 0 quindi il polinomio di Taylor di ordin 5 di g in x o = 0 è! x + 4! x4 = x x4. Il polinomio di Taylor di ln ( cos x tramit calcolo con piccolo o. È noto ch cos x = x + x4 4! + o(x5 pr x 0 7
8 ln y = (y (y + 3 (y 3 + o ( (y 3 pr y. Ponndo qui sopra y = cosx tnndo conto ch pr x 0 abbiamo cosx = x + x4 4! + o(x5, (cosx = ( x + x4 4! + o(x5 = x4 4 + o(x5, 3 (cosx 3 = ( x + x4 4! + o(x5 = o(x 5, risulta, smpr pr x 0, ln ( cosx = x + x4 = x + 4! + o(x5 ( x o(x5 + 3 o(x5 + o ( o(x 5 ( 4! x 4 + o(x 5 8 = x x4 + o(x5. Di consgunza il polinomio di Taylor di ordin 5 di g in x o = 0 è x x4. Conclusion : il polinomio di Taylor di ordin 6 di f in x o = 0 è x ( x x4 = x3 x5. b Applicando la formula di Taylor con il rsto di Pano alla funzion f si ottin Cosicché f(x = x3 x5 + o(x6 pr x 0. f(x + x3 3 sin(x 5 = x5 + o(x6 3x 5 8 x 5 sin(x 5 pr x 0
9 quindi f(x + x3 lim x 0 3 sin(x 5 = : Poiché l intgrando è il prodotto dlla funzion di solo cosx arctg(cosx ( cosx la drivata sin x di cos x, possiamo smplificar i calcoli tramit la sostituzion ottnndo t = cos x, dt = sin xdx (sin x (arctg(cosx arctgt dx = ( cosx ( t dt. Ora usiamo intgrazion pr parti pr ridurr il calcolo all intgrazion di una funzion razional : ( arctgt (arctgt ( t dt = d t = arctgt ( + t t dt. + t Lo sviluppo di d allora Risultano t t in fratti smplici è dalla forma + t + t = a t + bt + c + t = a( + t + (bt + c( t. a = 5, bt + c = t + 5 9
10 di consgunza (sin x (arctg(cosx dx ( cosx = arctgt ( + t t dt + t = arctgt + t 5 t dt + t t dt = arctgt t 5 ln t t t dt + 5 = arctgt t 5 ln t + 0 ln( + t + 5 arctgt + C = arctgt t + 5 arctgt + 0 ln + t ( t + C + t dt = arctg(cosx cos x + 5 arctg(cosx + 0 ln + cos x ( cosx + C. 4 : a I massimi minimi rlativi di f sono punti stazionari, cioè annullano l drivat parziali di f(x, y = (x y + x. Pr trovarli, calcoliamo l drivat parziali di f : f x = (x y + x, f y = (x y. Risulta ch i punti stazionari di f sono l soluzioni dl sistma di quazioni { (x y + x = 0 (x y = 0, cioè il punto (0, 0. 0
11 Pr potr dir s un punto stazionario è massimo o minimo rlativo, calcoliamo anch l drivat parziali di scondo ordin : f x = y +, f y x = 4(x y, f y = (x. Prciò la matric hssiana di f in (x,y è ( y H f (x,y = + 4(x y 4(x y (x, in particolar H f (0, 0 = ( Poiché il dtrminant dlla matric hssiana in (0, 0 è ugual a 8 > 0 l lmnto nll angolo sinistro suprior è > 0, il punto (0, 0 è un punto di minimo rlativo. b Poiché ω è una forma diffrnzial satta su R d f è una sua primitiva, pr ogni curva rgolar a tratti in R abbiamo γ [a, b] t γ(t R ( ( ω = f γ(b f γ(a. In particolar, s γ è il grafico dlla funzion pr x [ 0, π ], allora y = π sin x x + π. γ ( π ω = f, f ( 0, 0 ( π = 4 + π 8 = 3π 6 π +.
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