MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base 13/2/2004

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1 MATEMATICA GENERALE (A-K) -Bas //004 PRIMA PARTE ) Individuar la rimitiva dlla funzion f(x) = x log x assant r il unto (4,) ) Calcolar, usando la d nizion, la drivata dlla funzion f(x) = x + nl unto x o = ) Dtrminar i valori di aramtri rali a, b c in modo ch la funzion f(x) = ax + bx + cx abbia un unto di sso in (, ) sia ivi tangnt alla rtta y = x 5 4) Dtrminar i quattro unti stazionari dlla funzion f(x, y) = xy(x + y ) 5) Trovar gli vntuali unti di massimo minimo rlativo dlla funzion f(x) = log( x x + ) SECONDA PARTE 6) Calcolar 7) Studiar la funzion ddurr il gra co di x x + dx f(x) = x x x g(x) = x x x

2 MATEMATICA GENERALE (A-K) -Bas Soluzion dl tma dl //004 PRIMA PARTE ) La famiglia dll rimitiv è, risolvndo r sostituzion, si ottin x G(x) = x log xdx = x log xdx log x = t, x dx = dx = dt, x tdt = t + c = log x + c quindi la rimitiva crcata è qulla ch soddisfa la condizion G(4) =, da cui la rimitiva crcata log + c =, c = log G(x) = log x log ) Poichè, r d nizion, nl nostro caso si ha f 0 () h!0 f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ), h!0 h q q ( + h) + () h h!0 + 4h + h h = + 4h + h + 4h + h + h!0 h + 4h + h + + 4h + h h!0h + 4h + h + = h (4 + h) h!0h + 4h + h + (4 + h) h!0 + 4h + h + = 4 = ) Innanzitutto la funzion dv assar r il unto (, ) quindi la rima condizion è In scondo luogo la drivata dlla funzion f() = 8a + 4b + c = f 0 (x) = ax + bx + c calcolata nl unto x = dv coincidr con il co cint angolar dlla rtta y = x 5, quindi la sconda condizion f 0 () = a + 4b + c = In n la drivata sconda f 00 (x) = 6ax + b

3 dv annullarsi cambiar di sgno in x =, la trza condizion f 00 () = a + b = 0 Mttndo a sistma l tr condizioni trovat risolvndo r i tr aramtri si ottin la soluzion 8 < a = b = : c = quindi la funzion crcata è f(x) = x + x x 4) Annullando l drivat arziali rim si ottin il sistma ( f x f y (x, y) = y(x + y ) + xy = y(x + y ) = 0 (x, y) = x(x + y ) + xy = x(x + y ) = 0 La rima drivata si annulla r y = 0 o y = x sostitundo l du condizioni nlla sconda drivata si ottngono il sistma ½ y = 0 x(x ) = 0 ch da soluzioni il sistma ch da soluzioni ½ 5) Innanzitutto si ossrvi ch O (0, 0), A (, 0), y = x x (x + ( x) ) = x ( x) = 0 C B (0, ) µ, x x + > 0 r ogni x quindi il dominio dlla funzion coincid con tutto R In scondo luogo f 0 (x) = x x + x x 0 x x = x ( x ) 0 ch ha soluzion ( x ) 0 x log Quindi la funzion rsnta un unto di minimo in corrisondnza di x = log

4 SECONDA PARTE 6) Pr d nizion Pr sostituzion, onndo si ha quindi in n x x + dx = k x x + dx = x x + dx = x x + dx = k! k k! k x + = t, x dx = dt, x x + dx (t) dt = + (t) + + c = (t) + c = = (x + ) + c x x + dx = h i ( x + ) 0 = h (5) k + i k k! h (5) k + i = i h(5) () 7) Il dominio: Il sgno: quindi I iti: T = (, +) ; f(x) = x x x 0 x x = x (x ) 0, x 0, x IP = (, 0] [ [0, +) ; x x = +, x! x x x = 0 x! x la funzion ammtt quindi y = 0 com asintoto orizzontal d ssndo inoltr ssa non ammtt asintoti obliqui La drivata rima (la monotonia): f (x) x x = +, x! x x! x x f 0 (x) = (x ) x x x x x = x + x x 0 x x + 0, 4

5 ch ammtt soluzioni ( quindi la funzion è crscnt) I unti 5 x + 5 x = 5 x = + 5 sono, risttivamnt, unti di minimo massimo rlativo La drivata sconda (la convssità): f 00 (x) = ( x + ) x x + x x x = x 5x + 4 x 0 x 5x + 4 = (x 4) (x ) 0, ch ammtt soluzioni ( quindi la funzion è convssa) I unti x, x 4 x = x = 4 sono unti di sso Pr ottnr il gra co dlla funzion x x g(x) = su cint ruotar il zzo di gra co ch sta sotto l ass x attorno all ass stsso di 80 ± x 5