Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola:

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esam di MATEMATICA (A) San Floriano, //9 Informazioni prsonali Si prga di indicar il proprio nom, cognom numro di matricola ni sgunti campi. Nom cognom: Matricola: Si prga inoltr di compilar i sgunti campi, in bas alla sclta ch si intnd far. Chido ch la mia prova d'sam vnga corrtta valutata. Il voto ch consguo con qusta prova annulla vntuali voti già consguiti in applli d'sam prcdnti. (sgnar l opzion prsclta) Svolgr il qusito + qusiti a sclta dal n. al n. 5 + qusiti a sclta dal n. 6 al n. Firma: Numro di fogli consgnati: Intndo ritirarmi; chido ch la mia prova non vnga corrtta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivt l vostr rispost in modo ordinato, utilizzando la pnna stilografica o la pnna a sfra; disgnat a matita i grafici dll funzioni. In caso di rror, tracciat un sgno sulla risposta scorrtta scrivt accanto ad ssa qulla corrtta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invc, utilizzar pnn di qualsiasi color divrso dal ROSSO; è ammsso l uso dlla calcolatric scintifica non programmabil o grafica. All rispost all corrzioni scritt in modo illggibil vrranno assgnati punti. Utilizzat i fogli dlla minuta (ch dovranno ssr opportunamnt contrassgnati) solo pr l'impostazion dll soluzioni, in quanto ssi non vrranno sottoposti a valutazion. L rispost dvono riportar tutto il procdimnto attravrso il qual si giung alla soluzion, con i calcoli intrmdi l vostr dduzioni. Abbiat fiducia in voi stssi nll vostr capacità. Buon lavoro! Lornzo Mnghini QUESITO ( /6) Studiar la funzion f Tsto dlla prova d'sam Part A dtrminando splicitamnt dominio, parità, sgno d vntuali intrszioni con gli assi, vntuali asintoti, monotonia d vntuali strmi. Dopo avr trovato anch l coordinat dl punto di flsso, s n disgni il grafico. QUESITO ( /5) f Sia, si considri g f f. Vrificar ch dtrminar l quazion dlla tangnt al grafico di g nl suo punto di ascissa nulla. g è una funzion dispari QUESITO ( /5) Calcolar i sgunti limiti, snza utilizzar il torma di d l Hospital.

2 a) lim 9 9 b) lim ln c) lim 8 4 QUESITO 4 ( /5) Una popolazion di carp è modllizzata mdiant una funzion dl tipo A N t t 4 ov il tmpo è sprsso in msi. Dtrminar: a) il valor di paramtri rali A, sapndo ch all inizio dllo studio la popolazion è composta da 4 individui ch la popolazion è triplicata in msi; b) la capacità ambintal, cioè il numro massimo di smplari ch l ambint è potnzialmnt in grado di ospitar; c) il tasso istantano di crscita dlla popolazion all inizio dllo studio dopo msi. QUESITO 5 ( /5) Studiar la drivabilità dlla funzion f pr. QUESITO 6 ( /5) Dat l matrici A Dtrminar il rango di C. B Part B calcolar il prodotto C A B. QUESITO 7 ( /5) Risolvr il problma di Cauchy y ' y. Dtta f la soluzion trovata, calcolar il lim f QUESITO 8 ( /5) Risolvr i sistmi linari: y z a) y z y z b) y z 7 y z 5 y z 5 QUESITO 9 ( /5) Una popolazion di instti ha l sgunti carattristich: ciascun instto non viv più di msi, il 5% dgli instti ch sono nl primo ms di vita non raggiung il scondo ms solo il 5% di qulli ch sono nl scondo ms di vita arriva al trzo. Inoltr, gli instti divntano frtili solo nl scondo ms; ogni instto nl scondo ms di vita n gnra altri 4 ciascuno di qulli arrivati al trzo ms n gnra un altro. a) Disgnar il grafo di vita trovar la matric di Lsli ch dscriv la dinamica dlla popolazion. b) In un dato istant, la popolazion è costituita da 7 instti nl primo ms, nl scondo ms 4 nl trzo. Com volv la popolazion nl ms succssivo? Qual ra la composizion all inizio dl priodo prcdnt?

3 QUESITO ( /5) f 4, il cui grafico Dtrminar il valor mdio dlla funzion è rapprsntato in figura a fianco, nll intrvallo dlimitato dai suoi zri. Calcolar, inoltr, il volum dl solido gnrato da una rotazion dlla rgion S intorno all ass y. PUNTEGGIO TOTALE: /

4 Traccia sinttica di soluzion A N. f è dfinita continua in, poiché è prodotto di funzioni ivi continu. o La funzion o PARITÀ: è divrsa sia da f ch da f f pari né dispari f o SEGNO ED INTERSEZIONE CON GLI ASSI: f, ssndo, f la funzion taglia gli assi cartsiani in o LIMITI ED ASINTOTI: lim,, lim la funzion non ammtt asintoti pr lim lim lim H asintoto orizzontal y pr non è né o MONOTONIA: f ' Ma in, o CONCAVITÀ: f " 4 f 4 Flsso in, 4 GRAFICO:

5 N. f Quindi: Vrifica disparità: g è dispari g o o ' g la tangnt crcata è y 6 N. a) b) c) g f f g g m g ' 6 lim lim lim lim lim lim ln ln ln lim lim lim N. 4 A N t t 4 A A o N 4 A 4 5 N t t 4 o N ln 6 6 ln La capacità ambintal è: lim N t lim t 4 Pr calcolar il tasso istantano di crscita dlla popolazion dobbiamo valutar la drivata prima dlla t funzion N t 4. t t N ' t t 4 t

6 o psci N '.4... ln ms o N ' Dal momnto ch ln risulta 6 6 ln. 6 Prtanto: ' 6 N 666 ln 88ln psci ms quindi N. 5 Considriamo la funzion Calcoliamo la drivata di Quindi: o o f y : y ' f ' lim lim la funzion ha un punto angoloso in

7 N C A B Dal momnto ch: concludiamo ch rg C N. 7 y ' y 8 Intgrando pr parti, calcoliamo d d c 4 4 y c 4 4 c 5 c 4 Prtanto la soluzion dl problma di Cauchy è: Ossrviamo ch: prtanto y lim lim lim H lim f 5 5 lim 4 4 N. 8 y z a) y z sottrando mmbro a mmbro la quazion dalla ottniamo: y z y z y z y y y y z y z y z z y z y Soluzioni: y, y, y, pr ogni y b) y z 7 y z 5 sottrando mmbro a mmbro la quazion dalla ottniamo: y z 5

8 y z 7 6z y z 5 Soluzion: y 6 7 z y z y 6,, z y 6 z y N. 9 Il grafo di vita è: Da qusto si dduc facilmnt la matric di Lsli dlla popolazion: 4 4 A È noto ch N t. Allora N t A N t Pr dtrminar N t risolviamo il sistma: N t 6 8 4y z 7 64 z 7 y 6 y 4 4 z 8 y 6

9 N. f 4 : Calcoliamo gli zri dlla funzion Il valor mdio è: 4 4 f d d d v. m. d Pr calcolar il volum dl solido richisto, utilizziamo il mtodo di gusci cilindrici: dv f d quindi V f d 4 d 6 u 5 5 5

10 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esam di MATEMATICA (B) San Floriano, //9 Informazioni prsonali Si prga di indicar il proprio nom, cognom numro di matricola ni sgunti campi. Nom cognom: Matricola: Si prga inoltr di compilar i sgunti campi, in bas alla sclta ch si intnd far. Chido ch la mia prova d'sam vnga corrtta valutata. Il voto ch consguo con qusta prova annulla vntuali voti già consguiti in applli d'sam prcdnti. (sgnar l opzion prsclta) Svolgr il qusito + qusiti a sclta dal n. al n. 5 + qusiti a sclta dal n. 6 al n. Firma: Numro di fogli consgnati: Intndo ritirarmi; chido ch la mia prova non vnga corrtta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivt l vostr rispost in modo ordinato, utilizzando la pnna stilografica o la pnna a sfra; disgnat a matita i grafici dll funzioni. In caso di rror, tracciat un sgno sulla risposta scorrtta scrivt accanto ad ssa qulla corrtta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invc, utilizzar pnn di qualsiasi color divrso dal ROSSO; è ammsso l uso dlla calcolatric scintifica non programmabil o grafica. All rispost all corrzioni scritt in modo illggibil vrranno assgnati punti. Utilizzat i fogli dlla minuta (ch dovranno ssr opportunamnt contrassgnati) solo pr l'impostazion dll soluzioni, in quanto ssi non vrranno sottoposti a valutazion. L rispost dvono riportar tutto il procdimnto attravrso il qual si giung alla soluzion, con i calcoli intrmdi l vostr dduzioni. Abbiat fiducia in voi stssi nll vostr capacità. Buon lavoro! Lornzo Mnghini QUESITO ( /6) Studiar la funzion Tsto dlla prova d'sam Part A f dtrminando splicitamnt dominio, parità, sgno d vntuali intrszioni con gli assi, vntuali asintoti, monotonia d vntuali strmi. Dopo avr trovato anch l coordinat dl punto di flsso, s n disgni il grafico. QUESITO ( /5) Sia f, si considri g f f. Vrificar ch dtrminar l quazion dlla tangnt al grafico di g nl suo punto di ascissa nulla. g è una funzion dispari QUESITO ( /5) Calcolar i sgunti limiti, snza utilizzar il torma di d l Hospital.

11 a) lim 4 4 b) lim ln c) 8 lim 6 6 QUESITO 4 ( /5) Una popolazion di carp è modllizzata mdiant una funzion dl tipo A N t t 4 ov il tmpo è sprsso in msi. Dtrminar: a) il valor di paramtri rali A, sapndo ch all inizio dllo studio la popolazion è composta da 5 individui ch la popolazion è triplicata in msi; b) la capacità ambintal, cioè il numro massimo di smplari ch l ambint è potnzialmnt in grado di ospitar; c) il tasso istantano di crscita dlla popolazion all inizio dllo studio dopo msi. QUESITO 5 ( /5) Studiar la drivabilità dlla funzion f pr. QUESITO 6 ( /5) Dat l matrici A Dtrminar il rango di C. B Part B calcolar il prodotto C A B. QUESITO 7 ( /5) Risolvr il problma di Cauchy y ' y. Dtta f la soluzion trovata, calcolar il lim f QUESITO 8 ( /5) Risolvr i sistmi linari: y a) y z 4 y z b) y z 5 y z 5 y z 5 QUESITO 9 ( /5) Una popolazion di instti ha l sgunti carattristich: ciascun instto non viv più di msi, il 4% dgli instti ch sono nl primo ms di vita non raggiung il scondo ms solo il % di qulli ch sono nl scondo ms di vita arriva al trzo. Inoltr, gli instti divntano frtili solo nl scondo ms; ogni instto nl scondo ms di vita n gnra altri ciascuno di qulli arrivati al trzo ms n gnra altri du. a) Disgnar il grafo di vita trovar la matric di Lsli ch dscriv la dinamica dlla popolazion. b) In un dato istant, la popolazion è costituita da 8 instti nl primo ms, 9 nl scondo ms 8 nl trzo. Com volv la popolazion nl ms succssivo? Qual ra la composizion all inizio dl priodo prcdnt?

12 QUESITO ( /5) f, il cui grafico Dtrminar il valor mdio dlla funzion è rapprsntato in figura a fianco, nll intrvallo dlimitato dai suoi zri. Calcolar, inoltr, il volum dl solido gnrato da una rotazion dlla rgion S intorno all ass y. PUNTEGGIO TOTALE: /

13 Traccia sinttica di soluzion B N. f è dfinita continua in, poiché è prodotto di funzioni ivi continu. o La funzion o PARITÀ: f è divrsa sia da ch da f f pari né dispari f o SEGNO ED INTERSEZIONE CON GLI ASSI: f, ssndo, f la funzion taglia gli assi cartsiani in,, o LIMITI ED ASINTOTI: lim lim H lim asintoto orizzontal lim lim la funzion non ammtt asintoti pr o MONOTONIA: f ' Ma in, o CONCAVITÀ: f " 9 f 6 Flsso in,6 y pr non è né GRAFICO:

14 N. f Quindi: Vrifica disparità: g è dispari g o g f f g g o g ' la tangnt crcata è y 4 N. a) b) c) m g ' 4 lim lim lim lim lim lim ln ln ln lim lim lim N. 4 A N t t 4 A A o N 5 A N t t 4 5 o N ln 6 6 ln La capacità ambintal è: 5 lim N t lim 5 t 4 Pr calcolar il tasso istantano di crscita dlla popolazion dobbiamo valutar la drivata prima dlla t funzion N t 5 4. t t N ' t t 4 t

15 5 6 psci o N '... 4ln ms o N ' Dal momnto ch ln risulta 6 6 ln. 6 Prtanto: ' 6 psci N... ln ms 4 6 N. 5 Considriamo la funzion f Calcoliamo la drivata di y Quindi: f ' o o : quindi 6 y ' 6 6 lim lim 4 la funzion ha un punto angoloso in N. 6 4 C A B 7 6 6

16 Dal momnto ch: concludiamo ch rg C N. 7 y ' y Intgrando pr parti, calcoliamo Prtanto la soluzion dl problma di Cauchy è: Ossrviamo ch: prtanto d d c 9 9 y c 9 9 c c 9 y lim lim lim H lim f lim 9 9 N. 8 a) y y z 4 y z Soluzioni: y y y y y z 4 y z 4y y z y z y z y, y, y, pr ogni y y z y b) y z 5 y z 5 sommando mmbro a mmbro la quazion alla ottniamo: y z 5 y z 5 y y z 5 y y y y z 5 y z 5 y z 5 y z 5 La la quazion non sono compatibili. Il sistma non ha soluzion. N. 9 Il grafo di vita è:

17 Da qusto si dduc facilmnt la matric di Lsli dlla popolazion: A È noto ch N t 9. Allora N t A N t Pr dtrminar N t risolviamo il sistma: y z 8 8 z 8 z y 6 y y 6 8 N t N f : Calcoliamo gli zri dlla funzion Il valor mdio è: f d d v. m. d

18 Pr calcolar il volum dl solido richisto, utilizziamo il mtodo di gusci cilindrici dv f d quindi V f d d u