Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola:

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA (A) San Floriano, 7//9 Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chiedo che la mia prova d'esame venga corretta e valutata. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. (segnare l opzione prescelta) o APPELLO: Svolgere il quesito + quesiti a scelta dal n. al n. 6 + quesiti a scelta dal n. 8 al n. o RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. al n. 6 o RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. 7 al n. Firma: Numero di fogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che la mia prova non venga corretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientifica non programmabile o grafica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i fogli della minuta (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova d'esame Parte A QUESITO ( /6) Studiare la funzione f determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver verificato che la funzione data non ammette flessi, se ne disegni il grafico. QUESITO ( /5) Verificare che la parabola y tangente in comune nel punto di ascissa. 6 6 ed il grafico della funzione f ln hanno la

2 QUESITO ( /5) Una piastra contiene inizialmente 6 batteri di Escherichia Coli; la popolazione cresce secondo la legge kt N t N e, ove il tempo t è espresso in minuti. Sapendo che la popolazione arriva a 4 batteri in 5 minuti, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cifra decimale; b) la rapidità di variazione dopo mezzora; c) il tempo di raddoppio della popolazione; a) il tempo necessario perché la popolazione superi i batteri. QUESITO 4 ( /5) Verificare che la funzione f ( ) soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange nell'intervallo [, ] ed individuare, in tale intervallo, le ascisse dei punti che soddisfano la tesi del teorema. QUESITO 5 ( /5) Determinare le equazioni degli asintoti della funzione f ln. 5 QUESITO 6 ( /5) Si è osservato che la massa M C del cervello umano (espressa in kg) può essere espressa come una funzione allometrica della massa corporea m (in kg) del tipo: b M C a m Sapendo che la massa cerebrale di un ragazzo di massa 5 kg è di circa. kg e che quella di un uomo di massa 75 kg è di circa.47 kg, determinare i parametri a, b della funzione. Stimare, poi: a) la massa cerebrale di un uomo la cui massa corporea è circa 9 kg; b) la massa corporea di una donna la cui massa cerebrale è.5 kg. Parte B QUESITO 7 ( /6) SOLO PER CHI DEVE RECUPERARE IL PARZIALE RELATIVO ALLA PARTE B Si consideri il diagramma di vita rappresentato in figura, relativo ad una popolazione suddivisa in tre classi di età. a) Determinare la matrice di Leslie A. Dire se è invertibile e in caso di risposta affermativa trovarne l inversa. 6. Determinare la 5 della popolazione dopo un intervallo di previsione. Calcolare, inoltre, la della popolazione nell intervallo di previsione precedente. la matrice inversa di A, applicare N t. Cosa otteniamo? Perché? b) All inizio di un intervallo di previsione, la popolazione è così composta: N t composizione N t composizione N t c) Detta A A al vettore

3 QUESITO 8 ( /5) Dopo aver trovato le intersezioni della curva con l asse : a) Calcolare l area della regione piana rappresentata in figura, delimitata dall asse e dalla curva di equazione 4 y. 8 b) Determinare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della superficie colorata attorno all asse. QUESITO 9 ( /5) Determinare il rango della matrice A QUESITO ( /5) Risolvere la seguente equazione differenziale lineare non omogenea: y" y ' y e 4. QUESITO ( /5) Risolvere i seguenti sistemi lineari: a) 6y 9z 4 y z y z 6 b) y z 4y z 4 y z QUESITO ( /5) Supponiamo di osservare un territorio paludoso. Dagli studi effettuati è noto che, ogni 5 anni, o il 5% delle aree sommerse diventano sature di umidità; o il % delle aree sature diventano asciutte; o le aree asciutte rimangono asciutte. a) Disegnare il diagramma di flusso e scrivere la corrispondente matrice di transizione. b) Quale sarà la proporzione di terreni paludosi, saturi ed asciutti dopo 5 anni se la composizione iniziale del territorio aveva il 9% di terreno sommerso, il 7% di zone sature ed il rimanente % di terreno asciutto? PUNTEGGIO TOTALE: /

4 TRACCIA SINTETICA DI RISOLUZIONE FILA A QUESITO f o DOMINIO: o PARITÀ: f dispari è diversa da f e da f la funzione non è né pari né o SEGNO: f La curva incontra gli assi cartesiani solo nel punto, o ASINTOTI: lim la funzione ha l asintoto verticale Dal momento che lim concludiamo che la funzione ammette l asintoto obliquo: y o CRESCENZA: f '... essendo in D La funzione ha un massimo in, 4 o CONCAVITÀ: f " in D la funzione volge sempre la concavità verso il basso. 4 QUESITO Il punto di ascissa della parabola ha coordinate: y 4 6, Il punto di ascissa del grafico della funzione ha coordinate: f ln, Calcoliamo i coefficienti angolari: o y ' 6 y ' 4 6 A

5 o f ' f ' Dal momento che le tangenti passano per lo stesso punto ed hanno lo stesso coefficiente angolare, possiamo concludere che le due curve hanno la stessa tangente in (,). y y L equazione della tangente è: QUESITO a) N N e 6 N t 6 e kt N k 5k e 5k ln 7 k ln N t e, ove k ln e b) La legge della popolazione è 6 kt La rapidità di variazione è kt N ' t 6k e. Dopo minuti: k.4.4 batteri N ' 6k e 6.47 e.8e min c) Tempo di raddoppio:.47t.47t ln 6e e.47t ln t min.47 d) Risolviamo la disequazione: kt 4 kt N t 6e e kt ln t ln k Dal momento che ln possiamo affermare che servono circa 48 minuti perché la k popolazione superi i batteri. QUESITO 4 La funzione f è rapporto tra funzioni continue e derivabili; pertanto è continua e derivabile nel suo dominio:. In particolare è una funzione continua e derivabile nell intervallo,. Le ipotesi del teorema di Lagrange sono, quindi, verificate. o f o f f f 4 6 f '... La tesi del teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un punto interno all intervallo [,] tale che: f f f ' il punto dell intervallo che soddisfa la tesi del teorema è, l altro ha ascissa e non è accettabile. A

6 QUESITO 5 Il dominio della funzione o o o o ln lim? 5 f ln è:, 5. 5 ln Osserviamo che H 5 lim ln lim lim lim lim. Pertanto: ln lim la funzione non ammette asintoti per 5 5ln5 ln lim 5 5 la funzione ammette l asintoto verticale 5 ln lim lim ln 5 5 la funzione non ha asintoti orizzontali f ln ln lim lim lim H lim la funzione non ha asintoti obliqui 5 5 QUESITO 6 Calcoliamo i parametri della relazione M C b a m. o. a 5 b o.47 a 75 b Mettendo a rapporto le due uguaglianze otteniamo: b b ln bln ln b ln Quindi: a 75 a La relazione cercata è:.677 M.8 m a) La massa cerebrale di un uomo la cui massa corporea è circa 9 kg è quindi: M c c kg b) La massa corporea di una donna la cui massa cerebrale è.5 kg: m m m 66kg.8.8 NOTA: in alternativa l equazione precedente può essere risolta mediante l applicazione di logaritmi naturali. A

7 QUESITO 7 a) Se consideriamo il diagramma di vita, la matrice di Leslie è 4 A.6.5 Sviluppando il determinante rispetto all ultima colonna: 4.6 A la matrice è invertibile. Per il calcolo dell inversa, determiniamo i complementi algebrici degli elementi della matrice. o A o.6 A o.6 A..5.5 o A.5 o A o A 4.5 o A o A.8 o A 4.6 Pertanto la matrice cofattore è. cofa e quindi la matrice inversa di A è 5 5 T A cofa b) N t A N t Per calcolare N t è sufficiente risolvere il sistema: 4 A N t N t.6 y 6.5 z 5 4y z z z y 5 y 5 y 5 c) Applichiamo ora la matrice inversa N t. A al vettore 4y z.6 6.5y 5 N t A 4

8 Come possiamo notare abbiamo riottenuto N t ; questo è ovvio perché l applicazione della partendo da quello di arrivo. matrice inversa consente di ottenere lo stato di partenza N t QUESITO 8 a) Le intersezioni del grafico della funzione con l asse sono: 4 y 8 4, 4 y L area cercata è: Area d u b) Applicando il metodo delle fette: 8 6 Integrando otteniamo: dv f d d d V 8 6 d QUESITO 9 La matrice A u è 4 5 rg A 4 Osserviamo che la riga della matrice A è la somma delle prime due. Pertanto Consideriamo ora il minore: rg A rg A. N t QUESITO Risolviamo l equazione differenziale L equazione omogenea associata a (*) è: e l equazione caratteristica è Risolviamo l equazione caratteristica: 4 (*) y" y ' y e y" y ' y A 5

9 , la soluzione generale dell equazione omogenea associata è: 4 ce c e 4 Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione (*) tra le funzioni del tipo k e : ' 4ke 4 4 " 6ke Sostituendo nella (*): ke 4ke ke e 8ke e 8k k 8 La soluzione generale dell equazione (*) è: 4 4 y ce ce e 8 QUESITO 6y 9z 4 a) y z y z 6 Sottraiamo la equazione dalla : 6y 9z 4 6y 9z 4 6y 9z 4 y z y z sostituendo: 5y z y z y z 4 z z y y Soluzione: 4,, z z b) y z 4y z 4 y z La matrice dei coefficienti è 4. Applichiamo il metodo di Gauss: 4 4 I II 4 I III II III 4 4 Il sistema diviene quindi: y z y y y y z z y z y Il sistema ha soluzioni: y, y, y, y QUESITO Indichiamo con S il terreno sommerso, con U quello saturo di umidità e con A il terreno asciutto. Il diagramma di flusso è: A 6

10 e da questo si deduce la matrice di transizione: Passa a la matrice di transizione è: t S t Passa da U S.85 U.5.9 t t A..85 A.5.9. t A t.9 La composizione iniziale del terreno è C.7. Dopo un periodo si ottiene: C AC dopo 5 anni il 76.5% di terreno è sommerso, il 9.8% è saturo di umidità ed il rimanente.7% è asciutto. A 7

11 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA (B) San Floriano, 7//9 Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chiedo che la mia prova d'esame venga corretta e valutata. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. (segnare l opzione prescelta) o APPELLO: Svolgere il quesito + quesiti a scelta dal n. al n. 6 + quesiti a scelta dal n. 8 al n. o RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. al n. 6 o RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. 7 al n. Firma: Numero di fogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che la mia prova non venga corretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientifica non programmabile o grafica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i fogli della minuta (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova d'esame Parte A QUESITO ( /6) Studiare la funzione f determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver verificato che la funzione data non ammette flessi, se ne disegni il grafico. QUESITO ( /5) Verificare che la parabola y tangente in comune nel punto di ascissa. 6 6 ed il grafico della funzione f ln hanno la

12 QUESITO ( /5) Una piastra contiene inizialmente 5 batteri di Streptococco; la popolazione cresce secondo la legge kt N t N e, ove il tempo t è espresso in minuti. Sapendo che la popolazione arriva a batteri in 4 minuti, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cifra decimale; b) la rapidità di variazione dopo mezzora; c) il tempo di raddoppio della popolazione; a) il tempo necessario perché la popolazione superi di batteri. QUESITO 4 ( /5) Verificare che la funzione f ( ) soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange nell'intervallo [, ] ed individuare, in tale intervallo, le ascisse dei punti che soddisfano la tesi del teorema. QUESITO 5 ( /5) Determinare le equazioni degli asintoti della funzione f ln. 4 QUESITO 6 ( /5) Si è osservato che la massa M C del cervello umano (espressa in kg) può essere espressa come una funzione allometrica della massa corporea m (in kg) del tipo: b M C a m Sapendo che la massa cerebrale di un ragazzo di massa 55 kg è di circa. kg e che quella di un uomo di massa 8 kg è di circa.5 kg, determinare i parametri a, b della funzione. Stimare, poi: a) la massa cerebrale di un uomo la cui massa corporea è circa 9 kg; b) la massa corporea di una donna la cui massa cerebrale è. kg. Parte B QUESITO 7 ( /6) SOLO PER CHI DEVE RECUPERARE IL PARZIALE RELATIVO ALLA PARTE B Si consideri il diagramma di vita rappresentato in figura, relativo ad una popolazione suddivisa in tre classi di età. a) Determinare la matrice di Leslie A. Dire se è invertibile e in caso di risposta affermativa trovarne l inversa. 4. Determinare la 6 della popolazione dopo un intervallo di previsione. Calcolare, inoltre, la della popolazione nell intervallo di previsione precedente. la matrice inversa di A, applicare N t. Cosa otteniamo? Perché? b) All inizio di un intervallo di previsione, la popolazione è così composta: N t composizione N t composizione N t c) Detta A A al vettore

13 QUESITO 8 ( /5) Dopo aver trovato le intersezioni della curva con l asse : a) Calcolare l area della regione piana rappresentata in figura, delimitata dall asse e dalla curva di equazione y 4 b) Determinare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della superficie colorata attorno all asse. QUESITO 9 ( /5) Determinare il rango della matrice A 4 QUESITO ( /5) Risolvere la seguente equazione differenziale lineare non omogenea: y" y ' y e. QUESITO ( /5) Risolvere i seguenti sistemi lineari: a) 5y 8z y z y z 4 b) y z 7 y z 5 y 4z QUESITO ( /5) Supponiamo di osservare un territorio paludoso. Dagli studi effettuati è noto che, ogni 7 anni, o il % delle aree sommerse diventano sature di umidità; o il 5% delle aree sature diventano asciutte; o le aree asciutte rimangono asciutte. a) Disegnare il diagramma di flusso e scrivere la corrispondente matrice di transizione. b) Quale sarà la proporzione di terreni paludosi, saturi ed asciutti dopo 7 anni se la composizione iniziale del territorio aveva il 85% di terreno sommerso, il % di zone sature ed il rimanente 5% di terreno asciutto? PUNTEGGIO TOTALE: /

14 TRACCIA SINTETICA DI RISOLUZIONE FILA B QUESITO f o DOMINIO: o PARITÀ: f è diversa da dispari f e da f la funzione non è né pari né o SEGNO: f La curva incontra gli assi cartesiani solo nel punto, o ASINTOTI: lim la funzione ha l asintoto verticale Dal momento che lim concludiamo che la funzione ammette l asintoto obliquo: y o CRESCENZA: f '... in D La funzione ha un massimo in, 4 o CONCAVITÀ: f essendo " in D la funzione volge sempre la concavità verso l alto. 4 QUESITO Il punto di ascissa della parabola ha coordinate: y 4 6, Il punto di ascissa del grafico della funzione ha coordinate: f ln, Calcoliamo i coefficienti angolari: o y ' 6 y ' 4 6 B

15 o f ' f ' Dal momento che le tangenti passano per lo stesso punto ed hanno lo stesso coefficiente angolare, possiamo concludere che le due curve hanno la stessa tangente in (, ). y y L equazione della tangente è: QUESITO a) N N e 5 N t 5 e kt N k 4k 4 5 e 4k ln 5 5 k ln N t e, ove k ln e b) La legge della popolazione è 5 kt La rapidità di variazione è kt N ' t 5k e. Dopo minuti: k batteri N ' 5k e 5.97 e.985e.779 min c) Tempo di raddoppio:.97t.97t ln 5e e.97t ln t 5min.97 d) Risolviamo la disequazione: kt 4 kt N t 5 e e kt ln t ln k Dal momento che ln possiamo affermare che servono circa 69 minuti perché la k popolazione superi i batteri. QUESITO 4 La funzione f è rapporto tra funzioni continue e derivabili; pertanto è continua e derivabile nel suo dominio:. In particolare è una funzione continua e derivabile nell intervallo,. Le ipotesi del teorema di Lagrange sono, quindi, verificate. o f o f f f 4 6 f '... La tesi del teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un punto interno all intervallo [,] tale che: f f f ' il punto dell intervallo che soddisfa la tesi del teorema è, l altro ha ascissa e non è accettabile. B

16 QUESITO 5 Il dominio della funzione o o o o ln lim? 4 f ln è:, 4. 4 ln Osserviamo che H 4 lim ln lim lim lim lim. Pertanto: ln lim la funzione non ammette asintoti per 4 4 ln 4 ln lim 4 la funzione ammette l asintoto verticale 4 ln lim lim ln 4 4 la funzione non ha asintoti orizzontali f ln ln lim lim lim H lim la funzione non ha asintoti obliqui 4 4 QUESITO 6 Calcoliamo i parametri della relazione M C b a m. o. a 55 b o.5 a 8 b Mettendo a rapporto le due uguaglianze otteniamo: 5 b b ln bln ln b ln Quindi: a 8 a La relazione cercata è:.6484 M.89 m a) La massa cerebrale di un uomo la cui massa corporea è circa 9 kg è quindi: M c c kg b) La massa corporea di una donna la cui massa cerebrale è.5 kg: m m m 6kg NOTA: in alternativa l equazione precedente può essere risolta mediante l applicazione di logaritmi naturali. B

17 QUESITO 7 a) Se consideriamo il diagramma di vita, la matrice di Leslie è 4 A.6.4 Sviluppando il determinante rispetto all ultima colonna: 4.6 A la matrice è invertibile. Per il calcolo dell inversa, determiniamo i complementi algebrici degli elementi della matrice. o A o.6 A o.6 A o A.6 o A o A B 4.4 o 4 A o 4 A.4 o A Pertanto la matrice cofattore è.4 6 cofa e quindi la matrice inversa di A è T 5 A cofa b) N t A N t Per calcolare N t è sufficiente risolvere il sistema: 4 4 A N t N t.6 y.4 z 6 y 4z 4 5 4z 4 4z 5 5 y 4 y 4 y 4 c) Applichiamo ora la matrice inversa N t. A al vettore y 4z y 6 5 N t 4

18 Come possiamo notare abbiamo riottenuto N t matrice inversa consente di ottenere lo stato di partenza N t QUESITO 8 a) Le intersezioni del grafico della funzione con l asse sono: y 4, y L area cercata è: ; questo è ovvio perché l applicazione della partendo da quello di arrivo Area d 7 u b) Applicando il metodo delle fette: 6 9 Integrando otteniamo: QUESITO 9 La matrice A 4 dv f d d d V 6 9 d u è 4 5 rg A 4 Osserviamo che la riga della matrice A è la somma delle prime due. Pertanto Consideriamo ora il minore: rg A rg A. N t QUESITO Risolviamo l equazione differenziale L equazione omogenea associata a (*) è: e l equazione caratteristica è y" y ' y e (*) y" y ' y Risolviamo l equazione caratteristica: , 4 la soluzione generale dell equazione omogenea associata è: B 5

19 4 ce c e Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione (*) tra le funzioni del tipo k e : ' ke " 9ke Sostituendo nella (*): 9ke ke ke e 6ke e 6k k 6 La soluzione generale dell equazione (*) è: 4 y ce ce e 6 QUESITO 5y 8z a) y z y z 4 Sostituendo: 5z 8z y z y z y z y z z z z z 4 4z 6 z z 8 z z 8 z 4 y z y Soluzione: 4,, 5z z b) y z 7y z 5 y 4z La matrice dei coefficienti è 7. Applichiamo il metodo di Gauss: I II 6 III 5 I II III Il sistema diviene quindi: y z y y y y z z y z y Il sistema ha soluzioni: y, y, y, y QUESITO Indichiamo con S il terreno sommerso, con U quello saturo di umidità e con A il terreno asciutto. Il diagramma di flusso è: e da questo si deduce la matrice di transizione: B 6

20 Passa a la matrice di transizione è: t S t Passa da U S.8 U..85 t t A.5.8 A t A t.85 La composizione iniziale del terreno è C.. Dopo un periodo si ottiene: C AC dopo 7 anni il 68% di terreno è sommerso, il 5.5% è saturo di umidità ed il rimanente 6.5% è asciutto. B 7