Esercizi 3 Geometria lineare nello spazio

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Gabriele Sacchi
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1 Esrcizi 3 Gomtria linar nllo spazio Ngli srcizi ch sguono si suppon fissato un sistma di rifrimnto (SdR) nllo spazio. S la bas (dllo spazio vttorial di vttori libri) di tal SdR è indicata con (i, j, k), si intndrà ch ssa sia ortonormal positiva. V indica lo spazio vttorial ral di vttori libri nllo spazio. Esrcizio. Sia (u, v, w) una trna positivamnt orintata. Si dica s la trna (u, u + v, w) è positivamnt orintata. Esrcizio. Siano v, w du vttori libri non proporzionali. Si risolva in x il sistma { x v w = 0 x v = 0 Esrcizio. Siano v, w du vttori libri non proporzionali. Si risolva in x il sistma { x v w = 0 x v = 0 x w = 0 Esrcizio. Siano v, w du vttori libri parallli non nulli. Si dtrmini il nuclo dll applicazion linar T : V V : x x v + x w. Esrcizio. Sia v 0 un vttor libro fissato. Si considri l applicazion T : V V : u (u v 0 )v 0. Si dica s T è linar d in tal caso si dtrminino nuclo d immagin. Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal. Sia 3x 2y + z 2 = 0 l quazion di un piano π. Si considri la famiglia π λ di quazion (λ 4)x + (λ + 1)y λz 3 = 0. 1

2 Si trovino, s sistono, valori di λ R pr i quali π λ rapprsnta un piano paralllo a π. Esrcizio. Si dica s i punti (1, 2, 1), (3, 5, 7), ( 3, 3, 2) sono allinati. Esrcizio. Si dica s i punti (1, 2, 1), (2, 3, 5), (3, 3, 2), (5, 3, 2) sono complanari. Esrcizio. Si trovi l quazion dl piano pr la rtta { 2x 3y + 5z = 3 x z = 3 pr il punto P 0 di coordinat (3, 2, 1). Esrcizio. Trovar, s sistono, i valori rali di α tali ch il piano π α : 2x + αy + 2z = 0 sia paralllo al piano π : x + 3y z = 5. Esrcizio. Dir s i piani π : 2x + 5y z = 1, π : x y z = 0 hanno com intrszion una rtta. Esrcizio. Trovar l quazioni paramtrich dlla rtta { x + 2y z = 0 3x y + z = 0 Esrcizio. Si dica s l rtt di quazioni paramtrich { x 1 = t y = 2t z + 2 = t, { x = 2s + 1 y = 4s z = 2s 2 (il paramtro di r ssndo t qullo di r ssndo s) sono o no coincidnti. Esrcizio. Trovar l quazioni paramtrich dlla rtta r parallla alla rtta { x 3 = 3t y = 2t z = 5t + 2 2

3 passant pr il punto P di coordinat (3, 2, 1). Esrcizio. Sia 3x 2y + 4z 15 = 0 l quazion cartsiana di un piano π nl nostro SdR. Dir quali dll sgunti affrmazioni sono corrtt: 1. Il vttor di coordinat ( 3, 2, 4) è ortogonal al piano π indipndntmnt dal tipo di SdR ch usiamo. 2. Il vttor di coordinat ( 3, 2, 4) è ortogonal al piano π soltanto s il SdR è ortonormal. 3. Il vttor di coordinat ( 3, 2, 4) è ortogonal al piano π s il SdR è ortonormal. 4. Il vttor di coordinat ( 3, 2, 4) è ortogonal al piano π soltanto s il SdR è ortonormal positivo. 5. Il vttor di coordinat ( 3, 2, 4) non è ortogonal al piano π indipndntmnt dal tipo di SdR ch usiamo. Esrcizio. paramtrich Dtrminar la posizion rlativa dll rtt di quazioni { x + 1 = t y = t z = 3t, { x = 5s y = 3s + 1 z = 2s (il paramtro di r ssndo t qullo di r ssndo s). Esrcizio. Si considri la rtta di quazion paramtrica r α,β : { x = t + 1 y = 2t + α z = t + β, (il paramtro ssndo t) al variar di (α, β) R 2. Dtrminar, s sistono, i valori di α β pr i quali la rtta r α,β incontra l ass x l ass z. 3

4 Esrcizio. Si supponga il SdR ortonormal positivo sia { x + y + z = 0 2x y z = 0 l quazion cartsiana di una rtta r in tal SdR. Si dtrmini un quazion paramtrica pr r. Esrcizio. Siano { 3x + 5y 2z + 1 = 0 x + 2y z = 0 { 17x + 8y + 3z = 0 19x 2y + 7z 3 = 0 l quazioni cartsian dll rtt r r. Si dica s ss sono o no complanari. Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Siano π : x + z 2 = 0, π : 2x + y + 3z 1 = 0, π : 2y + 2z = 0 l quazioni cartsian di tr piani in tal SdR. Si dscriva la posizion rciproca di tr piani; in particolar si disgni (approssimativamnt) l intrszion di π π π con il piano x + y z = 1. Esrcizio. Siano { x + z 2 = 0 2x + y + 3z 1 = 0 { y + z = 0 5x + 3y 3 = 0 du rtt in un SdR ortonormal positivo. Si dica s l du rtt sono paralll, incidnti o sghmb s n calcoli la distanza. Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Siano π : 2x + y + 3z + 5 = 0, 4

5 π : 2x + y + 3z 1 = 0, du piani. Si scriva l quazion dl luogo di punti dllo spazio ch sono quidistanti da π π. Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Trovar l quazion dl luogo di punti dllo spazio ch distano 3 dal piano π : 2x y + 5z + 7 = 0. Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Trovar l quazion dl luogo di punti dllo spazio ch sono quidistanti dai piani π : 2x y + 3z 1 = 0 π : x + y + z = 0. Riuscit, a priori, a intuirn la forma? Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Trovar l quazion dl luogo di punti dllo spazio ch sono quidistanti dai punti P = (1, 2, 0) Q = ( 1, 2, 3). Esrcizio. Lavoriamo in un SdR ortonormal positivo. Dimostrar ch l rtt { y z = 0 x 3y = 0 sono paralll trovarn la distanza. { x = 3s 1 y = s z = s + 1 5

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