Esercizi sullo studio di funzione

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1 Esrcizi sullo studio di funzion Prima part Pr potr dscrivr una curva, data la sua quazion cartsiana splicita f () occorr procdr scondo l ordin sgunt: 1) Dtrminar l insim di sistnza dlla f () ) Dtrminar gli vntuali punti di intrszion dlla curva con gli assi coordinati ) Studiar il sgno dlla funzion 4) Ricrcar vntuali asintoti dlla curva 5) Studiar gli zri il sgno dlla drivata prima in modo da studiar la crscnza la dcrscnza dlla curva i suoi massimi minimi rlativi In qusta prima part analizzrmo soltanto i primi tr punti: 1) Dtrminar l insim di sistnza (o campo di sistnza o dominio) significa trovar quali valori dlla variabil indipndnt si ha un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato Pr dtrminar l insim di sistnza di una funzion è util ricordar ch l oazioni di somma, diffrnza prodotto sono smpr possibili, mntr la division è smpr possibil purché il divisor sia divrso da zro Sgu ch: Una funzion polinomial ha com insim di sistnza l insim di numri rali Una funzion polinomial fratta ha com insim di sistnza tutti i numri rali trann qulli ch, vntualmnt, annullano il dnominator ) Dtrminar gli vntuali punti di intrszion dlla curva con gli assi coordinati significa trovar l coordinat di punti in cui, vntualmnt, la funzion intrsca l ass l coordinat di punti in cui, vntualmnt, la funzion intrsca l ass y Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion ) Studiar il sgno dlla funzion significa dtrminar quali valori di la funzion è positiva quali valori è ngativa Esrcizio 1 Dtrminar il campo di sistnza, l intrszioni con gli assi coordinati studiar il sgno dll sgunti funzioni: 1) ) ) ( 6)( ) ( 8)( 4) 1

2 4) ) 9 6) 7) ) Soluzion 1) La funzion è (1) Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Prndndo i fattori a du a du mttndo in vidnza avrmo: ( ) ( ) ( )( 1) ( )( 1)( 1) quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt () ( )( 1)( 1) CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial quindi ogni valor dlla variabil indipndnt si ha un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato Sgu ch C E (, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo 0 quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat ( 0,)

3 o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo 0 ( )( 1)( 1) quindi la funzion intrsca l ass ni tr punti di coordinat ( 1, 0 ); (1, 0 ); (, 0 ) SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo > 0 1 > 1 > 0 > > 1 > < < 1 < 1 > 1< < ) La funzion è Il polinomio è già scomposto Avrmo quindi: CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, ossia scluso 0 Sgu ch C E (,0) (0, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion, ma siccom il valor 0 non appartin al campo di sistnza non lo possiamo considrar Sgu ch la funzion non intrsca l ass y

4 o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo 0 0 Ma siccom il numrator non si annulla mai ché è smpr positivo sgu ch la funzion non intrsca nmmno l ass SEGNO DELLA FUNZIONE Studiamo il sgno dlla funzion > 0 > 0 ogni > 0 0 > 0 < 0 ) La funzion è Il polinomio è già scomposto Avrmo quindi: ( 6)( ) ( 8)( 4) CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, ch sono Sgu ch C E (,0) (0,4) (4,8) (8, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion, ma siccom il valor 0 non appartin al campo di sistnza non lo possiamo considrar Sgu ch la funzion non intrsca l ass y 4

5 o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo 0 ( 6)( ) 6 0 ( 8)( 4) quindi la funzion intrsca l ass ni du punti di coordinat (, 0 ) ( 6, 0 ) SEGNO DELLA FUNZIONE Studiamo il sgno dlla funzion 6 > 0 > 0 > 0 8 > 0 4 > 0 > 6 > > 0 > 8 > < < < 0 4 < < 6 < < 4 > 8 6 < < 8 4) La funzion è (1) Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Avrmo: - Numrator: quindi 6 ± ± 0 6 ± , 1, 1, { ( ) - Dnominator: 4 ( )( ) Quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt 5

6 () ( ) ( )( ) CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, ch sono Sgu ch C E (, ) (,) (, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo (0 ) 0 (0 )(0 ) quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat ( 0, 9/ 4) o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo ( ) 0 0 ( )( ) quindi la funzion intrsca l ass nl punto di coordinat (, 0 ) SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo ( ) > 0 ogni > 0 > > 0 > < 1 < < < < > 6

7 5) La funzion è (1) 9 Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Avrmo ( ) 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt () ( )( ) ( )( ) CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, ch sono Sgu ch C E (, ) (,) (, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat ( 0,0) ossia nll origin o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) 7

8 quindi la funzion intrsca l ass ni tr punti di coordinat ( 0, 0 ); (, 0); (, 0 ) SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > > > < < < 0 < < < < 0 > < < 6) La funzion è (1) 15 Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Avrmo: - Numrator: 15 1, ± , ± 40 1, ± quindi ( ( 5 )( ( 5 ) 15 - Dnominator: non può ssr scomposto in quanto è un polinomio smpr positivo Quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt ( ( 5 )( ( 5 ) () y CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, ma siccom il dnominator è smpr positivo sgu ch 8

9 C E (, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat ( 0,5) o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo 0 ( ( 5 )( ( 5 ) quindi la funzion intrsca l ass ni punti di coordinat ( 5, 0 );( 5, 0 ) SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo ( ( 5 ) ( ( 5 ) > 0 > 0 > 0 > 5 > 5 ogni valor di 5 5 < 5 > 5 5 < < 5 7) La funzion è (1) 15 9 Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Avrmo: - Numrator: ± 4 4 ( 15) ± 64 ± , 1, 1, 9

10 quindi ( 5)( ) 15 - Dnominator: 9 ( )( ) Quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt () ( 5)( ) ( )( ) A qusto punto occorr star attnti! In toria è possibil smplificar il fattor in quanto compar sia al numrator ch al dnominator Non si può tuttavia far prima ch vnga discusso il campo di sistnza, ossia prima di avr scluso il valor CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, quindi C E (, ) (,) (, ) A qusto punto è possibil smplificar Ottrrmo così la funzion nlla forma quivalnt () 5 INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo 0 quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat ( 0,5/) o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo quindi la funzion intrsca l ass ni punti di coordinat ( 5, 0 )

11 SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo 5 > 0 > 0 > 5 > 5 < 5 > 5 < < 8) La funzion è (1) Scomponiamo il polinomio in modo da ottnr una forma più facil da trattar in crti casi Avrmo: - Numrator: - Dnominator: 9 ( )( ) ± 9 4 ( ) 9 9 ( ) 1, 1, ± < 0 quindi il polinomio al dnominator non è scomponibil d è anch smpr positivo in quanto il cofficint di è positivo Quindi la funzion di partnza può ssr scritta anch nlla forma quivalnt () ( )( ) ( ) CAMPO DI ESISTENZA: la funzion è polinomial fratta un valor dlla variabil dipndnt y dtrminato ogni valor dlla variabil indipndnt sclusi qulli ch annullano il dnominator, siccom il dnominator non si annulla mai si ha C E (, ) INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass y si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso avrmo 11

12 quindi la funzion intrsca l ass y nl punto di coordinat (0,1) o Pr trovar l coordinat di punti in cui la funzion intrsca l ass si vd cosa succd quando si pon 0 nlla funzion In qusto caso, considrando la funzion nlla forma (), avrmo ( ( )( ) ) quindi la funzion intrsca l ass ni punti di coordinat (, 0 ); (,0) SEGNO DELLA FUNZIONE Pr studiar il sgno dlla funzion ci convin considrar la forma () Avrmo > 0 > > 0 > ( ) > 0 ogni valor di < < < > 1