SESSIONE ORDINARIA 2012 CORSI SPERIMENTALI

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1 PROBLEMA SESSIONE ORDINARIA 0 CORSI SPERIMENTALI Sia ( x) ln ( x) ln x sia ( x) ln ( x) ln x.. Si dtrmino i domini di di.. Si disnino, nl mdsimo sistma di assi cartsiani ortoonali Oxy, i raici di di.. Si dtrminino, s sistono, l coordinat dli vntuali punti di discontinuità o di non drivabilità di di rispttivamnt. 4. Si calcoli l ara comprsa tra ( x ) l ass x pr x. Ossrviamo prliminarmnt ch la unzion (x) si ottin dalla (x) scambiando x in x, ciò vuol dir ch il raico di (x) è, risptto a qullo di (x), simmtrico risptto all ass dll y. x 0. Dominio di (x): dinizion di radical. x 0 ln x ln x 0 ln x 0, pr la dinizion di loaritmo pr la Ma pr la proprità di loaritmi si ha ch ln x ln x è il quadrato di ln x. Abbiamo quindi ( x) ln ( x) ln x ln x ln x. Essndo il radical dato con radicando non nativo, prché quadrato, abbiamo ch il sistma di disquazion ammtt com soluzioni x > 0. Il dominio dlla unzion (x) è l intrvallo 0,. Pr simmtria, il dominio dlla unzion (x) è l intrvallo,0.. Il raico dlla unzion ( x) ln x si ottin da qullo dlla unzion y ln x pr traslazion vrso il basso (nuovo punto di intrszion con l ass dll asciss punto x = ) pr ribaltamnto dll parti di ordinata nativa. Il raico di (x) si ottin da qullo di (x) pr simmtria risptto all ass dll ordinat.

2 . Essndo il raico drivato dal raico di unzioni ondamntali not si dduc ch l unzioni non hanno punti di discontinuità. Studiamo la drivabilità nl punto di ascissa x = pr la unzion. s x ln x s x x ( x) ; '( x). ln x s 0< x s 0< x x La drivata dstra val mntr la drivata sinistra val. Quindi in x = la unzion prsnta un punto anoloso. 4. L ara comprsa tra ( x ) l ass x pr x è data da: (ln x ) dx ln x dx Il scondo intral è immdiato: dx x Il primo intral si calcola pr parti, assumndo com attor inito : ln xdx x ln x xdx x ln x x c. x

3 Prtanto ln x x ln x x ln ln ln ln (ln x ) dx x ln x x ln ln L ara comprsa tra ( x ) l ass x pr x val ln. PROBLEMA Siano l unzioni dinit, pr tutti li x rali, da ( x) 8 x ( x) sin x.. Fissato un convnint sistma di ririmnto cartsiano Oxy, si studino s n disnino i rispttivi raici G G.. Si scrivano l quazioni dll rtt r s tannti, rispttivamnt, a G ascissa x = G nl punto di. Qual è la misura, in radi primi sssasimali, dll anolo acuto individuato da r da s?. Si calcoli l ara dlla rion R racchiusa tra G 4. Si scrivano, spiandon il prché, ma snza calcolarli, li intrali diniti ch orniscono i volumi di solidi K W ottnuti dall rotazioni di R, attorno all rtt y = 0 y = - rispttivamnt.. Il raico dlla unzion si ottin dal raico dlla unzion y x (parabola cubica) G. sostitundo ad oni punto dl raico di coordinat (, ( )) x x il punto di coordinat x,8 ( x )) succssivamnt lasciando invariata la part di raico così ottnuta con punti di ordinata positiva o nulla sostitundo tutti i punti x, y di ordinata nativa con i punti di coordinata x, y. La unzion ha com dominio l insim di numri rali, intrsca li assi nll oriin, il raico è situato nl primo quadrant s x 0 nl scondo quadrant s x 0, è crscnt pr x 0 dcrscnt pr x 0 x = 0 è un punto di non drivabilità. Il raico dlla unzion si ottin dal raico dlla unzion sno ma considrando un priodo pari a. I raici G (rosso in iura) G (vrd in iura) sono rapprsntati nlla iura sunt.

4 . Pr x 0 si ha ( x) 8x 8x. 8 '( x) 4x ' Applicando la ormula dlla rtta passant pr un punto di assnato coicint anolar si ha: r : y 6 x y 6x sin '( x) cos x ' 0. Inatti x è l ascissa di uno di massimi pr la unzion. La rtta tannt in x = al raico G ha quazion s: y =. Ricordiamo ch s du rtt, rispttivamnt di coicinti anolari m d m, ormano un anolo m m' divrso da 90, allora la tannt di α si ottin dall ualianza: tan. mm' Nl nostro caso, indicato con α l anolo ormato dall du tannti, ricaviamo 6 0 tan 6 arctan 6 80, ch è il valor dll anolo sprsso in radi con unità 60 scondari dcimali. Pr ottnr, com richisto, la stssa misura con unità scondari sssasimali diitiamoli tasto DMS dlla calcolatric liamo sul display il risultato 80 5, ch arrotondiamo pr il principio dl minimo rror a 80.. Ossrviamo prliminarmnt ch i raici G G si intrscano nll oriin, pr l considrazion prcdnti, nl punto di coordinat,. Prtanto l ara dlla rion R racchiusa tra G G è data da: 4 x S sin x 8x dx sin xdx 8 cos x Il volum dl solido K ottnuto mdiant la rotazion attorno all ass dll asciss dlla rion R è dato da: sin xdx 8x dx. 0 0 Nl scondo caso poiché la rotazion avvin attorno alla rtta y =-, ttuiamo la traslazion ch porti l oriin dl sistma di ririmnto nl punto di coordinat (0,-) l cui quazioni sono X x x X l quazioni dlla trasormazion invrsa sono. Quindi: Y y y Y y sin x Y sin X y sin x y x Y X y y x. 4

5 Il volum dl solido nrato dalla rotazion di R intorno alla rtta di quazion y = - è dato dalla dirnza tra il volum dl solido nrato dalla rotazion dl tratto di R intorno al nuovo ass y il volum dl cilindro di altzza raio uual a. V 8x dx sin x dx 0 0 QUESTIONARIO QUESITO Cosa rapprsnta il sunt intral qual è il suo valor? tan h tan 6 6 lim h0 h Il limit (non l intral!) assnato rapprsnta il limit dl rapporto incrmntal dlla unzion y tan x quindi la drivata calcolata in x0. 6 y '( x) cos x ; ' y 6 = 4 cos. 6 Quindi: tan h tan lim h0 h QUESITO Si calcoli la drivata diciassttsima di ( x) cos x. '( x) sin x ''( x) cos x '''( x) sin x IV ( x) cos x ( x) Quindi dopo quattro drivat ottniamo la unzion di partnza. La drivata diciassttsima èuual alla '( x) ssndo il rsto dlla division tra 7 4. QUESITO Si lancino du dadi. Qual è la probabilità ch uno soltanto uno di du numri sia 5? L vnto composto si scind nli vnti lmntari: 5 sul primo dado un numro divrso da 5 sul scondo oppur un numro divrso da 5 sul primo dado 5 sul scondo. Pr il torma dlla probabilità composta pr qullo dlla probabilità total si ha: 5

6 QUESITO 4 Si scriva l quazion dlla rtta normal al raico di y sin x nl punto di ascissa La normal ad una curva in un punto è la normal alla tannt alla curva in qul punto. x. 4 y '( x) sin x cos x ; y ' sin cos pr la condizion di prpndicolarità il coicint anolar dlla rtta normal è -. Applichiamo l quazion dlla rtta passant pr un punto di assnato coicint anolar: y sin x y x QUESITO 5 Si mostri ch, nllo sviluppo di a b n k n k n!, il coicint dl trmin a b è uual a. k! n k! La ormula dlla potnza di un binomio: n n n n n n n n n a b a a b a b... a k b n k... b n k n k 0 k n. Il coicint di a b è n n n! k. Quindi dobbiamo dimostrar ch k. k! n k! n nn... n k Da k moltiplicando numrator dnominator pr n k! k! n n! ricordando il siniicato di attorial si ottin k. k! n k! QUESITO 6 È noto ch il lato dl dcaono rolar inscritto in un crchio è szion aura dl raio. Si utilizzi il risultato pr calcolar sin. 0 6

7 S AOC ˆ = 6, allora 0AB ˆ 7, ABC ˆ 7. Il trianolo AOC è, quindi, isoscl sulla bas AB. Dal vrtic A conduciamo la bisttric dll anolo 0AB ˆ indichiamo con D il suo punto di intrszion con il lato BO. Gli anoli dl trianolo ABD sono BAD ˆ 6, DBA ˆ 7, BDA ˆ 7. Prtanto ABD è isoscl simil al trianolo AOB. Pr la similitudin ra i du trianoli val la proporzion: DB : AB AB : AO 7

8 Ponndo il lato dl dcaono AB x (x>0) posto r il raio dlla circonrnza, la proporzion r : x x : r x da cui si ottin l quazion x rx r 0 la cui radic accttabil è: divnta: 5 x. Pr la particolar proporzion vriicata da AB da OA, con un trmin ch vin dalla tradizion rca, si dic ch il smnto AB è szion aura dl smnto OA. Tracciamo adsso la bisttric dll anolo DAB ch intrsca DB nl punto H. L anolo AHB è rtto ssndo DAB un trianolo isoscl sulla bas DB. Applicando il torma di trianoli rttanoli si ha DB 5 r r 5 HB 5 5 sin8 AB AB r QUESITO 7 È dato un ttradro rolar di spiolo l altzza h. Si dtrmini l ampizza dll anolo ormato da l da h. Il smnto AC ha pr strmi il vrtic A dl trianolo di bas il pid dlla prpndicolar C tracciata dal vrtic B. AC l pr cui, applicando i tormi dl trianolo rttanolo al trianolo ABC si ha AC sin arcsin 5 5' AB QUESITO 8 Fra l piramidi rtt a bas quadrata di assnata suprici latral S, si dtrmini qulla di volum massimo. Il qusito è uual al qusito corso di ordinamnto sssion suppltiva a.s. 984/985 8

9 Sia h l altzza dlla accia dlla piramid x la lunhzza dl lato dlla bas. hx hx S L ara di una sinola accia è quindi l ara dlla suprici latral è S 4 h. x L altzza dlla piramid, applicando il torma di Pitaora è h PIRAMIDE 4 4 S x S x S x ssndo x >0. 4x 4 4x x 4 4 S x x S x La unzion volum dlla piramid è V ( x) x. x x S x V '( x) S x x S x S x V '( x) 0 x 4 S V '( x) 0 0 x 4 S La unzion volum è strttamnt crscnt pr S x 4. S Il volum dlla piramid è massimo s x 4 il suo valor è: S S 4 S V S x 4 strttamnt dcrscnt pr QUESITO 9 Il problma di Eron (matmatico alssandrino vissuto probabilmnt nlla sconda mtà dl I scolo d. C.) consist, assnati nl piano du punti A B, situati dalla stssa part risptto ad una rtta r, nl dtrminar il cammino minimo ch coniun A con B toccando r. Si risolva il problma nl modo ch si prrisc. 9

10 Qusito dlla sssion ordinaria corso sprimntal PNI anno 006. Indichiamo con P il punto dlla rtta r tal ch il cammino APB sia minimo. Dtto A il simmtrico di A risptto ad r, si ha ch A P = AP; quindi dimostrar la tsi inizial, quival a provar ch è minimo il cammino A PB qusto accad quando i tr punti sono allinati, dato ch in un trianolo oni lato è minor dlla somma dli altri du. Dal conronto dli anoli ch compaiono nlla iura su ch: il cammino minimo richisto si trova in corrispondnza dl caso in cui AP BP ormano anoli uuali con la rtta r, cioè s il cammino è prcorso da un raio di luc, quando l anolo di incidnza è uual all anolo di rilssion. QUESITO 0 Qual dll sunti unzioni è positiva pr oni x ral? A) cos(sin( x )) B) sin(cos( x )) C) sin(ln( x )) D) Si iustiichi la risposta. La risposta corrtta è la A. cos(ln( x )) La unzion cosno è positiva quando l anolo assum valori comprsi tra. Inoltr la unzion sno assum valori smpr comprsi tra - quindi ssndo valida la disuualianza allora cos(sin( x )) assum valori positivi pr oni x ral. Nl caso B, la unzion sno assum valori positivi s l anolo assum valori comprso tra 0. Quindi la disuualianza è 0. Nl caso C D, la unzion loaritmo, aromnto dlla unzion trionomtrica, è illimitata quindi l unzioni sin(ln( x )) cos(ln( x )) assumono anch valori nativi. 0