PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO

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1 ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOLA ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI BIANCHI SCUOLE PARITARIE PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO CLASSI MATERIA PROF. QUARTA TURISMO Matmatica Andra Brnsco Làvor ANNO SCOLASTICO 2013/2014 EUROSTUDI S.R.L Brscia - Via Bronztti, 9 -- Tl. 030 / P. IVA C.C.I.A.A Tribunal di Brscia n [email protected]

2 Esmpi di studio dl grafico di una funzion primo smpio Studiamo la sgunt funzion ricrca dl dominio si pon il dnominator divrso da zro prché la funzion assgnata è una funzion fratta: studio dl sgno si pon la funzion maggior di zro si studia la disquazion individuando l rgioni di piano dov la funzion sist d è positiva o ngativa. Si cancllano l rgioni di piano dov la funzion non sist: studio dll intrszioni con gli assi cartsiani dall ossrvazion dl grafico dllo studio dl sgno è vidnt ch la funzion ha un solo punto di intrszion con gli assi, coincidnt con l origin (0,0). Solo com srcizio algbrico, studiamo l intrszion dlla funzion con l ass : l intrszion dlla funzion con l ass : dall ossrvazion dl grafico dllo studio dl sgno è vidnt ch la funzion non è pari mntr potrbb ssr dispari. Vrifichiamolo algbricamnt sostitundo la con nl tsto dlla funzion sviluppando i calcoli: studio dll simmtri con quindi non è pari Vrifichiamo s la funzion è dispari raccoglindo il nll sprssion di : quindi la funzion è dispari si calcola il limit sinistro dstro dlla funzion pr ch tnd ai punti di discontinuità individuati con la ricrca dl dominio: ricrca dgli asintoti vrticali sistono du asintoti vrticali di quazion v

3 Esmpi di studio dl grafico di una funzion si calcola il limit dlla funzion pr ch tnd a a : ricrca dgli asintoti orizzontali l ass dll di quazion è un asintoto orizzontal pr la funzion sia a ch a La prsnza dll asintoto orizzontal a a sclud la prsnza dll asintoto obliquo studio dlla monotonia di punti di massimo minimo la crscnza dcrscnza dlla funzion si crca studiando il sgno dlla drivata prima dlla funzion, cioè si calcola la drivata prima si pon maggior di zro, cioè : la drivata è smpr ngativa quindi la funzion è smpr dcrscnt. Non sistono massimi minimi studio dlla concavità di punti di flsso la concavità dlla funzion si crca studiando il sgno dlla drivata sconda dlla funzion, cioè ponndo : la drivata è ngativa pr quindi la funzion ha concavità vrso il basso; la drivata è positiva pr quindi la funzion ha concavità vrso l alto. Esist un punto di flsso di ascissa. Pr trovarn l ordinata basta sostituir l ascissa nl tsto dlla funzion: disgno dl grafico si traccia il grafico dlla funzion tnndo conto di tutti i risultati ottnuti prcdntmnt. Pr una maggior prcision si possono calcolar l coordinat di alcuni punti dlla funzion attribundo alla valori arbitrari dl dominio calcolandon l corrispondnti v

4 Esmpi di studio dl grafico di una funzion scondo smpio Studiamo la sgunt funzion ricrca dl dominio si pon il dnominator divrso da zro prché la funzion assgnata è una funzion fratta: si pon la funzion maggior di zro si risolv la disquazion individuando l rgioni di piano dov la funzion è positiva o ngativa. Si cancllano l rgioni di piano dov la funzion non sist: studio dl sgno studio dll intrszioni con gli assi cartsiani dall ossrvazion dl grafico dllo studio dl sgno è vidnt ch la funzion non attravrsa gli assi, ma prsnta un solo punto di contatto coincidnt con l origin (0,0). Solo com srcizio algbrico, studiamo l intrszion dlla funzion con l ass : l intrszion dlla funzion con l ass : dall ossrvazion dl grafico dllo studio dl sgno è vidnt ch la funzion non prsnta simmtri. Vrifichiamolo anch algbricamnt sostitundo la con nl tsto dlla funzion sviluppando i calcoli: studio dll simmtri con quindi ricrca dgli asintoti vrticali la funzion non è pari la funzion non è dispari si calcola il limit sinistro dstro dlla funzion pr tnd al punto di discontinuità : ch sist un solo asintoto vrtical di quazion v

5 Esmpi di studio dl grafico di una funzion si calcola il limit dlla funzion pr ch tnd a a : ricrca dgli asintoti orizzontali la funzion non prsnta asintoto orizzontal né a Ha snso ricrcar l asintoto obliquo nè a dll or- si calcolano i valori dl cofficint angolar dinata all origin dll quazion dll asintoto obliquo : ricrca dgli asintoti obliqui la funzion ammtt un asintoto obliquo di quazion studio dlla monotonia di punti di massimo minimo la crscnza dcrscnza dlla funzion si crca studiando il sgno dlla drivata prima dlla funzion, cioè si calcola la drivata prima la si pon maggior di zro, cioè : la drivata è ngativa pr quindi la funzion dcrsc; la drivata è positiva pr quindi la funzion crsc. Il punto di ascissa è un punto di minimo qullo di ascissa è un massimo. Pr trovar l rispttiv ordinat basta sostituir l asciss di punti nl tsto dlla funzion: studio dlla concavità di punti di flsso la concavità dlla funzion si crca studiando il sgno dlla drivata sconda dlla funzion, cioè ponndo : la drivata è positiva pr ngativa pr quindi la funzion ha concavità vrso l alto pr concavità vrso il basso pr. Non sistono punti di flsso prché è un punto di discontinuità dlla funzion disgno dl grafico si traccia il grafico dlla funzion tnndo conto di tutti i risultati ottnuti prcdntmnt. Pr una maggior prcision si possono calcolar l coordinat di alcuni punti dlla funzion attribundo alla valori arbitrari dl dominio calcolandon l corrispondnti v

6 Studio dl grafico di una funzion 1 ricrca dl dominio (o campo di sistnza) dlla funzion n pari L funzioni ch non compaiono in qusta tablla (ad sclusion di qull iprbolich) sono dfinit 2 studio dl sgno dlla funzion si pon la funzion maggior di zro si risolv la disquazion si individuano l rgioni di piano dov la funzion è positiva (+) o ngativa ( ) all intrno dl dominio si cancllano l rgioni di piano dov la funzion non sist 3 studio dll intrszioni dlla funzion con gli assi cartsiani intrszioni con l ass x o zri dlla funzion: si pon la funzion ugual a zro, si risolv l quazion l soluzioni dll quazion sono gli zri dlla funzion intrszion con l ass y (solo s il dominio lo consnt): si sostituisc 0 alla x nlla funzion si svolgono i calcoli si ottin l ordinata dl punto di intrszion con l ass dll y gli vntuali punti di intrszion dlla funzion con l ass si possono anch ddurr ossrvando il grafico dllo studio dl sgno. S il dominio lo consnt, du zon di sgno opposto sono sparat da un punto di intrszion dlla funzion con l ass ; du zon dllo stsso sgno individuano invc un punto di contatto dlla funzion con l ass 4 studio dll simmtri dlla priodicità di una funzion una funzion simmtrica risptto all ass dll y si dic pari una funzion simmtrica risptto all origin dgli assi si dic dispari una funzion ch ript priodicamnt la forma si dic priodica si sostituisc x con x si sviluppano i calcoli s la funzion è pari si sostituisc x con x si sviluppano i calcoli si raccogli il s la funzion è dispari si pon si risolv l quazion ottnuta nll incognita T il valor trovato di T è il priodo dlla funzion lo studio dll simmtri si ffttua solo s il dominio il sgno sono a loro volta ntrambi simmtrici v di 2

7 Studio dl grafico di una funzion 5 ricrca dgli asintoti di una funzion asintoto vrtical dov si crca: ni punti di discontinuità dlla funzion ni punti agli strmi dl dominio di s sono finiti non appartnnti al dominio stsso x o com si crca: n asintoto orizzontal dov si crca: a s il dominio lo consnt com si crca: solo s l asintoto orizzontal non sist, si crca l asintoto obliquo asintoto obliquo dov si crca: a s il dominio lo consnt s non sist già l asintoto orizzontal com si crca: 6 studio dlla monotonia di ricrca di massimi minimi rlativi monotonia f crsc f dcrsc f crsc concavità max min vrso l alto vrso il basso vrso l alto flsso flsso si calcola la drivata prima di la si pon maggior di 0 si risolv la disquazion si individuano l rgioni di piano dov: è crscnt è dcrscnt ossrvando il grafico dlla crscnza dcrscnza si individuano i punti di massimo di minimo. Essi vanno considrati solo s appartngono al dominio dlla funzion 7 studio dlla concavità ricrca di flssi di una funzion si calcola la drivata sconda di la si pon maggior di 0 si risolv la disquazion si individuano l rgioni di piano dov: è concava vrso l alto è concava vrso il basso ossrvando il grafico dlla concavità si possono individuar i punti di flsso. Essi vanno considrati solo s appartngono al dominio dlla funzion Pr ottnr una maggior prcision nl disgno dl grafico si possono calcolar l coordinat di alcuni suoi punti attribundo alla valori arbitrari (appartnnti al dominio) nl tsto dlla funzion calcolando l rispttiv v di 2

8 Drivat drivat dll funzioni lmntari dov k è una costant rgol di drivazion prodotto di una costant k pr una funzion somma di du o più funzioni prodotto di du funzioni prodotto di tr funzioni rapporto di du funzioni funzion composta funzion lvata ad una funzion v di 2

9 Drivat smpi di drivat di alcun funzioni lmntari = = smpi di drivat con l rgol di drivazion Drivata dl prodotto di una costant pr una funzion Drivata dlla somma di du o più funzioni Drivata dl prodotto di du funzioni Drivata dl rapporto di du funzioni Drivata di una funzion composta Drivata di una funzion lvata ad una funzion v di 2

10 Asintoti di una funzion dfinizion di asintoto di una funzion data una funzion P dato un suo punto P si dic ch una rtta è asintoto pr la funzion s la distanza di P dalla rtta tnd a zro quando P si allontana indfinitamnt lungo la funzion la dfinizion non sclud ch in alcuni casi la funzion può intrscar l asintoto. Vdi in sguito pr l approfondimnto Esistono tr tipi di asintoti: asintoto vrtical, asintoto orizzontal, asintoto obliquo asintoto vrtical dov si crca: ni punti di discontinuità dlla funzion ni punti agli strmi dl dominio di s sono finiti non appartnnti al dominio stsso x o com si crca: ossrva: la funzion non attravrsa mai l asintoto vrtical prché non appartin al dominio dlla funzion asintoto orizzontal dov si crca: a s il dominio lo consnt com si crca: n solo s l asintoto orizzontal non sist, si crca l asintoto obliquo fai attnzion ch pr pr vanno fatt ricrch sparat, ad smpio a potrbb sistr l asintoto orizzontal d a potrbb sistr l asintoto obliquo asintoto obliquo dov si crca: a s il dominio lo consnt s non sist già l asintoto orizzontal com si crca: v di 2

11 Asintoti di una funzion ossrvazioni la funzion può intrscar l asintoto orizzontal l asintoto obliquo anch più volt, com si vd ni sgunti smpi: la prsnza dll asintoto orizzontal sclud l asintoto obliquo. Esistono prò funzioni ch ammttono l asintoto orizzontal a l asintoto obliquo a ( vicvrsa), com si vd ni sgunti grafici: γ la funzion ammtt l asintoto orizzontal a l asintoto obliquo a la funzion ammtt l asintoto orizzontal a l asintoto obliquo a la curva ammtt un asintoto orizzontal d uno obliquo nlla stssa dirzion prché non è una funzion smpio di ricrca di asintoti di una funzion Crchiamo gli vntuali asintoti dlla funzion si calcola il limit sinistro dstro dlla funzion pr dlla funzion: ch tnd ai punti di discontinuità ricrca dgli asintoti vrticali ntrambi i limiti sono infiniti la rtta ntrambi i limiti sono infiniti la rtta è un asintoto vrtical pr la funzion è un asintoto vrtical pr la funzion si calcola il limit dlla funzion pr ch tnd a a : ricrca dgli asintoti orizzontali ricrca dgli asintoti obliqui l asintoto non sist ntrambi i limiti sono infiniti non sist asintoto orizzontal a a pr la funzion. Ha snso crcar l asintoto obliquo si calcolano i valori dl cofficint angolar dll ordinata all origin dll quazion dll asintoto obliquo : la funzion ammtt du asintoti vrticali d un asintoto obliquo, com riportato nl grafico dlla funzion in alto a dstra. Ossrva ch la funzion intrsca l asintoto obliquo nll origin dgli assi cartsiani v di 2