ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENTE

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Alberto Morelli
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1 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENE I du sgnali passa basso di figura sono utilizzati pr la trasmission di simboli binari quiprobabili in un canal AWGN. La dnsità spttral di potnza (bilatra) dl rumor è N /. a) Dtrminar l sprssion dlla probabilità di rror nl caso di dmodulazion incornt. b) In rifrimnto al punto a) calcolar il valor dlla probabilità di rror pr un rapporto Enrgia dl sgnal/ N ugual a 6 db. a) La dmodulazion incornt è sguita attravrso la massimizzazion (critrio MAP) dlla funzion a massima vrosimiglianza, ovvro dlla sgunt sprssion: P ρ k σ k ( a ) I k σ dov con ρ k si intndono i cofficinti di corrlazion rlativi ai simboli a k. Nl caso ch stiamo considrando i sgnali dati sono quiprobabili tra loro ortogonali s ( t) s ( t) dt = cosicché possiamo ottnr la sgunt sprssion smplificata dlla probabilità d rror P : P = N 63

b) In rifrimnto al punto a) calcolar il valor dlla probabilità di rror pr un rapporto Enrgia dl sgnal/ N ugual a 6 db.

2 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 b) Il calcolo dlla probabilità d rror rlativa ad un rapporto Enrgia dl sgnal / N pari a 6 db è sguibil, misurando qusta grandzza con un unità di misura linar, non logaritmica, si ottin: P = a) Progttar il dmodulator ottimo di tipo incornt pr il sistma di sgnalazion binario di figura (i sgnali sono rapprsntati in banda bas), assumndo i simboli da trasmttr quiprobabili d il canal di comunicazion di tipo AWGN. Fig. b) Dfinir la probabilità d rror pr il dmodulator proposto al punto prcdnt. c) Fornir lo schma a blocchi dl dmodulator incornt ottimo nl caso in cui i sgnali trasmssi non siano quinrgtici d i rlativi simboli non quiprobabili. d) Vrificar la fattibilità dlla sostituzion dl sistma di sgnalazion considrato con qullo di Fig. (sgnali rapprsntati in banda bas). Quantificar l vntual vantaggio ottnuto in trmini di guadagno (riduzion) dlla probabilità d rror. 64

83 ----------------------------------------------------- a) Progttar il dmodulator ottimo di tipo incornt pr il sistma di sgnalazion binario di figura (i sgnali sono rapprsntati in banda bas),

3 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 Fig. a) Pr progttar un dmodulator incornt ottimo è ncssario dfinir un circuito ch massimizzi la sgunt funzion scondo il critrio MAP: ( k, k, ( k) ) = ( k) Λ ρ k σ ρk Pa Pa I σ Nll ipotsi di sgnali quiprobabili d quinrgtici com nl caso dll form d onda considrat in Fig., il critrio di dcision ottimo si riduc ad sguir la discriminazion tra i simboli in bas al valor dl solo cofficint di corrlazion complsso ρ k : infatti, i contributi rlativi alla probabilità di mission all nrgia dl sgnal sono uguali cosicché la massimizzazion dlla funzion Λ quival a trovar il valor più lvato rlativamnt a ρ k I ; dal momnto, tuttavia, ch la funzion di Bssl è monotona crscnt qusto problma si riduc alla dtrminazion dl massimo valor pr il cofficint di corrlazion complssa. Il circuito di dcision è, quindi, il sgunt: 65

quiprobabili d quinrgtici com nl caso dll form d onda considrat in Fig.

4 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 b) I du sgnali trasmssi sono ortogonali (com già visto in prcdnza), cosicché la probabilità d rror è la mdsima: P σ = c) S i sgnali non sono quiprobabili d quinrgtici il critrio di dcision sarà basato sulla massimizzazion dlla funzion Λ ρ Pa ( ) ( k k k ),,, portando alla dfinizion di un circuito ottimo di dcision com rapprsntato nlla sgunt figura: d) I sgnali di Fig. sono antipodali non sono, quindi, utilizzabili pr una rivlazion di inviluppo in quanto ρ = ρ. 66

sarà basato sulla massimizzazion dlla funzion Λ ρ Pa ( ) ( k k k ),,, portando alla dfinizion di un circuito ottimo di dcision com

5 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENE I sgnali di figura (dati in banda bas) sono utilizzati pr un collgamnto in canal AWGN pr trasmttr i simboli quiprobabili a a. a) Progttar il dmodulator cornt ottimo a minima complssità. b) Dtrminar la probabilità di rror risultant. c) Dtrminar il critrio di dcision ottimo nl caso in cui il canal introduca un disturbo alatorio sulla fas dl sgnal portant. a) b) sono tipicamnt qusiti sulla riczion cornt. c) I sgnali dati sono quiprobabili, non quinrgtici, tra loro ortogonali; il ricvitor richisto può ssr ralizzato scondo i principi dlla riczion incornt: in particolar, occorr massimizzar la funzion Λ ciò può ssr fatto trascurando il contributo dll probabilità di mission. Il ricvitor incornt ottimo ha la sgunt struttura: 67

c) Dtrminar il critrio di dcision ottimo nl caso in cui il canal introduca un disturbo alatorio sulla fas dl sgnal portant. a) b) sono tipicamnt qusiti sulla riczion cornt.

6 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 È dato un sistma di sgnalazion di tipo ASK (On-Off Ky). Si assuma di trasmttr una portant a frqunza f d ampizza da k, con d k =,, con ugual probabilità. Il canal è di tipo AWGN d introduc, inoltr, un disturbo alatorio sulla fas dlla portant uniformmnt distribuito in ( π, π ]. a) Dfinir il critrio di dcision ottimo ch prscinda dalla conoscnza dlla fas dlla portant. b) Fornir lo schma a blocchi dl dmodulator individuato al punto a). a) Il sgnal trasmsso è dl tipo: ( ) ( π ) sk t = dkacos f t con d k =,, con ugual probabilità, mntr il sgnal ricvuto val: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r t = d Acos πf t + ϑ + n t = d Acos πf t cos ϑ d Asin πf t sin ϑ + n t k k k I sgnali trasmssi sono quiprobabili ma non quinrgtici, in particolar, possiamo vdr ch, indicando con il pdic il sgnal corrispondnt al bit di valor unitario con il pdic l altro: = A ; = Ottniamo il critrio di dcision ottimo, prscindndo dalla conoscnza dlla fas, cioè in manira incornt, andando a massimizzar la sgunt funzion ML: k ρ σ Λ( ) = k dk I Nl caso considrato si ha ch ρ è idnticamnt nullo ch, di consgunza il critrio di dcision basato sulla funzion appna dscritta > ρ σ σ I I < si riduc ad una formulazion molto più ridotta: ρ σ ρ I > < 68

Il canal è di tipo AWGN d introduc, inoltr, un disturbo alatorio sulla fas dlla portant uniformmnt distribuito in ( π, π ].

7 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ovvro: ρ σ I = > < A 4σ b) Lo schma dl dmodulator incornt è, prtanto,: In raltà, lo schma dl ricvitor può ssr smplificato, tnndo conto dlla monotonia dlla funzion I ( ). Il critrio di dcision ottimo si trasforma in: ρ > < V con V opportunamnt dtrminato, com illustrato nlla sgunt figura: A 4σ V 69

smplificato, tnndo conto dlla monotonia dlla funzion I ( ).

8 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 Il dmodulator divin allora: Du sgnali quiprobabili sono trasmssi su un canal AWGN la cui dnsità spttral di potnza (bilatra) di rumor val N. I du sgnali hanno la sgunt sprssion: ( ) = cos( π ft) s t E ( f t) ( ) = cos π( f + Δ ) s t E Assumndo = 4 ms f = MHz, dtrminar il valor di Δf ch rnd minima la probabilità d rror in caso di dmodulazion incornt. Dfinir lo schma a blocchi dl dmodulator ottimo. Si può dimostrar ch l migliori prstazioni, in trmini di P, sono ottnut quando la corrlazion complssa tra i du sgnali è nulla. L sprssion dlla corrlazion complssa in funzion di Δf è la sgunt: 7

I du sgnali hanno la sgunt sprssion: ( ) = cos( π ft) s t E ( f t) ( ) = cos π( f + Δ ) s t E Assumndo = 4 ms f = MHz, dtrminar il valor di Δf ch rnd minima la probabilità d

9 Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ( ) * E j ( ) ( ) ( πf t) j( π ( f + f ) t) E Δ j( πδf) = s t s t dt = dt = = jπδf = E πδf jπδf sin ( πδ f) Qusta grandzza si annulla pr valori di Δf pari a n la dviazion minima in frqunza ncssaria pr ottnr corrlazion nulla è qulla corrispondnt a n =. La dviazion in frqunza rlativa a qusta sclta val: Δf 3 =. 5 = 5Hz La struttura a blocchi dl dmodulator ottimo è la sgunt: 7

pari a n la dviazion minima in frqunza ncssaria pr ottnr corrlazion nulla è qulla corrispondnt a n =.

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